整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法

第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。

第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

整式运算公式汇总整式是由常数、变量及其乘积所构成的代数表达式，常见的整式运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面是整式运算的一些常用公式汇总。

1.加法和减法：-任意两个整式之和或之差仍然是整式。

2.乘法：-一个整数与一个整式相乘，所得结果仍然是整式。

-两个整式相乘时，可以利用分配律进行展开。

-两个含有相同的因子的整式相乘时，可以利用公因式提取法进行合并。

3.乘方：a^n表示a的n次方，在整式运算中，可以使用以下公式进行乘方运算：-a^m*a^n=a^(m+n)（底数相同的乘方，指数相加）-(a^m)^n=a^(m*n)（乘方的乘方，指数相乘）-a^0=1（任何数的0次方等于1）4.除法：整式的除法运算可以利用乘法的逆运算，即乘法逆元素，其中，除法过程可以通过因式分解、相除法或多项式长除法等方法进行。

5.因式分解：将一个整式分解为几个不可再分解的乘积形式的过程称为因式分解。

常见的因式分解公式包括：-公因式提取法：将一个整式中的公因子提取出来。

-二次差分公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)- 平方差公式：a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab- 三次方差公式：a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)6.基本恒等式：- 乘法结合律：a(bc) = (ab)c- 乘法交换律：ab = ba-加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)-加法交换律：a+b=b+a- 加法与乘法的分配律：a(b+c) = ab+ac这些是整式运算的一些常见公式，它们在代数运算中起到重要的作用。

通过熟练掌握和运用这些公式，可以更好地理解和解决整式运算问题。

整式的运算强化乘法公式 平方差公式: 两数和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.完全平方公式: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.整式的除法 同底数幂的除法： 底数不变，指数相减.单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式.多项式除单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.五分钟练习 （1） 1.()()_,__________5=--a a ___________2222=m n2.()___,__________32=-x ()_____________23=-b 3.(),__________2223=-b a ()_________4223=⋅+a a a4.()_________,14.30=-∏()_______________32=--5. 如图，长方形的宽为b a +2，长为b a -，则周长为________，面积为___________________。

