数学归纳法及其应用

数学归纳法及其在证明中的应用数学归纳法是一种基于自然数的证明方法，广泛应用于各个数学领域。

它的核心思想是通过证明基准情况和使用归纳假设，来证明所有自然数都满足所要证明的性质或命题。

本文将介绍数学归纳法的基本原理，并探讨其在证明中的应用。

一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以简述如下：首先，我们需要确定一个基准情况，即证明命题对于某个特定的自然数成立。

接下来，我们假设命题对于某个自然数 n 成立，即假设命题在 n 这个情况下成立，这被称为归纳假设。

最后，我们通过证明命题在 n+1 这个情况下也成立，从而推导出命题对于所有自然数都成立。

二、数学归纳法的应用数学归纳法在证明中的应用非常广泛。

以下将介绍几个常见的应用案例：1. 证明数学等式与不等式数学归纳法常用于证明数学等式与不等式。

例如，我们要证明对于任意正整数n，都有 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

首先，我们验证基准情况，当 n = 1 时，等式左边为 1，右边为 1*2/2 = 1，两边相等。

接下来，我们假设等式对于 n 成立，即假设 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 成立。

然后，我们证明等式对于 n+1 也成立，即证明 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = (n+1)(n+2)/2。

通过归纳假设，我们将左边的等式视为n(n+1)/2 + (n+1)，化简得到 (n^2 + 3n + 2)/2，而右边的等式也可以化简为(n+1)(n+2)/2，两边相等。

因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数 n，都有 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

2. 证明命题的递归定义数学归纳法还常用于证明命题的递归定义。

递归定义是一种通过引用自身来定义某个对象的方法。

例如，我们要证明指数的乘法规则：对于任意自然数 a 和 b，以及非负整数 n，都有 a^n * a^m = a^(n+m)。

数学归纳法的原理与应用数学归纳法是一种重要的证明方法，常用于证明整数集上的命题。

它的基本思想是，通过证明命题在第一个整数上成立，并假设命题在某个正整数k上成立，推导出它在下一个正整数k+1上也成立。

这样，通过无限次的迭代，我们可以推导出该命题在所有正整数上都成立。

在本文中，我将介绍数学归纳法的原理，并举例说明其应用。

一、数学归纳法的原理数学归纳法的原理可以分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

1. 基础步骤基础步骤是证明命题在第一个整数上成立。

通常，这一步骤可以通过具体计算或逻辑推理来完成。

假设我们要证明一个关于正整数n的命题P(n)，我们需要证明P(1)成立。

2. 归纳步骤归纳步骤是假设命题在某个正整数k上成立，然后通过这个假设推导出它在下一个正整数k+1上也成立。

具体地，我们需要证明当P(k)成立时，P(k+1)也成立。

这一步骤通常需要运用数学归纳法的假设和相应的数学性质来进行推导。

通过这两个步骤，我们可以得出结论：若基础步骤成立，并且归纳步骤成立，那么命题P(n)对任何正整数n都成立。

二、数学归纳法的应用数学归纳法在数学中有着广泛的应用。

下面，我将举两个例子来说明它的应用。

1. 证明等差数列的求和公式我们知道，等差数列中相邻两项之差是常数d。

现在，我们希望证明等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示前n项的和，a表示第一项，d表示公差。

