北师大版高数选修23第6讲：数学期望与方差及正态分布(1)

2.6.正态分布教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学课时：3课时教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

内容分析：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过)()(σμ-Φ=xxF转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为22121)(xexF-=π，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程：学生探究过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()xμσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(22)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业： 书本第75页 习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：2()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2σμN3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

§ 2.6 正态分布教材分析：1、结合实际问题让学生了解连续性随机变量的意义，如产品寿命，等车的时间等。

体会连续性随机变量的取值是某一区间的任意值，无法一一列举，如何描述其分布列就是本节研究的重点，从而引起学生对本节的兴趣。

2、在实际遇到的许多量〔如长度、质量、噪音等〕都服从或近似服从正态分布。

在研究频率分布直方图时，当样本容量无限增大时，频率分布直方图和道尔顿钉板实验的图像就无限接近于一条分布密度曲线，分布密度曲线较科学地反映了总体分布但分布密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最根本、最重要的一种分布。

3、正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：，〔σ＞0〕由此可见，正态分布是由它的均值〔平均数〕μ和标准差σ唯一决定的常把它记为。

正态分布曲线具有两头低、中间高、左右对称的根本特征。

4、从形式上看，正态分布是一条中间高、两边低呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的5、结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质。

正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质和解决实际问题，从实际中来，到实际中去。

教学分析教学时要通过一些贴近生活的实例，让学生对连续性随机变量和正态分布有初步直观的认识，同时使学生领悟到“数学来源于实践，又要回归到实践〞，从而培养学生的学习兴趣，激发学习热情．教学中教师可利用多媒体引导学生分析归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力，也能锻炼了学生观察归纳的能力，表达了归纳、分类、化难为易、数形结合的思想．这样的处理很好地突出了重点、突破了难点．教学目标：1、知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用，了解连续性随机变量的意义，掌握正态分布在实际生活中的意义和作用，了解分布密度曲线。

2019-2020年高中数学离散型随机变量的期望与方差知识点归纳北师大版选修2-3知识点归纳1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称……为ξ的数学期望，简称期望．2 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4 期望的一个性质:5方差的计算方法（1）对于一组数据x1，x2，…，x n，s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（x n－）2］叫做这组数据的方差，而s叫做标准差（2）方差公式: s2=［（x12+x22+…+x n2）－n2］（3）当一组数据x1，x2，…，x n中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，x n′=x n－a则s2=［（x1′2+x2′2+…+x n′2）－n］6 方差:＝＋＋…＋＋…．衡量数据波动大小的量方差越大数据波动越大7 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．8方差的性质：；9二项分布的期望：二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．ξ 0 1 … k … n P……E ξ=np, np (1-p )10几何分布的期望和方差：几何分布： g (k ，p )= ，其中k ＝0,1,2,…， ．ξ 1 2 3 … k … P……2112(1)3(1)(1)k E p p p p p kp p ξ-=⋅+-+-++-+令 11(1)(1)(1)(1)n n p p n p p np p --++--+-1(1)(1)(1)(1)n n n n S p S p p p p p np p ---=+-++---，如：某射击手击中目标的概率为p 求从射击开始到击中目标所需次数的期望、方差就是 ，.。

