高中数学全套知识点思维导图平面向量的基本概念及其线性运算.pdf

平面向量的概念及线性运算一、知识要点梳理 知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2．向量的表示方法: (1)字母表示法:如,,,a b c →→→等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,AB CD →→等. (3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:0→与任一向量共线. 知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：a b b a →→→→+=+；②结合律：()()a b c a b c →→→→→→++=++ 知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数λ与向量a →的积是一个向量，记作：a λ→(1) ||||||a a λλ→→=；(2)①当λ>0时,a λ→的方向与a →的方向相同； ②当λ<0时,a λ→的方向与a →的方向相反； ③当0λ=时,0a λ→→=. 2．运算律 设,λμ为实数结合律：()()a a λμλμ→→=；分配律：(),()a a a a b a b λμλμλλλ→→→→→→→+=++=+ 3．共线向量基本定理非零向量a →与向量b →共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数,λ使b a λ→→=. 经典例题类型一：向量的基本概念1．判断下列各命题是否正确： (1)若||||,a b →→=则a b →→=；(2)若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC →→=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (3)若,,a b b c →→→→==，则.a c →→=(4)两向量,a b →→相等的等价条件是||||a b →→=且//a b →→. 类型二：向量的线性运算2．如图所示，ABCD 的两条对角线相交于点,M 且,,AB a AD b →→→→==用,a b →→表示,,,MA MB MC MD →→→→【变式1】如图,ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2,AN NC AM =与BN 相交于点,P 求:AP PM 的值.【答案】解：(如图)设则和分别共线，∴存在使故，而∴由基本定理得即类型三：共线向量与三点共线问题 3．设两非零向量1e →和2e →不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e →→→→→→→→→=+=+=-求证,,A B D 三点共线. (2)试确定实数,k 使12k e e →→+和12e k e →→+共线. 类型四：综合应用4．如图，已知点,,D E F 分别是ABC ∆三边的中点， 求证：0EA FB DC →→→→++=. 测评 基础达标：1.下面的几个命题：①若||||,a b →→=则,a b →→共线；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量； ③若,a b →→满足||a →>||,b →且,a b →→同向，则a →>b →； ④由于0→方向不定，故0→不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,a b →→必有||||||a b →→-≤||a b →→+≤||||a b →→+. 其中正确命题的序号是：( )A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2.在正六边形ABCDEF 中,O 为其中心，则2FA AB BO ED →→→→+++= ( ) A.FE → B. AC → C. DC → D. FC →3.如图所示,,,D E F 分别是ABC ∆的边,,AB BC CD 的中点，则AF DB →→-= ( ) A. FD → B. FC → C. FE → D. BE →4.若,,O E F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.B.C.D.5.已知向量,,a b →→且2,56,72,AB a b BC a b CD a b →→→→→→→→→=+=-+=-则一定共线的三点是( ) A.A 、B 、D B.A 、B 、C C.B 、C 、D D.A 、C 、D 6.下列命题中，真命题的个数为( )①||||||a b a b a →→→→→+=+⇔与b →方向相同 ②||||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →方向相反 ③||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →有相等的模 ④||||||a b a b a →→→→→-=-⇔与b →方向相同 A.0 B.1 C.2D.37.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点1,2,,3AD DB CD CA CB λ→→→→→==+则λ= ( )A.23B. 13C. 13-D. 23-8.设12,e e →→是两个不共线的向量，则向量12()m e k e k R →→→=-+∈与向量212n e e →→→=-共线的条件是 ( ) A. 0k = B. 1k = C. 2k = D. 12k =9.已知正方形ABCD 边长为1,,,,AB a BC b AC c →→→→→→===则||a b c →→→++=( )A.0B.3C.D.10.如图，在平行四边形ABCD 中,,M N 分别是,DC BC 中点，已知1,,,AM c AN d →→→→==用,c d →→表示=___________，___________.11.若1212,,,OP a OP b PP PP λ→→→→→→===则OP →= (用,a b →→表示) 12.已知在ABC ∆中,,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点，求证：(1)//DE AB →→；(2) 1||||2DE AB →→=； (3)0AD BE CF →→→→++=.13.已知OAB ∆中，点C 是以A 为中心的B 的对称点,D 是将OB →分成2:1的一个内分点,DC 与OA 交于,E 设,OA a OB b →→→→==. (1)用,a b →→表示,OC DE →→； (2)若,OE OA λ→→=求实数λ的值.。

