数学归纳法应用举例课件人教B版选修
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学习目标核心素养1.了解数学归纳法的原理.(重点、易混点)2.掌握数学归纳法的步骤.(难点)3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(难点)1.通过数学归纳法的学习,培养学生数学抽象、逻辑推理素养.2.通过利用数学归纳法证明数学命题,提升学生数学运算素养.数学归纳法数学归纳法的定义一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0时命题成立;(2)在假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题也成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()[答案] (1)×(2)×(3)√2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是S n=na1+错误!d时,假设当n=k时,公式成立,则S k=()A.a1+(k—1)dB.错误!C.ka1+错误!dD.(k+1)a1+错误!d[解析] 假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k即可,即S k=ka1+错误!d.[答案] C3.下列说法正确的是________.(填序号)1数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明;2证明当n=k+1时命题成立用到归纳假设,即n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立;3不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.[答案] 12用数学归纳法证明等式+验证n=1时,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4(2)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n—1)(n∈N+),“从k到k+1”左端增乘的代数式为__________.[解析] (1)当n=1时,左边应为1+2+3+4,故选D.(2)令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)·(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),所以错误!=错误!=2(2k+1).[答案] (1)D (2)2(2k+1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.1.下面四个判断中,正确的是()A.式子1+k+k2+…+k n(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1B.式子1+k+k2+…+k n—1(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1+kC.式子1+错误!+错误!+…+错误!(n∈N+)中,当n=1时,式子的值为1+错误!+错误!D.设f(n)=错误!+错误!+…+错误!(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+错误!+错误!+错误![解析] A中,n=1时,式子=1+k;B中,n=1时,式子=1;C中,n=1时,式子=1+错误!+错误!;D中,f(k+1)=f(k)+错误!+错误!+错误!—错误!.故正确的是C.[答案] C用数学归纳法证明不等式+程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是__________.(2)证明:不等式1+错误!+错误!+…+错误!<2错误!(n∈N+).[思路探究] (1)写出当n=k时左边的式子,和当n=k+1时左边的式子,比较即可.(2)在由n=k到n=k+1推导过程中利用放缩法,在利用放缩时,注意放缩的度.[解析] (1)当n=k+1时左边的代数式是错误!+错误!+…+错误!+错误!,增加了两项错误!与错误!,但是少了一项错误!,故不等式的左边增加的式子是错误!+错误!—错误!=错误!.[答案] 错误!(2)证明:1当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立.2假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,即1+错误!+错误!+…+错误!<2错误!.则当n=k+1时,1+错误!+错误!+…+错误!+错误!<2错误!+错误!=错误!<错误!=错误!=2错误!.∴当n=k+1时,不等式成立.由12可知,原不等式对任意n∈N+都成立.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式.[证明] 1当n=2时,错误!+错误!=错误!>错误!.2假设当n=k(k≥2且k∈N+)时不等式成立,即错误!+错误!+…+错误!>错误!,那么当n=k+1时,错误!+错误!+…+错误!=错误!+错误!+…+错误!+错误!+错误!+错误!—错误!=错误!+错误!+错误!—错误!>错误!+错误!+错误!—错误!=错误!+错误!—错误!=错误!+错误!>错误!.这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.由12可知,原不等式对任意大于1的正整数都成立.用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时运用归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.运用放缩法时,要注意放缩的“度”.归纳——猜想——证明n n n1(1)求a2,a3;(2)猜想数列{a n}的通项公式,并证明.[思路探究] (1)令n=2,3可分别求a2,a3.(2)根据a1,a2,a3的值,找出规律,猜想a n,再用数学归纳法证明.[解] (1)a2=错误!=错误!,a1=错误!,则a2=错误!,类似地求得a3=错误!.(2)由a1=错误!,a2=错误!,a3=错误!,…,猜得:a n=错误!.证明:1当n=1时,由(1)可知等式成立;2假设当n=k时猜想成立,即a k=错误!,那么,当n=k+1时,由题设a n=错误!,得a k=错误!,a k+1=错误!,所以S k=k(2k—1)a k=k(2k—1)错误!=错误!,S k+1=(k+1)(2k+1)a k+1,a k+1=S k+1—S k=(k+1)(2k+1)a k+1—错误!.因此,k(2k+3)a k+1=错误!,所以a k+1=错误!=错误!.这就证明了当n=k+1时命题成立.由12可知命题对任何n∈N+都成立.1.“归纳—猜想—证明”的一般环节2.“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和.(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.2.已知函数y=f(n)(n∈N+),设f(1)=2,且任意的n1,n2∈N+,有f(n1+n2)=f (n1)·f(n2).(1)求f(2),f(3),f(4)的值;(2)试猜想f(n)的解析式,并用数学归纳法给出证明.[解] (1)因为f(1)=2,f(n1+n2)=f(n1)·f(n2),所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=22·2=23=8.f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=23·2=24=16.(2)猜想:f(n)=2n(n∈N+).用数学归纳法证明如下:1当n=1时,f(1)=21=2,所以猜想正确.2假设当n=k(k≥1,k∈N+)时猜想正确,即f(k)=2k,那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1,所以,当n=k+1时,猜想正确.由12知,对任意的n∈N+,都有f(n)=2n.用数学归纳法证明整除性问题[探究问题]1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?