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中位线定理中位线定理是指一个三角形的三条中线交于一点且这个点离三角形三个顶点的距离相等，这个点就是三角形的重心。
这个定理是三角形的基本定理之一，能够应用到许多数学问题中。
中位线的定义是连接三角形一边的中点和对面顶点的线段，一个三角形有三条中线。
所有三角形的中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
三角形的重心在中位线上的比例是2:1，即重心距离每条中位线的距离为中点距离这条中线的距离的两倍。
中位线定理的证明可以通过相似三角形和平行四边形的性质来得到。
设ABC是一个三角形，D、E和F分别是AB、BC和AC上的中点，G是三条中线的交点。
我们需要证明GD和EF平行且相等。
首先，我们知道DG和GE分别是DC和EB的一半，因为D和E是AB的中点，也就是说DE是AB的一半。
同样地，CG和GF分别是BE和AF的一半，因为F和B是AC的中点，所以FB的长度等于AC的一半，也就是GF和CG的长度。
因为DG和CG交于点G，所以DGCG是一个平行四边形。
同样地，GE和GF交于点G，所以GEFG也是一个平行四边形。
DG和GE的长度相等，CG和GF的长度也相等。
由平行四边形的性质可以得到，GD和EF平行且相等。
三角形的重心还有一些特殊的性质，比如它是三角形内心、外心和垂心的平均点，也是三条中线所构成的小三角形的面积最小的点。
这些性质可以通过三角形的其他定理和性质来证明。
在实际应用中，中位线定理可以用于计算三角形的重心的位置。
如果已知三角形的三个顶点的坐标，可以用中点公式计算中点的坐标，然后用重心的性质计算重心的坐标。
这对于计算三角形的重量、质心、离心率等问题非常有用。
此外，中位线定理还有一些扩展，比如垂径定理、角平分线定理、内心坐标公式等。
这些扩展定理都与三角形相关，可以用于解决各种数学问题。
四边形的中位线定理
四边形中线定理和性质：不是所有的四边形都有中位线的，有中位线的四边形：梯形，平行四边形，菱形，正方形。
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）。
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）。
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补（简述为“平行四边形的邻角互补”）。
三角形中位线的性质和判定定理如下：
1、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、判定定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
性质：若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。
3、三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的四分之一，三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一。
注意：三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段。
中位线的定理
中位线定理又称为中位定理，是指一条直线将一个图形分成两边，其中左边的面积与右边面积相等。
它可应用到多边形，圆，椭圆等图形上，它是由荷兰数学家乔治·杰斐森（George-Jouffroy）于1860年提出，现在它在数学的图形学中运用较为广泛。
中位线定理可以用如下方法来证明：
（1）绘制一个带有任意多个边的多边形，用线段l连接该多边形runing顶点，于此同时将其分为两部分，所构成的新多边形称为原多边形的子多边形。
（2）分别计算子多边形左边和右边的面积，然后将它们相加再各自除以2，余下的面积就是原多边形的1/2面积。
（3）将l line向右移动，然后重复上述步骤，得出的结论是不论移动的位置如何，左边的面积仍然等于右边的面积，从而得出中位线定理——原多边形的1/2面积等同于所有可能的两个子多边形的1/2面积之和。
中位线定理的最重要的应用之一就是计算多边形的面积，通过运用中位线定理可以把多边形的面积分成多个面积相等的子多边形，然后再求出每个小子多边形的面积，最后再把它们累加起来，就可以求出原多边形的面积了。
因此，大多数多边形的面积计算都是建立在中位线定理之上的。
此外，由于多边形可以把一个图形分割成两部分，因此中位线定理还可以用来求出扇形和圆周的面积。
我们可以把一个扇形或圆周等分成相等的子扇形或者子圆周，再用中位线定理求出每个小子扇形或子圆周的面积，最后累加起来，就可以得出扇形或圆周的面积了。
总之，中位线定理是数学中一个很好用的定理，其应用非常广泛，既可用于多边形面积计算，也可用于求出扇形或圆周的面积。
虽然这一定理已经存在了150多年，但是它仍然对现在的数学学习、研究和应用都有着重要的意义。
中位线定理中位线是在三角形或梯形中一条特殊的线段，与其所在的三角形或梯形有着特殊的关系。
用途：平面几何线段间的关系。
一、中位线概念：(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
注意：三角形有三条中位线。
(2)梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：（1）梯形中位线不是连接两底中点，是连接两腰中点。
（2）三角形有三条中位线，而梯形的中位线是唯一的。
二、定理介绍：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
推论1：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
推论2：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
推论3：梯形的面积等于它的中位线和高的积。
三、定理证明：1）三角形中位线定理证明已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点。
求证DE 平行于BC 且等于2BC .2)梯形中位线证明已知梯形ABCD ，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，连接EF ，求证：EF 平行两底且等于两底和的一半。
思考：试证明推论1、2/3四、定理应用：1）三角形中位线定理在初中几何中的应用：三角形中位线有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系（2）等于第三边的一半，这是数量关系。
就第一个特性而言，可以得到三角形中位线定理的逆定理（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）。