平方差公式： 22))((b a b a b a -=+-例1. 计算：（1）)23)(23(b a b a --+-； （2）)32)(32(b a b a ---例2. 利用平方差公式进行计算：（1） 9931007⨯ （2） 2000199819992⨯-（3）)9)(3)(3(2++-a a a （4） )1)(1)(1)(1)(1(842++++-x x x x x（5）))((c b a c b a +--- （6）)32)(32(z y x z x y -----例3.化简求值：),23)(32()13)(13(+---+a a a a 其中31-=a .例4. 若,12,422=-=+b a b a 求b a ,的值.【拓展提升】 例1.计算：（1）98.002.1⨯（2） ))(())(())((x z x z z y z y y x y x +-++-++-（3） 22)234()234(b a y x b a y x -++-+--例2. 若,32,15422=+-=-y x y x 求x 、y 的值.例3. 求值： )10011()511)(411)(311)(211(22222-----全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 例1. 运算结果为42221b a ab +-的是（ ）A. 22)1(ab +-B. 22)1(ab +C. 222)1(b a +-D. 22)1(ab --例2. 如果1212++ax x 是另一个整式的平方，那么常数a 的值是 .例5. 计算：（1）2)()2)(2(b a b a b a +--+ （2）)2)(1()21(2----x x x例6. 一个正方形像框，中间部分边长为a 2厘米，像框宽为b 厘米，这个像框的面积是多少？（结果化成几个单项式的和）变式题：要给一边长为a 米的正方形桌子铺上正方形桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，问需要多大面积的桌布？【拓展提升】例1. 运用乘法公式计算（1）))((c b a c b a -+++ （2）)13)(13(-+--y x y x（3）2)4123(+-y x （5）11234612344123452-⨯-例3. 已知20,9==+xy y x ，求2)(y x -的值.变式题：要使等式22)()(b a M b a +=+-成立，则整式M= .例5. 若∆ABC 三边a 、b 、c 满足ca bc ab c b a ++=++222，试问∆ABC 的三边有何关系？例6. 若0610222=+++-y y x x ，求2)2(y x -的值. ·例7. 化简求值：],2))()][()((2[22y x y y x y x y x x +----+-其中.2,1==y x例8. 已知),)(1(6116223n mx x x x x x ++-=-+-求m 和n . .同底数幂的除法 例1.计算: （1） )3()53(232y x y x ÷- ； （2）)5()10(3234bc a c b a ÷；（3）)14()7()2(34232y x xy y x ÷-⋅； （4）24)2()2(b a b a +÷+（5） )4()6(432232y x z y x ÷； （6）)61()21(2344x a x a -÷-.例3.（1）若54223)()(b a ab b a n m =÷，则m= ,n= .（2）若等式（ ）nn 264=÷成立，则括号内应填的代数式为（ ）A. n24 B. n212C. n224 D. n210例4. 观察下面一列单项式：,x ,22x -,43x ,84x - ,165x（1）计算一下这里任一单项式除以它前面的单项式的商，你有什么发现？（2）根据你发现的规律写出第n 个单项式. 例6. 化简求值：（1）y y x y y x y x y x 4)](2)())([(2÷-+---+（2） )32()94()3()96(2222n m n m n m n mn m -÷---÷+-，其中31,3-=-=n m .（3） ,)()2()(44223224m m m m m m ÷-+⋅-+÷-其中.1-=m【拓展提升】例1. 要使1162+x 成为一个完全平方式，可以加上一个单项式 .例2. 满足1)1(32=-++x x x 的所有x 的个数有 个.例3. 已知3n-2m 8,28,38求==nm的值.例4. 若223283566y y x y x nm=÷，求n m ,的值. 例5. 化简).21(})()]()()2(5{[3224a a a a a a -÷-÷-⋅---若2=a ，求这个代数式的值. 例6. 已知,0132=+-x x 求221xx +的值.6．观察例题，然后回答： 例：31=+x x ，则221xx += .解：由31=+x x ，得9)1(2=+x x ，即92122=++xx所以：729122=-=+xx通过你的观察，请你来计算：当31-=+x x 时，那么221xx += ；当51=-x x时，那么221xx += ； 通过计算、观察、归纳，用字母写出能反映这种规律的一般结论是：当a x x =±1时，那么221xx +=巩固练习：填空题.1. 在代数式4,3xa ,y +2,－5m 中____________为单项式，_________________为多项式. 2.多项式13254242+---x y x y x π是一个 次 项式,其中最高次项的系数为 ..3.当k = 时,多项式8313322+---xy y kxy x 中不含xy 项. 4.)()()(12y x y x x y n n--⋅--= .5.计算:)2()63(22x y x xy -÷-= .6.29))(3(x x -=--7.-+2)23(y x =2)23(y x -.8. ( )－(5x 2＋4x －1)＝6x 2－8x ＋2.9.计算:31131313122⨯--= .10.计算:02397)21(6425.0⨯-⨯⨯-= .11.若84,32==n m,则1232-+n m = .12.若10,8==-xy y x ,则22y x += .13.若22)(14n x m x x+=+-, 则m = ,n = .14.当x = 时,1442+--x x 有最大值,这个值是 .15. 一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字比个位上的数字大2,用代数式表示这个 两位数为 . 16. 若 b 、a 互为倒数,则 20042003b a ⨯= .计算题.(1)25223223)21(})2()]()2{[(a a a a a -÷⋅+-⋅- (2))2(3)121()614121(22332mn n m mn mn n m n m +--÷+--(3))21)(12(y x y x --++ (4)22)2()2)(2(2)2(-+-+-+x x x x(5)24422222)2()2()4()2(y x y x y x y x ---++四.解答题. 已知将32()(34)xmx n x x ++-+乘开的结果不含3x 和2x 项.（1）求m 、n 的值；（2）当m 、n 取第（1）小题的值时，求22()()m n m mn n +-+的值.五.解方程:(3x+2)(x －1)=3(x －1)(x+1).六.求值题:1..已知a －b=2,b －c=－3,c －d=5,求代数式(a －c)(b －d)÷(a－d)的值.2.已知:2424,273b a == 代简求值:2(32)(3)(2)(3)(3)a b a b a b a b a b ---+++-课后练习：用简便方法计算：（1）7655.0469.27655.02345.122⨯++ （2）9999×10001－100002化简求值：（1）4（x 2＋y ）（x 2－y ）－（2x 2－y ）2 , 其中 x=2, y=－5（2）已知：2x －y =2， 求：〔（x 2＋y 2）－（x －y ）2＋2y （x －y ）〕÷4y4．已知：a （a －1）－（a 2－b ）= －5 求: 代数式 2b a 22 －ab 的值．5．已知： a 2＋b 2－2a ＋6b ＋10 = 0, 求：a 2005－b1的值．。

