实数与向量相乘PPT 演示文稿

M u u u B r1 2 u D u u B r1a 2 -b 1a 2 1b2
22
22
M uuuC ur1u A uC ur1a1b 2 22
M u u u D u r M u u u B r 1u B u D u r 1a 1b 2 22
课堂小结
1.向量数乘的定义 2.向量数乘的运算律 3.向量共线基本定理 4.定理的应用
2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几何意义
温故知新 1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一
个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
OA
B
C
N
M
QP
u u u r u u u r u u u r u u C a a a 记: aaa3a
即:
uuur r OC3a.
同理可得:
u u u r r r r r P N ( a ) ( a ) ( a ) 3 a
任意实数，则有：
(1)(a) ()a (2)()aaa (3)(ab) ab
例题解析
例1：计算题
(1)(3)4a
r 12a
(2) 3(ab)2(ab)a
r 5b
(3) (2a3bc)(3ar2brcr)
a=-2b a,b共线
例题解析
例2.u u 如u r 图,已知u 任u u r 意两个非零u u u 向r 量 a, b, 试作 O A a + b , O B a 2 b , O C a 3 b 你能判断

|3a|=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳 聆教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经” 的否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在 句末，表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指 数量或大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来 的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不 逞】动不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、 知识比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己 的见解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、

(a)
(a)
=
?
❖ 概n 念教学
在此基础上我们规定向量的另一种新的运 算，即实数与向量相乘的运算：一般的， 设n为正整数，a为向量，那么我们用na表示
个相加，na与a 是平行向量；用 na表示n个 a
相加， na与 a是平行向量.又当 m为正整数时，
表示n与a 同向a且长度为的向量. m
2．例题分析
四、巩固练习
如设图，AB矩 a形, DAABCb试D中用，向E量、Ma、, b表F、示N向是量ABAE、, ADD，C 并的写三出等图分中点与，
AE, DA向相等的向量.
E
M
A
B
D
C
F
N
五、反思小结
1、这节课你学会了什么？ 2、你还有什么疑惑吗？
a 例题2 已知非零向量
，求作
5 2
a,3a,
3a,并指出他们的长度和方向.
请例分用题别向是3已量各知边a平,的b行中表四点示边E向形G量与AOBFECH,DO相中F交，，于并E点写、O出F、.设图G中、与AHD向、量aO, BEA
b
相等的向量.
A
H
D
E
O
G
B
C
F
例题4、已知点D、E分别在 的边AB 与AC上DE∥BC，
24.6实数与向量相 乘 (1)
一、 情景引入
温故知新
1．向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平 行四边形法则是怎么表示的？
2．已知：向量
a,b
求：（1） a
ab
b
（2）
a
b
3、填空：a a a
，那么
a
a
a
？

注： (1)数乘的结果仍是一个向 量。
(2) | a || || a |
(3)a(a 0)的方向： 0, 与a同向； 0, 与a反向； 特别的 0或a 0, 则a 0
几何意义：把向量 a沿着a的方向或a的反方向 放大或缩小。
(1)根据定义，求作向量 （ 3 2a )和(6a )(a为非零向量), 引例： 并进行比较 . (2)已知向量a, b , 求作向量2(a b )和2a 2b , 并进行
比较。
a
b
3(2a )
3(2a ) = 6 a
a b
2a 2b
a
2b
2a
2(a b ) 2a 2b
设a , b 为任意向量， ，为任意实数，则有：
（ 1）（a ) ( )a (2)( )a a a (3) (a b ) a b
向量数乘
a
记作
a
a
a
a a a
(a ) (a ) (a ) 3a
B
a a a 3a
A
P Q
1 则 AP ___ 3 AB
2 BP ___ 3 AB
实数和向量a的乘积是一个向量，记作a。
例1 计算下列各式：
1 a （1）( 2) 2
（2） 2(a b ) 3(a b ) （3） ( )(a b ) ( )(a b ) (4) 4(2a 3b ) 5(3a 2b )
例2 设x 是未知向量，解方程 （ 5 x a ) 3( x b ) 0

(1) |λa| = |λ| |a|
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若a 0,当 1时，沿 a的方 a 向放大了 倍.当〈 0 〈1时沿， 的方向缩短了 倍. a 当 1时,沿 的反方向放大了 倍.当 〈1 〈0时， a沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
导入新课
a
3a = a +
a
+
a
A
B
C
D
a
-
3a
＝(-
a
)
+ (-
a
) + (-
a)
A
B
C
D
? 相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化
a
aaa
-a -a -a O
A 3a B
C
N
M
Q
P
-3a
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
a、b,
、1、2，
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
(1a 2b)=1a 2b
基础知识反馈
(1).设 a 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是
( B).
A. a与 a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a
(2).下列四个说法正确的个数有( C ).

