沪教版九年级上册数学 24.7 实数与向量相乘 向量的线性运算 教案

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。

实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。

但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。

三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。

2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。

3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。

2.实数与向量相乘的运算规则。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.准备教学PPT和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。

例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。

4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。

5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。

,a b 作图，那么a a a ++= )()()a a a +-+-= ？即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。

,3a a -；OA AB BC a ===，现在OC a a a =++，又由于OC 与a 方向相同且3OC a =3OC a =，∴3a a a a ++= 同理：()()()3a a a a -+-+-=-类似的也能够有：13OC OA =依照实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，,体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na 表示n 个a 相加．又当a 为向量；假如0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当a 同方向；当0时，ka 与a 反方向。

假如或0a =，那么0ka =；依照实数与向量相乘的意义：ka a中，E 、M 、F 、N 是AB 、DC 的三等分点，,AB a DA b ==试用向量,a b 表示向量1,3AE a AD b ==-；摸索：如图，已知非零向量,a b ，求作（a a + （2）32a （3）2()ab + （4）22a b + （5）2(3a 。

观看、比较（1）与（2），（3）与（），（5）与（6）的结果，你有什么发觉？ 参考答案：图略；132a a a +=；2()22ab a b +=+；2(3)6a a = 讨论：通过前面的发觉，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一样规律。

注意引导实数变成一样字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证,a b 为向量，则）实数与向量相乘的结合律：)()na mn a =；）实数与向量相乘关于实数加法的分配律：()m n a ma ma +=+；）实数与向量相乘关于向量加法的分配律：()m a b ma nb +=+．a ，恒有(m a ma na =-,a b ，若ma mb =，则有a b =和向量a ，若(0)ma na a =≠，则m n =11322)8()63443a b c a b c -++-+⨯. ,,a b x 满足关系式3()5()a b b x +=-，试用向量,a b 表示向量x .．C ．5710a b c -+ 3．3255x a b =-+a 是非零向量，(0)b ma m =≠，那么向量a 与b 有什么位置关系？m 为正数，则a 与b 同向，a b ；m 为负数，则a 与b 反向，a b ．ABCD 中，AD BC ，EF 是梯形中位线，AD a =,能将向量a 表示出来吗？参考答案：∵AD BC EF ∴AD CB EF 且EF 结合图形可知CB 与a 同向，EF 与a 反向；又2,4,3,a CB EF ===32,2CB EF aa==∴32,2CB a EF a =-=备注：老师适当给出规范过程供学生仿照；讨论：已知a 是非零向量，假如a b ，那么b 能用a 表示出来吗？答案：假如b 是非零向量，那么由a b 可知a 与b 同向或反向；设b k a=，得b k a =；当a 与b 同向时，b ka =；当a 与b 反向时，b ka =-，假如0b =，那么0b a =；平行向量定理：假如向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯独实数m ，使b ma =. 练习：1．设非零向量a ，b ，满足2()a b a b -=+，判定向量a ，b 是否平行？2．已知15,3a cbc ==-，其中c 是非零向量，判定向量a ，b 是否平行？ 参考答案：1．平行； 2．平行精选例题：（此环节设计时刻在20－30分钟）例题1：我们把长度为1的向量叫做单位向量，通常用符号e 表示，模长表示为：1e =，则下列说法错误的是（ ）A . e 有许多个B . 不同的单位向量，它们的方向不同C . 设a 是非零向量，且a e ，则a a e =D . 设a 是非零向量，且a e ，则a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念； 试一试：若向量b 与单位向量e 的方向相同，且1||||2b e =，则b ＝________．（用e 表示） 参考答案：12e例题2： 如图，已知两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）13(3)()22a b a b +-+,2OA a AB b =-=则2OB a b =-+为所求老师注意总结引出以下概念：．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的,a b 是两个不平行的向量，xa yb +叫做,a b 线性组合：如图，梯形AD 、BC 的中点，若AB a =，CD b =，那么用b 的线性组合表示向量EF = 解：∵AB CD EF ∵AB EF =∵1()22AB DC EF a b +==-． 备注：注意已知向量和所求向量的方向，要求学生适应性在图中标出。

《实数与向量相乘》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业设计的目标是通过实践练习，使学生掌握实数与向量相乘的基本法则和计算方法，能准确应用相关知识点解决实际问题。

