小学数学思维训练——几何图形计数（1）
一、线段计数
1、
（1）
A B C
（2）
A B C D E F
2、正方形边长是a,六个叠在一起组成的图形，周长是多少？如果100个这样的正方形叠在一起，周长是多少？
二、角的计数
1、下图中有多少个角？
2、下图中有多少个角？
A C
1 C
2
……
C
9
O B 3、下图中有多少个角？
三、三角形的计数
1、下图有多少个三角形？
2、下图有多少个三角形？
3、下图有多少线段？有多少三角形？
小学数学思维训练——几何图形计数（2）４、下图有多少线段，多少个三角形？（1）
５、下图有多少线段？有多少三角形？
６、下图有多少个三角形？
７、下图中有多少三角形？
８、下图中有多少三角形？
小学数学思维训练——几何图形计数（3）
四、长方形的计数
1、下图中有多少个长方形？
2
3、下图中有多少个长方形？
A
C
1
……
C
n-1
B D
1……D
m-1
C
4、下图中有多少长方形中含有长方形a?
5、下图中有多少个长方形？
6、下图中有多少个长方形？
7、下图中有多少个长方形？
小学数学思维训练——几何图形计数（4）
五、平行四边形的计数
1、下图中有多少平行四边形？
2、下图中有多少平行四边形？
３、下图中有多少平行四边形？
六、梯形的计数
1、下图中有多少梯形？
解答:60
2、下图中有多少梯形？
3、下图中有多少梯形？
解答：60
4
小学数学思维训练——几何图形计数（5）
七、正方形
1、数正方形
2、长6，宽5的网格里，有多少个正方形？
3、下图中有多少正方形？
4、下图中有多少个正方形？
5、下图中有多少个正方形？
6、 下图中有多少个正方形？
7、下图有多少个正方形？
8、下图中有多少正方形？解答：每个正方形中：42+32+22+12=30（个）30×5-5×4=130（个）
9、下图中有多少正方形？解答：
小学数学思维训练——几何图形计数 （6）
综合练习
１、下图中有多少三角形？
２、下图中有多少个三角形？
小学数学《几何中的计数问题（二）》练习题（含答案） 一、数长方形 例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？ 分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为： 4+3+2+1=10（个）. 图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为： （4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）. 解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）. 图（Ⅱ）中长方形个数为： （4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 图（Ⅲ）中长方形个数为： （4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）. 小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为： （1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）. 例2 如右图数一数图中长方形的个数.
解：AB边上分成的线段有： 5+4+3+2+1=15. BC边上分成的线段有： 3+2+1=6. 所以共有长方形： （5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）. 二、数正方形 例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）分析图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有： 2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有： 1×1=1（个）. 所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）. 图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）； 边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）； 边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）. 所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）. 图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有： 4×4=16（个）；
几何计数 知识框架图几何计 数8计数综合7-7 教学目标 .掌握计数常用方法；1熟记一些计数公式及其推导方法；2. .根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．3本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并 渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 知识要点 一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些条直线最多将平面分成处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n12个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分2)(nn?n??????223……2成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形 也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层， 共用了多少根小棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4
7-8-1几何计数（一） 教学目标 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 知识要点 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个． 例题精讲 模块一、简单的几何计数 【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．
知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？（4级） 例题精讲
几何图形中的计数问题 （临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400） 将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。下面举例说明。 1 适当分类 例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中 心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ） )(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37 解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有282 782 8=?=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182 312=?个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有32 16=?个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个. 例2 在图1的86?方格中,点A ,则以这些直线为边,且过点 A 的矩形共有多少个？ 解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在 的位置进行分成三类： ①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直 边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共 有116848C C ?=个矩形； ②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水 平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则， A 为顶点， n6n5n4n3n2n1