首先，我们需要通过数学归纳法的基础步骤证明当n=1时，公式成立。

可以发现，此时等式右边的表达式为a，恰好等于等差数列的第一项。

然后，我们假设当n=k时，公式也成立。

也就是假设Sn = (k/2)(2a + (k-1)d)成立。

接下来，我们通过归纳步骤证明当n=k+1时，公式也成立。

我们将Sn在等式两边加上等差数列的第k+1项an+1，得到Sn + an+1 =(k/2)(2a + (k-1)d) + an+1。

根据等差数列的性质，an+1 = a + kd。

数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可。

（2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。

（3）归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的。

（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等。

典型例题：例1．用数学归纳证明：=-n(n+1)(4n+3)。

证明：①当n=1时，左边，右边=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。

②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。

那么n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式也成立。

由①②知，当n∈N′时等式成立，∴原命题成立。

例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。

证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。

②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。

综上所述：命题成立。

点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。

例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。

数学归纳法及其在证明中的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，在数学领域中具有广泛的应用。

它基于数学归纳原理，通过证明某一命题在基础情形下成立，并且在前一情形成立的前提下，推导出在后一情形下成立，从而证明该命题对于所有情形都成立。

本文将介绍数学归纳法的基本原理及其在证明中的应用。

一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以简述为：若能证明命题在基础情形下成立，并且在前一情形成立的前提下，能推导出在后一情形下也成立，则该命题对于所有情形都成立。

具体而言，数学归纳法一般包含以下三个步骤：1. 基础情形的证明：首先证明当n取某个特定值时，命题成立。

这个特定值称为基础情形。

证明这一步骤通常是较为简单和直接的。

2. 归纳假设的建立：假设当n=k时命题成立，其中k是某个自然数。

这个假设被称为归纳假设，它是推导下一情形的前提。

3. 归纳步骤的证明：在归纳假设的前提下，证明当n=k+1时命题也成立。

这一步骤需要推导并证明命题成立的过程。

通过以上三个步骤，我们可以逐步推导出命题对于所有正整数都成立的结论。

二、数学归纳法的应用数学归纳法在证明数学命题中有着广泛的应用。

下面将介绍数学归纳法在代数、数论和组合数学等领域中的具体应用。

1. 代数中的应用在代数中，数学归纳法常用于证明与自然数相关的性质。

例如，我们可以利用数学归纳法证明自然数n的平方和公式：1² + 2² + 3² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1))/6首先，我们证明当n=1时，公式成立。

然后，假设当n=k时公式成立，即1² + 2² + 3² + ... + k² = (k(k+1)(2k+1))/6。

接下来，我们需要证明当n=k+1时公式也成立。

利用归纳假设，我们可以得到：1² + 2² + 3² + ... + k² + (k+1)² = (k(k+1)(2k+1))/6 + (k+1)²通过化简和运算，我们可以证明等式成立，从而得出结论：对于所有自然数n，平方和公式都成立。

数学归纳法及应用数学归纳法是一种用于证明数学命题的常用方法，它基于数学归纳原理。

数学归纳法主要分为弱归纳法和强归纳法两种形式。

弱归纳法用于证明对于所有自然数n都成立的命题，而强归纳法可以用于证明对于所有整数n都成立的命题。

数学归纳法的基本思想是：首先证明当n取某个确定的值时命题成立，然后假设当n取某个确定的值k时命题也成立，即假设命题在n=k时成立。

然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立，即证明命题在n=k+1时成立。

这样就完成了数学归纳法的证明过程。

数学归纳法常用于证明整数性质、集合性质、不等式、等式等各类数学命题。

下面分别以几个例子来说明数学归纳法的应用。

首先考虑一个经典的例子：证明对于任意自然数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。

我们首先验证当n=1时等式成立：1 = 1*(1+1)/2，等式两边相等。

然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。

我们来证明当n=k+1时等式也成立：1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。

根据假设，我们可以将等式左边的1+2+3+...+k替换为k(k+1)/2，得到k(k+1)/2+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。

化简得(k^2+k+2k+2)/2 = (k+2)(k+1)/2，等式两边相等。

因此，根据数学归纳法可知对于任意自然数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。

接下来考虑一个关于集合性质的例子：证明任意n个集合的交集非空。

我们首先验证当n=2时命题成立：假设A和B是任意两个集合，根据集合论的基本性质，如果A和B的交集为空集，则A和B的并集中的元素个数等于A和B的元素个数之和。

而对于任意两个非空集合，它们的并集中的元素个数大于它们的元素个数之和。

因此，如果A和B的交集为空集，则它们的并集中的元素个数等于A和B的元素个数之和，即A和B的并集非空。

因此，当n=2时命题成立。

数学归纳法及其应用摘要：数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。

本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析，并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。

