2020年中招数学复习考前考点模拟导航练：实数与向量相乘(含解析)

实数与向量的积一．知识清单1. 实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） ；（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向 ；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向 ；0λ=时，λa = 。

2. 实数与向量的积的运算律：设R λμ∈，则 （1）()a λμ= ； （2）()λμ+a = ；（3）λ（a+b ）= ； 3．两个向量共线的充要条件向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 ，使得b=λa 4. 平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， ，使得1122a e e λλ=+5．基底用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量，叫做 。

6．三点共线的充要条件,O A O B 不共线，三点A 、B 、P 共线的充要条件是()AP t AB t R =∈ 二．基础训练1．已知a =12e e +,b =122e e -,则向量a+2b 与2a-b （ ）A 一定共线B 一定不共线C 仅当12e e 与共线时共线D 以上均不成立 2．在ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB =a ，AD =b ，则下列选项中与12-a +12b 相等的向量是（ ）A MAB MBC MCD MD 3．设四边形ABCD 中，有12DC AB =，且AD BC =，则这个四边形是（ ） A 平行四边形 B 矩形 C 等腰梯形 D 菱形4．已知向量12,e e 不共线，实数x,y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+，则x-y 的值等于（ ）A 3B -3C 0D 25．若M 是ABC ∆的重心，则下列各向量中与AB 共线的是（ ） A AB BC AC ++ B AM MB BC ++ C AM BM CM ++ D 3AM AC +6．若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则a = b 7．已知向量12,e e 不共线（1）若12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求证A 、B 、D 三点共线； （2）向量12e e λ-与12e e λ-共线，求实数λ的值 三．强化训练1．（2005山东）已知向量a 、b 且AB =a+2b ，BC =-5a+6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（ ）A A 、B 、D B A 、B 、C C C 、B 、D D A 、C 、D 2．（2006广东）如图D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ） A 12BC BA +B 12BC BA -+ C 12BC BA -- D 12BC BA -3．如图，在ABC ∆中，OA =a ，OB =b,M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为ON 、AM 的交点，则AP 等（ ）A23a 13- b B 23-a 13-b C 13a 23-b D 13-a 23+ b4．（2006武汉）如图所示），已知43AP AB =，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于（ ）A 1433OA OB -+B 1433OA OB +C 1433OA OB -D 1433OA OB --BCD AAO MNPB。

人教版高中数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算同步精练【考点梳理】考点一向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反.特别地，当λ＝0时，λa ＝0.，当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .考点二向量数乘的运算律1.(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .考点三向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【题型归纳】题型一：向量的线性运算1．（2021·山东邹城·高一期中）已知向量a ，b ，实数m ，n （0m ≠，0n ≠），则下列关于向量的运算错误的是（）A ．()m a b ma mb -=-B ．()m n a ma na -=-C ．若0ma =，则0a =D ．若ma na =，则m n=2．（2021·全国·高一课前预习）若a b c =+，化简()()()32232a b b c a b +-+-+的结果为（）A ．a-B ．4b-C ．cD ．a b-3．（2021·四川省蒲江县蒲江中学高一阶段练习）已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为（）①()m a b ma mb -=-；②()m n a ma na -=-；③若ma mb =，则a b =；④若ma na =，则m n =．A ．①④B ．①②C ．①③D ．③④题型二：平面向量的混合运算4．（2021·全国·高一课时练习）若O 为ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形5．（2021·福建福州·高一期中）在五边形ABCDE 中EB a =，AD b =，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（）A ．3122a b+B ．2133a b+C ．1122a b+D ．3144a b+6．（2020·全国·高一课时练习）在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且11,.33AP AB BQ BC ==若AB a =，AC b =，则PQ ＝（）A ．1133a b+B ．1133a b-+C ．1133a b-D ．1133a b--题型三：向量的线性运算的几何应用7．（2021·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图，ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（）A ．23BG BE =B ．12DG AG =；C ．121332DA FC BC +=uu u r uu u r uu u r D ．2CG FG=-8．（2021·四川资阳·高一期末）如图，在ABC 中，D 为线段BC 上一点，2CD DB =，E 为AD 的中点．若AE AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．14B ．13C ．12D ．239．（2021·内蒙古·林西县第一中学高一期中（文））已知点M 是ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB +B ．1162AC AB +C ．1126AC AB +D ．1263AC AB +题型四：三角形的心的向量表示10．（2021·陕西渭滨·高一期末）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，0OA OB OC ++=，则:OBCABCS S=（）A ．12B ．13C ．14D ．1511．（2021·山东师范大学附中高一期中）如图，O 是ABC 的重心，AB a =，AC b =，D 是边BC 上一点，且4BD DC =，则（）A ．271515OD a b =-+B ．271515OD a b =-C ．271515OD a b =--D ．271515OD a b =+12．（2021·全国·高一课时练习）已知点O 、N 、P 在ABC 所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r，则点O 、N 、P 依次是ABC 的（）A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【双基达标】一、单选题13．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()223a b b a a +--=；③()()220a b b a +-+=．A ．0B ．1C ．2D ．314．（2021·全国·高一课时练习）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足=+()OP OA AB AC λ→→→→+，()0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心15．（2021·全国·高一课时练习）若23AB BC =-，则下列各式中不正确的是（）．A ．32CB AB =B ．2BA AC=C ．13CA BC=-D ．12AC AB =16．（2021·上海·高一课时练习）已知平面上不共线的四点,,,O A B C ，若430OA OB OC -+=，则AB BC等于（）A ．13B ．12C ．3D ．217．（2021·全国·高一课时练习）设向量1OA e =，2OB e =，若1e 与2e 不共线，且点P 在线段AB 上，:2AP PB =，则OP =（）A ．121233e e -B ．122133e e +C ．121233e e +D ．122133e e -18．（2021·安徽·定远县育才学校高一阶段练习（文））下列叙述不正确的是（）A ．若,a b 共线，则存在唯一的实数λ，使λa b =．B ．3b a =(a 为非零向量)，则,a b 共线C ．若334,22m a b n a b =+=+，则//m nu r r D ．若0a b c ++=，则a b c+=-19．（2021·福建浦城·高一阶段练习）如图，在△ABC 中，AN ＝23NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝t AB ＋13AC ，则实数t 的值为（）．A ．16B ．13C ．23D ．5620．