含参不等式解法举例

含参不等式专题（淮阳中学）

编写：孙宜俊

当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。

解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：

（1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。

一、含参数的一元二次不等式的解法：

1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥∆） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。

解：0)1)((2>--x a x

1,0)1)((==⇒=--x a x x a x 令 为方程的两个根

（因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论）

（1）当1或

（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或

（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x

综上所述：

（1）当1或

（2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或

（3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x

变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ；

2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。

小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨

论。

例2、解关于x 的不等式022≤-+k kx x

分析 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.

解 )8(82+=+=∆k k k k

(1) 当02,08,02=-+>-<>∆k kx x k k 方程时或既有两个不相等的实根。 所以不等式的解集是022≤-+k kx x ：

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-≤≤+--4)8(4)8(k k k x k k k x (2) 当02,0802=-+=-==∆k kx x k k 方程时或即有两个相等的实根， 所以不等式⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-≤-+4022k k kx x 的解集是，即{}}0{2，； (3) 当02,08,02=-+<<-<∆k kx x k 方程时即无实根

所以不等式的022≤-+k kx x 解集为∅。

说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要

注意数形结合研究问题。

小结：讨论∆，即讨论方程根的情况。

2．二次项系数含参数（先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥∆）

例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax

解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x

若0

x x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a

x )(* 其解的情况应由a

1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；

（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a

； （3）当10<

x 11<<⇔.

综上所述，当0<

x a x x 或}； 当0=a 时，解集为{1>x x }；

当10<

x x 11<<}； 当1=a 时，解集为φ；当1>a 时，解集为{11<

}. 例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax

解：.012<-+ax ax )(*

（1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*

（2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，a

a a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a

a a a 242a a a a 242++-； ②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(；

③当4-=a 时，0=∆，2

1)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->a

a a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a

a a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ；

当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,2

1); 当4-

a a a ). 例5、解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈

分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不

等式的解集取两边。⑵当－10, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。 解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭

当时原不等式的解集为 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);

34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。

牛刀小试：解关于x 的不等式)0(,04)1(22>>++-a x a ax

思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。

二、含参数的分式不等式的解法：

例1：解关于x 的不等式02

12>---x x ax 分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax －1中的a 进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。

解：原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax

当a =0时，原不等式等价于0)1)(2(<+-x x

解得21<<-x ，此时原不等式得解集为{x|21<<-x }；

当a >0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x a

x , 则：当,2

1时=a 原不等式的解集为{}21|≠->x x x 且； 当0<,21时

⎬⎫⎩⎨⎧<<->211|x a x x 或；