关键词：数学归纳法数列不等式一、数学归纳法的概述1.归纳法与数学归纳法。

（1）归纳法。

①完全归纳法。

②不完全归纳法。

③典型归纳推理。

（2）数学归纳法。

数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。

它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。

这一重要性质，为解决有限与无限的矛盾提供了理论依据。

也就是说，如果能证明：①当n=1时命题成立。

②假设当n=k时命题成立，有n=k+1时命题成立。

那么我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2时命题成立；由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时命题也成立；如此继续下去，虽然我们没有对所有的自然数一一逐个加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上已经对所有的自然数做了验证。

这样的证明方法叫作数学归纳法，可见数学归纳法是一种完全归纳法。

2.数学归纳法的基础。

严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。

递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。

3.数学归纳法的原理。

数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。

4.数学归纳法的解题步骤。

用数学归纳法证明的一般步骤是：（1）设P(n)是一个关于自然数的命题，证明P(n)当n=1或（n=n0）时命题成立。

（2）假设P(k)(k≥n0)成立，证明成立P(k+1)那么P(k)对任意自然数n都成立。

数学归纳法的原理及其应用1. 数学归纳法的原理数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，它基于一个重要的原理：若某个命题对于某个自然数成立，且对于下一个自然数也成立，那么这个命题对于所有自然数都成立。

具体地说，数学归纳法的原理由以下两个步骤组成：1.1 基础步骤首先，需要证明命题在某个自然数上成立。

这个自然数通常是0或者1，具体根据题目要求来确定。

这个步骤可以看作是一个“基础推理”，它是整个证明的起点。

1.2 归纳步骤接下来，需要证明如果命题对于某个自然数n成立，那么它也对于n+1成立。

这个步骤可以看作是一个“归纳推理”，通过利用前一个自然数的成立情况来推导出后一个自然数的成立情况。

综合基础步骤和归纳步骤，可以得出数学归纳法的原理：如果能证明命题在基础步骤下成立，并且在归纳步骤下，当命题在n成立时，它也在n+1成立，那么这个命题对于所有自然数都成立。

2. 数学归纳法的应用数学归纳法在许多数学领域中都有着广泛的应用，以下列举了几个常见的应用场景：2.1 数列的性质证明数学中的数列是一组按照一定规律排列的数字，例如斐波那契数列、等差数列等。

数学归纳法可以用来证明数列的某些性质，比如递推关系式、通项公式等。

2.2 不等式的证明不等式是数学中常见的一类问题，数学归纳法可以用来证明不等式的成立。

通过基础步骤证明不等式在某个特定情况下成立，然后利用归纳步骤推导出不等式对于更大的情况也成立。

2.3 命题的证明数学归纳法可以用来证明一些数学命题的成立。

例如，证明某个关于自然数的性质对于所有自然数都成立，可以使用数学归纳法来进行证明。

2.4 集合的证明在集合论中，数学归纳法可以用来证明一些集合的性质。

通过证明集合中某个元素满足某个条件，并且根据归纳步骤推导出集合的其他元素也满足该条件，可以得出集合的性质成立。

3. 数学归纳法的应用举例下面通过两个具体的例子来说明数学归纳法的应用：3.1 数列的应用考虑斐波那契数列F(n)定义如下：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（其中n≥2）。

数学归纳法的原理及应用数学归纳法是一种证明命题的方法，它基于以下的原理：若一个命题在满足某个条件的基础情况下成立，并且该命题在任意一个满足该条件的情况下成立，则该命题对所有满足该条件的情况都成立。

