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几何计数（二）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数【例 1】 如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得教学目标例题精讲知识要点到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
华杯赛知识点模块考点分析（计数问题）华杯赛考试试题难度在几大杯赛中是比较高的，不过我们仔细研究每年的试题，都会发现常见的知识点模块，我们针对性的做复习巩固，相信会取得不错的成绩。
本套试题针对杯赛考试的知识点模块考点，进行分析解答。
以供参考。
本篇为计数问题模块考点分析。
计数模块：一、计数模块命题特点分析结论1、计数在近两年的出题频率降低_年及以前的华杯赛试题中，计数在每张试卷中大概出现两题左右，所占分值比例较高，但从_、_两年试题来看，计数的题目明显减少，数论中的整数拆分题目数量开始增多。
但为了避免杯赛出现知识点”大年”和”小年”的状况，也避免今年回归到增加计数类型的题目，我们还是把计数中的华杯常考点需要进行梳理。
2、几何计数为常考点【第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C第_题】如图所示，图中有__________不同的三角形。
【_年第十二届华杯赛六年级初赛_分第9题】如图，有一个边长为1的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了________个三角形. 去掉的所有三角形的边长之和是________.分析：关于几何计数，很好的综合考查了学生对几何图形的认知以及分类梳理的能力，而且这类题目出错的机率非常大，所以在处理该类问题的时候，建议学生可以放在考试的最后，所有题目处理完了再来做这类题目，免得花了太多时间最后因为一小点地方而得到了错误答案。
几何计数的做题技巧：（1）、从最单一的小图形出发开始计数（2）、按照图形组合需要的个数来进行分类（3）、最容易设置陷阱的地方有两点：直接有格点连接构成，图中没有现成的拼接，斜着放的图形。
3、对于枚举以及简单加乘要求高【_年第_届华杯赛初赛】按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5.那么，可供每支球队选择的号码共（）个.【_年第_届华杯赛初赛】已知图是一个轴对称图形，若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称图形共有（）个。
成都华杯赛课程讲义（B ）主要内容：计数、几何、数论【例1】(2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛)按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5，那么，可供每支球队选择的号码共( )个．【分析】 根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，其中一位数可以为0～9，有10种选择；两位数的十位可以为1～5，个位可以为0～5，根据乘法原理，两位数号码有5630⨯=种选择．所以可供选择的号码共有103040+=种．【巩固】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6：2430，那么从5时到7时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？【分析】 设DE A:BC 是满足题意的时刻，有A 为6，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26A 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27A 种选法，所以共有26A ×27A =1260种选法；A 为5，B 、D 应从0，1，2，3，4，这5个数字中选择两个不同的数字，所以有25A 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27A 种选法，所以共有25A ×27A =840种选法，因此一共有12608402100+=个【例2】(2008年第十三届“华罗庚金杯赛”初赛)已知图中是一个轴对称图形．若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有( )个．