沪教版(上海)九年级上册数学 24.6-24.7实数与向量相乘 向量的线性运算 同步练习

《24.7向量的线性运算》讲义同学们好，咱们现在已经到了九年级啦，在沪教版（上海）的数学教材里，今天咱们要一起学习第二十四章相似三角形里的第四节内容，也就是向量的线性运算。

这部分知识呀，就像打开数学世界里一个新的小宝藏箱，里面有很多有趣的东西等着咱们去发现呢。

那什么是向量呢？我给大家讲个事儿啊。

有一次我去公园遛弯儿，看到一个小朋友在放风筝。

那风筝线就好像是一个向量。

风筝线有长度吧，这就相当于向量的大小；风筝线还有方向，是朝着天上风筝的方向，这就是向量的方向。

所以说向量这个东西啊，就是既有大小又有方向的量。

咱们再来说说向量的表示方法。

通常呢，我们可以用有向线段来表示向量。

就像刚刚说的风筝线，我们可以把它看成是一条有方向的线段。

在纸上画的时候，我们用一个箭头来表示方向，线段的长度就表示向量的大小。

比如说，我们画一个小箭头从点A指向点B，这个就可以表示一个向量，我们可以写成向量AB，这个箭头可不能丢哦，丢了就不知道方向啦。

一、向量的加法运算1、三角形法则咱们先来讲向量加法的三角形法则。

还是拿刚刚放风筝的事儿来说，假如这个小朋友先往东走了一段距离，这可以看成是一个向量，我们就叫向量a吧。

然后呢，他又往北走了一段距离，这就是另一个向量，叫向量b。

那他从最开始的位置到最后的位置这个总的位移呢，就是向量a和向量b的和。

咱们在图上画的时候，就把向量a的终点和向量b的起点连起来，然后从向量a的起点指向向量b的终点的这个向量，就是向量a加向量b。

这就像你要去一个地方，先走了一段路，接着又走了另一段路，总的路程就是这两段路的合成。

2、平行四边形法则除了三角形法则，向量加法还有平行四边形法则呢。

想象一下，你和你的小伙伴一起推一个箱子。

你从箱子的左边往右边用力，这是一个向量，你的小伙伴从箱子的前面往后面用力，这是另一个向量。

那箱子最终移动的方向和距离呢，就是这两个向量的和。

在图上怎么画呢？我们把这两个向量的起点放在一起，然后以这两个向量为邻边作一个平行四边形，那从这两个向量共同的起点指向平行四边形对角顶点的这个向量，就是这两个向量的和。

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。

实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。

但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。

三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。

2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。

3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。

2.实数与向量相乘的运算规则。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.准备教学PPT和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。