提示:不一定,如证明n边形的内角和为(n—2)·180°时,第一个值为n0=3.2.数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系?提示:第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数列命题是否正确,我们无法判定,同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.【例4】用数学归纳法证明:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除(n∈N+).[思路探究] 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.[解] (1)当n=1时,13+23+33=36能被9整除,所以结论成立;(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时结论成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.则当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+[(k+3)3—k3]=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9k2+27k+27=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3).因为k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,9(k2+3k+3)也能被9整除,所以(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3也能被9整除,即n=k+1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切n∈N+成立.与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明,证明的关键在于第二步中,根据归纳假设,将n=k+1时的式子进行增减项、倍数调整等变形,使之能与归纳假设联系起来.3.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为__________.[解析] 由n=k成立推证n=k+1成立时必须用上归纳假设,∴(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+6.[答案] (k3+5k)+3k(k+1)+61.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n—2)π”时,归纳奠基中n0的取值应为()A.1B.2C.3D.4[解析] 边数最少的凸n边形为三角形,故n0=3.[答案] C2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=错误!(n∈N+,a≠1),在验证n=1成立时,左边所得的项为()A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3[解析] 当n=1时,n+1=2,故左边所得的项为1+a+a2.[答案] B3.用数学归纳法证明关于n的恒等式时,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为________.[解析] 当n=k+1时,应将表达式1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2中的k更换为k+1.[答案] 1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)24.以下是用数学归纳法证明“n∈N+时,2n>n2”的过程,证明:(1)当n=1时,21>12,不等式显然成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时不等式成立,即2k>k2.那么,当n=k+1时,2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=(k+1)2.即当n=k+1时不等式也成立.根据(1)和(2),可知对任何n∈N+不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).[解析] 在2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1中用了k2≥2k+1,这是一个不确定的结论.如k=2时,k2<2k+1.[答案] (2)5.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,(n2—1)+2(n2—22)+…+n(n2—n2)=错误!.[证明] (1)当n=1时,左边=12—1=0,右边=错误!=0,所以等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即(k2—1)+2(k2—22)+…+k(k2—k2)=错误!.那么当n=k+1时,有[(k+1)2—1]+2[(k+1)2—22]+…+k·[(k+1)2—k2]+(k +1)[(k+1)2—(k+1)2]=(k2—1)+2(k2—22)+…+k(k2—k2)+(2k+1)(1+2+…+k)=错误!+(2k+1)错误!=错误!k(k+1)[k(k—1)+2(2k+1)]=错误!k(k+1)(k2+3k+2)=错误!.所以当n=k+1时等式成立.由(1)(2)知,对任意n∈N+等式成立.。
数学归纳法教学设计课标分析1知识目标 使学生了解数学归纳法的发现过程,理解数学归纳法原理;理解数学归纳法的操作步骤;能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤.2能力目标 培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力;培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力.3情感目标 使学生在发现数学归纳法的过程中,体验数学研究的过程和发现的乐趣,激发学生学习数学的兴趣,使学生经历数学思维过程,获得成功的体验.重点、难点重点是如何在较短的时间内,使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质,接受数学归纳法的证题思路.难点有两个,一是学生初步对数学归纳法原理的理解;二是数学归纳法的两个步骤及其作用.教学过程1.从思考题中引入课题(1)、已知数列{}n a , ...)4,3,2,1(1,111=+==+n a a a a nn n (1)求出其前四项4321,,,a a a a ,(2)你能得到什么样的猜想?猜想一定正确吗?(2)、某人看到树上乌鸦是黑的,深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的【设计意图】逐一验证是不可能的.那么,我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理,证明取所有正整数都成立”的问题.引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”.2.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性:(1)(归纳奠基)证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立;(2)(归纳递推)假设时命题成立,证明当时命题也成立;根据(1)和(2),可知命题对于从开始的所有正整数都成立. 3、数学归纳法的应用 例1. 用数学归纳法证明:)()12312*∈=-+++N n n n (【设计意图】应用归纳推理,发现新事实,获得新结论,这是数学归纳法的先行组织者;该思考题出现在本章第一节的合情推理中,是课标教材“螺旋式”上升的具体体现,其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”.【练习1】用数学归纳法证明:1×2+2×3+3×4+…+n(n +1) =1(1)(2)3n n n ++【设计意图】根据例1,学生完成练习1,体会数学归纳法的步骤。