数学归纳法由弱归纳法和强归纳法两种形式，其中强归纳法比弱归纳法更为广泛应用。

数学归纳法的步骤如下：1. 基础情况：首先证明命题对某个特殊情况成立，通常是最简单的情况。

2. 归纳假设：假设该命题对所有满足条件的情况成立，即假设命题对第n个情况成立。

3. 归纳步骤：证明基于归纳假设，命题对第n+1个情况也成立。

4. 结论：根据数学归纳法原理，命题对所有满足条件的情况都成立。

数学归纳法的应用非常广泛，以下是几个常见的例子：1. 证明等式：数学归纳法常常被用来证明等式成立。

首先证明等式对某个特殊值成立，再通过归纳步骤证明等式对n+1情况成立，从而推论该等式对所有满足条件的情况都成立。

2. 证明不等式：类似地，数学归纳法也可以用于证明不等式成立。

首先证明不等式对某个特殊值成立，再通过归纳步骤证明不等式对n+1情况成立，从而推论该不等式对所有满足条件的情况都成立。

3. 证明数列性质：数学归纳法可以用于证明数列的各种性质，如递推关系、收敛性等。

通过基础情况的证明和归纳步骤的推导，可以得出数列性质的结论。

4. 证明命题的正确性：数学归纳法可以用于证明某个命题在所有满足条件的情况下都成立。

通过基础情况的证明和归纳步骤的推导，可以最终得出命题的正确性。

数学归纳法作为一种证明方法，具有以下优点：1. 逻辑严谨：数学归纳法的证明过程非常严谨，每一步都有严格的逻辑推导，能够确保证明的正确性。

2. 可推广性强：数学归纳法的证明结果经常能够推广到更一般的情况下。

通过证明基础情况和归纳步骤，可以得出对所有满足条件的情况都成立的结论。

3. 应用广泛：数学归纳法可以用于证明各种数学问题，如等式、不等式、数列等，具有广泛的应用领域。

需要注意的是，数学归纳法并不适用于所有情况。

《数学归纳法及其应用》教案邓礼咸一、教学目标：1. 理解数学归纳法的概念和基本原理。

2. 学会使用数学归纳法证明一些常见的数学命题。

3. 掌握数学归纳法的应用，并能解决一些实际问题。

二、教学内容：1. 数学归纳法的定义和原理。

2. 数学归纳法的步骤和注意事项。

3. 数学归纳法在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。

2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和注意事项。

四、教学方法：1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。

2. 通过具体例子引导学生理解数学归纳法的原理和应用。

3. 鼓励学生提问和参与讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

五、教学准备：1. 教案、PPT、教学素材。

2. 数学归纳法的相关例题和练习题。

3. 教学场所和教学设备。

教学过程：1. 引入：通过一个简单的数学问题引入数学归纳法的话题，激发学生的兴趣。

2. 讲解：讲解数学归纳法的定义、原理和步骤，结合具体例子进行解释。

3. 案例分析：分析一些常见的数学命题，引导学生使用数学归纳法进行证明。

4. 练习：让学生尝试解决一些实际问题，巩固数学归纳法的应用。

6. 作业布置：布置一些有关数学归纳法的练习题，巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生应能够理解数学归纳法的概念和基本原理，并能够运用数学归纳法证明一些常见的数学命题。

在教学过程中，要注意引导学生理解数学归纳法的证明过程和注意事项，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