（2021·云南隆阳·高一期中）已知在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，连接EF 交AC 于点M ，且满足4BE EA =，3AF FD =，23AM AB AC λμ=-，则1952λμ-=（）A ．-3B ．1C ．32-D ．1221．（2021·河南郑州·高一期末）已知ABC 的边BC 上有一点D 满足2BD DC →→=-，则AD →可表示为（）A ．2AD AB AC →→→=-+B ．1233AD AB AC →→→=+C ．2AD AB AC→→→=-D ．2133AD AB AC →→→=+22．（2021·江西宜春·高一期末）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为()A ．19B ．13C ．1D ．3【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一专题练习）已知点,O N 在△ABC 所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，则点,O N 依次是△ABC 的（）A ．重心外心B ．重心内心C ．外心重心D ．外心内心24．（2021·湖南·常德市第二中学高一期末）在等边ABC 中，点E 在中线CD 上，且6CE ED =，则AE =（）A ．1377AC AB +B ．13377AC AB -C ．3177AC AB +D ．31377AC AB -25．（2021·全国·高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（）①()7642a a -⨯=-；②()2223a b a b a -++=；③()0a b a b +-+=.A ．0B ．1C ．2D ．326．（2021·江苏省梅村高级中学高一阶段练习）在ABC 中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F ．若3177AF AB AC =+，则 ACAD的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．527．（2021·全国·高一课时练习）设a ，b 都是非零向量.下列四个条件中，使||||a ba b =成立的条件是（）A ．a b =-B ．//a b r rC ．2a b=D ．//a b r r且=a b28．（2020·全国·高一）点M ，N ，P 在ABC 所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC 的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心二、多选题29．（2021·全国·高一课时练习）（多选）已知43AB AD AC -=，则下列结论正确的是（）A ．A ，B ，C ，D 四点共线B ．C ，B ，D 三点共线C ．||||AC DB =D ．||3||BC DB =30．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高一阶段练习）下列说法错误的是（）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若230OA OB OC ++=，AOCS，ABCS分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△C ．两个非零向量,a b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若向量a b ≠，则a 与b 一定不是共线向量31．（2021·河北承德第一中学高一阶段练习）对于非零向量a →，下列说法正确的是（）A ．2a →的长度是a →的长度的2倍，且2a →与a →方向相同B ．3a →-的长度是a →的长度的13，且3a →-与a →方向相反C ．若0λ=，则a λ→等于零D ．若1aλ→=，则a λ→是与a →同向的单位向量32．（2021·湖南·高一期末）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（）A ．43B ．32C ．53D ．333．（2021·福建三明·高一期中）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论中正确的是（）A ．//AD BCuuu r uu u r B ．22OA OD ⋅=-C ．0=OB OD D ．22AF =-三、填空题34．（2021·全国·高一课时练习）已知D ，E ，F 分别为ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，BC a =，CA b =．给出下列五个命题：①AB a b =+uu u r r r ；②12BE a b =+；③1122CF a b =-+；④1122AF a b =--；⑤0AD BE CF ++=．其中正确的命题是________．（填序号）35．（2021·全国·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，12DE EC BF FC ==，，若AC =λA E +μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ+μ=_______.36．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知△ABC 中，点D 在边AB 上，且2BD DC =，设AB a =，BC b =，那么AD 等于________（结果用a 、b 表示）37．（2021·全国·高一课时练习）设平面内四边形ABCD 及任一点O ，,OA a OB b ==uu r r uu u r r ．,OC c OD d ==．若a c b d+=+r r r u r且||||a b a d -=-．则四边形ABCD 的形状是_________．四、解答题38．（2021·全国·高一课时练习）在四边形ABCD 中，已知2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b 是不共线的向量，试判断四边形ABCD 的形状．39．（2021·全国·高一课时练习）计算：（1）()()35326a b a b --+；（2）()()4352368a b c a b c -+---+．40．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知32a i j →→→=+，2b i j →→→=-，求12(2)33a b a b b a →→→→→→⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）已知向量,a b →→，且52x y a →→→+=，3x y b →→→-=，求x →，y →.41．（2021·全国·高一课时练习）如图，在ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =．（1）用a ，b 表示AD ，A E ，AF ，BE ，BF ；（2）求证：B ，E ，F 三点共线．42．（2021·全国·高一课时练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，G 是线段AD 上一点，且2AG BDDG CD==，过点G 作直线与AB ，AC 分别交于点E ，F .（1）用向量AB ，AC 表示AD .（2）试问2AB AC AE AF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案详解】1．D 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】由题意，向量a ，b ，实数m ，n （0m ≠，0n ≠），由向量的运算律可得，()m a b ma mb -=-，故选项A 正确；由向量的运算律可得，()m n a ma na -=-，故选项B 正确；若0ma =，因为0m ≠，则0a =，故选项C 正确；当0a =时，ma na =，此时m 和n 不一定相等，故选项D 错误．故选：D ．2．A 【分析】根据已知条件结合a b c =+，利用向量的线性运算即可求解.【详解】()()()32232a b b c a b+-+-+366222a b b c a b=+----()2222a b c b c b c b c a =--=+--=-+=-，故选：A.3．B 【分析】①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.【详解】对于①：根据数乘向量的法则可得：()m a b ma mb -=-，故①正确；对于②：根据数乘向量的法则可得：()m n a ma na -=-，故②正确；对于③：由ma mb =可得()0m a b -=，当m ＝0时也成立，所以不能推出a b =，故③错误；对于④：由ma na =可得()0m n a -=，当0a =，命题也成立，所以不能推出m ＝n .故④错误；故选：B4．A 【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，()0CB OB OA OC OA ⋅-+-=,()()220AB AC AB AC AB AC -⋅+=-=，所以AB AC c b =⇒=，所以三角形ABC 是等腰三角形.故选：A 5．C 【分析】由向量的加法运算得到MN MA AB BN =++，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.【详解】12MN MA AB BN EA AB =++=++12BD()()1122EA AB AB BD =+++12EB =+111222AD a b =+,故选：C 6．A 【分析】由已知得到11,.33AP AB BQ BC ==利用PB AB AP =-，得到23PB AB =，利用PQ PB BQ =+及BC AC AB =-和平面向量的线性运算法则运算即得.【详解】由已知可得11,.33AP AB BQ BC ==1233PB AB AP AB AB AB =-=-=，()2121111133333333PQ PB BQ AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即可得解.7．B【分析】利用向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】依题意ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，所以G 是三角形ABC 的重心.