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第二章2 Laplace-Kelvin公式

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Laplace讲解(全)

Laplace讲解(全)
∞ ∫−∞ δ (t )dt
=1
它不是一个普通函数，是一个普通函数序列极限。 1 例： ,0 < t < ε δ ε (t ) = ε ε ε →0 0, others
lim δ (t ) = δ (t )
∞ t=0 lim δ ε (t ) = ε →0 0 t≠0
∞ lim ∫−∞ δ ε i →0
− st ∞ 0
= f (t )e
+
∞ 0
∞ s ∫0
f (t )e − st dt
= − f (0) + s
∫
f (t )e − st dt
= sF ( s ) − f (0)
推论：
L[ f (n) (t)] = S n F(s) − S n−1 f (0) − S n−2 f ' (0) − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − f (n−1) (0)
f (0) = −2 s 2 + 22
对上式两边取L变换： ( s ) − sF
2
1 −2 Q f (t ) = cot t , f (0) = 1. ∴ F ( s ) = [ + 1] s s 2 + 22
s2 + 2
=
s( s 2 + 2 2 )
常会用到下面性质
L−1 [ f ' ( s )] = −tf (t )
下面讨论控制理论中常见函数的Laplace变换 一．单位阶跃函数 u (t )
1, t > 0 u (t ) = 0, t < 0
L[u (t )] = ∫ u (t )e dt = e
∞ − st 0 − st ∞ 0
1 = s
（Re(s)>0）

第二章 液体表面

第二章 液体表面

表面能是指表面所具有的内能。 表面能是指表面所具有的内能。实际表面的内能的绝对值是无法测量 的，可以测量到的仅是当物质状态发生改变时，其内能的改变量∆U 可以测量到的仅是当物质状态发生改变时，其内能的改变量∆ ∆U = Q + W Q为体系自环境吸收的热量；W为环境对体系做的功 为体系自环境吸收的热量； 为环境对体系做的功 为体系自环境吸收的热量
从液相内部将一个分子移到表面层要克服这种分子间引力而做功， 从液相内部将一个分子移到表面层要克服这种分子间引力而做功， 从而使系统的自由能增加；反之，表面层分子移人液体内部， 从而使系统的自由能增加；反之，表面层分子移人液体内部，系统 自由能下降。 自由能下降。
因为系统的能量越低越稳定，故液体表面具有自动收缩的能力。 因为系统的能量越低越稳定，故液体表面具有自动收缩的能力。
附加压力与曲率半径的关系Laplace方程 附加压力与曲率半径的关系Laplace方程 设在大气压为P 的液面下，有一半径为r的气泡， 设在大气压为P外的液面下，有一半径为r的气泡，若 维持这一气泡平衡，则气泡内的压力须等于P 维持这一气泡平衡，则气泡内的压力须等于P外+P附。 下可逆地推动活塞，使气泡半径由r 在压力P 在压力P外+P附下可逆地推动活塞，使气泡半径由r增加 一微量dr 这时气泡的体积和面积也相应地增加dV dA。 dr。 dV和 一微量dr。这时气泡的体积和面积也相应地增加dV和dA。 整个过程中，因活塞上的大气压力和泡外的大气压力互 整个过程中， 相抵消，所以实际上就是克服了附加压力作了体积功。 相抵消，所以实际上就是克服了附加压力作了体积功。 此功等于增大表面积的功， 此功等于增大表面积的功，即 P附dV = σdA P附 = σ (dA/dV) 因 得 4π 8π A = 4πr2 dA = 8πrdr 2σ P附 = 2σ/r (4/3)π V = (4/3)πr3 （2 - 5 ） dV=4π dV=4πr2dr

弯曲表面上的附加压力和蒸气压

弯曲表面上的附加压力和蒸气压

ps p0 p0 0
弯曲表面上的附加压力
2. 在凸面上
由于液面是弯曲的，则
p0
沿AB的周界上的表面张力不
是水平的，作用于边界的力
AB
f
将有一指向液体内部的合力
ps
f
所有的点产生的合力 和为 ps ，称为附加压力
凸面上受的总压力为：
p0 ps
p总 p0 ps
弯曲表面上的附加压力
3. 在凹面上
y R2'
dx
xdz R1'
ydz dy R2'
A'
D dz B ' C
y
o
A
x R1'
B R2'
代入上式得 若 R '1 R '2 R '
z
ps
1 R1'
1 R2'
ps
2
R'
这两个都称为 Young-Laplace 公式
弯曲表面上的蒸汽压——Kelvin公式
G vap 1 G vap 3 0
ln
c2 c1
2 lsM
1 R2'
1 R1'
颗粒总是凸面， R' 取正值， R' 越小，小颗 粒的饱和溶液的浓度越大，溶解度越大。
p0
M H2O
N Hg
毛细管现象
毛细管内液柱上升（或下降）的高度可近似 用如下的方法计算
p
ps
2
R'
gh
1 g
当 1 g
h
2 R ' 1 g
1.曲率半径 R‘ 与毛细管半径R的关系：
R´ R
cos

