第13讲 平面向量的概念与运算

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

平面向量的概念与运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一，它具有方向和大小两个基本特征。

本文将介绍平面向量的概念以及其常见的运算。

一、平面向量的概念平面向量是由起点和终点确定的有向线段，一般用小写字母加上→来表示。

例如，向量AB可以表示为→AB。

平面向量的起点在原点O，终点在坐标系中的某一点P，那么向量OP可以用字母加上向上的箭头来表示。

二、平面向量的大小平面向量的大小又称作模或长度，用两点之间的距离来表示。

设有向线段→AB的起点为A(x1, y1)，终点为B(x2, y2)，那么向量→AB的大小可以用以下公式来计算：|→AB| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)三、平面向量的运算1. 平面向量的加法：设有向线段→AB和→CD，那么它们的和向量→AD可以通过将两个向量首尾相连来得到。

具体计算如下：→AD = →AB + →CD = (x2-x1, y2-y1) + (x4-x3, y4-y3)2. 平面向量的减法：设有向线段→AB和→CD，那么它们的差向量→AC可以通过将第二个向量取负后再进行加法运算得到。

具体计算如下：→AC = →AB - →CD = (x2-x1, y2-y1) - (x4-x3, y4-y3)3. 平面向量的数量积：平面向量的数量积又叫点积或内积，它是两个向量的数量乘积与夹角余弦的乘积。

设有向线段→AB和→CD，夹角为θ，那么它们的数量积A·B可以通过以下公式来计算：A·B = |A| |B| cosθ4. 平面向量的向量积：平面向量的向量积又叫叉积或外积，它是两个向量的数量乘积与夹角正弦的乘积。

设有向线段→AB和→CD，夹角为θ，那么它们的向量积A×B可以通过以下公式来计算：A×B = |A| |B| sinθ四、平面向量的运算性质1. 加法的交换律和结合律：设有向线段→AB，→CD和→EF，那么有：→AB + →CD = →CD + →AB(→AB + →CD) + →EF = →AB + (→CD + →EF)2. 数量积的交换律和结合律：设有向线段→AB和→CD，那么有：A·B = B·A(A·B)·C = A·(B·C)3. 向量积的交换律和结合律：设有向线段→AB和→CD，那么有：A×B = -B×A(A×B)×C = A×(B×C)五、应用举例平面向量的概念与运算在几何、力学等学科中有着广泛的应用。

平面向量的定义与运算规则在几何学中，平面向量是描述平面上移动、力、速度等物理量的重要工具。

平面向量具有方向和大小两个属性，通常用箭头表示。

本文将介绍平面向量的定义以及常用的运算规则。

一、平面向量的定义平面向量由两个点确定，这两个点称为向量的起点和终点。

起点为A，终点为B的平面向量常用符号表示为AB。

根据平面向量的定义，向量的大小用线段AB的长度来表示，记作|AB|或者AB。

二、平面向量的运算规则1. 向量的加法设有平面向量AB和CD，若从向量A到向量B的位移量与从向量C到向量D的位移量方向相同，则向量AB+CD的起点为A，终点为D。

即两个向量相加，其结果是由两个向量的位移量之和得到的新的位移量。

2. 向量的减法设有平面向量EF和GH，若从向量E到向量F的位移量与从向量G到向量H的位移量方向相反，则向量EF-GH的起点为E，终点为H。

即两个向量相减，其结果是由两个向量的位移量之差得到的新的位移量。

3. 向量的数量积（点乘）设有平面向量IJK和LMN，向量IJK与向量LMN的数量积记作IJK·LMN。

数量积的计算方法为：IJK·LMN=|IJK| × |LMN| × cosθ，其中θ为IJK与LMN之间的夹角。

数量积的结果是一个实数。

4. 向量的向量积（叉乘）设有平面向量PQR和STU，向量PQR与向量STU的向量积记作PQR×STU。

向量积的计算方法为：PQR×STU=|PQR| × |STU| × sinθ × n，其中θ为PQR与STU之间的夹角，n为一个垂直于平面的单位向量。

向量积的结果是一个向量，其大小为两个向量所组成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成的平面。

5. 向量的数量积与向量积的关系对于平面向量ABC和DEF，有ABC·DEF=|ABC| × |DEF| × cosθ = 0，其中θ为ABC与DEF之间的夹角。

平面向量的基本概念和运算平面向量是指具有大小和方向的矢量，它在平面内进行运算和表示。

平面向量的概念和运算是数学中的重要内容，在几何、物理等学科中都有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。

一、平面向量的表示方法平面向量可以用一个有序对表示，即(A, B)，其中A和B分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

另一种表示方法是使用向量符号，如→AB，表示从点A指向点B的向量。

向量符号上方的箭头表示向量的方向，向量的长度表示向量的大小。

二、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的和为向量→AC，即：→AB + →CD = →AC向量的加法满足交换律和结合律，即不论加法的顺序如何，结果都是相同的。

三、平面向量的减法平面向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A减去向量B的差为向量→AD，即：→AB - →CD = →AD减法可以看作是加法的逆运算，即将被减去的向量取相反数后再进行加法运算。

四、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积，表示两个向量之间的乘积。

设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的数量积为：→AB · →CD = |→AB| |→CD| cosθ其中，|→AB|和|→CD|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积具有交换律和分配律，即对于两个向量A、B和一个实数k，有以下性质：1. →AB · →CD = →CD · →AB2. (k→AB) · →CD = k(→AB · →CD)3. (→AB + →CD) · →EF = →AB · →EF + →CD · →EF五、平面向量的向量积平面向量的向量积也称为叉积，表示两个向量之间的向量乘积。

平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。

平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示，如果两点分别为A和B，那么向量AB通常用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。