所以23BG BE =，A 选项正确.12DG AG =-，B 选项错误.121332DA FC DG GC DC BC +=+==，C 选项正确.2CG FG =-，D 选项正确.故选：B8．C【分析】根据平面图形的性质以及平面向量的基本定理和线性运算，对应系数相等即可求出λμ，的值，进而求出结果.【详解】因为D 为线段BC 上一点，2CD DB =，所以2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，且E 为AD 的中点，所以112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，又因为AE AB AC λμ=+，因此1136λμ==，，所以12λμ+=，故选：C.9．B【分析】根据向量的加法运算可得EM EC CM =+和减法运算可得CB AB AC =-，结合条件,可得答案.【详解】由2EC AE =，则23EC AC =则()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B10．B【分析】题目考察三角形四心的问题，易得：O 为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系【详解】如图所示，由0OA OB OC ++=得：O 为三角形ABC 的重心，是中线的交点，且23AO AD =，所以，1:3OBC ABC h h =，底边为BC ，所以，1::3OBC ABC OBC ABC h SS h ==故选：B11．A【分析】由O 是ABC 的重心，可知()13OB BA BC =-+，又OD OB BD =+,45BD BC =,BC AC AB =-，化简即可.【详解】由O 是ABC 的重心，可知()13OB BA BC =-+，又OD OB BD =+,45BD BC =,BC AC AB =-,故()141735315OD OB BD BA BC BC BA BC =+=-++=-+()17272731515151515AB AC AB AB AC a b =+-=-+=-+，故选：A.12．C【分析】由||||||OA OB OC ==知O 是ABC 的外心；利用共起点向量加法将0NA NB NC ++=变形为共线的两向量关系，得到N 点在中线上的位置，从而判断为重心；由PA PB PB PC ⋅=⋅移项利用向量减法变形为0PB CA ⋅=，得出PB 为CA 边上的高，同理得PC 为AB 边上的高，故为垂心.【详解】||||||OA OB OC ==，则点O 到ABC 的三个顶点距离相等，∴O 是ABC 的外心.0NA NB NC ++=，NA NB NC ∴+=-，设线段AB 的中点为M ，则2NM NC =-，由此可知N 为AB 边上中线的三等分点(靠近中点M )，所以N 是ABC 的重心.PA PB PB PC ⋅=⋅，()0PB PA PC PB CA ∴⋅-=⋅=.即PB CA ⊥，同理由PB PC PC PA ⋅=⋅，可得PC AB ⊥.所以P 是ABC 的垂心.故选：C.【点睛】关于ABC 四心的向量关系式：O 是ABC 的外心||||||OA OB OC ⇔==222OA OB OC ⇔==；O 是ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=；O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅；O 是ABC 的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.(其中a b c 、、为ABC 的三边)13．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①()326a a -⋅=-，由数乘运算知正确；②()()223a b b a a +--=，由向量的运算律知正确；③()()220a b b a +-+=，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C14．C【分析】取BC 的中点D ，由已知条件可知动点P 满足=+()OP OA AB AC λ→→→→+，()0,λ∈+∞，易得2AP AD λ→→=，则点,,A D P 三点共线，进而得到点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.【详解】解：设D 为BC 的中点，则=+()2OP OA AB AC OA AD λλ→→→→→→+=+，则2OP OA AD λ→→→-=，即2AP AD λ→→=，,,A D P ∴三点共线，又因为D 为BC 的中点，所以AD 是边BC 的中线，所以点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：C.15．D【分析】根据向量的数乘的定义判断．【详解】如图，由23AB BC =-知C 在BA 延长线上，且12AC AB =，因此由向量数乘定义知ABC 三个选项均正确，D 错误．故选：D ．16．C【分析】由已知可得()3OA OB OB OC --=，即3AB BC -=-，从而可得答案.【详解】解：由430OA OB OC -+=，得()3OA OB OB OC --=，即3AB BC -=-，所以3AB BC =，即3AB BC =，故选：C.17．C【分析】根据向量线性关系的几何意义得到,,OP OA OB 的线性关系，即可知正确选项.【详解】由2,,3OP OA AP AP AB AB OB OA =+==-，∴121122212()()3333OP OA OB OA e e e e e =+-=+-=+.故选：C18．A【分析】选项A ：要注意0b =时不成立；选项B ：由3b a =得到,a b 方向相同，从而得到,a b 共线；选项C ：由条件得到2m n =，从而//m n u r r ；选项D ：通过移项可知选项D 显然正确.【详解】选项A ：当0b =时，满足,a b 共线，但不满足存在唯一的实数λ，使λa b =成立，此时不存在实数λ，使λa b =成立，所以选项A 错误；选项B ：若3b a =，则,a b 方向相同，所以,a b 共线，所以选项B 正确；选项C ：因为3342222m a b a b n ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以//m n u r r ，所以选项C 正确；选项D ：若0a b c ++=，则a b c +=-，选项D 正确.故选：A ．19．A【分析】由向量的线性运算可得56AP t AB AN =+，再由平面向量共线定理的推论即可得解.【详解】因为AN 23NC =，所以25AN AC =，所以AP =t AB 11553326AC t AB AN t AB AN +=+⨯=+，又P 是BN 上一点，所以516t +=，解得16t =.故选：A.20．D【分析】因为E ，F ，M 三点共线，故可考虑将AM 用,AE AF 表示，再结合三点共线满足的性质计算即可【详解】因为AC AB AD =+，所以2323()(23)3AM AB AC AB AB AD AB AD λμλμλμμ=-=-+=--.因为4BE EA =，3AF FD =，故45,3AB AE AD AF ==,所以5(23)4AM AE AF λμμ=--.因为E ，F ，M 三点共线，所以4(2)531λμμ--=，10191λμ-=，所以191522λμ-=.故选：D21．A【分析】由已知得出向量BC 与向量BD 的关系，再利用平面向量基本定理即可求解．【详解】因为ABC 的边BC 上有一点D 满足2BD DC →→=-，所以2BD CD →→=，则12BC BD DC BD →→→→=+=，所以22()2AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC →→→→→→→→→→=+=+=+-=-+，故选：A22．A【分析】利用向量的线性运算将条件2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭化为89AP mAB AN =+，再根据B 、P 、N 三点共线，得出819m +=，解得19m =.【详解】由题意可知，13AN NC =，所以4AC AN =，又29AP mAB AC =+，即89AP mAB AN =+.因为B 、P 、N 三点共线，所以819m +=，解得19m =.故选：A ．23．C【分析】由外心O 到三角形顶点距离相等、重心N 的性质：2NB NC ND +=且2AN ND =，结合题设即可判断,O N 是△ABC 的哪种心.【详解】∵||||||OA OB OC ==，∴O 到△ABC 的三个顶点的距离相等，故O 是△ABC 的外心，如下图，若N 是△ABC 三条中线的交点，AD 是BC 上的中线，∴2NB NC ND +=，又2AN ND =，∴0NA NB NC ++=，故题设中的N 是△ABC 的重心.故选：C24．A【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.【详解】因为66()77AE AC CE AC CD AC AD AC =+=+=+-，12AD AB =，所以1377AE AC AB =+.故选：A25．C【分析】由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.【详解】对于①，()7642a a -⨯=-，①正确；对于②，()2223a b a b a -++=，②正确；对于③，()0a b a b +-+=，③错误.故选：C.26．C【分析】设AC AD λ=，可得3177AF AB AD λ=+，由B ，F ，D 三点在同一条直线上，可求得λ的值，即可得解．【详解】设AC AD λ=，因为3177AF AB AC =+，所以3177AF AB AD λ=+，因为B ，F ，D 三点在同一条直线上，所以31177λ+=，所以4λ=，所以4AC AD=．故选：C27．C【分析】根据a a 、b b 的含义，逐一分析选项，即可得答案.【详解】aa 、b b 分别表示与a 、b 同方向的单位向量，对于A ：当a b =-r r 时，a b a b=-，故A 错误；对于B ：当//a b r r 时，若,a b 反向平行，则单位向量方向也相反，故B 错误；对于C ：当2a b =时，22a bba b b ==，故C 正确；对于D ：当//a b r r 且=a b 时，若a b =-r r 满足题意，此时a b a b=-，故D 错误.故选：C28．