三角形中位线定理

三角形中位线定理的推论
1. 三条中位线交于一点，称为重心。

2. 重心所在的中位线距离对应顶点的距离的比例为2：1。

3. 中位线长度为底边长度的一半。

4. 重心到对边中点的距离为一半对边长。

5. 以三角形的重心为圆心，以重心到顶点的距离为半径作圆，可圆上的任意点对三角形三个顶点的距离相等。

6. 以两个中点为圆心，中位线长度为半径作圆，则两圆交点与对边中点重合。

7. 以重心为圆心，以重心到任意顶点为半径作圆，圆心角等于顶点所对的角。

8. 以中线为直径作圆，则圆心在三角形外接圆上。

三角形中位线定理的证明方法三角形中位线定理是平面几何中的一个基本定理，它描述了一个三角形中位线的性质。

中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

三角形的三条中位线交于一点，这个点称为三角形的重心。

中位线定理的表述如下：在任何一个三角形ABC中，连接每个顶点与对边中点的线段，这三条线段的交点称为三角形的重心G。

重心G将每条中位线分成两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。

下面我们来证明三角形中位线定理。

证明：设AD、BE和CF分别是三角形ABC的三条中位线，交于点G。

我们需要证明，|AD|=2|DG|，|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。

首先我们考虑|AD|=2|DG|这个关系。

延长DG到点X，使得GX=GD。

由于DG是中点D和点G之间的线段，所以延长DG得到的GX是中点D和点G之间的中点。

我们来考虑三角形BGC。

由中位线的性质可知，点X是BC的中点，因此|GX|是|BC|的一半，即|GX|=|BC|/2。

同理，由于|DG|=|GX|，所以|DG|=|BC|/2。

将这个结果代入三角形ADC中，我们可以得到|AD|=|DG|+|GX|=（|BC|/2）+（|BC|/2）=|BC|，即|AD|=|BC|。

接下来我们证明|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。

我们延长EG和FG分别到点Y和Z，使得EY=EG和FZ=FG。

同样地，我们可以证明|BE|=|AC|和|CF|=|AB|。

让我们考虑三角形ABC中的高。

由于三角形ABC中的三条高交于一点（也就是垂心），我们可以发现BZYC是一个矩形。

这意味着|ZY|=|BC|，也就是说|EY|=|BC|，所以|BE|=|AC|。

同理，在三角形ABC中的三条高交于一点（垂心）的性质使得CYBX是一个平行四边形。

因此，|XZ|=|CB|，即|FZ|=|CB|，所以|CF|=|AB|。

三角形中的中位线定理要求证明|AD|=2|DG|，|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。

三角形中位线证明6种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多特性和性质。

三角形中位线是三角形内部一条特殊的线段，连接三角形两边中点的直线称为三角形中位线。

本文将介绍10条关于三角形中位线的证明方法，并对每一种方法进行详细阐述。

1. 三角形中位线长相等证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F，连接BE并延长至D，使得AD与CF相交于点G。

则有：CE=EA (连接AC的中点E)BF=FC (连接BC的中点F)EF=EF （共同边）在三角形BEF和CEF中，有EF、BE、FC互相平行，并按比例划分。

根据平行线定理，有BE/EF=BG/GF和FC/EF=CG/GF。

由此可得：BE/FC=BG/CG2BE/2FC=2BG/2CGAB/AC=BG/CG同理可证出，AC/BC=AH/HB和BC/AB=CI/IA。

即中位线长相等。

2. 三角形中位线堆垛证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。

则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。

由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。

同理可证出BE=CF，因此中位线堆垛。

3. 三角形中位线垂直证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。

则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。

由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。

连接EF并绘制ED⊥EF和FG⊥EF，分别交于点D和G。

则有：ED=GFEB=FC在三角形EBD和FCG中，有ED=FG，∠EDB=∠FGC，∠EBD=∠FCG。

由此可得：三角形EBD与三角形FCG全等（HL）BD=CG。

同理可证出AD=BG和AC=2DE，BC=2FG。

中位线垂直。

4. 三角形中位线和周长的关系证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。

证明三角形中位线判定定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一。

下面小编给大家带来证明三角形中位线判定方法，希望能帮助到大家!证明三角形中位线判定定理证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE 平行于BC且等于BC/2过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)∴△ADE≌△CGE (A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