例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。

4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。

5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。

24.7向量的线性运算同步练习2024-2025学年九年级第一学期数学沪教版(1) 平面向量的分解(线性运算的含义、向量的线性组合)(1)要点归纳1. 理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果.2. 知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合. 疑难分析例1 如图24-41,□ABCD 中,AC, BD 相交于点O, BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,用a,b 的线性组合表示向量 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .例2 如图24-42,在△ABC 中,G,E 为AC 的三等分点,F,H 为BC 的三等分点, CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,写出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ，b 的线性组合，并通过向量证明EF ，GH ，AB 之间的位置关系.基础训练1. 在边长为1的正方形ABCD 中，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则 |a +b ⃗ +c |= , |a+c -b|= , |c-ā-b|= .2. 计算: (1)2(13a +12b ⃗ )−5(2a +14b ⃗ ); (2)(13a −23b ⃗ )−(56a +12b⃗ ).3. 已知向量α，b 不平行，x ，y 是实数，且 xa +yb ⃗ =3ya −(1+x )b ⃗ ,求x,y 的值.4. 如图，已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .如果 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (用向量a,b 表示).5. 如图,在平行四边形ABCD 中,M, N 分别为DC, BC 的中点,已知 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ,试用C ，a 表示 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .6. 已知向量 m 1⃗⃗⃗⃗⃗ ,m 2⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行，点A ，B ，C 共线，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m 1⃗⃗⃗⃗⃗ +km 2⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 1⃗⃗⃗⃗⃗ −4m 2⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数k 的值.7. 已知在 △ABC 中,点M 在AB 上,点 N 在AC 上, AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证： MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .8. 如图,在平行四边形ABCD 中,E 是AD 的中点,BE, AC 相交于点.F, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,用a,b 的线性组合表示向量 FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ .9. 如图,已知非零向量α,δ,以点O 为起点，求作 −32a +2b⃗ .O10. 如图,在平行四边形ABCD 中,点 E 在边 DC 上.若 DE EC =23,记 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ,用a 和b 表示 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ .拓展训练11. 如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是BC 延长线上的点,且 BE =2BC. (1) 用 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2) 用 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3) 设 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,求作 a −12b⃗ .(不要画在原图上)(2) 平面向量的分解(线性运算的含义、向量的线性组合)(2)要点归纳1. 知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量.2. 在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的辩证关系.疑难分析例1 如图24-43,已知AB ∥CD ∥EF,AB:CD :EF =2:3:5,BF =a. (1)BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =¯(用a 来表示)；(2)求作向量 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量. (不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)基础训练1. 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上 .用画图的方法，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的 .2. 在△ABC 中,中线AD 和BE 相交于点G,如果 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,那么向量 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3. 已知AM 是△ABC 的边BC 上的中线,若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,则AM 等于( ). A.12(a −b ⃗ ) B.12(b ⃗ −a ) C.12(a +b ⃗ ) D.−12(a +b⃗ ) 4. 若点O 为▱ABCD 的中心, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4m ⃗⃗ 1,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6m 2⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 3m 2⃗⃗⃗⃗⃗ −2m 1⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ). A.AO⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ C.CO ⃗⃗⃗⃗⃗ D.DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 已知m ，n∈R，则在以下各命题中，正确命题的个数为( ). ①m <0,a ≠0⃗ 时, ma 与a 的方向一定相反； ②m ≠0,a ≠0⃗ 时，mà与a 是平行向量； ③mn>0, ā≠0时, mā.与 na 的方向一定相同； ④mm <0,a ≠0⃗ 时，mā 与nā的方向一定相反. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 给出下列三个命题，其中真命题的个数是( ).①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 7. 点C 在线段AB 上,且 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若 AC⃗⃗⃗⃗⃗ =mBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m 的值等于( ). A. 23 B. 32 C.−23 D.−32 8. 已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +5b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +8b ⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a −b ⃗ ),则( ). A. A, B,D 三点共线 B. A,B, C 三点共线 C. B,C, D 三点共线 D. A, C, D 三点共线 9. 如图,在▱ABCD 中,下列结论错误的是( ). A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. 如图,已知平行四边形ABCD,点 M, N 是边DC, BC 的中点,设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ . (1) 求向量MN(用向量a,b 表示);(2) 在图中求作向量 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB,AD 方向上的分向量. (不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)。

沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册24.7节的内容，本节课的主要内容是向量的加法、减法和数乘运算。

这部分内容是向量学习的重点和难点，也是学生进一步学习几何、代数等数学分支的基础。

教材通过实例和练习引导学生理解和掌握向量线性运算的定义和性质，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，对数学概念和运算有一定的理解。

但是，向量的概念和运算相对抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。

此外，由于向量是初高中数学的衔接内容，学生需要在学习过程中建立良好的学习习惯和方法，为高中数学学习打下基础。

三. 教学目标1.理解向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

2.掌握向量线性运算的基本方法，能够熟练进行向量的加法、减法和数乘运算。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高运算能力。

4.通过对向量线性运算的学习，激发学生对数学的兴趣和好奇心。

四. 教学重难点1.向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

2.向量线性运算的实质和运算规律。

3.学生对向量线性运算的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和实例，引导学生理解和掌握向量线性运算的概念和性质。

2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生建立空间想象，直观理解向量线性运算。

3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在讨论中思考和解决问题，培养学生的团队协作能力。

4.通过练习和总结，巩固学生对向量线性运算的理解和应用。

六. 教学准备1.多媒体课件和教学素材。

2.向量模型和实物模型。

3.练习题和测试题。

4.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习前置知识，如初中阶段的代数和几何知识，引导学生进入学习状态。