B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==，||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．29．BD【分析】由43AB AD AC -=可得3DB BC =，从而可对ABD 进行判断，再对43AB AD AC -=变形化简可对C 进行判断【详解】因为43AB AD AC -=，所以33AB AD AC AB -=-，所以3DB BC =，因为,DB BC 有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且||3||BC DB =，所以BD 正确，A 错误，由43AB AD AC -=，得333AC AB AD AB DB AB =-+=+，所以||||AC DB ≠，所以C 错误，故选：BD30．AD【分析】A 向量平行传递性的前提是都为非零向量；B 若,D E 分别是,AC BC 的中点，结合已知得2OE OD =-，再过,,E O B 作AC 上的高，由线段比例确定高的比例关系即可；C 由向量反向共线的性质即可判断；D 根据共线向量的定义即可判断.【详解】A ：如果,a c 都是非零向量，而0b =，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，错误；B ：若,D E 分别是,AC BC 的中点，由题设有()()20OA OC OB OC +++=，即420OD OE +=，2OE OD =-，所以,,O D E 三点共线且2OE OD =，过,,E O B 作AC 上的高123,,h h h ，易知211311,32h h h h ==，则2316h h =，所以:1:6AOC ABC S S =△△，正确；C ：两个非零向量,a b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，正确；D ：若向量a b ≠，则a 与b 可能是共线向量，如相反向量，错误.故选：AD31．ABD【分析】对于选项ABD 可以直接利用向量和数乘向量的定义判断，对于选项C ，a λ等于零向量，不是零，故C 错误.【详解】解：对于A ：2a →的长度是a →的长度的2倍，且2a →与a →方向相同，故A 正确；对于B ：3a →-的长度是a →的长度的13，且3a →-与a →方向相反，故B 正确；对于C ：若0λ=，则a λ→等于零向量，不是零，故C 错误；对于D ：若1a λ→=，则a λ→是与a →同向的单位向量，故D 正确.故选：ABD32．BD【分析】设AC t AN =，利用重心的性质，把AG 用AM 、AN 表示，再由M ，G ，N 三点共线得关于λ，t 的方程，再由三角形面积比得关于λ，t 的另一方程，联立即可求得实数λ的值．【详解】解：如图，()AM MB AB AM λλ==-，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333t AG AB AC AM AN λλ+=+=+，M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=-，所以12AC AN λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯，即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ-+=，解得32λ=或3.故选：BD33．ABC【分析】结合正八边形的特点，分为8个全等的三角形，将圆周角分为8份，每个圆心角为4π.结合向量的计算法则，即可得出结果.【详解】A.正八边形ABCDEFGH 中，//AD BC ，那么//AD BC uuu r uu u r ，故A 对； B.32cos 42OA OD OA OD π⋅=⋅=-，故B 对；C.OB 与OD uuu r 夹角为2π，故0=OB OD ，故C 对； D.222()222AF OF OA OF OA OF OA OF OA =-=-=+-⋅=+，故D 错；故选：ABC34．②③④⑤【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为BC a =，CA b =，所以()AB AC CB CA BC a b =+=-+-=--uu u r uuu r uu r uu r uu u r r r ，1122BE BC CE BC CA a b =+=+=+，()11112222CF CA AF CA AB b a b a b =+=+=+--=-+，()11112222AF AB a b a b ==--=--，()()()111222AD BE CF AB AC BA BC CA CB ++=+++++()()11022AB AC BA BC CA CB AB AC AB BC AC BC =+++++=+-+--=，即0AD BE CF ++=，即正确的有：②③④⑤故答案为：②③④⑤35．75【分析】利用向量的加减法及数乘化简可得AC =32AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+计算即可.【详解】由平面向量的加法运算，有AC AB AD =+.因为AC =λA E +μAF =λ(AD DE +)+μ(AB BF +)=λ13AD AB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+μ12AB AD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=32AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以32AB AD AB AD λμμλ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1312λμμλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，故答案为：75或1.236．23a b +【分析】根据AD AB BD =+以及23BD BC =进行线性运算，由此可求得AD 的表示.【详解】因为23AD AB A D BC B B ==++，所以23AD a b =+，故答案为：23a b +.37．菱形【分析】由a c b d +=+r r r u r 易得BA CD =，即ABCD 为平行四边形，再由||||a b a d -=-即可判断ABCD 的形状.【详解】由a c b d +=+r r r u r 得a b d c -=-r r u r r ，即OA OB OD OC -=-，∴BA CD =，于是AB 平行且等于CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又||||a b a d -=-，从而||||OA OB OA OD -=-，∴||||BA DA =，即四边形ABCD 为菱形．故答案为：菱形38．四边形ABCD 是梯形【分析】根据共面向量基本定理可知，2(4)2AD AB BC CD a b BC =++=--=，即可判断四边形形状.【详解】如图所示，2453822(4)AD AB BC CD a b a b a b a b a b =++=+----=--=--，所以2AD BC =，即//AD BC ，且2AD BC =.所以四边形ABCD 是梯形.39．（1）311a b-（2）104a c+【分析】(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并（1）原式=()()35326=159122=311a b a b a b a b a b --+----（2）原式=()()4352368=4122061216=104a b c a b c a b c a b c a c-+---+-+++-+40．（1）-53i →-5j →；（2）311a →-511b→.【分析】(1)利用向量的数乘及加减法计算即可；（2）解方程即可得出结果.【详解】解(1)原式12(2)33a b a b b a →→→→→→⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1113⎛⎫-- ⎪⎝⎭a →+2123⎛⎫-++ ⎪⎝⎭b →=-53a →+53b →.∵32a i j →→→=+，2b i j →→→=-，∴原式=-53(3i →+2j →)+53(2i →-j →)=1053⎛⎫-+ ⎪⎝⎭i →+10533⎛⎫-- ⎪⎝⎭j →=-53i →-5j →.(2)将3x →-y →=b →两边同乘2，得6x →-2y →=2b →.与5x →+2y →=a →相加，得11x →=a →+2b →，∴x →=111a →+211b→.∴y →=3x →-b →=3121111a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭-b →=311a →-511b →..41．（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；（2）利用平面向量共线定理可得求证.【详解】（1）如图，延长AD 到点G ，使2AG AD =，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AB AC A a G b =+=+，因为D 是BC 的中点，所以()1122AD AG a b ==+，()2133AE AD a b ==+，因为F 是AC 的中点，所以1122==AF AC b ，()()11323a b a b B a E AE AB =-=+-=-，()11222BF AF AB b a b a =-=-=-；（2）由（1）知，()123BE b a =-，()122b a BF =-，所以23BE BF =，所以BE ，BF 共线，又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．42．（1）1233AD AB AC =+；（2）是定值，定值为92.【分析】（1）结合图形利用向量的加法运算求解；（2）设AB AE λ=，AC AF μ=，则22AB AC AE AF λμ+=+，然后根据题意将AG 用,AB AC 表示出来，从而可用,AE AF 表示，再由,,E F G 三点共线可得结论【详解】解：（1）A AB BDD =+23AB BC =+()23AB BA AC =++1233AB AC =+.（2）设AB AE λ=，AC AF μ=，则22AB AC AE AF λμ+=+，因为2AG BD DG CD==所以23AG AD =uuu r uuu r 212333AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2499AB AC =+2499AE AF λμ=+，所以24199λμ+=，即922λμ+=，故292AB AC AE AF +=为定值.。

