整式的乘法——平方差公式

整式乘法练习题教学内容知识点：22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mbm n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩三个重要的公式平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2完全平方公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2立方和、差公式（补充）：(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) =(xy )2-(z +m )2 =(x -y )2-z 2=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2y 2-z 2-2zm -m 2 =x 2-2xy +y 2-z2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =x 4-y 4 =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 得如下几个比较有用的派生公式：整式的乘法 乘方运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法）单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式乘法公式()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a ba b a b ab+-=+-+=+++-=++--=一、乘法公式的复习例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

整式的乘法及平方差公式 1、单项式乘以单项式： 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式： 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+ 1.6整式的乘法（单项式与单项式相乘）一、填空题： 1. y x x 423)2(⋅-= ；2. (32a 2b 3c)·(49ab)= ;3.3212)(2mn m -⋅= ；4.2y)-x(x 3= ; 5. y m －1·3y 2m －1= ；6.)(23n m b a b a -⋅= ； 7. )2xy)(y x (-21232xy += 8. 2b)-a(a 4-= ; 9. )2y xy (x 43212+-= ；10.1)(-3x)2x -(x 2+= ; 11.(3x －1)(4x ＋5)＝______．12. (2x-3y)( 3x-5y)= 13. (－4x －y)(－5x ＋2y)＝__________;二、 选择题( ).1. 式子-----( )·(3a 2b)=12a 5b 2c 成立时，括号内应填上( )A.4a 3bcB.36a 3bcC.－4a 3bcD.－36a 3bc2. (－2a 4b 2)(－3a)2的结果是( )A.－18a 6b 2B.18a 6b 2C.6a 5b 2D.－6a 5b 23. 2x 2y ·(0.5-3xy+y 3)的计算结果是( )A.2x 2y 4－6x 3y 2+x 2yB.－x 2y+2x 2y 4C.2x 2y 4+x 2y －6x 3y 2D.－6x 3y 2+2x 2y 44. 计算(2a －3b )(2a ＋3b )的正确结果是( )A ．4a 2＋9b 2B ．4a 2－9b 2C ．4a 2＋12ab ＋9b 2D ．4a 2－12ab ＋9b 25. 若(x ＋a )(x ＋b )＝x 2－kx ＋ab ，则k 的值为( )A ．a ＋bB ．－a －bC ．a －bD ．b －a 6. (x 2－px ＋3)(x －q )的乘积中不含x 2项，则( )A ．p ＝qB ．p ＝±qC ．p ＝－qD ．无法确定 7. 计算(a 2＋2)(a 4－2a 2＋4)＋(a 2－2)(a 4＋2a 2＋4)的正确结果是( )A ．2(a 2＋2)B ．2(a 2－2)C ．2a 3D ．2a 68. 方程(x ＋4)(x －5)＝x 2－20的解是( )A ．x ＝0B ．x ＝－4C ．x ＝5D ．x ＝40 9. 12. (x ＋1)(x －1)与(x 4＋x 2＋1)的积是( )A ．x 6＋1B ．x 6＋2x 3＋1C ．x 6－1D ．x 6－2x 3＋110. 下列各式能用平方差公式计算的是：（ ）A ．B ．C ．D ．11. 下列式子中，不成立的是：（ ）A ．B ．C ．D ．13. ，括号内应填入下式中的（ ）．A ．B ．C ．D ． 14. 计算的结果是（ ）． A ． B ． C ． D ．三、计算题：（1）4y ·(-2xy 3)； （2）xy xy xy y x 3322⋅-⋅２；（3）23223)41)(21(y x y x -； （4）)312(22ab ab a +-； （5）223(12)2(31)x x x x x -+-+; （6）(2x ＋3y)(3x －2y)（7）(x 2 －1)(x +1)－(x 2 －2)(x －4)；（8）(3x ＋2y)(2x ＋3y)－(x －3y)(3x ＋4y)（9）（10）（11）； （12） ； （13）； （14）；四、解答题：1、先化简再求值：)2102(1)x x 2x 2322x x x x +--+-（，其中x=－21.2、先化简，再求值：(x －y)(x －2y)－21(2x －3y)(x+2y),其中x=－2,y=52.3、已知(2x-a)(5x+2)=10x ２-6x+b,求a,b 的值。