(A)9 (B)8 (C)7 (D)6【分析】 原图是一个轴对称图形，且对称轴只有1条，那么去掉图中的某些黑色图形后，剩下的轴对称图形的对称轴与原图的相同．阴影5部分中去掉1个，有1种情况；阴影5部分去掉2个，有2种情况；阴影5部分去掉3个，有2种情况；阴影5部分中去掉4个，有1种情况；阴影5部分中去掉5个，有1种情况；所以共7种情况，答案为C ．EDA BC 计数另解：如右图，将阴影5部分标上字母，则A 和B 关于对称轴对称，C 部分单独关于对称轴对称，D 和E 关于对称轴对称，所以，如果要去掉某些黑色部分图形，则A 和B 必须同时去掉或保留，C 既可去掉也可保留，D 和E 必须同时去掉或保留，对这3组每组都有去掉或保留2种选择，共有2228⨯⨯=种选择，但是其中有种情况5部分都没有去掉的情况，这样情况应予排除，所以符合条件的情况共有817-=种．【例3】在图中15⨯的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的5个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有 种不同的填法．【分析】 首先看填入1、2、3、4、5这五个数的情况．由于黑格里的数至少比两个数大，所以至少为3；而白格里的数不能是最大的，所以5必须在黑格里．那么这五个数填在黑格里的数是5和4时，不同的填法有2!3!12⨯=(种)；填在黑格里的数是5和3时，4只能在5的一侧，不同的填法有224⨯=(种)．所以，共有不同填法12416+=(种)．而要将填入的五个数选出来，一共有58C 56=种，然后按照分析1～5这5个数的方法对应着数的相对大小来分析选出来的五个数，也各有16种填法，所以一共有：5616896⨯=种填法．【巩固】在图23-5的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23-6就是一种填法。
华杯赛初赛备考学生讲义（小学中年级组）第一节几何精讲考点概述几何考点一、基本面积公式；（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、扇形）二、割补法计算面积；三、等积变换；四、周长的计算；（基本公式、平移法、标向法）五、角度的计算；（多边形内角和、外角和、角度的综合计算）六、勾股定理与弦图；七、立体几何认知．（展开图、三视图）真题精讲例题1. 如右图，一张长方形的纸片，长20 厘米，宽16 厘米．如果从这张纸上剪下一个长10 厘米，宽5 厘米的小长方形，而且至少有一条边在原长方形的边上，那么剩下纸片的周长最大是（）厘米（2010 年15 届）（A）72 （B）82 （C）92 （D）102例题2. 九个同样的直角三角形卡片，拼成了如右图所示的平面图形．这种三角形卡片中的两个锐角较大的一个是度．（2013 年18 届）练习1. 北京时间16 时，小龙从镜子里看到挂在身后墙上的4 个钟表（如下图），其中最接近16 时的是（）．（2012 年17 届）（A）（B）（C）（D）练习2. 把一块长90 厘米，宽42 厘米的长方形纸板恰无剩余地剪成边长都是整数厘米、面积都相等的小正方形纸片，最少能剪出块，这种剪法剪成的所有正方形纸片的周长之和是厘米．（2012 年17 届）练习3. 如右图，一个正方形被分成了4 个相同的长方形，每个长方形的周长都是20 厘米．则这个正方形的面积是（）平方厘米．（2013 年18 届）练习4. 如下图，将长度为9 的线段AB 九等分，那么图中所有线段的长度的总和是．（2013 年18 届）例题3. 现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多4 厘米，宽比正方形的边长少2 厘米，那么长比正方形的边长多（）厘米．（2014 年19 届）（A）2（B）8（C）12（D）4例题4. 右图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（）（A）56 （B）44 （C）32 （D）78（2014 年19 届）练习5. 如图1 所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD．取AB 的中点M 和BC 的中点N，减掉△MBN 得五边形AMNCD．则将折叠的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是．（2006 年11 届）D C D CN NA MB A MA DG F 练习6. 正方形ABCD 与正方形CEFG 水平放置组成如图所示的组合图形，已知该组合图形的周长是56 厘米，DG 长2 厘米，那么，图中阴影三角形的面积是平方厘米． B C E1 A B C2 D练习7. 