利用实例引入向量的概念，引导学生回顾向量的定义和性质。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了向量的线性运算性质，包括向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法。

这部分内容是向量学习的重要部分，也是学生理解向量几何意义的关键所在。

通过这部分的学习，学生能够掌握向量的基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对向量的概念和几何意义有一定的理解。

但学生在运算方面的规律和性质的理解上可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，并通过大量的例子来帮助学生理解和巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握向量的线性运算性质，能够熟练地进行向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算。

2.过程与方法：通过实际问题，引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：向量的线性运算性质。

2.难点：向量的线性运算在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过实际问题引导学生抽象出向量的运算规律，通过案例讲解使学生理解向量运算的实质，通过小组合作让学生在讨论中巩固知识，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出向量的运算规律。

2.准备典型案例，用于讲解向量的运算规律。

3.分组学生，进行小组合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如物体在平面直角坐标系中的运动问题，引导学生思考如何进行向量的加法运算。

2.呈现（15分钟）呈现典型案例，讲解向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算的实质和规律。

3.操练（15分钟）让学生进行向量的线性运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。

第二十四章24.7（2）向量的线性运算
一、【教学目标】教学目标与要求的双向细目表
说明：
1、学习目标的排列与教学过程中目标的呈现顺序相一致。

2、学习要求分为A、B、C、D四个等级：
A：识记、了解、感知；
B：理解、领会、解释；
C：掌握、应用；
D：探究、评价。

二、新知应用
（一）课内检测题
1．如图六，已知平行四边形ABCD，点 M、N是边DC、BC 的中点，设AB a
=，AD b
=分别求向量MN、BN关于a、b的分解式.
图六
2．如图七，已知平行四边形ABCD的对角线AC 与BD相交于点 O，设,
OA a
=OB b
=，分别求向量OC、OD、AB、BC关于a、b的分解式.
C
A
图七
检测题达成度﹪（二）课后检测题：
1．如图，已知四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC 的中点，设AB a
=，AD b
=，分别求向量AM、AN、MN关于a、b的分解式．
A B
C
D M
N
2．如图，已知四边形ABCD ，点E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，AE 、CF 与对角线BD 分别交于点G 、H ，设BH a =，AG b =．
（1）试用a 、b 的线性组合表示向量CH 、CB ；
（2）作出向量CD 分别在a 、b 方向上的分向量．
G
H
F
A
B
C
D
E
检测题达成度 ﹪
三、教学效果检测
（检测题双向细目表）。

