实数和向量的积

数量积又称内积，记做a·b，结果是一个实数，大小为|a|·|b|·cos<a,b>
向量积又称外积，记做a×b，结果是一个向量，这个向量的模长为
|a|·|b|·sin<a,b>,方向与a,b都垂直（垂直于a,b所确定的平面），与a,b 成右手系。

向量积又称“外积”、“叉积”。

两向量a与b的向量积是向量，用c=a×b表示。

其长度等于以a、b为边的平行四边形的面积(图中阴影部分)，
即｜c｜=｜a×b｜=｜a｜·｜b｜sinθ(0≤θ≤π)；
方向垂直于与，而且c、b、a三向量成右手系(用右手的拇、食、中三手指分别表示)。

向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。

若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a∥b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

两向量向量积的定义向量积，也被称为叉乘或矢积，是在三维空间中用来定义一个新向量的运算。

现在，我们将详细介绍向量积的定义和性质。

两个三维向量可以通过叉乘来生成一个新的向量。

设有两个向量a和b，它们的向量积可以用符号"×"表示，即a × b。

叉乘的结果是一个新的向量c。

向量积的定义如下：a ×b = (a2b3 - a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j + (a1b2 - a2b1)k其中，i、j、k分别表示坐标轴的单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3是向量a和b的分量。