4.3 向量与实数相乘1.向量数乘的概念(1)一般地,实数λ与向量a的乘积称①,它常用λa表示.(2)实数λ与向量a的数乘λa还是一个②,它的长度与方向规定如下:(i)|λa|=③.(ii)当λ>0时,λa的方向与a的方向④;当λ<0时,λa的方向与a的方向⑤;当⑥时,λa=0.实数的正负决定了该实数与向量相乘所得向量的方向.2.向量数乘的运算律(1)λ(μa)=⑦;(2)(λ+μ)a=⑧;(3)λ(a+b)=⑨.3.向量的平行(共线)对于两个向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使⑩,那么b与a是共线向量;反之,如果b 与a(a≠0)是共线向量,那么存在实数λ,使.4.单位向量与非零向量a共线的单位向量是.一、选择题1.1312(2a+8b)-(4a-2b)等于( )A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b2.设e1、e2是不共线的两个向量,下列四组向量:①a=e1-e2,b=-2e1+2e2;②a=e1+e2,b=2e1-2e2;③a =2e 1-13e 2,b =e 1-16e 2; ④a =2e 1,b =-3e 1.其中a 与b 共线的组数为( ) A.1 B.2 C.3 D.43.正方形ABCD 的边长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则|a +b +c |的值为( ) A.0 B.√2 C.3 D.2√24.下列等式中不正确．．．的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.0·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.λ(μa )=(λμ)a5.设四边形ABCD 中,有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形6.设a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +k b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a +b (k,m∈R ),则A,B,C 三点共线时有( ) A.k=m B.km-1=0 C.km+1=0 D.k+m=0 二、填空题7.设点O 是△ABC 内部一点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△AOB 与△AOC 的面积之比为 . 8.如图,在平行四边形ABCD 中,E 是CD 的中点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 .9.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 三、解答题10.如图,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在BD 上,且BN=13BD,求证:M 、N 、C 三点共线.知识清单①向量的数乘 ②向量 ③|λ||a| ④相同 ⑤相反 ⑥λ=0 ⑦λμa ⑧λa+μa ⑨λa+λb ⑩b=λab=λaa |a |基础过关一、选择题1.B 原式=16(2a+8b)-13(4a-2b)=13a+43b-43a+23b=-a+2b.2.C ①中b=-2a;③中a=2b;④中b=-32a;②中a 与b 不存在实数λ,使a=λb,则a 与b 不共线. 3.D a+b+c=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|a+b+c|=|2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2. 4.B AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 不正确. 5.C ∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB∥DC 且AB≠DC, ∴四边形ABCD 是梯形,又|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴四边形ABCD 是等腰梯形.6.B 若A,B,C 三点共线,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴存在唯一实数λ,使AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,a+kb=λ(ma+b),a+kb=λma+λb,∴{λm =1,λ=k ,∴km=1,即km-1=0. 二、填空题 7.答案 1∶3解析 如图,以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形OAEC,则OE 与AC 交于AC 的中点D,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23, 显然S △AOB S △AOD=23, 易知S △AOD =12S △AOC , ∴ S △AOB S △AOC=13. 8.答案 -12a+b解析 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a+b.9.答案 23解析 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 结合CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知λ=23. 三、解答题10.证明 ∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,① MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,②由①、②可知MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵MC、MN 有公共点M, ∴M、N 、C 三点共线.。

专题37 平面向量一、平面向量的相关概念1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；2、向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度(或向量的模)；3、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0r ；4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；5、互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；6、 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．二、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a r 是向量，那么k 与a r相乘所得的积是一个向量，记作ka r ．1、 如果0k ≠，且0a ≠r r，那么ka r 的长度ka k a =r r g ；ka r 的方向：当k > 0时ka r 与a r 同方向；当k < 0时ka r 与a r反方向． 2、 如果k = 0或0a =r r，那么0ka =r r ．三、实数与向量相乘的运算律设m 、n 为实数，则(1)()()m na mn a =r r ； (2)()m n a ma na +=+r r r； (3)()m a b ma mb +=+r r r r ．四、平行向量定理如果向量b r 与非零向量a r平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =r r ． 五、 单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e r 为单位向量，则1e =r．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量a r ，与它同方向的单位向量记作0a r．由实数与向量的乘积可知：0a a a =r r r ，01a a a=r rr ．六、平面向量的加减法则1、几个向量相加的多边形法则；2、向量减法的三角形法则；3、向量加法的平行四边形法则． 七、向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如25a b +r r 、3a b -r r 、()23a b +r r 、3553a a b ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭r r r 等，都是向量的线性运算．一般来说，如果a r 、b r 是两个不平行的向量，c r 是平面内的一个向量，那么c r 可以用a r 、b r表示，并且通常将其表达式整理成c xa yb =+r r r的形式，其中x 、y 是实数．八、向量的合成与分解如果a r 、b r 是两个不平行的向量，c ma nb =+r r r (m 、n 是实数)，那么向量c r 就是向量ma r 与nb r的合成；也可以说向量c r 分解为ma r 、nb r 两个向量，这时，向量ma r 与nb r 是向量c r 分别在a r 、b r方向上的分向量，ma nb +r r 是向量c r 关于a r 、b r的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【例1】(2020•普陀区一模)下列说法中，正确的是( ) A ．如果0k =，a r 是非零向量，那么0ka =rB ．如果e r 是单位向量，那么1e =rC ．如果||||b a =r r ，那么b a =r r 或b a =-r rD ．已知非零向量a r，如果向量5b a =-r r ，那么//a b r r【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A 、如果0k =，a r 是非零向量，那么0ka =r，错误，应该是0ka =r r ．B 、如果e r 是单位向量，那么1e =r，错误．应该是||1e =r ．C、如果||||b a =r r ，那么b a =r r 或b a =-r r ，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r，如果向量5b a =-r r ，那么//a b r r ，正确．