思维导图——平面向量知识点默写——平面向量1、平面向量：2、向量的模：，记作3、（1）零向量：；（2）单位向量：；（3）相反向量（负向量）：；4、相等向量：，记作5、平行向量（共线向量）：6、向量的加法（）向量的减法（）7、数乘向量：实数λ与向量a的积是一个向量，记作.数乘向量的含义：8、（1）||a λ=（2）当0λ>时，a λ 的方向与a的方向，长度为a的倍；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向，长度为a的倍；当0λ=或0a =时，a λ=.aba 2a 12a a - 2a-12a -9、向量运算满足的运算律（1）加法交换律：；（2）加法结合律：；（3）数乘向量运算律：()a λμ=，()a λμ+=，()a b λ+=，10、（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j，根据平行四边形法则，对平面上任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，我们把(,)x y 叫做向量a在平面直角坐标系xOy 中的坐标，记作.（2）设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，则向量AB的坐标为，记作AB =.（3）向量(,)a x y = ，则向量的模||a =.（3）若原点(0,0)O ，(,)A x y ，则OA =.（4）设向量11(,)a x y = ，向量22(,)b x y = ，则a b +=，a b -=.（5）若11(,)a x y = ，λ为实数，则a λ=.11、若1122(,),(,)a x y b x y == ，则//a b ⇔ ；若1122(,),(,)a x y b x y == ，则a b ⊥⇔ ；12、化简：BD AB AC +-=.。

高中数学知识点思维导图
----21张图理清高中数学知识结构
目录
一、集合与简易逻辑 (1)
二、函数与基本初等函数 (2)
三、导数及其应用 (3)
四、三角函数 (4)
五、解三角形与平面向量 (5)
六、数列 (6)
七、不等式 (7)
八、三视图与空间位置关系 (8)
九、立体几何 (9)
十、空间向量与立体几何 (10)
十一、直线的方程 (11)
十二、圆的方程 (12)
十三、直线系、圆系、直线与圆锥曲线关系 (13)
十四、圆锥曲线 (14)
十五、椭圆的定义与几何性质 (15)
十六、双曲线的定义与几何性质 (16)
十七、抛物线的定义与几何性质 (17)
十八、计数原理、二项式定理、推理与证明 (18)
十九、概率与统计 (20)
二十、复数 (21)
二十一、算法 (22)
一、集合与简易逻辑
二、函数与基本初等函数
三、导数及其应用
四、三角函数
五、解三角形与平面向量
六、数列
七、不等式
八、三视图与空间位置关系
九、立体几何
十、空间向量与立体几何
十一、直线的方程
十二、圆的方程
十三、直线系、圆系、直线与圆锥曲线关系
十四、圆锥曲线
十五、椭圆的定义与几何性质
十八、计数原理、二项式定理、推理与证明
十九、概率与统计
二十、复数
二十一、算法。