向量的大小记为|→AB|。

三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设向量→AB和→CD，可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起，将向量→CD的终点放在向量→AB的终点，这样得到的向量就是→AB + →CD。

2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设向量→AB和→CD，可以将向量→AB的起点放在→CD的终点，将向量→AB的终点放在→CD的起点，这样得到的向量就是→AB - →CD。

3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

设向量→AB，实数k，那么k→AB的大小为|k|×|→AB|，方向与→AB相同（当k > 0）或相反（当k < 0）。

4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积（又称点积、内积）定义为|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。

5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积（又称叉积、外积）定义为一个新的向量→E，其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ，方向垂直于→AB和→CD所在的平面，符合右手法则。

四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在力学中，用平面向量可以表示力的大小和方向；在几何学中，可以用平面向量表示线段的长度和方向。

总结：平面向量是用有向线段表示的量，具有大小和方向。

平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。

平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。

平面向量的基本概念与运算法则平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的方向和大小，能够进行加减乘除等基本运算，为我们解决问题提供了很大的便利。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，帮助读者理解和运用平面向量。

1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用线段AB来表示，方向由起点A指向终点B，记作→AB或者AB。

2. 平面向量的表示和坐标平面向量可以使用坐标来表示。

设向量AB的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则向量→AB可以表示为(x,y)。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

3. 平面向量的运算法则平面向量有多种基本运算法则，下面依次介绍：(1) 向量的加法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB + →CD的终点为R(x1+x2 , y1+y2)。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相加，得到新的向量的坐标。

(2) 向量的减法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB - →CD的终点为R(x1-x2 , y1-y2)。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相减，得到新的向量的坐标。

(3) 向量的数量乘法：设向量→AB的终点为P(x,y)，数k为实数，则k × →AB的终点为R(kx, ky)。

也就是说，将向量的每个分量分别乘以实数k，得到新的向量的坐标。

(4) 向量的点乘法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则→AB · →CD = x1 x2 + y1 y2。

也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相乘，再将结果相加，得到点乘法的结果。

4. 平面向量的性质平面向量有一些重要的性质，下面列举几个常用的性质：(1) 平行向量的性质：如果两个向量→AB和→CD平行，则它们可以表示为→AB = k × →CD，其中k为实数。

平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。

平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。

一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。

可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。

二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。

具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。

三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。

对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。

四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。

设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。

五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。

设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。

平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。

在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。

平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。

设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。

其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。

其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。

五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。

设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。

六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。

平面向量的定义及其运算平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成。

平面向量可以表示为有向线段，并且与其他向量的比较以及运算都是在同一平面内进行的。

一、平面向量的定义平面向量是有向线段的表示，它由长度和方向两个属性组成。

如果两个有向线段的长度相等且方向相同，那么这两个有向线段就代表同一个向量。

同一个向量可以用不同的有向线段表示出来。

二、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新向量的过程。

图1. 向量加法的图示由上图可知，向量AB和向量BC相加得到向量AC。

向量的加法满足以下三个性质：(1) 交换律：a+b=b+a(2) 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(3) 零向量：对于任意向量a，都有a+0=a2. 向量数量积向量数量积是指将两个向量相应的分量相乘，再将乘积相加得到一个数的过程。

图2. 向量数量积的图示由上图可知，向量a和向量b的数量积为a*b，它表示向量a 在向量b上的投影与向量b的长度的乘积。

向量的数量积满足以下性质：(1) 交换律：a*b=b*a(2) 结合律：a*(kb)=(ak)*b=a*k*b，其中k为一个数(3) 零向量：对于任意向量a，都有a*0=03. 向量减法向量减法是指将两个向量相应分量相减得到一个新向量的过程。

图3. 向量减法的图示由上图可知，向量ab和向量bc的差为向量ac。

向量的减法满足以下性质：(1) a-b=a+(-b)(2) a-a=0三、总结平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成，可以表示为有向线段。

向量加法、数量积和减法是平面向量的三种基本运算，它们分别代表了向量的加法、倍数和减法。

通过这三种运算，我们可以对向量的大小、方向等属性进行计算和描述。

平面向量的概念和运算平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上表示了方向和大小。

在数学和物理学中，平面向量是非常重要的概念，它们在几何、力学、电磁学等领域都有广泛应用。

本文将详细介绍平面向量的概念和运算，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、平面向量的概念平面向量可以定义为有大小和方向的量。

通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

假设有两个点A和点B，在空间中，从点A指向点B的箭头就是一个平面向量。

平面向量常用小写字母加上一个有方向的箭头来表示，如a→、b→等。

二、平面向量的表示在平面几何中，平面向量可以通过坐标来表示。

平面上的一个点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

如果有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则从点A到点B的平面向量可以表示为：AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)三、平面向量的运算1. 加法平面向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

假设有两个向量a→ = (a1, a2)和b→ = (b1, b2)，它们的和可以表示为：a→ + b→ = (a1 + b1, a2 + b2)加法运算满足交换律和结合律，即对于任意的两个向量a→和b→，有a→ + b→ = b→ + a→和(a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→)。

2. 数量乘法平面向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘。

假设有一个向量a→ = (a1, a2)和一个实数k，它们的数量乘积可以表示为：ka→ = (ka1, ka2)数量乘法满足结合律和分配律，即对于任意的向量a→和b→，以及任意的实数k和l，有k(la→) = (kl)a→和(k + l)a→ = ka→ + la→。

3. 减法平面向量的减法是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

假设有两个向量a→ = (a1, a2)和b→ = (b1, b2)，它们的差可以表示为：a→ - b→ = (a1 - b1, a2 - b2)减法可以转化为加法的形式，即a→ - b→ = a→ + (-b→)，其中-b→表示b→的相反向量。