如图，在一个正方体的表面上写着 1 至 6 这 6 个自然数，并且 13对着 4，2 对着 5，3 对着 6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面12展开图如下右图所示．如果只知道 1 和 2 所在的面，那么 6 写在字母的位置上．练习8. 如图一个小正方形和 4 个周长为 32 cm 的相同的长方形拼成一个大正方形，那么大正方形的面积是cm 2 ．第二节应用题精讲考点概述应用题考点一、常考应用题类型1. 画线段图帮助解题2. 列方程解应用题二、行程问题：1. 行程问题常见类型（相遇问题，追及问题，火车问题，流水行船问题，环形路线问题，多次相遇与追及问题等）2. 画线段图（形象直观地呈现题意，便于对题目条件进行分解与组合，挖掘隐含条件）3. 方程与比例解行程问题真题精讲例1．小虎在19×19 的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45 枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（）枚棋子．（2012 年17 届）例2．幼儿园的老师给班里的小朋友送来55 个苹果，114 块饼干, 83 块巧克力．每样都平均分发完毕后，还剩3 个苹果，10 块饼干，5 块巧克力．这个班最多有位小朋友．（2013 年18 届）练习1．两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值（）．（2014 年19 届）（A）83 （B）99 （C）96 （D）98练习2．三堆小球共有2012 颗，如果从每堆取走相同数目的小球以后，第二堆还剩下17 颗小球，并且第一堆剩下的小球数是第三堆剩下的2 倍，那么第三堆原有颗小球．（2012 年17 届）例3．张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼20 分钟，而其余日期每日都跳绳20 分钟．某月他总共跑步5 小时，那么这个月的第10 天是（）．（2013 年18 届）（A）周日（B）周六（C）周二（D）周一例4．新生开学后去远郊步行拉练，到达A 地时比原计划时间10 点10 分晚了6 分钟，到达C 地时比原计划时间13 点10 分早了6 分钟，A、C 之间恰有一点B 是按照原计划时间到达的，那么到达B 点的时间是（）．（2014 年19 届）（A）11 点35 分（B）12 点5 分（C）11 点40 分（D）12 点20 分练习5．体育馆正在进行乒乓球单打、双打比赛，双打比赛的运动员比单打的运动员多4 名，比赛的乒乓球台共有13 张，那么双打比赛的运动员有名．（2012 年17 届）练习6．麦当劳的某种汉堡每个10 元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡．已知东东和朋友需要买9 个汉堡，那么他们至少需要花元钱．练习7．小张早晨8 点整从甲地出发去乙地，速度是每小时60 千米．早晨9 点整小王从乙地出发去甲地．小张到达乙地后立即沿原路返回，恰好在12 点整与小王同时到达甲地．那么两人相遇时距离甲地千米．课后练习1. 魔法学校运来很多魔法球，总重量多达5 吨，一颗魔法球重4 千克，现在有10 名学员使用魔法给这些魔法球涂色，每人每6 分钟可以给5 颗魔法球涂色，那么他们涂完所有魔法球最少要用分钟．2. 四个海盗杰克、吉米、汤姆和桑吉共分280 个金币．杰克说：“我分到的金币比吉米少11 个，比汤姆多15 个，比桑吉少20 个．”那么，桑吉分到了个金币．3. 某校三年级和四年级各有两个班．三年级一班比三年级二班多4 人，四年级一班比四年级二班少5 人，三年级比四年级少17 人，那么三年级一班比四年级二班少人．4. 2010 名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与8 的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与7 的和．现在让第一个同学报1，那么最后一个同学报的数是．5. 骆驼有两种：背上只有一个驼峰的单峰骆驼和背上有两个驼峰的双峰骆驼．单峰骆驼比较高大，四肢较长，在沙漠中能走能跑；双峰骆驼四肢粗短，更适合在沙砾和雪地上行走．有一群骆驼有23 个驼峰，60 只脚，那么双峰驼有匹．6. 红星小学组织学生参加队列演练，一开始只有40 个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3 个男生，增加2 个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了．