平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．1、平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．平面向量的线性运算内容分析知识结构模块一：实数与向量相乘知识精讲2、 平面向量的加减法则（1） 几个向量相加的多边形法则； （2） 向量减法的三角形法则； （3） 向量加法的平行四边形法则． 3、 实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka ． （1） 如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当k > 0时ka 与a 同方向；当k < 0时ka 与a 反方向．（2） 如果k = 0或0a =，那么0ka =． 4、 实数与向量相乘的运算律设m 、n 为实数，则 （1） ()()m na mn a =； （2） ()m n a ma na +=+； （3） ()m a b ma mb +=+． 5、 平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =． 6、 单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e 为单位向量，则1e =． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a ． 由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =．例题解析【例1】下列命题中的假命题是（）（A）向量AB与BA的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等【难度】★【答案】D【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量．【总结】此题主要考查向量的相关概念．【例2】填空：++=；+=；AB BC CAAB BC++=；AB BC BA++=；AE FC EFAB AC BC+-=．-+=；OA BC OC【难度】★【答案】AC；0；BC；AC；0；BA．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如AB AC CB-=是利用减法法则，箭头指向被减数，同时AB AC AB CA CA AB CB-=+=+=，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．ABDOA BCDEF G H O【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ．设OA a =，OB b =，试用a 、b 表示下列向量：OC ，OD ，AB ，BC ，CD ，DA ．【难度】★【答案】OC a OD b AB b a BC b a CD a b DA a b =-=-=-=--=-=+；；；；；． 【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:OC OA a =-=-；OD OB b =-=-；AB OB OA b a =-=-；BC OC OB a b =-=--；CD AB a b =-=-；DA BC a b =-=+．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例4】 已知非零向量a ，求作75a ，3a -．【难度】★【答案】略【解析】75a 与a 方向相同，长度是a 的75倍；3a -方向与a 相反，长度是a 的3倍，作图略．【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量．【例5】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AB a =，AD b =，试用向量a 或b 表示向量OE 、OF ，并写出图中与OG 相等的向量． 【难度】★【答案】11;22OE a OF b =-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；．【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以1111;2222OE AB a OF AD b ==-=-=-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；五个．【例6】 计算：()35a -⨯=；()()743a b a b a +--+= ；()()1123a b a b +--=．【难度】★【答案】151561166a ab a b -++；；．【解析】（1）()3515a a -⨯=-；（2）()()74377443611a b a b a a b a b a a b +--+=+-++=+； （3）()()1111111523223366a b a b a b a b a b +--=+-+=+． 【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．【例7】 用单位向量e 表示下列向量：（1）a 与e 方向相同，且长度为9； （2）b 与e 方向相反，且长度为5； （3）c 与e 方向相反，且长度为35．【难度】★【答案】3955a eb ec e ==-=-；；．【解析】此题主要考查用单位向量e 来表示已知向量,3955a eb ec e ==-=-；；．【例8】 已知非零向量a ，求作（1）22+3a a ；（2）4-25a a ．【难度】★★ 【答案】略【解析】28233a a a +=方向与a 相同，长度是a 的83倍；46255a a a -=-方向与a 相反，长度是a 的65倍，作图略．ABCDE【例9】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE //BC ，AD = 4，BD = 7，试用向量BC 表示向量DE ． 【难度】★★ 【答案】411DE BC =． 【解析】∵47AD BD ==，，∴411AD AB =， 又∵//DE BC ， ∴DE ADBC AB=．∴411DE BC =． 【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注意方向是否相同．