七年级数学-整式的乘法,平方差公式,完全平方公式--深圳博尔思【最新】

七年级下数学公式一、整式的运算公式。

1. 同底数幂相乘。

- 公式：a^m· a^n = a^m + n（m、n为正整数）- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7 = 128。

2. 同底数幂相除。

- 公式：a^m÷ a^n=a^m - n(a≠0,m,n为正整数,m>n)- 例如：3^5÷3^2 = 3^5 - 2=3^3 = 27。

3. 幂的乘方。

- 公式：(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数）- 例如：(2^3)^4=2^3×4=2^12。

4. 积的乘方。

- 公式：(ab)^n=a^nb^n（n为正整数）- 例如：(2×3)^4 = 2^4×3^4=16×81 = 1296。

5. 单项式乘以单项式。

- 法则：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

- 例如：2x^2y×3xy^2=(2×3)(x^2× x)(y× y^2)=6x^3y^3。

6. 单项式乘以多项式。

- 公式：m(a + b)=ma+mb- 例如：2x(x + 3)=2x× x+2x×3 = 2x^2+6x。

7. 多项式乘以多项式。

- 公式：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd- 例如：(x + 2)(x+3)=x× x+x×3+2× x + 2×3=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x+6。

8. 平方差公式。

- 公式：(a + b)(a - b)=a^2 - b^2- 例如：(3 + 2)(3 - 2)=3^2-2^2=9 - 4 = 5。

9. 完全平方公式。

- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2- 例如：(x+1)^2=x^2+2x×1 + 1^2=x^2+2x + 1。

7年级整式乘法——平方差与完全平方公式（二）完全平方公式1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 3．公式的推广：①()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；②()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ③()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；④()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++．平方差公式：(a+b)(a-b)＝a 2-b 22. （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a ）（2a-b ）3.()()()()4422b aba b a b a +++-＝ ；4.)32)(32(22y x y x -+5.)32)(32(n m n m ---6.)3)(3(xy z z xy ---7. （1） ； （2） ；公式结构特征：(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。

(3) 公式中的 a 和b 可以是数，也（3） ；（4） ；8.先化简，再求值，其中9. (a －b ＋c)(a ＋b ＋c)10．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和ab 的值．11.计算：（1）()()x y z x y z +--+ （2）()22x y z +-13.1 ．计算：①()221m -- ②()()()22a b a b a b -+-③()2a b c +- ④()2220.43m n-（1）已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．（2）已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值．（3）已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．拓展小组1．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

树人阁教育一对一个性化辅导教案第三讲、乘法公式知识点讲义知识点：(一）、平方差公式:（a+ｂ）(ａ-b)=b a 22- 两数 与这两 差的积,等于它们的 。

1、即:(a ＋b ）(a-b) = 相同符号项的平方 － 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：b a 22-=（ａ＋b)（ａ-b ）。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即:(ａ+b ）(a －ｂ)或(ａ+b)(b-ａ)②有两数和的相反数与两数差的积 即:（－ａ-b)(a-ｂ)或(a+b)(ｂ－a) ③有两数的平方差 即:b a 22- 或a b 22+-(二）、完全平方公式：)(2b a +=a 2＋2ab+b 2 )(2b a -=a 2-２ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加上(或减去）它们的积的 。

1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2＝)(2b a + a 2－2ab+b 2=)(2b a - 2、能否运用完全平方式的判定①有两数和(或差）的平方即:)(2b a +或 )(2b a -或 )(2b a --或)(2b a +-②有两数平方,加上(或减去)它们的积的2倍,且两数平方的符号相同。