高等数学第二章课件-Laplace定理

高等数学第二章课件-Laplace定理

§2.8 Laplace 定理一、k 级子式与余子式、代数余子式定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列( )，位于这些行和列的交叉点上的个元素k n ≤2k 式 D 的一个 k 级子式；的余子式；M ′次序组成的 级行列式 ，称为 k 级子式M n k −在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是，则在 M 的余子式 前1212,,,;,,,k k i i i j j j ⋯⋯M ′后称之为 M 的代1212(1)k ki i i j j j +++++++−⋯⋯加上符号数余子式，记为1212(1).k ki i i j j j A M +++++++′=−⋯⋯23 12注：① k 级子式不是唯一的.（任一 n 级行列式有个 k 级子式）． k k n nC C 时，D 本身为一个n 级子式．k n =②　时，D 中每个元素都是一个1级子式；1k =二、Laplace 定理由这 k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的设在行列式 D 中任意取 k ( ( ))行，11k n ≤≤−代数余子式的乘积和等于 D ．即若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子1122.t t D M A M A M A =+++⋯，它们对应的代数余子式12,,,t M M M ⋯式为定理 （Laplace 定理）则12,,,,t A A A ⋯分别为时，1122t t D M A M A M A =+++⋯1k =即为行列式 D 按某行展开. 注：它们的代数余子式为1k kka a =⋯⋯⋯⋯2⋯(a b ==−,1,2,,i j n=⋯1n11ij i j c a b a =+。

材料表界面 作业答案

材料表界面 作业答案
二维理想气体定律 理想气体状态方程
πA=RT
表面压较小的情况下成立
pv=RT
忽略了分子间互相作用力，利用理想化模型推导公式 低压、高温条件下成立
总结： 界面化学四大ຫໍສະໝຸດ 律 Laplace 方程 Kelvin 公式
p (1/ r1 1/ r2 )
P 2 V 2 M P0 r r
求出表面张力σ，即：
(2)修正的原因：①把凹凸月面当作球面近似处理。②只有在凹月面的最低点毛细上升的高 度才是h ，凸月面的最高下降才为h ，其余各点均大于h 。
6.试用Kelvin公式解释空气中水蒸汽过饱和的原因。在20℃下水的密度ρ =998.2kg/M3,表面张力为72.8*10（-3）N/m，若水滴半径为10（-6）cm，求水的 过饱和度。 答：（1）由Kelvin公式： P 2 V 2 M RT ln (2-40) P0 r r P0 为平液面的蒸汽压，P 为弯液面的蒸汽压，V 为液体摩尔体积，r 为弯液面的 曲率半径。 由上式可知，液滴的半径越小，其蒸气压越大。下面图示为根据 Kelvin 公式得 出的正常液体（平面）与小液滴的饱和蒸气压曲线。
5. 毛细管法测定液体表面张力的原理是什么？为什么要对毛细管法进行修正？ 答：原理：液体在毛细管中易产生毛细现象。由Laplace方程推广到一般情况:
gh=2 /r (2-20) 其中△ρ 为气液两相密度之差, θ 为液体与管壁之间的接触角
，r为毛细管的半径，由上式，从毛细管上升或下降高度h可以
v a3 a v1/ 3 0.00951/ 3
其表面积为： A=6a =6*0.0095 =
2 2/3
比表面积=
表面积 6*0.00952/3 = （cm 2/g) 质量 0.1

材料表界面思考题答案汇总

材料表界面思考题答案汇总

考试
答案
第二章：液体表面 2. 试述表面张力（表面能）产生的原因。
P6 原因为液体表面层的分子所受的力不均匀而产生的。液体表面层即气液界面中的分子受到指向液体内 部的液体分子的吸引力，也受到指向气相的气体分子的吸引力，由于气相吸引力太小，这样，气液界面的分 子净受到指向液体内部并垂直于表面的引力作用，即为表面张力。这里的分子间作用力为范德华力。
17. 表面活性剂的浓度对溶液的表面张力有怎样的影响？为什么有这样的影响？ P41 (1)随着表面活性剂浓度的增加，表面张力而下降，当达到临界浓度时，表面张力就不 再发生变化。 （2）表面活性剂其亲水端向水，亲油段相空气，其浓度的上升会使分子聚集在表面，这样， 空气和水的接触面减小，表面张力急剧下降，与此同时，水中的表面活性剂也聚集在一起，排 列成憎水基向里，亲水基向外的胶束。表面活性剂浓度进一步增加，水溶液表面聚集了足够多 的表面活性剂的分子，无间隙地布满在水溶液表面上，形成单分子膜。此时，空气和水完全处 于隔绝状态，表面张力趋于平缓。 18. 表面活性剂按亲水剂类型可怎样分类？ P43 表面活性剂溶于水能电离成离子的叫做离子型表面活性剂，R 基不能电离的叫做非离子型 表面活性剂。 其中离子型表面活性剂可分成阴离子、阳离子和两性表面活性剂。
度降低,HLB 值下降,使得乳状液从原来的（Ｏ／Ｗ）型转变为油包水型（Ｗ／Ｏ）所对应的温度．又称为亲 水-亲油平衡温度．
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《材料表界面》复习思考题答案汇总
（２） ＰＩＴ与ＨＬＢ都可以反映出亲水亲油性，但是，ＰＩＴ可以反映出油的种类、水溶液性质、温度 和相体积等的影响。 同时 PIT 测定简单、精度高。
13. 比较物理吸附和化学吸附的区别。
项目 吸附力 吸附热 选择性 吸附层 吸附速度 可逆性 发生吸附速度 物理吸附 范德华力 小，接近液化热 无 单、多分子层 快，不需要活化能 可逆性 低于吸附质临界温度 化学吸附 化学键力 大，接近反应热 有 单分子层 慢，需要活化能 不可逆性 远高于吸附质沸点