故选：D ．【例2】(2020•闵行区一模)如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，如果用向量a r，b r 表示向量AD u u u r ，那么向量AD u u u r 可以表示为 ．【分析】如图，延长AD 到E ，使得DE AD =，连接BE ，CE ．证明四边形ABEC 是平行四边形，利用三角形法则求出AE u u u r即可解决问题．【解答】解：如图，延长AD 到E ，使得DE AD =，连接BE ，CE ．AD DE =Q ，BD CD =， ∴四边形ABEC 是平行四边形，∴BE AC b ==u u u r u u u r r ， Q AE AB BE a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，∴111222AD AE a b==+u u u r u u u r r r1．(2020•虹口区一模)已知a r 、b r 和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是( )A ．||||a b =r rB ．//a c r r，//b c r rC ．0a b +=r rD ．2a b c +=r r ，3a b c -=r r r【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、该等式只能表示两a r、b r 的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B 、由//a c r r，//b c r r 可以判定//a b r r ，故本选项不符合题意．C 、由0a b +=r r 可以判定a r、b r 的方向相反，可以判定//a b r r ，故本选项不符合题意．D 、由2a b c +=r r ，3a b c -=r r r 得到52a c =r r，12b c =-r r ，则a r 、b r 的方向相反，可以判定//a b r r ，故本选项不符合题意． 故选：A ．2．(2020•静安区一模)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是( )A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r rC ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r【分析】利用平行四边形的性质与计算机向法则求出AB u u u r即可解决问题．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =，Q AB AO OB =+u u u r u u u r u u u r ∴DC AB a b ==-+u u u r u u u r r r ，故选：C ．3．(2020•崇明区一模)已知c r 为非零向量，3a c =r r，2b c =-r r ，那么下列结论中错误的是( ) A ．//a b r rB ．3||||2a b =r rC ．a r 与b r 方向相同D ．a r与b r 方向相反【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：Q 3a c =r r，2b c =-r r ， ∴32a b =-r r，∴//a b r r ，3||||2a b =rr ，a r 与b r 发方向相反，A ∴，B ，D 正确， 故选：C ．4．(2020•松江区一模)如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r ，且0c ≠rr ，下列结论正确的是( )A ．||||a b =r rB ．20a b +=r rC ．a r 与b r 方向相同D ．a r与b r 方向相反【分析】由a b c +=r r r ，3a b c -=r r r ，推出2a c =r r，b c =-r r ，可得2a b =-r r ，由此即可判断．【解答】解：Q a b c +=r r r ，3a b c -=r r r，∴2a c =r r，b c =-r r ，∴2a b =-r r，∴a r与b r 方向相反，故选：D ．5．(2020•浦东新区一模)下列说法正确的是( ) A ．()0a a +-=r rB ．如果a r和b r 都是单位向量，那么a b =r rC ．如果||||a b =r r ，那么a b =rrD ．如果1(2a b b =-r r r为非零向量)，那么//a b r r【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A 、()0a a +-=r r，错误应该等于零向量．B 、如果a r和b r 都是单位向量，那么a b =r r ，错误，模相等，方向不一定相同．C 、如果||||a b =r r ，那么a b =rr ，错误，模相等，方向不一定相同．D 、如果1(2a b b =-r r r为非零向量)，那么//a b r r ，正确，故选：D ．6．(2020•杨浦区一模)已知a r 、b r 和c r都是非零向量，下列结论中不能判定//a b r r 的是( ) A ．//a c r r，//b c r rB ．12a c =r r，2b c =r r C ．2a b =r rD ．||||a b =r r【分析】根据平行向量的定义判断即可．【解答】解：A 、由//a c r r，//b c r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意．B 、由12a c =r r，2b c =r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意．C 、由2a b =r r，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意．D、由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r ．本选项符合题意． 故选：D ．7．(2020•嘉定区一模)如图，在平行四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，点O 是对角线AC 与BD 的交点，那么向量OC u u u r可以表示为( )A ．1122a b +r rB ．1122a b -rrC ．1122a b -+rrD ．1122a b --rr【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可． 【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB a ==u u u r u u u r r，OA OC =， ∴AC AD DC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴111222OC AC a b ==+u u u r u u u r r r ，故选：A ．8．(2020•奉贤区一模)已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是()A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【分析】由3AC BC =，推出43AB AC =，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，3AC BC =Q ，43AB AC ∴=， ∴43BA a =-u u u r r ，故选：D ．9．(2020•青浦区一模)已知非零向量a r、b r ，且有2a b =-r r ，下列说法中，不正确的是( )A ．||2||a b =r rB ．//a b r rC ．a r与b r 方向相反D ．20a b +=r r【分析】根据非零向量a r 、b r ，有2a b =-r r ，即可推出||2||a b =r r ，//a b r r ，a r与b r 方向相反，20a b +=r r r ，由此即可判断．【解答】解：Q 非零向量a r、b r ，且有2a b =-r r ，||2||a b ∴=r r ，//a b r r ，a r与b r 方向相反，20a b +=r r r ，故A ，B ，C 正确，D 错误， 故选：D ．10．(2020•虹口区一模)如果向量a r 、b r 、x r 满足关系式23()0b a x -+=r r r ，那么用向量a r 、b r 表示向量x =r． 【分析】利用一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案．【解答】解：23()0b a x -+=r r rQ ，2330b a x ∴--=r r r，323x b a ∴=-r r r∴23x b a =-r r r ．故答案是：23b a -r r．11．(2020•宝山区一模)如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，如果AC x =u u u r r，那么CD =u u u r (用x r表示)．【分析】首先证明2AD CD =，推出13CD AC =即可解决问题． 【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒Q ，30A ∠=︒， 60ABC ∴∠=︒，BD Q 平分ABC ∠， 30ABD CBD ∴∠=∠=︒，A ABD ∴∠=∠，AD BD ∴=，2DB DC =， 2AD DC ∴=，13CD AC ∴=， ∴13CD x =-u u u r r ，故答案为13x -r．12．(2020•闵行区一模)e r 为单位向量，a r 与e r 的方向相反，且长度为6，那么a =r e r．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：Q e r 为单位向量，a r 与e r的方向相反，且长度为6，∴6a e =-r r ，故答案为6-．13．(2020•金山区一模)计算：2(2)3()a b a b -++=r rr r ．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：：2(2)3()24335a b a b a b a b a b -++=-++=-r r r r r r r r r r ， 故答案为5a b -rr ．14．