【例10】下列说法中，正确的是（ ）A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【难度】★★ 【答案】D【解析】A 选项向量与零相乘，结果是零向量；B 选项向量可以与任何实数相乘；C 选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定． 【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则． 【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，且AF a =，AE b =，用a 、b 表示DB ，其结果是．【难度】★★【答案】22DB b a =-．【解析】222222DB DA AB FA AE AE AF b a =+=+=-=-． 【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则．【例12】 如果5OA =，3OB =，那么AB 的取值范围是 ．【难度】★★ 【答案】28AB ≤≤．【解析】AB OA OB =-,当O 、A 、B 三点共线时，OA OB -分别取最大值与最小值，,OA OB 同向时取最小值2，方向相反时取最大值8，所以28AB ≤≤． 【总结】此题主要考查向量的模的概念． 【例13】计算：（1）3322a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）()()32523a b a b +--； （3）()1123322a b c b c ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）1322a b --；（2）17b ；（3）32a b c -+．【解析】（1）333313222222a b a a b a a b ⎛⎫--=--=-- ⎪⎝⎭；（2）()()325236156217a b a b a b a b b +--=+-+=；（3）()1113332333222222a b c b c a b c b c a b c ⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪⎝⎭． 【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例14】设a 、b 是已知向量，解关于向量c 的方程42307c a b +-=．【难度】★★【答案】2372c b a =-．【解析】解：∵42307c a b +-=，∴4237c b a =-，∴2372c b a =-．【总结】此题主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量．a【例15】 已知向量a 、b 满足()3132525a b a b a b +--=+，求证：向量a 和b 平行． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】()3132525a b a b a b +--=+ 去分母：2(3)5()2(32)a b a b a b +--=+ 去括号：265564a b a b a b +-+=+ 移项合并得：79b a = 系数化1：97b a =所以，向量a 和b 平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行． 【例16】已知324a b c +=，25a b c -=，其中0c ≠，那么向量a 与b 是否平行？【难度】★★ 【答案】平行．【解析】联立方程组：32425a b c a b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a cb c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以，向量a 与b 平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行． 【例17】如图，已知a ，求作13a -【难度】★★★ 【答案】略【解析】AD a =作，过点D 作线段BC ，使得D 是BC 中点，联结、AC ．取AC 中点，则AD 、BE 分别是三角形ABC 心的性质可知：13DG a =-为所求作向量.【总结】此题主要是利用重心的性质定理来求作一个向量．CA【例18】 已知梯形ABCD 中，AD //BC ，且AD = 2AB = 2CD ，60B ∠=︒． （1）若AD kBC =，求实数k 的值；（2）若0xAB BC yDC ++=，求实数x 、y 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）23k =；（2）3,3x y ==-. 【解析】（1）如图，过点A 、D 分别作梯形的高AE 、DF ，设AB ＝CD ＝a ，则2AD EF a ==，∵∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴2a BE =，同理2aCF =，可得3BC a =，∵AD BC ，∴22,33AD BC k ==即.（2）延长BA 、CD 相交于点G ，易得BCG 、ADG 是等边三角形，所以3GB GC a ==，根据三角形法则，0GB BC CG ++=，又∵3,3GB AB CG DC ==-，∴33033AB BC DC x y +-===-，即，.【例19】a 、b 是已知向量，且a 、b 不平行，c 是未知向量，且1230a b c -+=，表示13a 、4b -、c 的有向线段能构成三角形吗？ 【难度】★★★ 【答案】能构成三角形.【解析】因为1230a b c -+=,两边同时除以3,得1403a b c -+=,因为a 、b 不平行，所以13a 、4b -、c 不共线，即13a 、4b -、c 能构成三角形.【总结】在三角形ABC 中，0,AB BC CA ++=同理若0a b c a b c ++=，，不共线，且，则表示a b c ，，的三条有向线段能构成三角形.【例20】 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--． 求证：四边形ABCD 为梯形．【难度】★★★ 【答案】略【解析】∵245382AD AB BC CD a b a b a b a b =++=+----=--，4BC a b =--，∴2(4)2AD a b BC =--=， ∴//AD BC ．∴四边形ABCD 是梯形．【总结】本题主要考查平行向量与两条直线平行的关系．