7. 甲，乙，丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8 米、10 米、6 米长的木棍，要求都按2 米的规格锯开．劳动结束后，甲、乙、丙分别锯了24、25、27 段，那么锯木棍次数最多的比次数最少的多锯次．8. 一堆糖果有50 块，小明和小亮玩游戏．小明每赢一次拿5 块糖，然后吃掉4 块，将剩下的1 块放到自己的口袋里；小亮每赢一次也拿5 块糖，然后吃掉3 块，将剩下的2 块放到自己的口袋里．游戏结束时，糖刚好被拿完，这时小亮口袋里的糖数恰好是小明口袋里的糖数的3 倍，那么两人一共吃掉了块糖．课后作业：1. 在下面的阴影三角形中，不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形．（2013 年18 届）（A）（B）（C）（D）2. 下面的表情图片中，没有对称轴的个数为（）．（A）3（B）4（C）5（D）6（2009 年14 届）3. 题目中的图是一个正方体木块的表面展开图．若在正方体的各面填上数，使得对面两数之和为7，则A、B、C 处填的数各是、、．（2004 年9 届）提示：注意相对两个面展开后的位置．C 2B 1A 44. 一块长方形的木板，长为90 厘米，宽为40 厘米，将它锯成2 块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？请画出分割线．（2004 年9 届）提示：阶梯形．5. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．（A）0 （B）2（C）3 （D）4（2014 年19 届）6. 如图，有两个小正方形和一个大正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍，阴影部分三角形面积为240，请问三个正方形的面积和是．67. 如图所示，相邻的每两条边都互相垂直，长度如图所示，则这个图形的周长为厘米．83 258. 图中的方格纸中有五个编号为1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（）．（A）1，2 （B）2，3 （C）3，4 （D）4，5（2012 年17 届）第三节数字谜、计数、组合精讲考点概述数字谜考点：1. 填竖式问题的一些方法：（1）加数相加时每进1 位，和的数字和将比加数的数字和减少9．（2）与各个数位上的数字有关的问题，往往需要多次尝试才能得到结果．2. 填横式问题：横式中的填空格和字母破译问题；熟练应用尾数分折、首位估算、分情况试算等方法；对于较复杂的题目，从约束条件较多、可能性较少的算式入手；某些横式问题，可以转化为竖式问题再求解．3. 幻方与数阵图、数独问题：掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步掌握重数的运用，填充较复杂的数阵图；利用重数计算处理数阵图中的最值问题．计数考点：1. 枚举法（分类、有序）2. 加乘原理（加法，分类；乘法，分步）组合考点：1. 各种与数字计算有关的最值问题．在枚举试算的过程中，注意寻找出大小变化的规律，并尝试分析其内在原因；学会用比较、调整的方法寻找最值情况．2. 逻辑推理：（1）一句话不是真话，就是假话．这在逻辑学中被称为排中律．（2）在应用假设法分析问题时，要考虑全面．既要考虑到所假设的条件成立的情况，还要考虑到条件不成立的情况．（3）对于条件复杂的逻辑推理问题，通常状况下都可以通过列表法分析．真题精讲例1．右图的计数器三个档上各有10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，按数位得到两个三位数，要求上面的三位数的数字不同，且是下面三位数的倍数，那么满足题意的上面的三位数是．（2012 年17 届）练习1．在右面的加法算式中，每个汉字代表一个非零数字，不同的汉字代表不同的数字．当算式成立时，贺＋新＋春＝（）．（2012 年17 届）（A）24 （B）22 （C）20 （D）18放鞭炮+ 迎龙年贺新春练习2．如图所示的两位数加法算式中，已知A +B +C +D = 22 ，则X +Y =（）．（2012 年17 届）（A）2 （B）4 （C）7 （D）13例2．甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（）种不同的围坐方法．（2014 年19 届）（A）10 （B）8 （C）12 （D）16例3．在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，右图是一示例．