证明三角形中位线判定定义在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

2DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。

证明：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。

在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

2D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E'，连接DE'，则有AD=BD，AE'=CE'∴DE'是三角形ABC的中位线∴DE'∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE'重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!证明三角形中位线判定性质延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2∴DE//BC且DE=BC/2三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。

证明三角形中位线定理向量的方法
1什么是位线定理
位线定理（又称三角形内心定理）是一种重要的三角数学定理。

它指出在一个三角形内，三条内角平分线的交点（又称三角形的内心），三条边的延长线的交点都在这三条内角平分线上，而且他们之间的比例是一个常量。

2位线定理向量的表示
位线定理可以用向量表示：若三角形ABC三个顶点处对应的位虚都是β1，β2，β3，则有：
β1A+β2B+β3C=O（该式中A,B,C是相应三个顶点处的向量）。

其中，位虚都是一个常量β。

3向量的诠释
上述式子可以进一步解释为，三个顶点处的向量分别表示三条边的朝向，按照他们的相应长度乘以对应位虚β1,β2,β3，然后把这三条边上的相乘结果相加，结果应该等于零向量。

4发展历程
位线定理由法国数学家瓦尔登提出于1822年，最早被在《朗贝尔几何集》中提出，历久不衰，后来由德国数学家贝克尔博士于1890年重新提出，并用维度假定的定理来证明向量的表示方法。

三角形中位线定理：
三角形中位线定理是指一个三角形的三条中位线交于一点，且该点距离三个顶点的距离相等。

具体来说，若在三角形ABC中，D、E和F分别是AB、BC和CA 的中点，则它们交于一点G，且AG=BG=CG。

中位线定理是三角形中的基本定理之一，它可以用于解决许多与三角形有关的问题。

例如，可以利用中位线定理证明三角形内任意一条线段的中点与三角形的三个顶点连线的交点共线；也可以利用中位线定理证明三角形的面积公式S=（1/2）×底边×高。

中位线定理还有一些其他有趣的应用，例如可以用它来构造一个等面积的平行四边形，或者用它来解决一些几何推理问题。

总之，中位线定理是三角形中的一个重要工具，它能够帮助我们更好地理解和解决与三角形有关的各种问题。

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三角形中位线证明6种方法以下是6种证明三角形中位线的方法：方法1：套用中线定理根据中线定理，三角形中位线所构成的三角形，面积是原来三角形的1/4，因此中位线的长度为(1/2)其所对应的边长。

因此，对于三角形ABC，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。

我们可以用勾股定理证明这些相等关系，从而证明三角形的中位线。

方法2：利用向量根据向量的性质，若d、e、f分别为v1、v2、v3的中点，则三角形DEF的质心G=v1+v2+v3。

因此，若d、e、f分别为向量a、b、c的中点，则三角形DEF的质心为G=(a+b+c)/3。

因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。

可以使用向量的加减和数量积证明这些相等关系。

方法3：利用勾股定理根据勾股定理，若a、b、c分别为三角形ABC的边长，则a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。

因此，若D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则DE=1/2AC=sqrt[(b^2+c^2)/4]-bc*cosA/2。

同样地，EF=1/2AB=sqrt[(c^2+a^2)/4]-ca*cosB/2，FD=1/2BC=sqrt[(a^2+b^2)/4]-ab*cosC/2。

根据余弦定理，可以证明这些相等关系。

方法4：利用相似三角形根据相似三角形的性质，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则三角形DEF与三角形ABC相似。

因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。

可以使用相似三角形的性质证明这些相等关系。

方法5：利用三角形面积公式根据三角形面积公式，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则S(DEF)=1/4S(ABC)，其中S表示面积。