结合实际问题，让学生感受数学归纳法的应用价值。

六、教学拓展：1. 引导学生思考数学归纳法在其他数学领域的应用，如计算机科学、物理学等。

2. 介绍数学归纳法在数学研究中的应用，如费马大定理的证明。

3. 探讨数学归纳法的局限性，引导学生思考如何克服这些问题。

七、课堂互动：1. 鼓励学生提问和参与讨论，解答学生关于数学归纳法的疑问。

2. 组织小组讨论，让学生共同探讨数学归纳法的应用问题。

数学归纳法及其应用一、知识结构图：1．理解数学归纳法的意义。

2．理解不完全归纳法于数学归纳法的区别与联系。

3．掌握数学归纳法证明命题的一般步骤。

4．养成严格推理的良好习惯。

三、教学重点与难点：重点：数学归纳法证明命题的一般步骤。

难点：数学归纳法证明命题的第二个步骤。

四、教学过程：（一）、归纳法与演绎法：由一般到特殊的推理，称之演绎推理，又称演绎法；反之，由特殊到一般的推理，称之归纳推理，又称归纳法．归纳推理有两种常见的形式：完全归纳法和不完全归纳法．其中研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论的，称之完全归纳法；通过对某类事物中的部分对象的研究，概括出关于该类事物的一般性结论的，称之不完全归纳法．应用不完全归纳法得出的一般性结论，未必正确，应用完全归纳法推出的一般性结论，则必定正确．不完全归纳法的可靠性虽不是很大，但它在科学研究中有着重要作用，许多数学猜想（如哥德巴赫猜想）都来源于不完全归纳法．“归纳——猜想——证明”这是人们发现新的结论的重要途径．数学中有许多与自然数有关的命题，我们已经知道，用不完全归纳法证明是不可靠的．但如果改用完全归纳法，则又是不可能的．因为自然数有无限多个，我们不可能对所有的自然数都一一加以验证，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生．（二）、数学归纳法：皮阿諾把每一個自然數的下一個稱為這數的「後繼者」(successor)，用後繼者的說法，這組皮阿諾公設可以寫成下面的形式（括弧裡是用符號的寫法，其中n+表示自然數n的後繼者）:（1）1 是自然數()（2）每一個自然數有一個自然數作他的後繼者( )（3）1不是一個後繼者( )（4）不同數不可能有相同的後繼者( )（5）設S是N的子集，若 1 是S的元素，且S中的每一個元素的後繼者也是S的元素，則S就是N (, 且，則S=N)上面的第五個公設，也就是「數學歸納法原理」，為了加強對這原理的認識，我們將此一原理重寫成為下列的形式：數學歸納法原理：設，若S有下列兩性質：（1）（2）則S=N當我們使用數學歸納法來證明一些對所有自然數都成立的敘述時，我們常用下列方式，我們用P(n)來表示這個敘述，我們證明(1)P(1) 成立(2)由P(n) 成立可以推得P(n+1) 成立。