第一讲几何图形中的计数问题（一） 姓名：__________ 【教学目标】 1、经历解题理解图形计数的规律及特点。 2、通过学习体会线段计数的原理并能推广到角、共顶点的三角形，能够解决一些基本的几何图形中的计数问题。 线段计数原理：在一条线上如果共有n条基本线段，那么它上面的线段总条数为： 2)1 ( 1 2 3 )2 ( )1 (+ = + + +??? + - + - + n n n n n （线段计数原理：基本线段×基本点÷2） 3、通过学习，体会学习的数学乐趣，提高学生学习数学的兴趣。 教学过程： 一、趣味导入 在田径比赛中，你追上了第二名，你是第几名？（为下一题做铺垫）在田径比赛中，你追上倒数第一名，你是第几名？ （通过这两个趣味提问活跃了课堂气氛） 二、旧识复习 1、线段的定义：线段AB与线段BA是不是同一条线段。 三、新课讲授 【例1】数一数，下图中有多少条线段？其中包含线段BC的线段有多少条？ （1）先让学生尝试做：数线段 （2）根据学生数的列出线段。 （让学生发现其中每一条线段都重复了两次）总共：4×5=20 20÷2=10 从而引出：线段计数的原理基本线段×基本点÷2=线段数
第二问：（1）已知所有的—不包含的= 包含的 （2）以A 为首的有3条，以B 为首的有3条 （3）根据线段的定义：2×3 = 6（条） 〖巩固〗数出下图中共有多少条线段？其中包含线段54A A 的线段有多少条？ （1）A1：19 A2：18…… 19+18+17+……+2+1=190（条） （2）先让学生独立根据公式来完成，从而理解并能应用。 20×19÷2 = 190（条） 第二问：同例1一样。 【例2】下图中共有多少条线段？ 第一步：先找出有几条大线段 第二步：每条大线段中各有几条基本线段，几个基本点。 第三步：利用公式灵活运用 （鼓励学生先用自己的方法解决问题，通过旧识与新学的公式法进行比较从而接受新方法，并能灵活运用） 〖巩固〗如图所示，a 、b 、c 、d 、e 五条线段两两相交，有多少条线段，如果是10条 线段呢？ 步骤同上 此题重点在：“两两相交” 拓展为10条线段时，主要能够找出有多少个基本点。 若是21、30、50条等等。
1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗 透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的 个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法 以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2 n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时 需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与 各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那 么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线 段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． E D C B A 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边 上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个． 模块一、立体几何计数 【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块 小正方体。 教学目标 例题精讲 知识要点 7-8-3.几何计数（三）
华罗庚数学第七讲几何中的计数问题（一） 几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力. 一、数线段 我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的. 例1 数一数下列图形中各有多少条线段. 分析要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数. 第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.
第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条. 解：①2＋1＝3（条）. ② 3＋2＋1＝6（条）. ③ 4＋3＋2＋1＝10（条）. 小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）. 二、数角 例2数出右图中总共有多少个角.
第八讲几何中的计数问题（二） 我们在已经学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，正方形及数综合图形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法. 一、数长方形 例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？ 分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为： 4+3+2+1=10（个）. 图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为： （4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）. 解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.
图（Ⅱ）中长方形个数为： （4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 图（Ⅲ）中长方形个数为： （4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）. 小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为： （1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n） 例2 如右图数一数图中长方形的个数. 解：AB边上分成的线段有： 5+4+3+2+1=15. BC边上分成的线段有： 3+2+1=6. 所以共有长方形： （5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）. 二、数正方形
小学奥数几何中的计数问题 数长方形 例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？ 分析：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为： 4+3+2+1=10（个）. 图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上 共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）. 解：图（Ⅰ）中长方形个数为
4+3+2+1=10（个）. 图（Ⅱ）中长方形个数为： （4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 图（Ⅲ）中长方形个数为： （4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）. 小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为： （1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）. 例2 如右图数一数图中长方形的个数. 解：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15. BC边上分成的线段有：3+2+1=6. 所以共有长方形： （5+4+3+2+1）×（3+2+1） =15×6 =90（个）.
