高中数学《数学归纳法及应用举例》说课稿

课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】知识与技能：1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法:1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：11213143123(1)n a a a a da a da a da a n d ==+=+=+=+-设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．4. 引导学生举例：⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:2V E F -+=(V 为顶点数,E 为棱数,F 为面数)⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.三 、借助史料, 引申思辨问题1： 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1) 分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！问题3 ：41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴ 第一块要倒下;⑵ 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。

数学归纳法案例分析高二理科备课组利成松一、 教材分析数学归纳法是人教B 版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。

通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。

根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。

教学重点：了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤 教学难点：正确理解第二步递推思想的实质二、 目标分析（1）知识与技能：理解数学归纳法的原理和实质，并能初步运用。

（2）过程与方法：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。

（3）情感、态度与价值观：在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受数学内在美，激发学习热情。

三、教学过程（一）创设问题情景1.情景创设第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,51242322122=+=+=+=+归纳猜想：任何形如122+n （n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。

——“不完全归纳有时是错误的”（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）情境2 、数列{}(),22,1,*11N n a a a a a n n n n ∈+==+已知通过对4,3,2,1=n 前4项归纳，猜想12+=n a n ——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。

通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。

数学归纳法说课稿§2.3数学归纳法说课稿各位老师、同学们，大家好！今天我说课的题目是数学归纳法，下面我将从以下五个方面进行我的说课。

一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书选修2第二章第三节的《数学归纳法》，主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

数学归纳法是重要的思想方法，它所蕴含的“观察、猜想、归纳、证明”的思想不仅在数学各个分支广泛应用，而且也广泛应用于其它科学研究它所包含的逻辑推理不是简单的三段论，而是一个无穷递推，从而具有很强的逻辑性与抽象性。

因此，它是高中阶段必须掌握的思想方法。

二、学情分析本阶段的学生具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的具体步骤模糊不清。

对数学语言的抽象性的理解与把握虽高于低年级的学生，且思维方法向理性层次跃进，并逐步形成辩证思维体系，但层次参差不齐。

因此，在学习本节内容时，需要教师有序的引导。

由此我确定本节课的重点为：（1）理解数学归纳法的实质意义（2）掌握数学归纳法的证明步骤。

难点为：（1）数学归纳法的实质意义的理解（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

基于此，我确定了如下三维教学目标三、目标分析1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：通过对本节课的学习，培养学生的递推思想，类比思想，和归纳思想。

掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，领悟数学思想，激发学习兴趣，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。

四、教法学法教法：类比启发，引导发现学法：自主探究，合作交流五、教学过程本节课首先通过创设的情景，启动学生思维，提出引入数学归纳法的必要性。

为了探究数学归纳法的具体步骤，运用多米诺骨牌游戏进行分析，归纳，并与情景中的问题进行类比，得出用数学归纳法整证题的两个步骤。

《数学归纳法》说课稿一、说教材数学归纳法是继直接证明与间接证明之后的又一重要内容，是直接证明的又一重要方法，应用十分广泛。

普通说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法推证。

在《数学必修5》中学过的等差数列和等比数列的通项公式以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式都是通过归纳推理得到的，这些结论都具有猜测的性质，其正确性还有待用数学归纳法加以证明。

《数学归纳法》这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用。

本节课讲的主要内容是数学归纳法原理，用1课时。

重点是分析数学归纳法的实质，难点是对归纳法中的递推思想的正确理解和把握，目的是进一步培养学生的抽象思维能力和运用所学知识解决问题的能力。

二、说学情在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理，而且在《数学必修5》中也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式，再加之学生的实际生活经验，事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力。

虽然学生的知识水平参差不齐，归纳推理的能力存在较大差异，但他们对归纳推理的方法都有程度不同的把握，少数学生归纳推理能力还比较强。

但从总体上看，学生的抽象思维特殊是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱，需要不断加强。

三、说教学目标知识目标：使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体味类比的数学思想．情感目标：通过对例题的探索，体味研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．四、说教法本节课我将借助多媒体展示的“多米诺骨牌”游戏，激发学生的学习兴趣，为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。