整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。

一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。

例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。

七年级下册数学课本目录第一章整式的乘除
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方与积的乘方
3.同底数幂的除法
4.整式的乘法
5.平方差公式
6.完全平方公式
7.整式的除法
第二章相交线与平行线
1.两条直线的位置关系
2.探索直线平行的条件
3.平行线的性质
4.用尺规作角
第三章三角形
1.认识三角形
2.图形的全等
3.探索三角形全等的条件
4.用尺规作三角形
5.利用三角形全等测距离
第四章变量之间的关系
1.用表格表示的变量间关系
2.用关系式表示的变量间关系
3.用图像表示的变量间关系第五章生活中的轴对称
1.轴对称现象
2.探索轴对称的性质
3.简单的轴对称图形
4.利用轴对称进行设计
第六章概率初步
1.感受可能性
2.频率的稳定性
3.等可能事件的概率。

整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=•),(都是正整数）（n m a a m n n m =)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

一、选择（每题2分，共24分） 1．下列计算正确的是（ ）．A ．2x 2·3x 3=6x 3B ．2x 2+3x 3=5x 5C ．（－3x 2）·（－3x 2）=9x 5D ．54x n ·25x m =12x m+n2．一个多项式加上3y 2－2y －5得到多项式5y 3－4y －6，则原来的多项式为（ ）． A ．5y 3+3y 2+2y －1 B ．5y 3－3y 2－2y －6 C ．5y 3+3y 2－2y －1 D ．5y 3－3y 2－2y －1 3．下列运算正确的是（ ）．A ．a 2·a 3=a 5B ．（a 2）3=a 5C ．a 6÷a 2=a 3D ．a 6－a 2=a 4 4．下列运算中正确的是（ ）．A．12a+13a=15a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0二、填空（每题2分，共28分）6．－xy2的系数是______，次数是_______．8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______．9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时， 若坐飞机飞行这么远的距离需_________．10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2（a－b）2+______=（a+b）211．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．三、计算（每题3分，共24分）13．（2x2y－3xy2）－（6x2y－3xy2）14．（－32ax4y3）÷（－65ax2y2）·8a2y17．（x－2）（x+2）－（x+1）（x－3）18．（1－3y）（1+3y）（1+9y2）19．（ab+1）2－（ab－1）2四、运用乘法公式简便计算（每题2分，共4分）20．（998）221．197×203五、先化简，再求值（每题4分，共8分）22．（x+4）（x－2）（x－4），其中x=－1．23．[（xy+2）（xy－2）－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25．六、解答题（每题4分，共12分）24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．幂的运算一、同底数幂的乘法（重点）1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