我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，一下举例说明它的具体应用。
一）证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F分别为AB、CD中点，点O为AC，BD的交点，M、N为EF与BD，AC的交点。
求证：OM=ON.例2、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求证：∠AEF=∠DFE.2、证明线段的倍分关系以及相等关系例3、如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接EF ，交BD 于点M 点。
证明三角形中位线判定定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一。
下面小编给大家带来证明三角形中位线判定方法，希望能帮助到大家!证明三角形中位线判定定理证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE 平行于BC且等于BC/2过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)∴△ADE≌△CGE (A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
证明三角形中位线判定定义在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
2DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
证明：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
2D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E'，连接DE'，则有AD=BD，AE'=CE'∴DE'是三角形ABC的中位线∴DE'∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE'重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!证明三角形中位线判定性质延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2∴DE//BC且DE=BC/2三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
三角形的中位线的定义及定理
三角形的中位线是连接三角形的一个顶点与对应边的中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
中位线的定理是指在一个三角形中，三条中位线相交于同一点，且这个点离每条中位线所在顶点的距离是其长度的两倍。
换句话说，三角形的三条中位线的交点是由顶点到对边中点的距离的两倍。
这个特殊的点被称为三角形的重心，也是三角形的重心在欧几里得几何学中的重要属性之一。
中位线的定理可以用于解决与三角形有关的问题，例如确定重心的坐标，计算中位线的长度，以及证明与中位线相关的几何性质。
教材单元分析教材人教版单元内容三角形中位线定理课本页码第页至第页年级初二教师1.本单元教材的作用与地位：三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
2.教学指导思想：本课以探究活动层层深入，环环紧扣，让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。
3.教学目标：1）知识目标：理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。
2）能力目标：通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
3）情感目标：让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
4.教材的重点、难点与关键：重点：理解并应用三角形中位线定理。
难点：三角形中位线定理的运用。
5.教学方法和手段的设计：采用了“引导探究”式的教学模式，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。
6.关于思想教育、行为习惯的培养及学习方法指导的设计：本节课在实验操作的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，让学生掌握实验与观察、分析与比较、讨论与释疑、概括与归纳、巩固与提高等科学的学习方法；学会举一反三，灵活转换的学习方法，学会运用化归思想去解决问题。
7.课时安排：2课时8.组成部分及辅助材料：人教版的初中数学教材、练习册9.其他：导师评议：符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。
注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。
精品教案设计表在导师指导下编写一节课的教案，并在备课组或教研组活动中说课。
执教教师授课班初二课型课题三角形中级位线定理教材人教版时间第周第次课时人数学情分析学习材料分析：（学习材料的特点、先前教学经验反思等）在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用。
另外，课本在三角形中位线定理的推理过程中应用了同一法思想，这是中学教材第一次出现同一法，要求学生了解这种思想，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
学生情况分析：（学生认知基础、学习能力、习惯、学习兴趣及差异状况等）学生普遍学习基础较好，学习能力较高，较好的学习习惯，较强的学习兴趣，相当一部分学生已经在教师讲解新课前进行了预习，对一次函数有了初步的了解，因此教师在讲课时一要多注意学习的细节和新旧知识的联系；二要进行知识的延伸和扩充，向中考题型进行有意识的靠近。
教学目标2）知识目标：理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。
2）能力目标：通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
3）情感目标：让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
教学重难点重点：理解并应用三角形中位线定理。
难点：三角形中位线定理的运用。