(2020•奉贤区一模)若a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为3，则a =r (用单位向量e r表示向量)a r ．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：Q a r 与单位向量e r方向相反，且长度为3，∴3a e =-r r ， 故答案为3e -r．15．(2020•松江区一模)如图，已知D 是ABC ∆的边AC 上一点，且2AD DC =，如果AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，那么向量BD u u u r 关于a r、b r 的分解式是 ．【分析】利用三角形法则：BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r求解即可．【解答】解：2AD CD =Q ， ∴2233AD AC b ==u u ur r ，Q BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，BA a =-u u u r r， ∴23BD b a =-u u u r r r ，故答案为23b a -r r．16．(2020•青浦区一模)已知向量a r 与单位向量e r 方向相反，且||3a =r ，那么a =r (用向量e r的式子表示) 【分析】由向量a r 与单位向量e r方向相反，且||3a =r ，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案． 【解答】解：Q 向量a r 与单位向量e r方向相反，且||3a =r ， ∴3a e =-r r ． 故答案为：3e -r．17．(2020•宝山区一模)在ABC ∆中，AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r．【分析】由在ABC ∆中，根据三角形法则即可求得AB BC +u u u r u u u r的值，则可求得答案． 【解答】解：Q 0AB BC CA AC CA ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r．故答案为：0r．18．(2020•普陀区一模)如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，//DE BC ，//EF AB ，:1:3AD AB =．(1)当5DE =时，求FC 的长；(2)设AD a =u u u r r ，CF b =u u u r r ，那么FE =u u u r ，EA =u u u r (用向量a r，b r 表示)．【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求解即可． (2)利用三角形法则求解即可．【解答】解：(1)//DE BC Q ，//EF AB ， ∴四边形DEFB 是平行四边形，5DE BF ∴==，::1:3AD AB DE BC ==Q ， 15BC ∴=，15510CF BC BF ∴=-=-=．(2):1:3AD AB =Q ， ∴22DB AD a ==u u u r u u u r r ，EF BD =Q ，//EF BD ， ∴2FE DB a =-=-u u u r u u u r r ， 2CF DE =Q ，∴1122ED CF b ==u u u r u u u r r ，∴12EA ED DA b a =+=-u u u r u u u r u u u r r r ，19．(2020•浦东新区一模)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且2AE ED =，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r．(1)用a r，b r 表示BE u u u r ，DF u u u r ；(2)先化简，在求作：3()2()2a b a b -++-r rr r (不要求写作法，但要写明结论)．【分析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC u u u r 即为所求．【解答】解：(1)Q 四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC b ==u u u r u u u r r ，//AB CD ，2AE ED =Q ， ∴2233AE AD b ==u u u r u u u r r ， ∴23BE BA AE a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ::1:2DF AB DE AE ==Q ，12DF AB ∴=， ∴1122DF BA a ==u u u r u u u r r ． (2)331()2()22222a b a b a b a b a b -++-=-++-=-r r r r r r r r r r ，。

实数与运算一、选择题1.下列各数中,为负数的是（）A. 5.4 B . 0 C. -3 D. 8% 2.甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、-15m和-10m,那么最高的地方比最低的地方高( )A. 5mB. 10mC. 25mD. 35m3.向东走7千米记作+7千米,那么﹣5千米表示（）A. 向北走5千米B. 向南走5千米 C. 向西走5千米 D. 向东走5千米4.计算（﹣20）+16的结果是（）A. ﹣4 B. 4C. ﹣2016 D. 20165.已知一个数的平方是,则这个数的立方是（）A. 8B. 64C. 8或D. 64或6.如图所示,在a、b、c、d、e中,是无理数的有（）A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个7.在实数,0, ,π, ,sin45°中,无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个8.下列运算正确的是（）A. （﹣1）2018=﹣1 B. 32=3×2=6 C. （﹣1）×（﹣3）=3 D. ﹣3﹣2=﹣19.小数0.000000059用科学记数法应表示为（）A. 5.9×107B. 5.9×108C. 5.9×10﹣7 D. 5.9×10﹣810.下列依次给出的点的坐标（0,3）,（1,1）,（2,﹣1）,（3,﹣3）,…,依此规律,则第2017个点的坐标为（）A. （2017,﹣2015）B. （2016,﹣2014）C. （2016,﹣4029）D. （2016,﹣4031）二、填空题11.（π﹣3.14）0+tan60°=________．12.一个数的相反数是 -5,这个数是________.13.已知|a|＝2,|b|＝3,|c|＝4,且a＞b＞c , 则a＋b＋c＝________．14.比较大小：________ ．15.比较大小：-3________0.（填“< ”,“=”,“ > ”）16.若,则a+b=________．17.数轴上有分别表示—7与2的两点A、B,若将数轴沿点B对折,使点A与数轴上的另一点C重合,则点C 表示的数为________．18.对于有理数a,b定义运算※如下：a※b=(a+b)a-b,则（-3）※4=________。

24.6 实数与向量相乘一、课本巩固练习1、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =u u u r r ， AD b =u u u r r 。

用a r 、b r 表示下列向量：（1）AB u u u r ；（2）CA u u u r ；（3）BE u u u r ；（4）CF uuu r 。

2、如图，在△ABC 中，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC uuu r 和11B C u u u u r ，并判断BC uuu r 与11B C u u u u r 是否平行。

3、设AM 是△ABC 中线，求证：1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r .4、 已知非零向量a r ， 求作：2a r ；2a -r ；12a r a ρ5、利用向量证明三角形的中位线定理二、基础过关：一、填空题1、设k 是实数，a r 是向量，当0k ≠且0a ≠r r 时，ka r 的长度ka =r ；当0k >时，ka r 与a r 方向；当0k <时ka r 与a r 方向，如果0k =或0a =r r ，那么ka =r __ 。

2、默写平行向量定理：3、向量a r 与向量3a r 的关系是（ ）4、计算：(5)3a -⨯=r （ ）； 2()3()a b a b b +---=r r r r r （ ）5、已知m 、n 为实数，那么()()()()m n a b m n a b ++---=r r r r （ ）6、若2a =r ，3b =r ，则23d a b =-r r 的取值范围是 （ ）7．用单位向量e r 表示向量a r ：若a r 与e r 的方向相反，且长度为5，则a =r （ ）8．已知向量关系式32()0a b x --=r r r ，用向量a r 、b r 表示向量x r ，则x =r （ ）二．选择题1、下列句子中，正确的是（ ）A ．向量AB u u u r 与向量BA -u u u r 方向相反，大小相等；B ．向量AB u u u r 与向量23BA -u u u r 方向相同，大小不等；C ．向量AB u u u r 与向量2AB u u u r 表示同一个向量；D ．向量AB u u u r 与向量BA -u u u r 不共线．2、已知5a =r ，3b =r ，且b r 与a r 反向，下列用向量b r 表示向量a r 的式子中正确的是（ ）A ．53a b =r r ；B ．53a b =-r r ；C ．35a b =r r ；D ．35a b =-r r 3、下列语句中，错误的是（ ）A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a r 、b r 、c r 是非零向量，如果a r ∥b r ，b r ∥c r ，那么a r ∥c r ；C ．已知a r 、b r 、c r 是非零向量，如果2a b c +=r r r ，3a b c -=r r r ，那么a r 与b r 是平行向量；D ．对于非零向量a r ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a r ，由实数与向量的乘积，可知015a a =r r ．三、已知向量AB a =u u u r r ，求作：3MN a =-u u u u r r ，53PQ a =u u u r r 。