1、 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如25a b +、3a b -、()23a b +、3553a a b ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等，都是向量的线性运算．一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成c xa yb =+的形式，其中x 、y 是实数． 2、 向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【例21】 如图，已知非零向量a 、b ，以点O 为起点，求作向量322a b -+．【难度】★ 【答案】略【解析】作法（作图过程略）：以O 为起点，作2OA a =-，以A 为起点，作32AB b =，联结OB ．则322OB a b =-+，为所求作图形．【总结】本题主要是通过向量的线性运算表示出向量之后，再利用向量的加减运算法则来作图．模块二：向量的线性运算知识精讲例题解析ab O【例22】 计算：（1）111252324a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12513362a b a b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）28134a b --；（2）1726a b --． 【解析】（1）11125281252103243434a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12511251173362336226a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--+=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例23】 已知向量a 、b 不平行，x 、y 是实数，且()31xa yb ya x b +=-+，求x 、y 的值． 【难度】★【答案】∵()31xa yb ya x b +=-+，∴3(1)x yy x =⎧⎨=-+⎩．解得：3414x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法．【例24】如图，已知向量OA 、OB 和a 、b ，求作： （1）向量a 分别在OA 、OB 方向上的分向量； （2）向量b 分别在OA 、OB 方向上的分向量．【难度】★★ 【答案】略【解析】作法（作图略）：（1）以a 的起点，分别作OB 、OA 的平行线OC 、OD ，以a 的终点分别作OC 、OD 的平行线，交于E 、F 两点，则OE OF a OA OB ，是在，方向上的分向量． （2）作法同（1）．【总结】本题主要考查求一个向量的分向量的方法．ABCD EO【例25】若()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，其中a 、b 、c 为已知向量，求未知向量x ． 【难度】★★【答案】4112177x a b c =-+．【解析】∵()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，∴321122322x x a b c +=-+．∴4112177x a b c =-+． 【总结】本题考查解向量方程，思想类比普通方程的解法：去分母→去括号→移项→合并化简→系数化1. 【例26】已知O 为ABC ∆内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且12AD DB =，DE //BC ．设OB b =，OC c =，试用b 、c 表示DE ．【难度】★★【答案】1133DE b c =-+.【解析】∵BC BO OC b c =+=-+，又∵DE //BC ，12AD DB =， ∴13DE BC =，即13DE BC =． ∴1133DE b c =-+．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助三角形一边平行线的性质定理求解向量．A BC DNMABCDE【例27】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM m =，AN n =，试用m 、n 表示AB 和AD ．【难度】★★【答案】42334233AB n m AD m n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.【解析】由题意得，AB BN AN AD DM AM⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 即1212AB AD n AD AB m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解方程组，得42334233AB n m AD m n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助平行四边形的性质以及向量的加减法则来表示向量．【例28】如图，在ABC ∆中，D 是AB 边的中点，E 是BC 延长线上一点，且BE = 2BC ． （1）用BA 、BC 表示向量DE ； （2）用CA 、CB 表示向量DB ．【难度】★★【答案】（1）12;2DE BA BC =-+（2）1122DB CB CA =-.【解析】（1）∵DE DB BE =+，D 是AB 边的中点，且BE ＝2BC∴122DE BA BC =-+；（2）∵12DB AB =， ∴111()222DB AC CB CB CA =+=-． 【总结】平面向量的分解，关键点是将已知向量用向量的加减法则改写成分解式，再乘以相关的系数来完成各个方向的分解.FA B CE GHABCDNM【例29】 如图，平行四边形ABCD 中，点M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a =，AD b =，分别求向量MN 、BN 关于a 、b 的分解式． 【难度】★★【答案】111;222MN a b BN b =-=.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AD BC AB DC ==．又∵M 、N 是边DC 、BC 的中点， ∴11()22MN MC CN AB AD =+=+-． 即1122MN a b =-， 11=22BN BC b =．