因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。

可以使用三角形面积公式证明这些相等关系。

方法6：利用垂直平分线根据垂直平分线的性质，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则AD、BE、CF相互垂直。

八年级数学-三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

运用这个定理，可以证明线与线的平行关系；证明线段之间的相等或倍分关系；还可将分散的已知条件集中起来发挥作用。

例1：如图P3-3，已知△ABC中，D是AB中点，O是CD中点，BO延长后交AC于E．证明：取AE中点F，连结DF．∵D是AB中点，∵O是CD中点，例2：已知：如图P3-4，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB.DC的中点，延长AD.MN 交于E，延长BC.MN交于F．求证：∠AEM=∠BFM．证明：连BD，取中点O，连ON、OM，在△ABD与△BDC中，M、O为AB.BD边中点；N、O为DB.DC 边中点．∵AD=BC．∴OM＝ON．∴∠1＝∠2．而∠1=∠BFM，∠2=∠AEM，∴∠AEM＝∠BFM．例3：选择题：(1)一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 [ ](A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)无法确定解：(C)．设三个内角的度数分别为k、2k、3k，24根据三角形内角和定理，有k+2k+3k＝180°解得 k=30°．∴三角形的三个内角分别为30°、60°、90°．故选(C)．(2)如果等腰三角形的顶角为40°，那么其中一个底角的度数为[ ](A)50° (B)70°(C)100° (D)140°解：(B)．(3)钝角三角形的三条高 [ ](A)相交于三角形内部的一点(B)相交于大边上的一点(C)相交于三角形外部的一点(D)不能相交于一点解：(C)．(4)在△ABC中，AB＞BC＞CA，那么在①∠C=60°，②∠B=60°，③∠A=60°中，可能成立的是 [ ](A)③ (B)②(C)②③ (D) ①③解：(A)．在△ABC中，∵ AB＞BC＞CA，∴∠C＞∠A＞∠B．若∠C=60°，则∠A与∠B的均小于60°，这与三角形内角和等于180°矛盾．若∠B=60°，则∠C和∠A均大于60°，这也与三角形内角和等于180°矛盾．∴∠A=60°，应选(A)．(5)顺次连结周长为a的三角形三边中点所得三角形的周长为 [ ]解：(D)．(6)在△ABC中，∠B.∠C的外角平分线相交于D，那么∠BDC等于 [ ]解：(C)．如图P3-5，∵∠EBC＋∠FCB=(180°-∠ABC)＋(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC＋∠ACB)．又∵∠A=180°-(∠ABC＋∠ACB)，∴∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A．∴∠EBC＋∠FCB＝360°-180°+∠A=180°+∠A．∵BD.CD分别平分∠EBC.∠FCB，∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)(7)下列命题中的假命题是 [ ]（A)有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形（B)等边三角形是等腰三角形（C）等腰直角三角形中，斜边是任一直角边2倍。

三角形中位线定理的逆定理的证明
三角形中位线定理是指：连接三角形两个中点的线段，长度相等且平行于第三边。

引理：三角形中，如果有两条边和它们的中线长度相等，则这两条边平行。

证明：我们假设三角形ABC中AB和AC的中线分别为DE和FG，且DE=FG=BE=CF，则我们需要证明AB∥FG和AC∥DE。

首先，我们可以得到一个结论：因为DE和FG是AD和AG的中线，所以AD=AG=2DE=2FG。

同样地，BD=CE=DE，BF=AF-AB/2=AG-AC/2=2FG-AC/2=FG-AC/2。

因此，有：
BD/CE=DE/DE=1，BF/AF=(FG-AC/2)/(AG-AB/2).
因此，AB∥FG。

同样地，我们可以通过类似的证明得到AC∥DE。

因此，引理得证。

因此，BF=BG+CE。

又因为BE∥CF，所以BF∥CG。

因此，BF=CG。

将此式代入BF=BG+CE 中，得到：
CG=BG+CE=EF.。

3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。

本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。

一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。

则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。

证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。

$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。

由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。

因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。

二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。

1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。

设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。

在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。

首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。