实数与向量相乘及向量的线性运算（基础） 巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于 ( )A.BDB.ACC.DBD.CA2.计算32a a -的结果是（ ） A.a B.a C.a - D.a -3.如右图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. AB →＝DC →B. AD →＋AB →＝AC →C. AB →－AD →＝BD →D. AD →＋CB →＝0 4. 下列命题中：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB 与向量CD 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线. ④如果//,//a b b c ，那么//a c . 正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 5. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A. PA →＋PB →＝0 B. PC →＋PA →＝0 C. PB →＋PC →＝0D. PA →＋PB →＋PC →＝06.若O 为平行四边形ABCD 的中心，124,6,AB e BC e ==则2132e e -等于( ) A.AO B.BO C.CO D.DO 二、填空题7.在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a =，BC b =，如果用向量,a b 表示向量AD ,那么AD = .8.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，设向量AD a =，AB b =，则向量AO = (结果用,a b 表示).9.如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ,2BC AD =,如果AD a =，AB b =，那么AC = (结果用,a b 表示).10．设12,e e 是两个不共线向量，若向量()12b e e R λλ=+∈与向量122a e e =-共线，则λ= .11.在ABCD 中，3AB a AD b AN NC ===，，，M 为BC 的中点，则MN = (用a b ，表示). 12. 已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C.若320OA OB OC -+=，则AB BC等于 ．三、解答题13.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ,E 、F 分别是AB 、CD 的中点，用向量的方法证明： EF//AD//BC,且12EF =（A D +BC ）.14.如图，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC a BD b ==，，分别求DE CE MN 、与关于a b 、　的分解式.15.平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，试判断AE 、CF 是否平行？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边行法则，可得：a b AC +=. 2.【答案】B【解析】根据向量的计算法则直接计算即可：32a a a -=. 3.【答案】C【解析】A 显然正确，由平行四边形法则知B 正确.AB AD DB -=，故C 错误． D 中0AD CB AD DA +=+=. 4.【答案】D【解析】①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如0b =时，则a 与c 不一定共线． 5.【答案】B ．【解析】∵2BC BA BP +=，由向量加法的平行四边形法则知P 为AC 的中点．如下图． ∴0PA PC +=. 6.【答案】B ．【解析】∵2121132(64)2e e e e -=-，即有：111()()222AB BC BC AB AD AB BD BO -=-=-==.二、填空题7.【答案】12a b +．【解析】1()2AD AB AC =+,又AC AB BC a b =+=+，所以11()22AD a a b a b =++=+.8.【答案】1()2b a +9.【答案】2a b +【解析】∵梯形ABCD ，//AD BC ,2BC AD =,如果AD a =，AB b =∴22BC AD a ==∴2AC AB BC a b =+=+.10.【答案】12λ=-【解析】由2,b a e 1与共线,又e 不共线，必有2,21,a b λ=∴=-故12λ=- 11.【答案】1144a b -+ 【解析】由3AN NC =得()14332AN AC a b AM a b ==+=+，，所以，()31114244MN a b a b a b ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭ 12. 【答案】2【解析】由已知得，OA →－OB →＝2(OB →－OC →)，∴AB →＝2BC →，∴|AB →||BC →|＝2.三、解答题13.【解析】 证明：如图，过点A 作//AQ DC 交边BC 于点Q.则四边形AQCD 为平行四边行.∴ BC AD BQ -=,QA CD = ∴ 11111()()22222AD AE EF FD AB EF CD CD AB EF QA AB EF QB EF =++=++=++=++=+即有：111()222EF AD QB AD BQ AD BC AD =-=+=+-=1()2AD BC +又∵BC AD 与平行，∴存在常数λ，使得=BC AD λ 所以有111()222EF AD λλ+=+=（A D +BC）=A D A D∴ //EF AD ，且没有公共点∴EF//AD又BC AD 与方向相同，所以12EF =（A D +BC ）综上得：EF//AD//BC,且12EF =（A D +BC ）.14.【解析】解：由 三角形中位线定理知：DE//BC 且DE=BC故1122DE BC a ==1122CE CB BD DE a b a a b =++=-++=-+111111222424MN MD DB BC ED DB BC a b a a b =++=++=--+=-.15. 【解析】解：设AB a =，AD b =∵E 、F 分别是DC 和AB 的中点,∴12AE AD DE b a =+=+，12CF CB BF b a =+=--∴ AE CF =-∴ AE CF 与共线，又无公共点∴AE,CF 平行.。

实数与向量‎相乘1.实数与向量‎相乘的意义‎一般的，设为正整数‎n ，a 为向量，我们用表示‎ann 个a 相加；用表示个相‎a n -n a -加.又当为正整‎m 数时，a m n 表示与同向‎a 且长度为的‎a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个‎正数，P 就是将的‎a a 长度进行放‎缩，而方向保持‎不变；—P 也就是将‎a a 的长度进行‎放缩，但方向相反‎. 2.向量数乘的‎定义 一般地，实数与向量‎k a 的相乘所得‎的积是一个‎向量，记作ka，它的长度与‎方向规定如‎下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意‎.实数与向量‎k a 相乘，叫做向量的‎数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结‎果是一个与‎已知向量平‎行（或共线）的向量； （2）实数与向量‎不能进行加‎减运算； （3）ka表示向量的‎数乘运算，书写时应把‎实数写在向‎量前面且省‎略乘号，注意不要将‎表示向量的‎箭头写在数‎字上面； （4）向量的数乘‎体现几何图‎形中的位置‎关系和数量‎关系. 3.实数与向量‎相乘的运算‎律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘‎对于实数加‎法的分配律‎）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘‎对于向量加‎法的分配律‎）4.平行向量定‎理（1）单位向量：长度为1的‎向量叫做单‎位向量. 要点诠释：任意非零向‎量与它同方‎a 向的单位向‎量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定‎理：如果向量与‎b 非零向量平‎a 行，那么存在唯‎一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与‎b a 同向还是反‎向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取‎m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的‎判定定理：a 是一个非零‎向量，若存在一个‎实数m ，使b m a =，则向量与非‎b 零向量平行‎a .（4）向量平行的‎性质定理：若向量与非‎b 零向量平行‎a ，则存在一个‎实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共‎线若存在实‎⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性‎运算 1.向量的线性‎运算定义 向量的加法‎、减法、实数与向量‎相乘以及它‎们的混合运‎算叫做向量‎的线性运算‎. 要点诠释：（1）如果没有括‎号，那么运算的‎顺序是先将‎实数与向量‎相乘，再进行向量‎的加减. （2）如果有括号‎，则先做括号‎内的运算，按小括号、中括号、大括号依次‎进行． 2.向量的分解‎平面向量基‎本定理：如果是同一‎12,e e 平面内两个‎不共线（或不平行）的向量，那么对于这‎一平面内的‎任一向量a ，有且只有一‎对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内‎两个不共线‎（或不平行）向量叫做这‎12,e e 一平面内所‎有向量的一‎组基底.一组基底中‎，必不含有零‎向量．(2) 一个平面向‎量用一组基‎底表示为形‎12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的‎分解，当相互垂直‎12,e e时，就称为向量‎的正分解.每家都会装‎修，我们可以用‎一根电线将‎一盏电灯吊‎在天花板上‎，为了保险我‎们也可以用‎两根绳将这‎盏电灯吊在‎同一位置。