向量积的定义可以理解为，新向量c的方向垂直于向量a和b所在的平面，同时满足右手定则：将右手的指尖从向量a旋转到向量b，则大拇指所指的方向就是向量c的方向。

向量c的模的大小等于a和b所构成的平行四边形的面积。

另外，向量积还有以下性质：1. 叉乘满足反对称性：a × b = - ( b × a)。

这意味着向量积的结果与向量的顺序有关，交换向量的位置会改变结果的方向。

2. 向量积满足分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。

这说明向量积在向量加法上满足分配律，可以先进行向量积运算，然后进行向量加法运算。

3. 叉乘满足线性性质：(ka) × b = a × (kb) = k(a × b)，其中k为实数。

4. 如果向量a和b夹角为θ，则向量积的模的大小为|a × b| = |a| |b| sinθ。

这个公式可以通过平行四边形法则或三角形面积公式推导得出。

5. 当向量a与向量b平行时，它们的向量积为零向量：a × b = 0。

通过向量积，我们可以计算出两个向量的垂直向量，从而应用于很多领域，例如物理学中的力矩计算、计算机图形学中的向量旋转等。

由于向量积的定义和性质都比较直观，因此在几何学和物理学中得到广泛应用。

实数与向量‎相乘1.实数与向量‎相乘的意义‎一般的，设为正整数‎n ，a 为向量，我们用表示‎ann 个a 相加；用表示个相‎a n -n a -加.又当为正整‎m 数时，a m n 表示与同向‎a 且长度为的‎a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个‎正数，P 就是将的‎a a 长度进行放‎缩，而方向保持‎不变；—P 也就是将‎a a 的长度进行‎放缩，但方向相反‎. 2.向量数乘的‎定义 一般地，实数与向量‎k a 的相乘所得‎的积是一个‎向量，记作ka，它的长度与‎方向规定如‎下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意‎.实数与向量‎k a 相乘，叫做向量的‎数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结‎果是一个与‎已知向量平‎行（或共线）的向量； （2）实数与向量‎不能进行加‎减运算； （3）ka表示向量的‎数乘运算，书写时应把‎实数写在向‎量前面且省‎略乘号，注意不要将‎表示向量的‎箭头写在数‎字上面； （4）向量的数乘‎体现几何图‎形中的位置‎关系和数量‎关系. 3.实数与向量‎相乘的运算‎律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘‎对于实数加‎法的分配律‎）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘‎对于向量加‎法的分配律‎）4.平行向量定‎理（1）单位向量：长度为1的‎向量叫做单‎位向量. 要点诠释：任意非零向‎量与它同方‎a 向的单位向‎量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定‎理：如果向量与‎b 非零向量平‎a 行，那么存在唯‎一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与‎b a 同向还是反‎向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取‎m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的‎判定定理：a 是一个非零‎向量，若存在一个‎实数m ，使b m a =，则向量与非‎b 零向量平行‎a .（4）向量平行的‎性质定理：若向量与非‎b 零向量平行‎a ，则存在一个‎实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共‎线若存在实‎⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性‎运算 1.向量的线性‎运算定义 向量的加法‎、减法、实数与向量‎相乘以及它‎们的混合运‎算叫做向量‎的线性运算‎. 要点诠释：（1）如果没有括‎号，那么运算的‎顺序是先将‎实数与向量‎相乘，再进行向量‎的加减. （2）如果有括号‎，则先做括号‎内的运算，按小括号、中括号、大括号依次‎进行． 2.向量的分解‎平面向量基‎本定理：如果是同一‎12,e e 平面内两个‎不共线（或不平行）的向量，那么对于这‎一平面内的‎任一向量a ，有且只有一‎对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内‎两个不共线‎（或不平行）向量叫做这‎12,e e 一平面内所‎有向量的一‎组基底.一组基底中‎，必不含有零‎向量．(2) 一个平面向‎量用一组基‎底表示为形‎12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的‎分解，当相互垂直‎12,e e时，就称为向量‎的正分解.每家都会装‎修，我们可以用‎一根电线将‎一盏电灯吊‎在天花板上‎，为了保险我‎们也可以用‎两根绳将这‎盏电灯吊在‎同一位置。

实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。

2021年数学向量知识点10篇数学向量知识点1数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

当0时，a与a同方向;当0时，a与a反方向;当=0时，a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数，都有a=0。

注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。

实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍;当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a.数对于向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律：①如果实数0且a=b，那么a=b。

②如果a0且a=a，那么=。

数学向量知识点21、平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B 为终点的有向线段记作或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2、平面向量运算加法与减法的代数运算：（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则ab=（x1+x2，y1+y2）。

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：+=+（交换律）；+（+c）=（+）+c （结合律）；实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

高一数学实数与向量的积人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：实数与向量的积二. 重点、难点：1. 实数与向量的积的定义和运算律2. 向量共线的充要条件3. 平面向量的基本定理【典型例题】[例1] 设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知：212e K e +=，213e e +=，212e e -=，若A 、B 、D 三点共线，求实数K 的值。

解：2121214)3()2(e e e e e e -=+--=-=由三点A 、B 、D 三点共线等价于向量与共线，由向量共线的充要条件知，存在实数λ，使得λ=，即2121214)4(2e e e e e K e λλλ-=-=+[例2] 其中实数λ、证明： 即 令 注：上述结论可推广为以下一段形式，对于0≠λμ，向量b a μλ+与b a μλ-共线的充要条件是与共线。

事实上，若与至少有一个为时，命题显然成立，下面对与均不为时加以证明。

充分性，由b a //，则存在唯一R t ∈，使b t a =，故t )(μλμλ+=+t )(μλμλ-=- 若0=-μλt ，则=-μλ，故b a μλ+与b a μλ-共线 若0≠-μλt ，则)(b a t t b a μλμλμλμλ--+=+故μλ+与μλ-共线26 216131)(213121+=-+=+=+= b a 2161+=故-= 即与OF 共线于是MC t AB MP AM AP +=+=31)(31AM AC t a -+=b t a ta bt a +-=-+=)331()31(31 设NB s NP = 同理AB s AN s AP +-=)1(NB s AC NP AN AP +=+=41a s b s+-=)441(故有a s b s b t a t +-=+-)441()331( 由a 与b 不共线，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-441331s t s t解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==113112s t 所以b a AP 112113+=[例6] 已知点P 为ABC ∆内一点，且0543=++CP BP AP ，设a AB =，b AC =。