(完整版)八年级数学中位线定理

6.4 三角形的中位线教学目标【知识与能力】（1）理解三角形中位线的概念。

（2）会证明三角形的中位线定理。

（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题。

【过程与方法】进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。

体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。

【情感态度价值观】通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。

教学重难点【教学重点】理解并应用三角形中位线定理。

【教学难点】三角形中位线定理的证明和运用。

课前准备无教学过程本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课 概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理 巩固练习，强化新知 小结归纳，作业布置（一）设景激趣，导入新课为了测量广场上的小假山外围圆形的宽(不能直接测量) 在平地上选一点A ，再分别找出线段AB 、AC 的中点D 、E ，若测出DE 的长，就可以求出宽BC 。

你知道这是为什么吗？设计意图：问题是一切学习探究的先父，教材中创设的问题情境难度较大，学生不容易突破。

这里创设了一个现实情景，在这里教师不急于让学生找出答案，而是让学生带着问题去学习。

为了让学生主动的获得新知，先让学生动手做以下一个环节的动手操作活动。

（二） 概念学习（引导探究，获得新知） BAC DE1、动手实践探索请您做一做（让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板）：1、找出三边的中点2、连接6点中的任意两点3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的设计意图：在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。

最终给出三角形中位线的定义。

也引出了本节课的课题：三角形的中位线。

这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线2、三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线.如图，DE 、EF 、DF 是三角形的3条中位线。

三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点进阶：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线例1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC 上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．例2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4例3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．举一反三：【变式】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．例4、（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1类型二、中点四边形例5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．【巩固练习】 一.选择题1.已知△ABC 的各边长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，则连结各边中点的三角形的周长为（ ） A ．2cm B ．7cm C ．5cm D ．6cm2. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．403. 在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm6. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG的周长是（）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E、F分别是口ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是 .9. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.10.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD⊥AC 于D ．下列三个结论： ①∠BOC＝90°＋12∠A； ②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △； ③EF 不能成为△ABC 的中位线． 其中正确的结论是_______.三.解答题13.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点． 求证：MN 和PQ 互相平分．14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．。

青岛版（新）数学八年级下册 6.4 三角形的中位线定理引言三角形是初中数学中重要的图形之一，研究三角形的性质和定理有助于我们理解和解决与三角形相关的问题。

在八年级下册数学教材中，我们学习了三角形的中位线定理。

本文将详细介绍这个定理的含义、证明以及应用。

三角形的中位线定理在讨论中位线定理之前，我们先了解一下什么是中位线。

对于任意三角形ABC，连接顶点A与边BC的中点D，连接顶点B与边AC的中点E，连接顶点C与边AB的中点F。

则线段DE称为三角形ABC的一条中位线。

定理1：一个三角形的三条中位线相交于一个点，且这个点到三个顶点的距离相等，且为三条中位线的长度的二分之一。

下面通过证明来理解这个定理。

定理的证明设AD为三角形ABC的中位线，交与BC于D，我们需要证明BD：DC = 1:1，并且D为中位线的中点。

步骤1：证明BD=DC由中位线的定义可知，AD是BC的中点，即AD = DC。

同理，可以得到BD = AD。

由此可知BD = DC，即BD：DC = 1:1。

步骤2：证明D为中位线的中点为了证明D是中位线的中点，我们需要证明D到A的距离等于中位线DE的长度的一半。

根据平行线的性质，我们可以得到两个平行线之间的距离是一定的。

因此，我们可以得到直线BC与直线EF平行。

由于DE是三角形ABC的中位线，因此DE与BC平行。

根据平行线的性质，DE 与BC之间的距离等于AE与BC之间的距离。

又因为AE是BC的中点，所以AE与BC的距离等于半个BC的长度。

综上所述，D到A的距离等于DE的长度的一半。

同理，可以得到D到B、D到C的距离也等于DE的长度的一半。

这样，我们可以得出结论：三角形ABC的三条中位线相交于一个点D，且这个点D到三个顶点的距离相等，且为三条中位线的长度的二分之一。

三角形中位线的应用中位线定理不仅仅是一个重要的三角形性质，还可以应用于解决与三角形相关的问题。

应用1：确定三角形重心根据中位线定理，三角形的三条中位线交于一个点，这个点被称为三角形的重心。