数学归纳法及其应用陕西省汉中市405学校 侯有岐 723312（一）知识归纳数学归纳法是证明与正整数n 有关的数学命题的一种重要方法，其证题程序是： ①验证n 取第一个值n 0时结论正确；②假设),(0n n N k k n ≥∈=*时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确.如果①、②两个步骤都完成了，则可断定结论对0n n ≥的一切正整数都正确. 概括: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.（二）学习要点1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.（三）应用举例等式问题是比较基本的问题，1+=k n 的证明的技巧一般都不高，而且在高考中出现得不多.整除问题在高考难度范围内并不多见，如果问题是与正整数n 有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决，且在1+=k n 的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”，然后再想办法证明剩余部分. 用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型，但由于这种题型的证明主要是文字推理为主，在评分上不好把握，因此考试中很难见到这种题型.基于上述理由，这几类问题在此就不一一举例了. 而用数学归纳法证明不等式是高考中出现频率较高的一种题型，尤其是近几年高考加强了数列推理能力的考查，更应引起同学们足够的重视.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可，而重点在第二步（同时也是难点之所在），即：假设()()k g k f <)成立，证明()()11+<+k g k f 成立，这需要我们灵活地运用各种方法技巧,过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用,如比较法、放缩法、分析法等，有时还要考证与原不等式等价的命题.下面举例说明数学归纳法在不等式证明中的应用.例1、求证：()*,2,65312111N n n n n n ∈≥>+++++ ． 分析:(1)因为本题与正整数n 有关,因此考虑用数学归纳法证明;(2) 由k n =成立,推导1+=k n 也成立时,要弄清左边式子增减了几项以及增减了哪些项,这就需要清楚式子的结构特点.证明：1）当2=n 时，左边6561514131>+++=，显然不等式成立． 2）假设当()*,2N k k k n ∈≥=时命题成立，即65312111>+++++k k k ． 则当1+=k n 时， ()()()13123113131211111+++++++++++++k k k k k k)11331231131(312111+-+++++++++++=k k k k k k k )11331331331(65)11331231131(65+-++++++>+-++++++>k k k k k k k k 65)113313(65=+-+⨯+=k k ，故当1n k =+时，不等式也成立． 综上由1），2）可知，原不等式对一切*2,n n N ≥∈均成立．点评:本题的关键在由k n =到1+=k n 时的推证过程，首先要注意分析清楚命题的结构特征，即由k n =到1+=k n 时不等式左端项数的增减情况；再利用假设来推证，针对问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，即11333331331331331231131+=+=+++++>+++++k k k k k k k k ，使问题获得简捷的证明.例2.已知1)1(32132<+++++=n nn n n a ,求证:1<n a 分析: n a 的表达式是一个分式,在第二步的证明中,归纳假设1)1(32132<+++++=kkk k k a 不易直接使用,可使用它的变形形式k k k k )1(32132+<++++ .证明：1)当1=n 时，1211<=a 成立． 2)假设当k n =时，结论成立，有1)1(32132<+++++=kkk k k a 成立, 则当1+=k n 时，1111321)2()1()1()2()1(321+++++++++<+++++++=k k k k k k k k k k k k k a 1)21()2()1()2()2()1(1<++=++=+++=+k k k k k k k k k k k k 故当1n k =+时，不等式也成立.综上1）和2）知，对任意*∈N n 都有1<n a 成立．点评:在证明恒等式或不等式时，有时需要将条件变形或考证与原等式或不等式等价的变形形式.本例的证明,也可该证n n n n )1(32132+<++++ .从以上两例我们不难看出，用数学归纳法证明不等式，宜先比较k n =与1+=k n 这两个不等式间的差异，然后再利用比较、分析、综合、放缩等技巧及不等式的传递性来完成由k n =成立推出1+=k n 不等式成立的证明．(四)变式练习用数学归纳法证明下述不等式；（1）).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n n n n n 且 证明: 1) 当n =2时，左边1096054605761514131=>=+++=， ∴当n =2时，不等式正确；2) 假设当)2(≥=k k n 不等式正确，即109312111>+++++k k k ， ∴当1+=k n 时，左边331231131313121+++++++++++=k k k k k k >+-+++++++++++++=11331231131)31312111(k k k k k k k k 109)331231()331131(109332231131109>+-+++-++=+-++++k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时不等式也正确； 根据1）、2）知对*∈N n ，且2≥n ，不等式都正确.（2）)(2)1()1(32212)1(2+∈+<+++⋅+⋅<+N n n n n n n . 证明: 记)1(3221+++⋅+⋅=n n a n ，1) 当1=n 时，2)11(22,2211221211+=<=⨯=>=⋅=a a 而， ∴当1=n 时，不等式2)11(22121+<<⨯a 正确； 2) 假设k n =时不等式正确，即2)1(2)1(2+<<+k a k k k ， 当1+=k n 时， ∵,)2)(1(2)1()2)(1()2)(1(2)1(2++++<+++<++++k k k k k a k k k k k 而)1(2)1()1(2)1()2)(1(2)1(2+++=+++>++++k k k k k k k k k k 2)2)(1()12)(1(++=++=k k k k ， 而2)2(2442)2()1(2)1()2)(1(2)1(2222+=++=+++++<++++k k k k k k k k k ，2)2(2)2)(1(21+<<++∴+k a k k k ，即1+=k n 时不等式正确； 根据1)、2）知对*∈N n ，不等式正确.。