2.1平面向量的实际背景及基本概念_图文.ppt

于是得| MA |＝| CN |，且 MA ， CN 方向一致，
所以 CN ＝ MA .
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深化提高
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解：如图所示：
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例题讲解
[例 3] 如图，D、E、F 分别是正三角形 ABC 各边的中点．
(1)写出图中所示向量中与向量 DE 长度相等 的向量；
(2)写出图中所示向量中与向量 FD 相等的向量； (3)分别写出图中所示向量中与向量 DE 、FD共线的向量．
找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等
向量，而相等向量一定是共线向量．
(3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是
平行向量．
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例题讲解
[例 1] 有下列说法： ①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线； ②若 AB＝ DC ，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个 顶点； ③在▱ABCD 中，一定有 AD＝ BC ； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ⑤共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确的说法是________．
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[自主解答] (1)与 DE 长度相等的向量是 EF 、FD、 AF 、 FC 、 BD、 DA、CE 、 EB.
(2)与FD相等的向量是CE 、 EB. (3)与 DE 共线的向量是 AC 、 AF 、 FC ；与FD共线的向量 是CE 、 EB、CB.
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c
d
向量的平行与直线的平行既有 相同的地方，也有不同的地方。
L1
问题4．如图设O是正六边形ABCDEF的 中心，写出图中与 OA 相等的向量
变式一：与 OA 长度相等的向量有 多少个？
变式二：与 OA共线的 向量有哪些？
练习巩固：
判断正误 (1)零向量的方向是任意的. (√) (2)若 a 0, 则a 0. (X) (3)单位向量的模都相等. (√)
a
b
abc
• 两个条件都要满足； • 零向量与零向量相等； • 任意两个相等的非零向量，都可用 同一条有向线段来表示，并且与有向 线段的起点无关.
c
思考：两个单位向量一定相等吗
？
2.共线向量
平行向量： a, b, c, d
a

b 任意一组平行向量都可以平移
到同一直线上，所平行向量也叫共 线向量（课本P76)
既有大小，又有方向的量叫做向量 (vector)
只有大小的量，例如，年龄、身高、 长度、面积、体积等，称为数量。
二. 表示法
１. 数量的表示：
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数 量常常用数轴上的一个点表示，如3，2， -1，…而且不同的点表示不同的数量。
-1
0
1
2
3
链接：物理中，矢量的表示法
用有向线 段表示力
作业： 1、课本77页练习题，完成在书上 2、课本77页习题2.1 A组1, 2,3,5,
2014年7月6日星期日
引入１： 猫与老鼠
问题：一只老鼠和一只猫相距６米，老鼠以每秒４米 的速度逃窜,猫以每秒７米的速度追,猫在多少时间里 会追上老鼠？
引入２ 故事：南辕北辙 ————《战国策》

1．向量的两种表示方法： (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的 长度确定向量的终点． (2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联系平面几何 中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如A→B，C→D， E→F等．
【解析】 ①错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向 的关系．
②错误.0 的模|0|＝0. ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两 个向量A→B、C→D必须在同一直线上． 【答案】 ③
【精彩点拨】 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向 两个要素．
【自主解答】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向， 所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可得 a＝b. (4)不正确．依据规定：0 与任意向量平行． (5)不正确．因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不定．
阶
阶
段
段
一 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 三
2.1.1 向量的物理背景与概念
学
业
阶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ段
2.1.2 向量的几何表示
分 层
二
测
2.1.3 相等向量与共线向量
评
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
[基础·初探]

问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c


向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,


记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.

与向量OA相等旳向量。 OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等旳向量 有多少个？
11个 变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向
相反旳向量？（ 相反向量）
存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等旳共线向量有哪些？
CB、DO、FE
例2.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后 变化方向按东北方向走了 10 2 米到达C点,到 达C点后又变化方向向西走了10米到达D点.
下列结论正确旳是：
（1）假如两向量相等，那么它们旳 起点和终点分别重叠；
（2）两个相等向量旳模相等；
（3）任历来量与它旳相反向量 (长度相同,方向相反旳向量)不相等.
（1）若两个向量在同一条直线上， 那么这两个向量是什么向量？
（2）共线向量一定在一条直线上吗？
（3）
若a
//
b,b
//
c,
则a
F
M
（2）DB、MC、AD
B
E
C
C D
D
C
方向和大小
向量
定义 表达
几何表达法：有向线段
符号表达法： a, b , AB
长度(模)
零向量
特殊向量
向量旳有关概念
单位向量
向量间 旳关系
平行(共线)向量 相等向量
拓广延伸
对于下列多种情况，各向量旳终点旳集合 分别是什么图形？
（1）把全部单位向量旳起点平行移动到同一点P；
是以P点为圆心，以1个单位长为半径旳圆； (2) 把平行于直线l 旳全部单位向量旳起点 平移到直线 l 上旳点P；
是直线 l 上与点P旳距离为1旳两个点；
(3) 把平行于直线l 旳全部向量旳起点平移 到直线 l 上旳点P；

始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
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3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或 相反；
A
D
F
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B
C E
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A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度 ）
(2)字母表示法： a , b , AB
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【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
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【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向 量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向

04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法

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课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 要充分理解与向量有关的概念， 明白它们各自所表示 的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关 键．
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【变式 1】 下列说法正确的是(
)．
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，∴A
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解析 (1)错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它 们方向的关系． (2)错误.0 的模|0| ＝0. (3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意 移动的． (4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可， → 、CD → 必须在同一直线上． 并不要求两个向量AB 答案 (3)
不能漏掉“→”．
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2．共线向量 (1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相 同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中 “共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义． (2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不 等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就找到 了共线向量与相等向量的关系， 即共线向量不一定是相等向量， 而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行 向量．
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【变式 3】 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分 别是 AC、AB、BC 的中点． → (1)写出与EF共线的向量； → (2)写出与EF的模相等的向量； → 相等的向量． (3)写出与EF

向量的几何表示
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1. 什么是有向线段? 有向线段包含哪三个要素? 有向线段的记法和图形表示是怎样的? 2. 什么是向量? 它由几个要素构成? 3. 向量的几何表示与字母表示分别是怎样的? 4. 什么是零向量? 什么是单位向量? 零向量是 怎样表示的? 5. 什么是向量的模? 它是怎样表示法?
A (起点) B (终点)
(3) 字母表示:
① 用端点的大写字母表示, 如 向量 AB. ② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c. ③ 用书写体加箭头表示, 如 a、 b 、 c.
a a
A
B
3. 向量的模: 向量 AB 的大小, 就是向量 AB 的长度, 也叫做向量的模, 记作 | AB | . 4. 零向量: 模为零的向量称为零向量, 记作0 ( 0 ), 零向量的 方向是任意的.
练习: (课本77页)
第 1、 3 题 .
练习: (77页) 1. 画有向线段, 分别表示一个竖直向上、大小为 18 N的力和一个水平向左、大小为28 N的力 (用1cm长 表示10 N ). 画图如下:
3 3 2 1 0
B
18 N
D
28 N
C
A | AB | 18 N .
2 1 0
| CD | 28 N .
5. 单位向量:
模为一个单位的向量称为单位向量. 如图是一个单位圆, 向量 OA, OB, OC 都是单位向量.
B A
C
O
例1. 如图, 试根据图中的比例尺以及三地的位置, 在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移(精 确到1km). 解: AB、AC 分别表示A地 到B地、C地的位移, 量得图上A、B两点 间的距离约为3cm, A、C两点间的距离 约为3.8cm, | AB | 0.038000000 240(km), | AC | 0.0388000000 万 ≈304(km).