现在用20 根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有个单位边长的正方形．（2014 年19 届）练习3．用8 个3 和1 个0 组成的九位数有若干个，其中除以4 余1 的有（）个．（2014 年19 届）（A）5 （B）6 （C）7 （D）8例4．牧羊人用15 段每段长2 米的篱笆，一面靠墙围成一个正方形或长方形羊圈，则羊圈的最大面积是（）平方米．（2012 年17 届）（A）100 （B）108 （C）112 （D）122练习4．小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时，捡到了一条红领巾，交给了老师．老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对．他们之中只有一个人说对了，这个人是（）．（2013 年18 届）（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北练习5．平面上有四个点，任意三个点都不在一条直线上．以这四个点为端点连接六条线段，在所组成的图形中，最少可以形成（）个三角形．（2012 年17 届）（A）3 （B）4 （C）6 （D）8练习6．在10□10□10□10□10 的四个□中填入“+”、“－”、“×”、“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是（）．（2012 年17 届）（A）104 （B）109 （C）114 （D）119练习7．五个小朋友A、B、C、D 和E 参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于35．已知站在E、D、A、C 右边的选手的编号的和分别为13、31、21 和7．那么A、C、E 三名选手编号之和是．（2014 年19 届）练习8．用右图的四张含有4 个方格的纸板拼成了右图所示的图形．若在右下图的16 个方格分别填入1、3、5、7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A、B、C、D 四个方格中数的平均数是．（2014 年19 届）课后练习1. 四位数中，数码0 出现次．2. 从1,2,3,4,5,6,7 中选择若干个不同的数（所选数不计顺序），使得其中偶数之和等于奇数之和，则符合条件的选法共有种．3. 将10，15，20，30，40 和60 填入右图的圆圈中，使A、B、C 三个小三角形顶点上的3 个数的积都相等．相等的积最大为．4. 用3、5、6、18、23 这五个数组成一个四则运算式，得到的非零自然数最小是．5. 小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3 个，那么所标出的点最少有（）个．（A）12 （B）10 （C）8 （D）66. 如图，5 5的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4 3各两个，那么，表格中所有数的和是． 1 2442137. 甲、乙、丙、丁获得了学校创意大赛的前4 名（无并列），他们说：甲：“我既不是第一，也不是第二”；乙：“我的名次和丙相邻”；丙：“我既不是第二，也不是第三”；丁：“我的名次和乙相邻”．现在知道，甲、乙、丙、丁分别获得第A、B、C、D 名，并且他们都是不说慌的好学生，那么四位数ABCD ＝．8. A、B、C 三人在猜一个1～99 中的自然数．A：“它是偶数，比6 小．”B：“它比7 小，是个两位数．”C：“A 的前半句是对的，A 的后半句是错的．”如果这3 人当中有1 人两句都为真话，有1 人两句都为假话，有1 人两句话一真一假．那么，这个数是．。
历年华杯赛小高年级组（五六年级）决赛考点总结华杯赛的考试难度可谓是几大权威杯赛中是比较高的，数论、几何、组合（专题）三个专题的考察比重都接近30%，其中数论中的整除、位值原理，几何中的直线型面积，组合问题中的图形计数、最值与构造、不定方程等是考察的绝对重点。
下面具体分析下：模块一：计算计算整体不难，主要考察学生的细心程度以及计算功底，可能会在估算这块难度有点点大。
主要考察：1、分数与小数的四则运算；2、循环小数；3、裂项；4、比较与估算；5、等差数列等模块二：计数从杯赛历年试题中，很容易看出计数试题题量和难度增大。
计数问题一般知识点多，题量小，解法灵活多变。
主要考察：1、加乘原理；2、排列组合；3、几何计数；4、捆绑与插空、枚举法（分类、有序）等。
模块三：数论数论作为华杯赛的绝对重点，近几年主要考察位值原理、分解质因数以及建立在此基础上的整除问题和约倍问题，带余除法以及建立在此基础上的同余问题、余数性质等。