【总结】本题一方面考查向量在某个方向上的分向量的概念，另一方面与几何图形结合，利用相关性质完成求解过程．【例30】已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，分别求向量OC 、OD 、AB 、BC 关于a 、b 的分解式． 【难度】★★【答案】OC a OD b AB a b BC b a =-=-=-+=--；；；. 【解析】本题考查平面向量的分解，结合平行四边形性质应用.【例31】如图，在ABC ∆中，G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，CA a =，BC b =，写出AB 、EF 、GH 关于a 、b 的线性组合，并通过向量证明EF 、GH 、AB 之间的位置关系．【难度】★★★ 【答案】EF GH AB .【解析】∵AB AC CB a b =+=--，又∵G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，∴2233GH GC CH a b =+=--，1133EF EC CF a b =+=--，∴21,33GH AB EF AB ==．即EF GH AB ．【总结】本题主要是考查如何在几何图形中借助几何图形的性质来表示未知向量．ABCDE F ONM【例32】 已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点D 、E 、F 在射线ON 上，1OB OEk OA OD==，2OC OFk OA OD==．设OA a =，OD b =． （1）分别求向量AD 、BE 、CF 关于a 、b 的分解式； （2）判断直线AD 、BE 、CF 是否平行．【难度】★★★【答案】（1）12()()AD a b BE k b a CF k b a =-+=-=-；；； （2）直线AD 、BE 、CF 两两平行． 【解析】（1）AD AO OD a b =+=-+；∵1OB OE k OA OD ==，2OC OFk OA OD==， ∴1122OB k OA OE k OD OC k OA OF k OD ====，，，． ∴111()BE BO OE k OA k OD k b a =+=-+=-．同理2()CF k b a =-；（2）∵12;BE k AD CF k AD ==，∴直线AD BE CF 、、两两平行．【总结】本题考查利用向量证明直线平行位置关系．【习题1】以非零向量a为参照，分别说出向量3a、53a-、()5a--的方向和长度．【难度】★【答案】3a与a方向相同，长度是a的3倍；5 3 a-与a方向相反，长度是a的53；5()5a a--=方向与a相同，长度是a的5倍.【解析】本题主要考查共线向量的方向和大小问题．【习题2】已知非零向量k，2a k=-，5b k=，用a表示b，其结果是．【难度】★【答案】52b a =-.【解析】∵2a k=-，5b k=，∴52ba=．又∵b a与方向相反，∴52b a =-．【总结】本题一方面考查向量的线性运算，一方面考查了相反向量的概念，注意两个向量互为相反向量时的符号关系．【习题3】已知不平行的两个向量a、b，求作向量2a b-+．【难度】★【答案】略【解析】作法:以O为起点,作OA b=,以O为起点,作2OB a=,则=2OA OB BA b a-=-.所以BA为所求作图形.【总结】本题主要考查如何根据已知向量求作未知向量．随堂检测【习题4】 下列命题中，错误的个数是（）○1若a 、b 都是单位向量，则a b =； ○2若m = 0或0a =，则0ma =； ○3设m 、n 为实数，则()m n a ma na +=+； ○4任意非零向量a ，与a 同方向的单位向量是0a ，则0a a =． （A ）1个（B ）2个 （C ）3个 （D ）4个【难度】★★ 【答案】C【解析】选项①：单位向量的方向是任意的；选项②：零与向量相乘的结果是零向量，而不是零；选项④：只能判断方向，大小不确定，所以错误的个数有3个. 【总结】本题主要是考查与向量有关的概念，解题时要注意认真辨析．【习题5】 已知，在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB AD =，那么四边形ABCD 是．【难度】★★ 【答案】菱形． 【解析】∵AB DC =，∴AB CD AB CD =且． ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵AB AD =，∴AB ＝AD ．∴四边形ABCD 是菱形．【总结】本题主要是根据向量之间的关系判断出向量所对应的线段的位置及数量关系，从而得到几何图形的具体特征．【习题6】 设a 、b 、c 是向量，m 、n 是实数，化简：（1）()()()()m na b c n ma b c n m b c +--+-+--； （2）()()2222mna mb nc m na b nc +--++．【难度】★★【答案】（1）0；（2）0．【解析】（1）去括号：()()mna mb mc mna nb nc n m b m n c =+---++-+-化简合并：000a b +=；（2）方法同上．【总结】本题考查向量的化简合并，在去括号时要注意变号问题．【习题7】 M 、N 是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点，若AB a =，AC b =，用a ，b 表示MN ． 【难度】★★【答案】当M 点靠近B 点时，1133MN b a =-；当M 点靠近C 点时，1133MN a b =-.【解析】本题考查向量的分解，此题容易漏解,M 、N 是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点，有两种位置关系，当M 点靠近B 点时，1133MN b a =-；当M 点靠近C 点时，1133MN a b =-.【习题8】 已知ABC ∆的边BC 的中点为O ，设OA a =，OB b =，分别求向量AB 、AC 、BC 关于a 、b 的分解式．【难度】★★【答案】2AB b a AC a b BC b =-=--=-；；. 【解析】AB OB OA b a =-=-；因为O 为边BC 的中点，所以OC OB =-，即AC OC OA b a =-=--；2BC b =-．【总结】本题主要考查向量分向量的相关作图及概念．ABCD E F G【习题9】 已知向量a 、b 不平行，点A 、B 、C 共线，且2AB a kb =+，4AC a b =-，求实数k 的值． 【难度】★★★ 【答案】8k =-．【解析】∵点A 、B 、C 共线，∴()AB AC λλ=为实数．