整式的运算复习考点攻略考点01 整式的有关概念1．整式：单项式和多项式统称为整式．2．单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数． 【注意】单项式的系数包括它前面的符号3.多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中.每一个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 【例1】单项式3212a b 的次数是_____． 【答案】5 【解析】单项式3212a b 的次数是325+=.故答案为5． 【例2】下列说法中正确的是（ ）A ．25xy -的系数是–5 B ．单项式x 的系数为1.次数为0C ．222xyz -的次数是6D ．xy ＋x –1是二次三项式 【答案】D【解析】A.25xy -的系数是–15.则A 错误；B.单项式x 的系数为1.次数为1.则B 错误；C.222xyz -的次数是1+1+2=4.则C 错误；D.xy ＋x –1是二次三项式.正确.故选D.【例3】若单项式32m x y 与3m nxy +是同类项.2m n +_______________．【答案】2【解析】由同类项的定义得：13m m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=⎩221242m n +=⨯+==故答案为：2．【例4】按一定规律排列的单项式：a .2a -.4a .8a -.16a .32a -.….第n 个单项式是（ ）A ．()12n a --B ．()2na -C ．12n a -D ．2n a【答案】A 【解析】解：a .2a -.4a .8a -.16a .32a -.….可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------•••∴ 第n 项为：()12.n a -- 故选A ．【例5】如图.图案均是用长度相等的小木棒.按一定规律拼搭而成.第一个图案需4根小木棒.则第6个图案需小木棒的根数是（ ）A ．54B ．63C ．74D ．84【答案】A【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒. 拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒. 拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒. 拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒. …拼搭第n 个图案需小木棒n (n +3)=n 2+3n 根. 当n =6时.n 2+3n =62+3×6=54. 故选A.考点02 整式的运算1．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -. 2. 整式的加减：几个整式相加减.如有括号就先去括号.然后再合并同类项。

六年级数学灵活运用平方差公式和完全平方公式、整式的除法人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容灵活运用平方差公式和完全平方公式二. 教学目的和要求1. 会用语言叙述每一个公式，掌握各个公式的结构特征。

2. 理解公式中字母的广泛含义，能灵活运用公式进行计算。

三. 教学重难点1. 重点：掌握公式的结构特征2. 难点：公式的灵活运用四. 知识要点1. 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-2. 了解公式的结构特征：（1）在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方。

（2）在完全平方公式中，左边都是一个二项式的完全平方，二者仅一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅一个“符号”不同。

3. 注意公式的应用条件，弄清公式的变化形式：（1）字母a 、b 既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，在应用平方差公式时，要紧扣“相同项”与“互为相反项”这两点。

（2）A. 平方差公式有八种变化形式：① 位置变化 ② 符号变化 ③ 系数变化 ④ 指数变化⑤ 增项变化 ⑥ 增因式变化 ⑦ 连用公式变化 ⑧ 逆用公式变化B. 完全平方公式的推广：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++完全平方公式的变式：)(2)()(2222b a b a b a +=-++ ab b a b a 4)()(22=--+ ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+4. 灵活运用公式解题：（1）巧妙结合：)221)(221(c b a c b a +--+（2）巧妙分组：)12)(121)(12)(121(+--+x x x x （3）巧妙逆用：22)())((2)(y x y x y x y x -+-+-+（4）巧妙拆项：)532)(132(+----y x y x（5）巧添因式：1)12)(12)(12)(12)(12(16842++++++ （6）巧妙变用：已知9=+y x ，14=xy ，求22y x +（答题时间：45分钟）一. 填空1. （ ）2294)23(x y y x -=-2. )(n m y x +（ ）n m y x22-= 3. ++=++22)1(52x x x4. +-2)(b a 2)(b a += 5. )(b a --（ ）22b a -=二. 选择1. 乘积等于22n m -的式子是（ ）A. 2)(n m -B. ))((n m n m ---C. ))((m n n m ---D. ))((n m n m +-+ 2. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）A. )2)(2(x y y x +-B. )2)(2(y x x y +--C. )2)(2(y x y x ---D. )2)(2(y x x y --- 3. 代数式2222)()()()(a b b a b a b a ----++--的值是（ ）A. 2244b a +B. 0C. ab 8D. 22342b ab a +-4. 如果42++ax x 是一个完全平方式，则=a （ ）A. 4B. 2C. 4或4-D. 2或2-三. 计算1. ))((d c b a d c b a ----++2. )32)(12(+----y x y x3. )812)(212)(41(2++-a a a4. ))()()()((884422n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a +-+++四. 解答题1. 解方程：2229)31)(13()12()3(4x x x x x +-+=+--2. 已知：40)(2=+b a ，60)(2=-b a ，求22b a +和ab 的值。