(2) 1 a
2
(2)
2(a b) 3(a b);
((2))(1aa
b)
((21))a(a
b)
(1)a
a
(2)
2
2
2(a b) 3(a b)
2a 2b 3a 3b
(2a 3a) (2b 3b) a 5b
(3) 原式 （a b） (a b) (a b) (a b)
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
复习回顾:
实数乘法的运算律 1、交换律：ab = ba 2、结合律：a(bc)= (ab)c= b(ac） 3、分配律：a(b+c）= ab+ac
=
一般地:
一般地:
一般地：
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μa) = (λμ) a (结合律) ②(λ+μ) a =λa +μa (第一分配律) ③λ(a+b) =λa+λb (第二分配律)
(1) |λa| = |λ| |a|
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若a 0,当 1时，沿 a的方 a 向放大了 倍.当〈 0 〈1时沿， 的方向缩短了 倍. a 当 1时,沿 的反方向放大了 倍.当 〈1 〈0时， a沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
对于实数m和向量a、b，恒有m（a b） ma mb;
对于实数m、n和向量a，恒有(m n)a ma na;

对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数，使 b=a，那么由实数与向量的积的定义知，a与b共 线.
反过来：如果a与b共线，那么有且只有一个实数 ，使b=a.
关于定理的应用： 1.证明:向量共线 2.证明:三点共线:AB=λBCA、B、C三点共线 3.证明:两直线平行:
AB=λCDAB∥CD
AB与CD不在同一直线上
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实数与向量的积(2)
学校：江苏省洪泽中学 教师：傅启峰
回顾旧知:
一般地，我们规定实数λ与向量的积ar是一个r向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度a和方
向规定如下：
①a是一个向量；②
rr
（1）| a || || a |;
a的长度等于的绝对 值与向量a的长度的乘 积。
直线AB∥直线CD
练习1设a，b是两个不共线向量。 AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λλ=-1 ∴
k=-λk=-1∴k=-1
练习2:e1、e2不共线,a=e1+e2,b=3e1-3e2. a与b是否共线。
A
uuur uuur A、B、(AB AD), (0,1)
uuur uuur
(AB BC), (0,
2)
2
uuur uuur
C、D(、AB AD), (0,1)
uuur uuur
(AB BC), (0,
2)
2
变形1:（2003全国）O是平面上一定点，A、
B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

自主探究
如图，四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为
E、F，试问，E→F与A→B＋D→C共线吗？ 提示 表面看来，好像不共线，但眼见不
一定为实，还得要让计算来说明问题． 因为E→F＝E→D＋D→C＋C→F，E→F＝E→A＋A→B＋ B→F，两式相加得，2E→F＝(E→D＋E→A)＋A→B＋D→C＋(C→F＋B→F)， 而E→A，E→D是一对相反向量，C→F，B→F也是一对相反向量， 所以 2E→F＝A→B＋D→C，即E→F＝12(A→B＋D→C)，故E→F与A→B＋D→C 共线．
2. 如右图所示，平行四边形 ABCD 两条对角 线相交于点 M，且A→B＝a，A→D＝b.试用 a， b 表示M→A、M→B、M→C和M→D. 解 在▱ABCD 中， ∵A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，D→B＝A→B－A→D＝a－b， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴M→A＝－12A→C＝－12(a＋b)＝－12a－12b， M→B＝12D→B＝12(a－b)＝12a－12b， M→C＝12A→C＝12a＋12b， M→D＝－M→B＝－12D→B＝－12a＋12b.
(2)原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)] ＝13(－3a＋6b)＝2b－a. (3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b ＝－2(m＋n)b.
题型二 用图形中指定向量表示其他向量 【例2】 如图所示，在△ABC 中，C→A＝a，C→B＝b，
M 为A→B的中点，用 a、b 表示： (1)A→M；(2)B→A；(3)C→M. 解 (1)A→M＝12A→B＝12(C→B－C→A)
正解 若 a 与 b 共线，则存在不为零的实数 m，使 a＝mb， 从而aa＋－bb＝＝（（mm＋－11））bb，，得 a＋b＝mm＋－11(a－b)，此时 a＋b 与 a－b 共线；若 a＋b 与 a－b 共线，则存在不为零的实数 p， 使 a＋b＝p(a－b)，即 a＝pp＋－11b，此时 a 与 b 共线． 因此若a与b共线，则a＋b与a－b共线，反之，若a＋b与a －b共线，则a与b共线．