§6 正态分布自主整理1.离散型随机变量的取值是可以_______________的,但在实际应用中,还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值,是不可以一一列举的,这种随机变量称为连续型随机变量.2.如果一个随机变量X可以取某一区间中的一切值,那么在取出的样本中,样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率,设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线称为随机变量X的______________.这条曲线对应的函数称为X的______________,记为______________.3.如果知道了X的分布密度曲线,则X取值于任何范围(例如｛a＜X＜b｝)的概率,都可以通过计算该曲线下相应的______________而得到,因此,我们说X的分布密度函数f(x)完全描述了X的规律.计算面积的方法,实际上是计算分布密度函数f(x)在一个区间上的______________.4.正态分布是现实中最常见的分布,它有两个重要的参数:______________和______________(σ＞0),通常用______________表示X服从参数为μ和σ2的正态分布.当μ和σ给定后,就是一个具体的正态分布.当n很大时,二项分布也可以用______________分布来近似描述.5.随机变量服从正态分布,则它在区间(μ-2σ,μ+2σ)外取值的概率只有______________,而在区间(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有______________,由于这些概率值很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中______________. 高手笔记1.μ为总体的均值(或期望),即EX=μ.σ2(σ＞0)为总体的方差,σ为总体的标准差,即DX=σ2,DX=σ.2.正态分布的性质(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交.(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.(3)曲线在x=μ处达到峰值πσ21.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定:σ越小,曲线起“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.(7)若X—N(μ,σ2),则对于任何实数a＞0,概率P(μ-a＜x＜μ+a)=⎰+-aaμσϕμμ,(x)dx.3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 P (μ-σ＜X ＜μ+σ)=68.3% P (μ-2σ＜X ＜μ+2σ)=95.4% P(μ-3σ＜X ＜μ+3σ)=99.7% 名师解惑1.正态分布的题型及求解策略剖析：(1)借助正态分布密度曲线的图象及性质解题.结合实例、图象,理解正态曲线的性质,并会运用性质去解决简单的问题,要特别注意正态曲线的对称性,以及当μ一定时,曲线的形状与σ大小的关系.(2)对于有关正态分布的计算问题,要记住当正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用. 2.质量控制的基本思想——3σ原则 剖析：一般认为凡服从正态分布的随机变量X 取(μ-3σ,μ+3σ)之间的概率为0.997,所以只有0.003的概率在区间之外,称这样的事件为小概率事件,所以,在一个总量比较大的总体中取一件,一定落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内,所以用这样的方法来检验总体是否合格. 讲练互动 【例1】某班有48名同学,一次考试后数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,问从理论上讲成绩在80分到90分之间的有多少人? 分析：要求成绩在80分到90分之间的人数,需先求出分数落在这个范围内的概率,然后乘以总人数即可.解:设X 表示这个班学生的数学成绩,则X —N(80,102),成绩在80分到90分之间的学生的比例为21P(80-10＜x ＜80+10)= 21×0.683=0.341 5, 所以,成绩在80分到90分之间的人数为 48×0.341 5≈16(人).绿色通道:记住相关数据:P(μ-σ＜x ＜μ+σ)=68.3%. 变式训练1.某地区数学考试的成绩x 服从正态分布,其密度函数曲线如下图.成绩x 位于区间(52,68］的概率是多少?分析：这是道典型的由图形求函数,由函数求概率的题目,我们发现x —N(μ,σ2),其中μ=60,f(x)=222)(21σμπσ--x e ,∴σ=8.而区间(52,68］关于x=μ对称,∴P (52＜x≤68)=P(60-8＜x≤60+8)=P(μ-σ＜x≤μ+σ)=0.682 6.解:∵x 服从正态分布,设其密度函数f(x)=222)(21σσπσ--x e由图形知μ=60,顶点为(60,π281),∴σ=8. 设x位于区间(52,68］上的概率为P(52＜x≤68)=P(60-8＜x≤60+8)=P(μ-σ＜x≤μ+σ)=0.683.【例2】设在一次数学考试中,某班学生的分数X —N(110,202),已知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 分析：要求及格的人数,先要求出P(90≤X≤150),而求此概率需将问题转化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解.解:∵X—N(110,202),∴μ=110,σ=20. P(110-20＜X ＜110+20)=0.683. ∴X＞130的概率为21×(1-0.683)=0.158 5, X≥90的概率为0.683+0.158 5=0.841 5. ∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人), 130分以上的人数为54×0.158 5≈9(人).绿色通道:本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊概率值求概率,要学会应用这种方法. 变式训练2.公共汽车车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在0.15%以下设计的.如果某地区成年男子的身高X —N(175,36)(单位：cm),则该地区公共汽车车门高度应设计为多少?解：设该地区公共汽车车门的高度应设计为x cm,则根据题意便有P(X≥x)＜0.15%.因为X —N(175,36),所以μ=175,σ=6,P(X≥x)=1-P(X ＜x)＜0.15%⇒2［1-P(X ＜x)］＜0.3%. 由图可知P(175-(x-175)＜X ＜x)＞99.7%.因为P(μ-3σ＜X ＜μ+3σ)=99.7%. 所以x ＞175+3σ=193,即该地区公共汽车车门高度至少应设计为193 cm.【例3】某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:(1)成绩不及格的人数占多少?(2)成绩在80—90间的学生占多少?分析：利用正态分布曲线作出草图,结合特殊值求解. 解:(1)设学生的得分情况为随机变量X,X —N(70,102),则μ=70,σ=10, P(70-10＜X ＜70+10)=0.683, ∴不及格的学生的比为21×(1-0.683)=0.158 5, 即成绩不及格的学生占15.85%. (2)成绩在80—90间的学生的比为21［P(50＜X ＜90)-P(60＜X ＜80)］=21×(0.954-0.683)=0.135 5, 即成绩在80—90间的学生占13.55%.绿色通道:利用正态曲线的对称性及P(μ-σ＜X ＜μ+σ)=68.3%解决本题. 变式训练3.设X 服从N （0,1）,求下列各式的值. (1)P(X≥0);(2)P(X≥2). 解:(1)P(X≥0)=P(X≤0). ∵P(X≤0)+P(X≥0)=1, ∴P(X≥0)=21. (2)P(-2＜X ＜2)=P(μ-2σ＜X ＜μ+2σ)=0.954. ∴P(0＜X ＜2)=21P(-2＜X ＜2)=0.477. ∵P(X＞0)=21,∴P(X≥2)=P(X＞0)-P(0＜X ＜2)=0.023. 【例4】某工厂生产的产品的直径，服从正态分布N(5,0.01)单位:cm.质检部从生产的一批产品中取出一件测量为4.63 cm,则这批产品是否合格? 分析：本题是用3σ原则检测产品的应用.解:由于产品服从正态分布N(5,0.01),∴从大批产品中取一件必定落在区间（μ-3σ,μ+3σ）内，即抽取一件的尺寸一定在区间(4.7,5.3)内,而4.63(4.7,5.3). ∴小概率事件发生了,所以这批产品不符合规格.绿色通道:本题反映了质量控制的基本思想及3σ原则,若随机变量X —N(μ,σ2),则X 在（μ-3σ,μ+3σ）外取值的概率只有0.3%,通常认为这种小概率事件在一次试验中几乎不可能发生. 变式训练4.某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为μ=500 g,σ2=1.为了检查设备运行是否正常,质量检查员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品,测得其质量为504 g,他立即要求停止生产检查设备.他的决定是否有道理呢?解:如果设备正常运行,产品质量服从正态分布,由于正态分布的参数为μ=500,σ2=1.根据正态分布的性质可知,产品质量在μ-3σ=500-3=497(g)和μ+3σ=500+3=503(g)之间的概率为0.997,而质量超出这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件.但是,检查员随机抽出的产品为504 g,这说明设备的运行极可能不正常,检查员的决定是有道理的.。