教学过程教学内容教师活动学生活动过程目标导入（准备部分）（一）设置情景，导入新课大家能将这个三角形分为四个全等的三角形吗？提出问题思考新授（基本部分）（二）引导探究，获得新知（1）根据同学们对这个问题的解决，我们提出了三角形中位线定义：连接三角形两边的中点的线段就叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理①如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，那么DE与BC之间存在什么样的数量关系呢②学生提出猜想猜想：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
③证明：△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴21==ACAEABAD．∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴∠ADE＝∠ABC，21=BCDE（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），提出中位线定理证明理解记忆大胆猜想理解三角形中位线的定义。
通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
图24.4.1∴ DE ∥BC 且BC DE 21④思考：本题还有其它的解法吗？证明：可延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接CF△ABC 中， E 是AC 的中点，CE=AE∵∠CEF ＝∠AED EF ＝DE∴△CEF ∽△AED ∴CF=AD ∠ECF ＝∠A∴ AD ∥CF ∵点D 是AB 的中点∴AD=BD ∴CF=BD ∵AD ∥CF 即BD ∥CF∴四边形BCFD 为平行四边形 ∴DF ＝BC DF ∥BC∴DE ∥BC ，DE ＝21BC (3)师生总结定理三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
（三）指导应用，鼓励创新（1）例题讲解提出问题证明积极思考掌握三角形中位线定理及其应用。
例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知：如图所示，在△ABC 中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。
求证：AE、DF互相平分。
分析：由图形知道AE、DF 是两条相交的线段，要证AE、DF 互相平分，我们只需证明四边形ADEF为平行四边形即可。
要证四边形ADEF为平行四边形，则要证明DE∥AC，EF∥AB。
在由三角形中位线定理可以证明DE∥AC，EF ∥AB。
所以结论成立。
证明连结DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC∴ DE∥AC同理EF∥AB∴四边形ADEF是平行四边形因此AE、DF互相平分。
例2 已知：在四边形ABCD 中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析：要证四边形EFGH是平行四边形，则要证明思路一：连结AC，证：EF＝HG , EF∥HG思路二：连结BD，证：EH ＝F G , EH∥FG思路三::连结AC、BD证: EF ∥HG ,EH∥FG思路四：连结AC、BD证：EF＝HG ,EH＝F G 例题讲解归纳总结掌握三角形中位线定理及其应用。
通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
证明：连结AC 、BD在△ABC 中，,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.所以 EF 为△ABC 的中位线由中位线定理有：EF ∥AC EF ＝21A C 同理可证：HG ∥AC HG ＝21AC 所以 EF ＝HG , EF ∥HG故四边形EFGH 是平行四边形（2）变式训练若上例中的四边形换成等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？ 从中可以总结出什么结论吗？（3）学生练习 1.已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，AE=EB,求证：OE ∥BC 。
2.已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．巩固练习通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
总结（1）本节课基本内容为：（2）从实验操作中发现添加辅助线的方法．（3）转化思想的应用——将归纳总结剪拼三角形三角形中 位线定义 三角形中 位线定理三角形问题转化为平行四边形问题。
导师评议：符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。
注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。
教学设计学校年级班级执教时间课题三角形中位线定理执教教师学科数学目标与要求3）知识目标：理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。
2）能力目标：通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。
3）情感目标：让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
设计要点在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。
教学过程的组织与实施让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。
自我评价本节课的第一个亮点就是本课的探究活动层层深入，环环紧扣，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。
比如：探究活动中，让学生用桌上三角形，剪刀，直尺剪拼三角形让同学们发现四个小三角形全等。
不仅让同学知道了三角形中位线的作用，同时又让课堂气氛十分活跃，有利于同学们的学习。
第二个亮点是老师让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同。
更有利于同学们学习。
导师评价符合大纲，紧扣教材，体现基础知识教学、基本技能训练、能力培养等方面目标，切合学生实际，要求适度，针对性强。
注重启发和引导，教学过程设计面向全体学生，因材施教，基础性训练与拓展性训练有机结合。
说课提纲姓名说课题目三角形中位线定理本课指导思想本课以探究活动层层深入，环环紧扣，让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。
教材分析三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。