通过反复的练习，巩固学生对于向量基本概念的理解，培养其运用数学知识和技能的能力。

二、作业内容本节课程的主要内容是实数与向量的乘法运算。

在掌握了向量的基本概念后，学生需通过以下步骤完成作业内容：1. 复习实数与向量相乘的定义，理解向量乘法的几何意义和代数表达。

2. 练习简单的实数与向量相乘的算式，如对向量进行数乘操作，明确乘法结果在几何上的表现。

3. 掌握实数与向量相乘的运算法则，包括分配律和结合律等，并能够熟练运用这些法则进行计算。

4. 完成一定量的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，涵盖不同难度的题目，以检验学生对实数与向量相乘的掌握情况。

5. 结合实际生活问题，设计一些应用题，如物理中的力与位移的乘法等，让学生理解数学知识的实际应用。

三、作业要求为确保学生能够准确完成作业，提出以下要求：1. 仔细阅读题目，理解题目要求及所给条件。

2. 运算过程中注意运算法则的运用，尤其是实数与向量的分配律和结合律。

3. 结果必须用准确的数学语言和符号表达，书写要规范。

4. 对于应用题，需结合实际情境分析并作答，不能只给出计算结果。

5. 独立完成作业，严禁抄袭他人答案。

四、作业评价评价学生作业时，主要从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否准确无误。

2. 规范性：书写是否规范，符号使用是否正确。

3. 思路清晰度：解题思路是否清晰，能否正确运用所学知识。

4. 创新性：是否有独特的解题方法或思路。

五、作业反馈作业完成后，教师需进行批改和反馈：1. 对学生的作业进行详细批改，标出错误之处并给出正确答案。

2. 对学生的解题思路和答案进行点评，指出其优点和不足。

3. 根据学生的作业情况，调整后续的教学计划和重点。

4. 对学生的疑问和困惑进行解答和指导。

实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。

如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。

2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则 （1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+； （3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。

3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。

4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。

设e 为单位向量，则1e =。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。

由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a=。

精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。

用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。

例4、下列语句中，错误的是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，AC b =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。

沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册24.7节的内容，本节课的主要内容是向量的加法、减法和数乘运算。

这部分内容是向量学习的重点和难点，也是学生进一步学习几何、代数等数学分支的基础。

教材通过实例和练习引导学生理解和掌握向量线性运算的定义和性质，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，对数学概念和运算有一定的理解。

但是，向量的概念和运算相对抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。

此外，由于向量是初高中数学的衔接内容，学生需要在学习过程中建立良好的学习习惯和方法，为高中数学学习打下基础。

三. 教学目标1.理解向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

2.掌握向量线性运算的基本方法，能够熟练进行向量的加法、减法和数乘运算。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高运算能力。

4.通过对向量线性运算的学习，激发学生对数学的兴趣和好奇心。

四. 教学重难点1.向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

2.向量线性运算的实质和运算规律。

3.学生对向量线性运算的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和实例，引导学生理解和掌握向量线性运算的概念和性质。

2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生建立空间想象，直观理解向量线性运算。

3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在讨论中思考和解决问题，培养学生的团队协作能力。

4.通过练习和总结，巩固学生对向量线性运算的理解和应用。

六. 教学准备1.多媒体课件和教学素材。

2.向量模型和实物模型。

3.练习题和测试题。

4.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习前置知识，如初中阶段的代数和几何知识，引导学生进入学习状态。

利用实例引入向量的概念，引导学生回顾向量的定义和性质。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。

本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。

但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。

三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。

2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。

2.实数与向量相乘的方法和应用。

五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。

2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。

3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材和教学参考书。

2.教学PPT或者黑板。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。

2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。

3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。

沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了向量的线性运算性质，包括向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法。

这部分内容是向量学习的重要部分，也是学生理解向量几何意义的关键所在。

通过这部分的学习，学生能够掌握向量的基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对向量的概念和几何意义有一定的理解。

但学生在运算方面的规律和性质的理解上可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，并通过大量的例子来帮助学生理解和巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握向量的线性运算性质，能够熟练地进行向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算。

2.过程与方法：通过实际问题，引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：向量的线性运算性质。

2.难点：向量的线性运算在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过实际问题引导学生抽象出向量的运算规律，通过案例讲解使学生理解向量运算的实质，通过小组合作让学生在讨论中巩固知识，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出向量的运算规律。

2.准备典型案例，用于讲解向量的运算规律。

3.分组学生，进行小组合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如物体在平面直角坐标系中的运动问题，引导学生思考如何进行向量的加法运算。

2.呈现（15分钟）呈现典型案例，讲解向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算的实质和规律。

3.操练（15分钟）让学生进行向量的线性运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。