平方差公式教学设计作为一位杰出的教职工，时常需要准备好教学设计，借助教学设计可以更大幅度地提高学生各方面的能力，从而使学生获得良好的发展。

如何把教学设计做到重点突出呢？以下是小编精心整理的平方差公式教学设计，仅供参考，大家一起来看看吧。

平方差公式教学设计1一、设计思想本节课是围绕“引导学生有效预习”的课题设计的，通过预设的问题引发学生思考，在学生的预习基础上回答相关的问题，产生对整式的乘法、提公因式法和公式法的对比。

让学生充分自主的对知识产生探究，同时利用数形结合的思想验证平方差公式；再通过质疑的方式加深对平方差公式结构特征的认识，有助于让学生在应用平方差公式行分解因式时注意到它的前提条件；通过例题练习的巩固，让学生把握教材，吃透教材，让学生更加熟练、准确，起到强化、巩固的作用，让学生领会换元的思想，达到初步发展学生综合应用的能力。

二、教材分析本节课是运用提公因式法后公式法的第一课时——用平方差公式法分解因式。

它是整式乘法的平方差公式的逆向应用，它是解高次方程的基础，在教材中具有重要的地位。

在教材的处理上以学生的自主探索为主，在原有用平方差公式进行整式乘法计算的知识的基础上充分认识分解因式。

明确因式分解是乘法公式的一种恒等变形，让学生学会合情推理的能力，同时也培养了学生爱思考，善交流的良好学习惯。

三、学情分析本课程所教授的学生程度相对较好，学生已经学习了乘法公式中的平方差公式，本节课是整式乘法的平方差公式的逆向应用，学生在前一阶段的学习中掌握效果较好，为本节课的教学奠定了良好的基础。

同时初二的数学教学以“引导学生有效预习”为小课题，学生已经建立较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。

但是学生的预习与课堂的学习仍需要教师的合理引导和有效掌握，对一些相对落后的学生来说应注重突出重点，分析透彻，所以在教学时充分考虑到学生已经掌握平方差公式的前提，通过问题引发学生思考，提高学生兴趣入手，培养学生的自主探索，合作交流的能力，在轻松的氛围中完成教学任务，从而增强学好数学的愿望与信心四、教学目标（一）知识与技能1．掌握运用平方差公式分解因式的方法。

第一讲 整式及乘法公式第一部分 知识梳理一、基本概念1．同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即()mn nm a a =（m 、n 都是正整数）3．积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab = （n为整数）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。

三、整式的乘法1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则________．2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘个n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．【课堂训练题】1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，∴2a﹣1•5b﹣1=1，∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。

课程名称整式的乘法（二）上课时间年月日课次第次课辅导老师辅导方式一对一教学内容教学材料中心自编辅导资料学生教学设想教学目标教学重点教学难点教学方法教学过程设计一、知识回顾1、单项式和单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含字母的，则联通它的指数作为积的一个因式；2、单项式和多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；3、多项式和多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加；4、平方差公式：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数平方差；5、完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，∴3+m=6，解得m=3．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算。

3、若(x﹣3)(x+3)=x2+px+q，那么p、q的是；由此可得，(x-a)(x+a)= .【考点】多项式乘多项式，平方差公式．【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，则p=1，q=﹣12．【点评】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．4.先化简，再求值：2(x-3)(x+2)-(3+a)(3-a)，其中a=-2，x=1．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先根据多项式乘多项式的法则以及平方差公式计算，再去括号，然后合并，最后把a、x的值代入计算．【解答】解：原式=2(x2-x-6)-(9-a2) =x2-2x+a2﹣21，当a=-2，x=1时，原式=2×12-2×1+（-2）2-21=-17．于这两个数的平方和，加上（或减）这两个数积的2倍。

二、案例分析1、计算：（﹣3x 2y ）•（13 xy 2）= ．【考点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法． 【分析】根据单项式的乘法法则，同底数幂的乘法的性质计算即可．【解答】解：（﹣3x 2y ）•（13 xy 2）=（﹣3）×13 ×x 2•x •y •y 2=﹣x 2+1•y 1+2=﹣x 3y 3．【点评】本题主要考查单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．2、如（x+m ）与（x+3）=x 2+6x+9，则m 的值为 ，(x+m)2= (用x ，m 表示)。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第03讲---整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；②理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。

2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式如下：()(,,,m a b c ma mb mc m a b c++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b++=+++都是单项式）（二）平方差公式体系搭建1、平方差公式：22()()a b a b a b-+=-，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

公式的推导：2222()()a b a b a ab ab b a b+-=-+-=-。

平方差公式的逆用即22()()a b a b a b-=-+平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。

（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。

2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。