即:a 2+2ａｂ+b 2或a 2－2ab+b 2 a -2-2a ｂb -2或 a -2＋2a ｂ－b 2 基础训练:一、选择题1、下列各式中,能用平方差公式计算的是（ )ﻩA 、()()p q p q +--ﻩﻩ B 、()()p q q p -- Ｃ、(5)()x y y x +-335ﻩ D 、()()2332a b a b +- 2、与()72x y -之积等于y x4249-的因式为 （ ） ﻩＡ、(７x －y 2)ﻩﻩＢ、（7x ＋ｙ2） Ｃ、(－７ｘ-y ２) D 、(y 2－7x )3、下列等式能够成立的是 （ ）ﻩA 、()242222x y x x y y -=-+ﻩB 、()x y x y +=+222 ﻩＣ、()1214222a b a a b b -=-+ﻩＤ、()11222x x x x +=+ ４、要使式子4ａ2—12ａ 成为一个完全平方式的结果,则应加上 ( ）Ａ、3 ﻩ Ｂ、９ﻩﻩ C 、２．25 D 、1.55、()73322x +等于 ( ) A 、737322x x ++ﻩ B 、49972942x x ++ ﻩC 、4997942x x ++ﻩﻩﻩD 、7372942x x ++ ６、[][]()()()()x y x y x y x y +-+-所得结果是 ( ） ﻩＡ、x y 44- ﻩﻩ B 、x x y y 4224-+ C 、x ４+y 4 D 、x x yy 42242-+7、()a b -2加上如下哪一个后得()a b +2 ( ) A 、2ab ﻩﻩB 、３abﻩ C 、４ａb ﻩﻩ D 、0 ８、()()x y x x y y +++222等于( ） A 、x y 33+ﻩﻩＢ、x y 33- C 、()x y +3ﻩﻩD 、以上答案都不对 ９、下列各式不能用立方差公式计算的 ( )A 、()()-+-+aa a 112ﻩﻩB 、()(5)a a a 212552-++ C 、()()312932142a a a -++ D 、()()3312aa a +-+ 10、下面四个式子与(ａ-b )相乘所得的积中是二项式的有 （ ）①a +b ﻩ②a a b b 22++ ﻩ③a a b b 22-+ ﻩ④a a b b222-+ ﻩA 、①和④ﻩＢ、②和③ﻩ C 、①和② ﻩＤ、③和④ 二、填空题1、()()x y x y+=+33 2、a a b b a b 2223-+=-() 3、()()ab b a -=-121422 ４、()+=++m n 2245、()()4144983432233x x y y x y++=- ６、()()x x x -++=112227、()()x y x x y y n m n n m m +-+=22 8、(.)0222a a +=++9、()()()343422x y x y -+=+10、()()---+=x y x x y y 22解答题、1、四个连续偶数a 、b 、c 、d 中最后一个数是第m ＋2个正偶数,如果b d a c -=412,求这四个数2、已知x y x y +=-=1016，求下列各式的值ﻩ求①x y 22+ﻩ ②()x y -2ﻩﻩ③()()x y ++22④x x yy 22-+3、13122a a a a +=+求４、1)1)(1)(1)(12(222842+++++5、b ab b 22a .6,5a +-=-=+求已知：。

初一下册与《整式的乘法》有关的公式
一、幂的运算法则:
1、同底数幂相乘：a n a m=a n+m (m、n都是正整数）
2、幂的乘方：(a n)m=a nm（m、n都是正整数）
3、积的乘方：(ab)n=a n b n (m是正整数）
同底数幂相除：底数不变，指数相减（底数不能为0）
二、整式的乘法：
1、单项式和单项式相乘：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式与多项式相乘：根据乘法的分配律用单项式去乘多项式的每一式，再把所得的积相加。

3、多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、乘法公式：
1、平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)
2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
（拓展）：(a3±b3)=(a±b)(a2±ab+b2)
(a±b)3=a³+3a²b+3ab²+b³
四、整式的除法
1、单项式相除：把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的一个指数一起作为商的一个因式。

2、多项式除以单项式：先把多项式的每一项分别除以单项式，然后把所得的积相加。

1、 有些多项式的乘法不能直接应用此公式()()22a b a b a b +-=-进行计算，需经简单变形后方可应用，常用的变形有： ①位置变化：如：12212332a b b a ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21213232b a b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ②符号变化：如：()()()()32323232x y x y x y x y ---=-+- ③系数变化：如：()()()()1144422a b a b a b a b +-=⨯+-④相同项结合，相反项结合：如()()()()23232323x y z x y z x y z x y z +--+=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⑤根据题目特点，创造条件，灵活变形，巧妙应用公式： 如：()()()()()()35235835353535a b c a b c a c c b c b a b ----+=-+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、对()2222a b a ab b +=++ 或 ()2222a b a ab b -=-+常见的恒等变形、：①()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+②()()224a b a b ab +=-+ ③()()224a b a b ab -=+-④()()224a b a b ab +--=3、乘法公式也可以逆用，逆用后的计算可能更为简便。