第六章平面向量及其应用复习课要点训练一平面向量的运算1.向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘,向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算,向量的加法满足交换律、结合律,数乘向量满足分配律.利用向量证明三点共线时,应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.(2)若a ∥b (a ≠0),则b =λa . 应视题目条件灵活选择.1.已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.（ 35,-45） B.（45,-35） C.（-35,45） D.（-45,35）解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),与其同方向的单位向量e =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3,-4)=（35,-45）.答案:A2.(全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:A3.(全国卷Ⅲ)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ=12.解析:由题意可得2a +b =(4,2).因为c ∥(2a +b ),c =(1,λ),所以4λ-2=0,即λ=12.要点训练二 平面向量的夹角与垂直问题1.两个向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)垂直⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0,利用这两个结论,可以判断两个向量的位置关系.2.两个向量的夹角公式:cos θ=a·b|a||b|=1212√x12+y12√x22+y22.1.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析:设a与b的夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为π3.答案:B2.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则a与b的夹角的余弦值为-√210.解析:设a与b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a|·|b|=√22+22×√(-8)2+62=-√210.3.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=8.解析:向量a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,则a·b=0,即-4×6+3m=0,所以m=8.4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=2.解析:由题意可得,a·b=0,所以-2×3+3m=0,解得m=2.要点训练三有关向量的模(长度)与距离问题的解法求向量的模主要有以下两种方法:①利用公式|a|2=a2将它转化为向量的数量积问题,再利用数量积的性质进行展开、合并,使问题得以解决;②利用公式|a|=√x12+y12将其转化为实数运算,使问题得以解决.1.(全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|解析:由向量加法与减法的几何意义可知,以非零向量a ,b 的模长为边长的平行四边形是矩形,从而可得a ⊥b .故选A .答案:A2.已知向量a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=3,则|5a -b |=7. 解析:|5a -b |=√|5a -b |2=√(5a -b )2=√25a 2+b 2-10a ·b = √25+9-10×1×3×(-12)=7.3.(浙江高考)已知正方形ABCD 的边长为1,当每个λi (i =1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是0,最大值是2√5.解析:如图所示,以AB ,AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1).令y =|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≥0.因为λi (i =1,2,3,4,5,6)可取遍±1,所以当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=1,λ2=-1时,有最小值y min =0.因为(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)的取值不相关,λ6=1或λ6=-1,所以当(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)分别取得最大值时,y 有最大值,所以当λ1=λ2=λ5=λ6=1,λ3=λ4=-1时,有最大值y max =√22+42=√20=2√5.要点训练四 建模思想利用正弦定理、余弦定理解三角形及其应用,常根据已知条件中所给的边、角关系,利用解三角形的常见类型求解;解决应用问题常根据距离、高度、角度的求解方法解决,都体现了建模思想.1.(全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc = ( )A.6B.5 C .4 D.3解析:由已知及正弦定理可得a 2-b 2=4c 2, 由余弦定理推论可得 -14=cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2-4c 22bc=-14,所以3c 2b =14,所以b c=6. 答案:A2.(全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知b sin A +a cos B =0,则B =3π4.解析:由正弦定理,得sin B sin A +sin A cos B =0.因为A ∈(0,π),B ∈(0,π),所以sin A ≠0,所以sin B +cos B =0,即 tan B =-1,所以B =3π4.3.(浙江高考)在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上,若∠BDC =45°,则BD =12√25,cos ∠ABD =7√210.解析:如图所示,在△ABD 中,由正弦定理,得AB sin∠ADB =BDsin∠BAC,而AB =4,∠ADB =3π4,AC =√AB 2+BC 2=5, sin ∠BAC =BC AC =35,cos ∠BAC =AB AC =45,所以BD =12√25.cos ∠ABD =cos(∠BDC -∠BAC )=cos π4cos ∠BAC + sin π4sin ∠BAC =7√210.4.(全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sinA+C 2=b sin A.(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围. 解:(1)由题设及正弦定理,得 sin A sinA+C 2=sin B sin A.因为sin A ≠0,所以sinA+C 2=sin B.由A +B +C =180°,可得sinA+C2=cos B2,故cos B 2=sin B =2sin B 2cos B 2.因为cos B2≠0,故sin B 2=12,所以B =60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a. 由正弦定理,得a =csinA sinC=sin (120°-C )sinC=√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°,由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故12<a <2,所以√38<S △ABC <√32,即△ABC 面积的取值范围是（√38,√32）.。

⇔ a一．【课标要求】平面向量的概念及运算（1） 平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义， 理解向量的几何表示；（2） 向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3） 平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。

以选择 题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

此类题难度不大，分值 5~9 分。

预测 2010 年高考： （1） 题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题；（2） 出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】1. 向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。

向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点 a , b , c的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ， a ；坐标表示法 a = xi + y j = (x , y ) 。

向量的大小即向量的模（长度），记作| AB |即向量的大小，记作｜ a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小②零向量长度为 0 的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ⇔ ｜ a ｜＝0。

由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与 0 的区别）③单位向量模为 1 个单位长度的向量，向量 a 为单位向量 ｜ 0｜＝1。