主要考察：1、整除；2、质数与合数；3、约数与倍数；4、余数与同余；5、奇偶性；6、位值原理；7、分数的拆分；8、分解质因数等。
模块四：几何华杯赛近几年主要注重对平面几何直线型面积和立体几何中表面积的考察，华杯赛中的几何题目具有很大的灵活性，考察的知识点综合性很强，主要考察：1、直线型面积；2、曲线型面积；3、立体几何中的表面积。
平面几何主要需要掌握的知识点为一半模型、等积变换模型、蝴蝶模型、燕尾模型、鸟头模型。
模块五：典型应用题应用题几乎是每个杯赛每次必考的知识点，自然也是是华杯赛考察的热点，主要包括：1、还原问题；2、鸡兔同笼；3、盈亏问题；4、行程问题（多次相遇、变速、走走停停）；5、经济利润问题；6、工资税收问题；7、牛吃草问题；8、工程问题；9、比例百分数问题等。
模块六：组合（杂题）组合问题在华杯赛中所占的比重可以高达到了20%左右，一般以中高难度的题目出现，考察的范围基本上是构造与论证、逻辑推理（赛事问题、数独）、最值问题、数字谜、数阵图、不定方程！。
1.计算，计算是数学学习的基础，主要考察速算与巧算，在本届华杯赛中小中组和小高组的第七题都考察了计算，其中小中组的为多次出现同样数字需进行替换计算，小高组则考察了分数裂项，分数裂项一直是考察的重点内容，大家在准备决赛的时候请注意裂项求和。
2.计数，主要是排列组合以及几何计数，小中组和小高组的第十题都考察了计数，并且以几何计数考察为重点，尤其是小高组需考虑不同情况的发生。
3.数论，小学阶段数论的主要内容是质数与合数、整除问题。
余数问题、取整以及进位制等。
4.组合数学，包括统筹规划、最优问题、奇偶性、扫雷游戏、最值问题、抽屉原理等小高组的第九题可以认为是考察了连续奇数的和的问题。
5.数字谜，主要是对四则运算的竖式进行考察。
本次考试中并未出现，但去年的决赛中出现了。
6.几何，包括面积的计算、长度计算、角度的计算，格点面积计算等等。
小中组的第三题以及第八题均考察了几何问题。
7.应用题，除了上面六个板块之外的，你都可以划分到应用题当中来，因为它包含的内容实在太多了。
像小中组和小高组都考察的钟表问题等。
建议：关注各个板块的重点例题以及变式题，重点关注几何，华杯赛难度一向较大，出题偏，所以大家在准备的时候一定要多加注意。
第二讲几何计数专题1、周长：对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算.面积：在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧2、数数图形：要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
3、轴对称和对称轴：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
4、格点问题：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L）/2与它的面积S的差永远恰好是1.在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=（N+L）/2-15、加法原理：“加法分类，类类独立”。
解题步骤：a、完成一件事分N类；b、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；c、类类相加解题方法：枚举法、标数法、列树状图法乘法原理：“前不影响后”，“乘法分步，步步相关”。
解题步骤：a、完成一件事分N个必要步骤；b、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；c、步步相乘解题方法：（1）简单的公式应用：n总=m1×m2×…×mn（2）题图结合：画图分步计算6、抽屉原理：原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
7、常见的数列规律：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。
第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律.图形的规律：主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。
真题回顾1、有一个长方形, 如果它的长和宽同时增加 6 厘米,则面积增加了 114 平方厘米. 则这个长方形的周长等于厘米。
【解析】：如下图：由于原来长方形的长×6+原来长方形的宽×6+6×6=114平方厘米，根据乘法分配律可求原来长方形的长+宽，从而求得原来长方形的周长。