如：()()()()()()22232323232323x x x x x x +--=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ =4x 6=24x例1、计算：(1) ()()22222323xyxy+-(2) 22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整式的乘法公式平方差公式 完全平方公式(3)、22421113a b 3a b 9a b 224⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）、()()()2222x 1x 1x 1+-+例2、利用乘法公式计算： (1)19992001⨯ (2)21997199719981996-⨯ ⑵ 20032例3、 化简求值：(1)()()()()()()222222x x y x y x x y y ⎡⎤-+--++---⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中11,2x y =-=检测、作业1、填空题（1） (b + a)(b －a) = _______________, (x －2) (x + 2) = _________________；（2） (3a + b) (3a －b) =________________, (2x 2－3) (－2x 2－3) = ______________________； （3） 2294)3)(______3(______________,__________)2132)(2132(b a b b a a -=-+=-+（4） (x + y)2=_________________，(x －y)2=______________________； （5）______________________)2(_________,__________)3(22=+-=-b a b a（6）41________)21(22+=-x x（7）(3x + ________)2=__________+ 12x + ____________；（8）_________________________)2(__,__________)()(222=--+-=+y x b a b a ； （9） (x 2－2)2－(x 2 + 2)2 = _________________________；2、计算题(写过程)（1）)5)(5(33m n n m -+ （2）)2.02)(22.0(x y y x -+ （3）)1)(1(---xy xy（4）2)2332(y x -（5）22)2()2(a b b a -++ （6）)1)(1)(1(2--+m m m（7）22)2()2(n m n m -+ （8）22)23()32(+-+x x （9）2)32(z y x +-3、用简便方法计算(写过程) ⑴ 92×88 ⑵ 32593160⨯ ⑶225.365.38- ⑷2220012003-（5） 982（6） 13.42－2×13.4 + 3.424、计算)13)(13)(13)(13)(13(16842+++++5、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ，x 2 + y 2 ，x 2－xy + y 2的值6、已知3)()1(2-=+-+y x x x ，求xy y x -+222的值第二课时：（一）、复习整式的乘法公式 （二）、随堂练习、讲评： 1、填空题（1） (x + y) (－x + y) = ______________, (－7m －11n) (11n －7m) = ____________________； （2） _____________________)2)(4)(2(___,__________)2)(2(2=++-=---a a a y x x y ；2、计算(1))23)(23(2222b a ab b a ab ++- (2) )1)(1)(1(2++-a a a(3) )132)(132(++--y x y x (4)()()x y z x y z ++--(5) ()()2525x y z x y z +-+-++ (6)22222210099989721-+-++-(7)()()()()243221212121++++ (8)22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（三）、拓展提高例1()()323388418841x x x x x x +++-+- 其中12x =例2解不等式：()()()()3434923x x x x +-≤-+例3、解方程组：()()()()223223x y x y x y x y -=⎧⎪⎨+--=+-⎪⎩例4、设m 、n 为自然数，且满足：2222221299n m =++++，求n 的值。

课时教案编号：授课教师甘地点时间学生年级初一科目数学课题多项式与多项式相乘、平方差公式、完全平方公式教学目标1.会掌握方法计算多项式与多项式的乘法运算。

2．经历探索平方差公式的过程．3．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．4．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．5.完全平方公式的推导及其应用教学重点平方差公式的推导和应用，完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。

教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．完全平方公式灵活应用.教学过程（一）学生动手，推导结论1. 引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．2．学生动手：3. 过程分析：(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) ----单×多=am+an+bm+bn ----单×多4.得到结论：【3】多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（二）巩固练习例：)32)(2(22yxyxyx-+-)65)(52(2+-+xxx练习：)yx y-y)(x(xy)-8y)(x-(x2)1)(x(3x22++++教学课程例：先化简，再求值：(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-6练习：化简求值：)32)(12()1)(1(3)3)(2(-+--+++-xxxxxx，其中x=54一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?（三）深入研究1.计算：①(x+2)(x+3)；②(x-1)(x+2)；③(x+2)(x-2)；④(x-5)(x-6)；⑤(x+5)(x+5)；⑥(x-5)(x-5)；并观察结果和原式的关系教学过程附加题：1．⎩⎨⎧++〉+-〈+-++)2)(5()6)(1(22)1()3)(2(xxxxxxxx2. 求证：对于任意自然数n，)2)(3()5(+--+nnnn的值都能被6整除3. 计算：(x+2y-1)24. 已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)平方差公式（一）探究平方差公式自主探究：计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）=（2）（2x+1）（2x-1）=观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？用字母表示：教学过程平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算（二）平方差公式的应用例1：运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）应注意以下几点：（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．（4）运算的最后结果应该是最简（三）练习1、下列计算对不对？如不对，应当怎样改正（1）（x+2）（x-2）= x2 - 2(2) (-3a-2)(3a-2)= 9a2 -4教学过程完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．几何分析：图（1），可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个矩形组成，•所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．运用公式1.直接运用例：应用完全平方公式计算：（1）（4m+n）2（2）（y-12）2 （3）（-a-b）2（4）（b-a）2.简便计算例：运用完全平方公式计算：（1）1022（2）992计算：2)4(yx-222)43(cabba-在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？442+-xx2161a+12-x22yxyx++224139yxyx+-教学过程拓展提出问题，解决问题1． 在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体。