2
22
1m3a
F
24
A
E G
沪 教 版 上 海 数学九 年级第 一学期 ：实数 与向量 相乘一 优质PP T
B
C
D
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五、课堂小结:
1.实数与向量相乘的意义及表示法； 2.若 k≠O，且a ≠O,则：ka的长度为： ka k a .
3
2a 2 a
3
3
2a
3
与a
的关系是什么?
2a 方向与 a 相反
3
2a 2 a 33
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三、归纳总结
设k是一个实数，a是向量，那么k与a 相乘所得的积 是一个向量，记作： ka
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例3. 如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上， DE∥BC，AD=4DB，试用向量BC表示向量DE．
A
解: ∵DE∥BC，AD=4DB
DE AD 4
D
E
BC AB 5
B
即DE 4 BC
C
5
又 ∵DE与BC同向
3.ka 的方向：1)当k＞0时，ka 与a同方向； 2)当k＜0时，ka 与a反方向； 3)若K＝0或a＝0，则：ka ＝0.
沪 教 版 上 海 数学九 年级第 一学期 ：实数 与向量 相乘一 优质PP T
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算 加法结合律
成立吗？
律 (a b ) c a (b c ) 加法结合律
数乘分配律
数乘分配律
k(ab)ka＋ kb
k(ab)ka＋ kb
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
空间中
向量加法结合律：
( a + b )+ c = a +( b + c )
数乘分配律
k(ab)ka＋ kb
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
C
D
B
A
C B
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律 (a b ) c a (b c )
复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
O

2 5
e2
，b

e1

1 10
e2
解：因为 a = 4 b ，所以 a 、 b 共线。
例3 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
解： AE AD DE
E
3AB 3BC
C
3(AB BC) A
3AC
B
AC与AE共线.
D
三点共线： AB BC A、B、C三点共线
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；
当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；
特别地，当 0或a 0 时，a 0 .
5.3 实数与向量的积
例1： 如图，点A、B、C在一条直线上，且
AC 3，则 CB 2
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b ；
(3) 原式 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c .
练习：
1、计算 4(a b) 3(a b) b
2、若 3m 2n a且 m 3n b，其中a、b
是已知向量，求m ， n ？
5.3 实数与向量的积
下面请大家看教材P115例1~~例2之间的内容回答下 列问题；
(1) 教材中向量共线定理是怎样表述的
.
(2) 教材所给出的定理是一个充要条件形式，问
其中条件是
，结论是
；
(3) 教材中有无对此定理的证明叙述，若有，请 说出哪些是证明充分性的，哪些是证明必要性的？
实数与向量的积
（一）1.知识回顾
1、判断下列命题真假.
（1）0 与任一向量平行.（真 ）

DA EB 2
A E
D
B
C
变式练习2:
已知OA

a,
OB

b,
对任意点M
,
关于点A的
对称点为S，点S关于点B的对称点为N，试用
向量a,
b 表示MN
。
N
简析：MN 2AB
（2 OB OA)
M
B

b
2(b a)
O a A
S
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
A).( AB AD) B).( AB BC) C).( AB AD) D).( AB BC)
(0,1) (0, 2 )
2
(0,1) (0, 2 )
2
D
C
P
A
B
思考与作业 ：
1.平行四边形ABCD中，AB

a,
AD

b,
AN

3NC,
长度是OB的3倍。
例4：
在ABC 中，设 D为边BC的中点，求证：
AD 1 ( AB AC)
2
A
A
A
M
N
B
D
C
B
D
C
B
D
C
M
变式练习2:
2.如图示，四边形ABCD对角线AC与BD的中点M ,
N.且M , N的中点为G, P为该平面内的任意一点.
求证: 4PG PA PB PC PD 证明： M，N是AC, BD中点
(2)
|
a
||

||
a

m
a
新的运算：实数与向量相乘的运算
问1：设k是一个实数， a 是向量，那么k与 a 相乘所得的
结果是什么？ ka 积是一个向量 注意： （1）书写时，规定应把实数写在向量前面并省略乘号； （2）不要将表示向量的箭头写在数字上面．
问2：对于 k a，它的长度和方向，与 a 的关系？
．

书4 a本、课-后53练a 习、：以2 非a零向的量方向a和为长参度照．，分别说出向量问3：k a 与 a 源自怎样的位置关系？ka ∥ a
．
【小结】
1、实数k与向量
a
相乘的结果
k a 仍是一个向量．
2、k a 与 a 的关系：
位置关系：k a ∥ a
数量关系： ka k a
2．例题分析
a 例题2 已知非零向量
，求作
5 2
a,3a,
3a,并指出他们的长度和方向.
请例分用题别向是3已量各知边a平,的b行中表四点示边E向形G量与AOBFECH,DO相中F交，，于并E点写、O出F、.设图G中、与AHD向、量aO, BEA

b
相等的向量.
A
H
D
E
O
G
B
C
F
例3：已知点D、E分别在的边AB、AC上，
DE∥BC，7AD=4AB，试用 BC 向量表示向 量 DE ．
（2） (a) (a) …… (a) na
n个(a )
（3）如图： OA __ OB
OA n OB m
归纳：一般地，设n为正整数， a 为向量，
（1） na 表示n个 a 相加；
（2）na 表示n个 a相加．
（3）当 m为正整数时， n