《数学归纳法及其应用》教学设计执教者指导教师一、教学目标：1．认知目标：（1）了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导；（2）理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。

3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

.二、教学重点：证明整除性问题，证明与自然数n有关的不等式问题．三、教学难点：在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式.四、内容分析：数学归纳法的应用是教学的重点，本节课着重是运用数学归纳法证明整式问题、整除性问题和与自然数n有关的不等式问题，主要是探索递推关系，教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点.即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示为教学重点.用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，从决定n=k时，P(k)做何种变形，一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.用数学归纳法证明不等式的问题时，难点就是在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式，这是关键所在.五、教学过程：（一）复习引入：1.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.（3）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确总结：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. （二）例题讲解：类型一 证明等式例1 用数学归纳法证明1）第一步应做什么？此时n0= ，左 ，2) 当n=k 时，等式左边共有 项，第k 项是 。

《数学归纳法及其应用举例》教案说明第一篇：《数学归纳法及其应用举例》教案说明《数学归纳法及其应用举例》教案说明云南省曲靖市第一中学李德安一、数学归纳法的地位与作用1．数学归纳法在教材中的地位与作用数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。

《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。

通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。

2．数学归纳法对思维发展的地位与作用人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。

猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。

运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。

对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。

二、数学归纳法的本质与教学目标定位数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。

一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。

根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。

将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

三、学法、教法特点及预期效果1．学法指导高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。

《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和步骤。

2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。

3. 通过数学归纳法的学习，提高学生的逻辑思维能力。

二、教学内容1. 数学归纳法的定义和步骤。

2. 数学归纳法的基本性质。

3. 数学归纳法的应用举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。

2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。

四、教学方法1. 采用讲解法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生理解数学归纳法的本质。

2. 通过具体的例子，让学生掌握数学归纳法的应用。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和表达能力。

五、教学过程1. 导入：引导学生回顾数学归纳法的定义和步骤。

2. 新课讲解：讲解数学归纳法的基本性质和应用举例。

3. 案例分析：分析具体例子，让学生理解数学归纳法的证明过程。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进一步探索数学归纳法的应用。

六、教学评价1. 评价目标：通过本节课的学习，学生能理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的证明过程，并能运用数学归纳法解决简单的问题。

2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人报告等。

3. 评价内容：学生的理解能力、应用能力、逻辑思维能力等。

七、教学资源1. 教材：《数学归纳法及其应用》2. 课件：数学归纳法的定义、步骤、例子等。

3. 练习题：针对本节课内容的练习题。

4. 教学辅助工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。

八、教学进度安排1. 课时：2课时（90分钟）2. 教学安排：第一课时讲解数学归纳法的定义、步骤和基本性质，分析具体例子；第二课时进行课堂练习，总结本节课的主要内容，布置课后作业。

九、课后作业1. 复习本节课的内容，整理数学归纳法的定义、步骤和应用。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 选择一个自己感兴趣的问题，尝试运用数学归纳法进行解决，并将解题过程写成报告。

《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。

2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。

3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。

二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。

2. 数学归纳法的步骤和注意事项。

3. 数学归纳法的应用举例。

三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。

2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。

3. 数学归纳法在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。

2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。

3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。

五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。

2. 练习题和答案。

3. 教学工具和设备。

教案内容：一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。

2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。

3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。

二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。

2. 数学归纳法的步骤和注意事项。

3. 数学归纳法的应用举例。

三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。

2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。

3. 数学归纳法在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。

2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。

3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。

五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。

2. 练习题和答案。

3. 教学工具和设备。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数学归纳法的话题，让学生猜测数学归纳法的含义。

2. 引导学生思考数学归纳法在数学证明中的应用。

二、数学归纳法的定义和原理（15分钟）1. 讲解数学归纳法的定义和原理。

2. 通过PPT和示例，解释数学归纳法的步骤和注意事项。

三、数学归纳法的应用举例（20分钟）1. 通过具体的例题，演示数学归纳法的应用过程。