∵122()2AB a kb a kb =+=+ ，4AC a b =-，∴2142k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴8k =-．【总结】本题主要考查向量的线性运算以及当两个向量共线时所具有的性质．【习题10】 如图，已知平行四边形ABCD ，点E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，G 为交点，若AB a =，AD b =，试以a 、b 表示DE 、BF 、CG ． 【难度】★★★【答案】11112233DE a b BF b a CG a b =-=-=--；；．【解析】（1）11()22DE DC CE AB AD a b =+=+-=-；（2）11()22BF BC CF AD AB b a =+=+-=-；（3）联结BD ．∵E 、F 分别是边BC 、DC 的中点， ∴G 是三角形BCD 的重心，∴12FG GB =． ∵1111111()()()()2323232CG CF FG a FB a BF a b a =+=-+=--=---，∴1133CG a b =--．【总结】本题主要考查平行四边形背景中平面向量的线性运算,其中第三问重心的应用非常巧妙．【作业1】 已知，向量AB 的方向是东南方向，且5AB =，那么向量2AB -的方向是；2BA -=．【难度】★【答案】西北方向；10．【解析】本题考查共线向量的方向和大小．【作业2】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设CG a =，CH b =，试用a 、b 表示向量DC 、FH 和BD ．【难度】★【答案】2222DC b FH a BD b a =-=-=-；；． 【解析】∵H 是CD 中点，∴22DC CH b =-=-．∵E 、F 、G 、H 分别为平行四边形各边的中点， ∴利用平行四边形的性质，可得：22FH CG a =-=-；22BD CD CB b a =-=-．【总结】本题主要是在平行四边形的背景下，利用平行四边形的相关性质用已知向量来表示未知向量．【作业3】 下列说法正确的有（）个（1）零向量是没有方向的向量； （2）零向量的方向是任意的； （3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B【解析】本题考查零向量的概念，零向量的方向是任意的，与任何向量共线．课后作业A BCDEFGH O【作业4】 已知不平行的两个向量a 、b ，求作向量()51222a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．【难度】★★【答案】化简结果得3522a b -+，作图略．【解析】本题考查向量的合成，利用三角形法则或者平行四边形法则完成作图即可．【作业5】 下列结论中，正确的是（）（A ）2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量 （B ）若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量（C ）若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量（D ）计算向量的模与单位长度无关 【难度】★★ 【答案】C【解析】选项A 是错误的，因为单位向量是相对向量，1个单位长度不代表就是1厘米或者1米，如果把2004厘米长的有向线段作为基准的话，它本身就是单位向量．【作业6】 若31122202245p q m q p m ⎛⎫⎛⎫---++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中p 、q 为已知向量，求未知向量m ． 【难度】★★ 【答案】4157m p q =-+. 【解析】去括号：3311120244210p q m q p m --+-+=； 去分母：30155102400p q m q p m --+-+=；（可以不去分母） 移项合并：35285m p q =-+； 系数化1：4157m p q =-+． 【总结】本题考查解方程的步骤，需要熟练的计算能力．ABCDPQR【作业7】 如图，四边形ABCD 中，点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点．设AD a =，BC b =，试用a 、b 表示向量PQ ．【难度】★★【答案】1122PQ a b =-．【解析】∵点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点，∴RQ PR BAD ABC 、分别是和的中位线． ∴12RQ AD RQ AD =，；12RP BC RP BC =，． ∴1122RQ AD RP BC ==；． 又∵PQ RQ RP =-， ∴1122PQ a b =-．【总结】本题主要结合三角形中位线考查向量的分解．【作业8】 已知ABC ∆中，点M 在A B 上，点N 在AC 上，13AM AB =，13AN AC =． 求证：13MN BC =．【难度】★★ 【答案】略【解析】∵MN MA AN =+，13AM AB =，13AN AC =， ∴1133MN AB AC =-+1()3AC AB =- 13BC =． 【总结】本题主要考查向量的线性运算．aABCDEFM【作业9】 如图，点M 是的重心，则MA MB MC +-为（）（A ）0（B ）4ME（C ）4MD（D ）4MF【难度】★★★ 【答案】D【解析】延长MF 到点G ，使得MF ＝FG ，联结AG ，易证MFB GFA ≅．∴,MB AG MB AG =，∴2MA MB MA AG MG MF +=+==． 又∵点M 是三角形的重心， ∴2CM MF =，即2CM FM =．∴MA MB MC +-=4MF ．【总结】本题结合三角形重心考查向量的线性运算，另外我们可证+0MA MB MC +=．【作业10】 如图，已知a ，求作3a （提示：利用勾股定理）． 【难度】★★★ 【答案】略 【解析】作法：（1）作OA a =，过点O 作OA 的垂线，截取OB ＝OA ；（2）以点B 为顶角，作∠OBD ＝60°，交OA 的延长线于点D ；（3）设a 的模长为m ，根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理，得3OD m =； （4）3OD a a 与方向相同，长度是 的倍； （5）所以，=3OD a ，为所求作向量．【总结】本题主要是借助几何图形的性质来求作向量．。