七年级数学《整式的乘除》教学反思七年级下册第一章《整式的乘除》已经学完了。

本章主要分两大块：一、基本公式的学习：同底数幂的乘法（或除法）、幂的乘方、积的乘方的法则及公式和零指数幂、负指数幂的计算公式、科学计数法（针对一个多位小数）；二、整式的乘法、整式的除法、平方差公式、完全平方公式。

第一部分是学习本章内容的基础，法则（公式）需要理解及熟记，才能为第二块整式的乘除打下坚实的基础。

但需要注意的是在计算同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂的时候，其底数不能等于零这一点要考虑到，此知识点很容易出错。

对于科学计数法的学习和上一学期的学习有很多相同之处，但也有不同之处。

相同：把一个数写成a乘10的n次方的形式（a要大于等于1小于10，n为负整数）。

要想正确的把一个多位小数写成科学计数法的形式，只需要满足2点（1）找a（2）找n。

要找到a，只需要把原小数的小数点右移到第一个不是零的数字的右下角，删去该数字左边所有的零，剩余部分照抄；要找到n,紧接上一步，数原小数点与新小数点之间数的位数，是几个数字n就等于几。

对于第二部分的学习，只要前面的基础知识学的比较好，在掌握单项式乘（除以）单项式的算理学习起来就比较轻松。

因此，单项式乘（除以）单项式是整式乘除的基础。

在学习此内容时，不能只按书上的法则照本宣科，要能把它变成自己的话来理解记忆。

例如：单项式乘单项式分为3部分：（1）系数与系数相乘（2）同底数幂相乘（3）剩余部分照抄。

这样好理解也便于记忆。

在学习多项式的乘法及多项式除以单项式时特别要注意的是“符号容易出错”。

因此遇到该类题目要先确定符号，再根据法则来计算。

也就是说确定符号以后，不管是单项式是负的还是多项式的负项都变成正项进行运算，这样有关符号的计算就能做到不重不漏，也就不容易出错了。

平方差公式的学习只需要满足2条：（1）找条件：找相同项、相反项（2）得结论：相同项的平方减相反项的平方。

（此环节前后位置不能反）完全平方公式：口诀“左平方，右平方，2倍的乘积在中央，加是加来减是减”还要注意，完全平方公式的展开结果为3项，而不是两项。

初一下册数学知识点：整式的运算知识点总结整式的运算是初一下学期学习的第一章内容，主要讲解了整式的概念、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、整式的乘除法、平方差公式、完全平方公式等。

通过对本篇知识点的学习，相信同学们对整式的运算有了更深的把握，同时也为今后学习数学打下扎实的基础!初一下册数学知识点：整式的运算第四章整式的运算一、整式单项式和多项式统称整式。

a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。

c)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意：常数项的单项式次数为0)a)几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

其中，不含字母的项叫做常数项。

一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。

多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。

多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数.a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式.b)括号前面是-号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。

二、同底数幂的乘法(m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：a)法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式;b) 指数是1时，不要误以为没有指数;c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加;d)当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 (其中m、n、p均为整数);e)公式还可以逆用： (m、n均为整数)a)幂的乘方法则： (m，n都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。