(114−6×6)÷6×2,=(114−36)÷6×2=78÷6×2=13×2=26(厘米)2、如右图, 一张长方形的纸片, 长 20 厘米, 宽 16 厘米. 如果从这张纸上剪下一个长 10厘米, 宽 5 厘米的小长方形, 而且至少有一条边在原长方形的边上, 那么剩下纸片的周长最大是（）厘米（A）72 （B）82 （C）92 （D）102【解析】：答案：C3、若将一个边长为 6 厘米的正方形盖在一个三角形上, 则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的三分之二，那么这个三角形的面积是平方厘米。
【解析】：6×6×2/3÷1/2，=24×2，=48（平方厘米）4、右图中的一个长方形纸板每个角上都被切掉了一个小长方形（含正方形）, 如果被切掉的小长方形的 8对对边的长度分别是一个 1, 四个2, 两个 3 和一个 4, 那么纸板剩下部分的面积最大是多少？【解析】：原来长方形纸板的面积是：12×11=132，为定值，要使纸板剩下的部分的面积最大，则必须使切掉的四个小长方形的面积之和最小，显然应该用1和4配对，然后用两个2 和两个3分别配对，最后是两个2配对，被切掉的4个小长方形的面积分别是：4、6、6、4，这时切掉的四个小长方形的面积之和最小，于是即可求出纸板剩下的最大面积：132-（4+6+6+4）=1125、右图中的正方形的边长为 10, 则阴影部分的面积为（）（A）56 （B）44 （C）32 （D）78【解析】：如图将正方形进行如下切割，可得到：图中每个空白的三角形都与与之相邻的阴影部分三角形面积相等，即阴影部分比空白部分多出K这个长方形，并且K的面积S=3×4=12；设空白部分面积设为a，那么我们就有10×10=a+a+12。
则阴影部分面积S=a+12=56。
选A。
6、如下图, 将长度为 9 的线段AB九等分, 那么图中所有线段的长度的总和是。
【解析】：根据题干分析可得，每条小线段的长度都是1，据此先数出长度是1的小线段有9条；长度是2的小线段有8条，长度是3的小线段有7条；长度是4的小线段有6条，长度是5的小线段有5条，长度是6的小线段有4条，长度是7的小线段有3条；长度是8的小线段有2条；长度是9的线段有1条；据此再把它们的长度加起来即可得出所有线段的长度总和。
9×1+8×2+7×3+6×4+5×5+4×6+3×7+2×8+1×9=9+16+21+24+25+24+21+16+9=1657、由若干个相同的正方体木块搭成的立体, 从正面和左面看到的图形都是下图, 搭这样的立体, 最少用（）个这样的木块.（A）4 （B）5 （C）6 （D）8【解析】：这个立方体图形，从正面看是4个正方形，说明从正面看是由4个小正方体组成的，分两列：并列都是2个正方体，一共有2+2=4个小正方体；又因为从左面看也是4个正方形，说明这个图形有2行，据此要使使用的小正方体最少，则把其中一列向后平移一行，则即满足条件，故选：A。
8、在一个平面上, 用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形, 右图是一示例. 现在用 20 根单位长的小木棍摆出一个图形, 要求除第一行的方格外, 下面几行方格构成一个长方形, 那么这样的图形中最多有________个单位边长的正方形.【解析】：要摆第一个小正方形，至少要用4根小木棍：要再多摆出一个小正方形，需至少再添3根小木棍：只有当出现拐角时只需增添2根小木棍就可以多出一个小正方形：那么，要用有限根小木棍摆出含有尽可能多小正方形的图形，我们应设法形成更多这样的拐角。
第一步：先摆一个小正方形；第二步：再多摆出一个小正方形；第三步：摆出一个拐角；第四步：添两根小木棍，多摆出一个小正方形；第五步：再添3根木棍，又形成一个拐角；第六步：添两根小木棍，多摆出一个小正方形；第七步：再添3根木棍，增加了一个小正方形。
这时刚好用完20根小木棍，一共摆出了7个小正方形。
当然，摆出的图形不是唯一的，比如下面的图形也是符合条件的：9、在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形。
（A）（B）（C）（D）【解析】：答案：B10、下面图形中, 恰有 2 条对称轴的图形是（）（A）（B）（C）（D）【解析】：答案：C11、如右图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有（）种不同的走法。
【解析】：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有一条最短路线，这样有3种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2=6种不同的走法。