初中数学竞赛：几何图形的计数问题 在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等． 例1如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？ 解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数： (1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条； (2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条； (3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条； (4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条； (5)以E为左端点的线段只有EF一条． 所以，不同的线段一共有 5+4+3+2+1=15(条)． 一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2 例2图1－66中有多少个三角形？ 解以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形 5+4+3+2+1=15(个)．
说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为 n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2. 例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？ (2)所有这些长方形的面积和是多少？ 解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有 1+2+3+4=10(条)． 同样，宽的一边上不同的线段也有10条． 所以，共有长方形 10×10=100(个)． (2)因为长的一边上的10条线段长分别为 5，17，25，26，12，20，21，8，9，1， 宽的一边上的10条线段长分别为 2，6，13，16，4，11，14，7，10，3． 所以，所有长方形面积和为 (5×2+5×6+…+5×3) +(17×2+17×6+…+17×3) +…+(1×2+1×6+…+1×3) =(5+17+...+1)×(2+6+ (3)
知识要点 几何计数 图形计数 1、图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。 2、图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。 3、图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。 4、图形计数基本公式： ①一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为： () 1122 n n n ++++= L L 条。 ②两条共端点的射线确定一个角（大于0?、小于180?） ，假设由某点引出n 条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0?、小于180?）的个数为(1) 2n n -条。 ③网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。 ④一般的，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（n ≥m ，每小格均为相等的正方形） ，那么这个长方形中正方形的总数为：()()()()()112211mn n m n m n m +--+--++-+?L L 。 四、五、六年级 （三、四、五、六年级） （四、五年级） 图形剪拼（一、二年级）（一、二年级）几何求值组合问题数学计算图形变幻认识图形平面几何图形计数 图形规律
数线段 【例 1】 数一数：图中线段的总条数。 F E D C B A 【分析】（方法一）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数， 由1个基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 、DE 、EF 5条； 由2个基本线段构成的线段有：AC 、BD 、CE 、DF 4条； 由3个基本线段构成的线段有：AD 、BE 、CF 3条； 由4个基本线段构成的线段有：AE 、BF 2条； 由5个基本线段构成的线段有：AF 1条； 总数5432115++++=条。 （方法二）按线段的起点分类（注意保持方向的一致）， 以A 点为共同左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 5条； 以B 点为共同左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 4条； 以C 点为共同左端点的线段有：CD 、CE 、CF 3条； 以D 点为共同左端点的线段有：DE 、DF 2条； 以E 点为共同左端点的线段有：EF 1条； 总数5432115++++=条。 数量变化规律 图形组合规律 图形规律 数正方形 数长方形 数三角形 数线段 图形计数
几何计数 方法铺垫： 1）加法原理，乘法原理； 2）容斥原理； 3）排列数，组合数； 4）对应法. 例1. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？ [答疑编号5721070101] 【答案】70条线段，60个矩形 【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有条线段. 每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图： 因此共有个矩形. 例2. 数一数，图中有多少个三角形？ [答疑编号5721070102] 【答案】78个 【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个. 所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个. 例3. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：
1）从中可以数出多少个矩形？ 2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？ [答疑编号5721070103] 【答案】1）450个；2）80个；3）144个 【解答】 1）图中共有个矩形； 2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个. 3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有 18×8=144个. 例4. 图中一共包含多少个矩形？ [答疑编号5721070104] 【答案】135个 【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示），其中 一共包含矩形个； 第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个； 第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个. 所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.
几何中的计数问题（一） 几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等. 通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力. 一、数线段 我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点. 线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的. 例 1 、数一数下列图形中各有多少条线段. 分析：要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数. 这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数. 第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以 A 为左端点的线段有AB、AC 两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条. 同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD 三条，以 B 为左端点的线段有BC、BD 两条，以 C 为左端点的线段有CD 一条. 所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6 条. 第二种：按照基本线段多少的顺序去数. 所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段. 如上页图（2）中，线段AD 上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD 分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD 总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD 二条，然后是包含有三条基本线段的是AD 这样一条.所以线段AD 上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE 上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE 分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE 上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有 4 条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有 3 条，然后是包含有三条基本线段的有 2 条，最后是包含有 4 条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10 条. 解：① 2＋1＝3（条）. ②3＋2＋1＝6（条）.
数学拓展校本课程第八讲几何中的计数问题（二） 例1、如下图，数一数下列各图中长方形的个数？ 例2 如右图数一数图中长方形的个数. 小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n） . 例3 数一数各图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形） 小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n（个），边长为2个长度单位的正方形个数有（n-1）×（n-1）（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2（个）：，边长为长度单位的正方形个数有：1×1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：1×1+2×2+3×3+…+n×n （个）. 例4.数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）. ①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5=30（个）. ②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4=20（个）. ③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3=12（个）. ④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2=6（个）. ⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）. 所以，正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1 =30+20+12+6+2=70（个）. 小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）： m×n+（m-1）×（n-1）+（m-2）×（n-2）+…+（m-n+1）×1 显然例3是结论的特殊情况.