初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。

2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。

3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。

4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。

二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。

2.用辗转相除法进行整式的除法计算。

三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。

2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。

3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。

4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。

5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。

根据这一定理可以找到多项式的因式。

四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。

3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。

4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。

北师大版七年级数学下册全部知识点归纳第一章：整式的运算 单项式： 。

整 式 多项式： 。

同底数幂的乘法：幂的乘方：积的乘方：幂的运算 同底数幂的除法： 零指数幂： 负指数幂： 整式的加减单项式与单项式相乘整式运算单项式与多项式相乘： 整式的乘法 多项式与多项式相乘：平方差公式： 完全平方公式：单项式除以单项式整式的除法 多项式除以单项式：完全平方公式的变形公式：（1）22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-（2）22()()4a b a b ab +=-+ （3）2214[()()]ab a b a b =+-- 第二章 平行线与相交线平行线： 。

对顶角的性质：垂线的性质：性质1：过一点有 。

性质2：连接直线外一点 。

平行线的性质：1、平行公里:过 性质2：平行于 平行。

整 式 的 运算余角：余角和补角 补角：邻补角：两线相交 对顶角：同位角三线八角 内错角同旁内角平行线的判定：平行线平行线的性质：尺规作图：第三章 变量之间的关系自变量变量的概念 因变量变量之间的关系 表格法关系式法变量的表达方法 图象法第四章 三角形三角形概念： 称为三角形。

三角形按内角的大小可分为三类：直角三角形的性质： ；直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h,则h= 。

任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

这个点叫三角形的 任意三角形都有三条中线，它们相交于三角形内一点。

这个点叫三角形的 任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

这个点叫三角形的平行线与相交线三角形都有三条高线：区 别相 同中 线 平分对边 三条中线交于三角形内部 （1）都是线段 （2）都从顶点画出 （3）所在直线相交于一点 角平分线 平分内角三条角平分线交于三角形内部高 线 垂直于对边（或其延长线）锐角三角形：三条高线交于直角三角形：三条高线交于钝角三角形：三条高线交于三角形三边关系：三角形 三角形内角和定理：角平分线三条重要线段 中线高线三角形 全等图形的概念： 全等三角形的性质：SSSSAS全等三角形 全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用 利用全等三角形测距离作三角形第五章 生活中的轴对称： 轴对称图形于轴对称： 轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。

整式知识点归纳整式是代数式的重要组成部分，也是数学学习中的基础内容之一。

下面就来对整式的相关知识点进行一个全面的归纳。

一、整式的定义整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。

单项式是由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如，5、a、2xy 等都是单项式。

多项式是由有限个单项式的代数和组成的代数式。

例如，2x ＋3y、a² 2ab ＋ b²等都是多项式。

二、整式的分类1、单项式系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

例如，单项式 5x的系数是 5。

次数：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

例如，单项式 3x²y 的次数是 3（2 ＋ 1 ＝ 3）。

2、多项式项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

其中不含字母的项叫做常数项。

例如，多项式 2x²＋ 3x 1 中，2x²、3x、－1 是项，－1 是常数项。

次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

例如，多项式 x³ 2x²＋ 5 中，次数最高项是 x³，次数为 3，所以这个多项式的次数是 3。

三、整式的运算1、整式的加减去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

2、整式的乘法单项式乘以单项式：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

单项式乘以多项式：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、整式的除法单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。

乘法的结果称为“积”。

-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。

除法的结果称为“商”和“余数”。

-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。

-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。

次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。

4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。

-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。

5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。

-两个正整数相乘，结果为正数。

-两个负整数相乘，结果为正数。

-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。

二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。

可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。

2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。

3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。

4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。

例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。

例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。

7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。

乘法公式、整式的除法【考向解读】一、考点突破本讲考点主要包括：平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。