12、编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种?【解析】：第一个球涂1号，则另一个球可涂4∼10；有7种不同的情况；第一个球涂2号，则另一个球可涂5∼10；有6种不同的情况；第一个球涂3号，则另一个球可涂6∼10；有5种不同的情况；第一个球涂4号，则另一个球可涂7∼10；有4种不同的情况；第一个球涂5号，则另一个球可涂8∼10；有3种不同的情况；第一个球涂6号，则另一个球可涂9∼10；有2种不同的情况；第一个球涂7号，则另一个球可涂10；有1种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1=28(种)13、甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克, 甲有自己的固定座位. 如果乙和丁的座位不能相邻, 那么共有（）种不同的围坐方法.（A）10 (B)8 (C)12 (D)16【解析】：先暂且不考虑乙丁不能相邻的情况，乙丙丁戊坐四个位置的方法有4×3×2×1；乙丁相邻时，可将他们看作一人，三人排座位，同时考虑乙丁的顺序，方法有2×3×2×1.所以乙丁不相邻的围坐方法有4×3×2×1－2×3×2×1=12.故选C。
14、布袋中有 60 个彩球, 每种颜色的球都有 6 个. 蒙眼取球, 要保证取出的球中有三个同色的球, 至少要取出________个球.【解析】：60÷6=10，有10种彩球，考虑最不利情况，每种彩球都拿了2个，再拿一个就能保证取出的球中有三个同色的球，所以答案为2×10+1=21．15、有一批作业, 王老师原计划每小时批改6本. 批改了2小时后, 他决定每小时批改8本, 结果提前3小时批改完. 那么这批作业有多少本？【解析】：先考虑2小时后剩下的作业本。
36(86)9⨯÷-=（小时），剩下的作业本9小时完成。
全部作业：986284⨯+⨯=（本）16、把自然数按右图所示的方法排列, 那么排在第 10 行第5 列的数是（）（A）79 （B）87 （C）94 （D）101【解析】：从表中可知排列的规律是以左上角为顶点的一个等腰三角形，斜着的每组数的个数是1，2，3，4，5…，那么第10行的第一列就应在斜行的第14行上，求出斜行第14行的最后一个数，再减4即可．据此解答．根据以上分析知第14斜行的最后一个数是：1+2+3+…+14，=(14+1)+(13+2)+…+(8+7)=15×7=105，105−4=101.故选：D.17、第一次操作将图 a 左下角的正方形分为四个小正方形, 见图 b; 第二次操作再将图 b 左下角的小正方形分为四个更小的正方形, 见图 c; 这样继续下去, 当完成第六次操作时, 得到的图形中共有________个正方形。
【解析】：图a有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形．所以答案为5+6×4=29。
18、扑克牌的点数如图所示，最大是 13, 最小是 1. 现小明手里有3 张点数不同的扑克牌，第一张和第二张扑克牌点数和是 25, 第二张和第三张扑克牌点数和是 13, 问: 第三张扑克牌的点数是多少？【解析】：由于最大时13，最小是1，又第一张和第二张扑克牌点数和是25，25=13+12，即第一张与第二张点数一定分别是12或13．又第二张和第三张扑克牌点数和是13，由于最小是1，则第二张一定是13-1=12，则第三张是1．19、下图是一个净化水装置, 水流方向为从 A 先流向 B, 再流到 C. 原来容器 A-B 之间有 10 个流量相同的管道, B-C 之间也有 10 个流量相同的管道. 现调换了 A-B 与 B-C 之间的一个管道后, 流量每小时增加了 40 立方米. 问:通过调整管道布局, 从 A 到 C 的流量最大可增加多少立方米？【解析】：由于调换了A-B与B-C之间的一个管道后，流量每小时增加了40立方米可得：A-B和B-C之间的管道不一样，应该是其中的一组管道比另一组管道流量大，且调换一个管道流量每小时就增加40立方米，因为流量较大的一组共有10个管道，那么调换5组管道应该是增加流量最大，据此依据最大增加流量=调换管道数×一组管道增加流量即可解答：40×(10÷2),=40×5,=200(立方米)20、在七个三角形的所有内角中, 有两个直角, 三个钝角. 那么这些三角形中有（）个锐角三角形.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解析】：因为一个三角形中最多有一个直角或最多有一个钝角，所以由题意可知：有2个直角三角形，3个钝角三角形，因共有7个三角形，用7-3-2即可求出锐角三角形的个数．故选：B。