正态分布教学目标1．知识与技能①通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的线特点，掌握利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题2．过程与方法①通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法②通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力3、情感态度与价值观①通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣②通过σ3原则的学习，充分感受数学的对称美教学重点、难点重点：正态分布密度曲线的特点，利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题难点：正态分布密度曲线的特点教法与学法1、教法本节课是概念课教学，我采取直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法。

通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程。

而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性。

2、学法纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：⑴观察探究：观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。

（如利用高尔顿板探究正态曲线的归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维。

（如通过几何画板的观察，归纳分析参数μ、σ对图像的影响）⑶理解应用在应用中体会到数学受到数学的价值，提高学习数学的兴趣。

教学过程通过对高尔顿板试验进行演示。

1．用频率分布直方图从频率角度研⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。

连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图。

⑶将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线。

式中含有两个参数μ和σ。

下面结合函数解析式研究曲线特点，并分析参数μ和σ对曲线的影响：⑴固定σ的值，观察μ对图像的影响教学内容μ的值，观察σ对图像的影⑵固定响⑶综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？探 论 证()6826.0=+≤-σμσμX P ＜()9544.022=+≤-σμσμX P ＜()9974.033=+≤-σμσμX P ＜有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

*§6　正态分布备课资源参考教学建议1.本节是新课标的重要内容之一,常以选择题或填空题的形式出现.2.本节的重点是正态分布曲线的特点及其表示的意义,难点是在实际中什么样的随机变量服从正态分布.3.正态分布在统计中是很常用的分布,它能刻画很多随机现象.教学中可利用高尔顿钉板或计算机模拟的方式进行试验,使学生对正态分布密度曲线有一个直观的印象,从而引入其函数表达式,并利用图形展示两个参数μ,σ对曲线的影响,进而得出正态分布的一些性质.另外,为了体现其重要性,教学中还应列举大量的服从正态分布的实例.教师可以引导学生分析一下为什么它们都近似服从正态分布,以加深学生对随机变量产生背景的印象,说明正态分布在概率统计理论和实际应用中都占有重要的地位.备选习题1某正态分布的密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为(2π,若总体落在区间(-∞,x ))-12内的概率为0.001 5,则x 的值是 .解析:∵密度函数为偶函数,∴对称轴x=μ=0.函数最大值为=(2π,1σ2π)-12∴σ=1.∴X~N (0,1).∵P (X<x )=0.001 5,∴P (x<X<-x )=1-2P (X<x )=1-2×0.001 5=0.997.又∵P (μ-3σ<X<μ+3σ)=P (-3<X<3)=0.997,故x=-3.答案:-32设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N (110,202),且知满分为150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数.解:∵X~N (110,202),∴μ=110,σ=20,P (110-20<X ≤110+20)=0.683.∴P (X>130)=×(1-0.683)=0.158 5.12∴P(X≥90)=P(90≤X<130)+P(X>130)=0.683+0.1583=0.8415.∴及格的人数为54×0.8415≈45,130分以上的人数为54×0.1585≈9.。