通过多项式的乘法运算得到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；通过乘法公式的几何背景，培养运用数形结合思想和整体思想解决问题的能力。

平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为填空题,选择题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识命题;完全平方公式在中考中占有重要地位，它在数的运算，代数式的化简，方程,函数等方面都有极其广泛的应用。

整式的除法在中考中出现的频率比较高,题型多见选择题与填空题,有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。

二、重点、难点提示重点：平方差公式、完全平方公式，整式的除法及零指数幂的运算。

难点：乘法公式中字母的广泛含义及整式除法法则的应用。

【重点点拨】知识脉络图【典例精析】能力提升类例1 计算：（1）（－2a－b）（b－2a）；（2）（2x＋y－z）2．一点通：第（1）题中的b－2a＝－2a＋b，把－2a看成平方差公式中的“a”即可；第（2）题有多种解法，可把2x看成完全平方公式中的“a”，把y－z看成公式中的“b”，也可把2x＋y看成公式中“a”，把z看成公式中的“b”。

答案：（1）（－2a－b）（b－2a）＝（－2a－b）（－2a＋b）＝（－2a）2－b2＝4a2－b2；（2）（2x＋y－z）2＝[（2x＋y）－z]2＝（2x＋y）2－2z（2x＋y）＋z2＝4x2＋4xy＋y2－4xz －2yz ＋z 2．点评：这两题都可以运用乘法公式计算，第（1）题先变形，再用平方差公式；第（2）题把三项和看成两项和，两次运用完全平方公式。

例2 计算：（1）[（－3xy ）2·x 3－2x 2·（3xy 2）3·12y ]÷（9x 4y 2）；（2）[（x ＋2y ）（x －2y ）＋4（x －y ）2]÷（6x ）．一点通：本题是整式的混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。

人教版九年级上册数学各单元知识点归纳总结数学九年级上册共有十个单元，分别是集合与函数、有理数与运算、整式的加减、整式的乘法、一次函数与方程、比例与百分数、线性方程组、平方根与整式的除法、直角三角形与勾股定理、统计与概率。

下面将详细介绍这些单元的知识点。

一、集合与函数：1.集合：元素、属于、不属于、集合的相等、全集、子集、交集、并集、差集、互斥集、余集。

2.函数：自变量、因变量、函数的值、定义域、值域、函数的相等、奇函数、偶函数、函数的和差积商、反函数。

3.函数的图象：平移、伸缩、翻折、求过给定点的直线方程。

二、有理数与运算：1.有理数：整数、分数、有理数的相反数、绝对值、有理数的大小、有理数的加减乘除。

2.小数：有限小数、无限小数、循环小数、无理数、实数。

3.数轴与有理数：数轴上的点、有理数与数轴的对应关系、有理数的大小关系、有理数的加法减法、有理数的乘法除法。

4.分式：分数的性质、带分数、分数的加减乘除。

三、整式的加减：1.代数式：字母、代数式的加减、整式、项、系数、常数项。

2.同类项：同类项的合并与分拆、整式的加法、整式的减法。

四、整式的乘法：1.乘法基本公式：乘法基本公式的应用、平方差公式、差的平方公式、完全平方公式、立方差公式、立方和公式、整式的乘法。

2.因式与倍式：因式分解、互质、最大公因式。

五、一次函数与方程：1.函数与方程：线性函数、一次函数、函数的表示、函数的图象、函数的性质、函数关系、一元一次方程、方程的解。

2.解一次方程：等式的性质、移项变号、等式的逆运算、绝对值不等式。

六、比例与百分数：1.比例：比例的概念、比例的扩大与缩小、比例的性质、四边形的对边比、折线的边长比。

2.百分数：百分数与百分数、百分数与小数、百分数与分数、百分数的运算、平均数、加权平均数。

七、线性方程组：1.二元一次方程组：线性方程组、二元一次方程组、方程组的解、解二元一次方程组。

2.三元一次方程组：解三元一次方程组。