Laplace-Kelvin公式

能润湿该毛细管的液体中，则由于表面张 力所引起的附加压力， 将使液柱上升，达 平衡时，附加压力与液柱所形成的压力大 小相等，方向相反：
式中 h 为达平衡时液柱高度，g 为重力加速度，
Δρ＝ρ液－ρ气（ρ 为密度）。由图中可以看出 ，曲率半径 r 与毛细管半径 R 以及接触角 θ 之间
a2
=
r⎜⎜⎝⎛ h +
r 3
− 0.1288 r 2 h
+
0.1312
r h
3 2
KK⎟⎟⎠⎞
这里可以注意到展开式中第一项为基本的拉普 拉斯公式，第二项是对弯月面下月牙形液体重 量的修正，其余各项是对弯月面与球面偏差的 修正。
几种毛细现象
1）液体在地层和纺织品中的流动 原油和水在地层中的流动属液体在不均匀孔径的毛细管中的流动，当忽 略重力作用时，由于不同管径的曲率半径不同，造成两部分液面的附加 压力不同（毛细压差）。因此，液体将往附加压力大的方向流动。 若要改变其流动方向，必须施加一克服此压力差的力，若采用表面化学 方法改变体系表面张力和液面曲率，可以改变体系毛细压差以利于实现 所要求的流动。这是三次采油的关键问题之一。
几种毛细现象
3）压汞法测孔径
水银在一般固体的孔中形成凸液面，欲使水银进入固体孔中须克服毛
细压差。即
Δp = 2γ cosθ
r
当γ、θ已知，通过测定毛细压差可计算固体的孔径。如催化剂的孔 径测定，水泥基材料的孔结构测试。
2.3.5 表面张力的测定方法
1、毛细管上升法 如图，将一洁净的半径为 r 的均匀毛细管插入
更普通的情况为液体与圆柱形毛细管之间接触角为θ，即液体对于毛细管的 湿润程度介于完全湿润与完全不湿润之间的情况，见图2－10。

Kelvin公式及其应用

Kelvin公式及其应用1. 什么是Kelvin公式？答：由于弯曲表面上有附加压力存在，所以弯曲表面上的蒸气压也与平面上不同。

开尔文公式描述了弯曲表面上的蒸气压与表面张力、曲率半径及液体自身的一些物化性质之间的定量关系。

公式⑴中，p0是平面上的蒸气压，p是曲面上的蒸气压。

R’是曲面的曲率半径，对凸面，R’取正值，对凹面，R取负值。

γ , M 和ρ分别是液体的表面张力、摩尔质量和密度。

当曲面是凸面时，如小液滴，它的蒸气压比平面上大。

如果与水平面或大液滴在一起时，小液滴首先消失。

对具有升华性质的固体可观察到类似的情况。

当曲面是凹面时，如液体中的小蒸气泡。

由于凹面的曲率半径取负值，所以半径越小，蒸气压越低。

若平面上已经开始沸腾，而在液面下的小蒸气泡内的蒸气压仍未达到外压的大小，出不来。

公式⑵是两个曲率半径不同的液滴或蒸气泡的蒸气压与曲率半径的关系。

对液滴，曲率半径越小，蒸气压越大；对具有凹面的蒸气泡，曲率半径越小，里面的蒸气压也越小。

公式⑶是两个半径不同的小颗粒的饱和溶液浓度与粒子半径之间的关系。

因为颗粒是凸面，所以粒子半径越小，其饱和溶液的浓度越大，溶解度也越大。

在一个饱和溶液中，若有大、小不同的粒子存在，对大粒子已饱和的溶液，对小粒子仍未达到饱和，所以陈放一段时间，小粒子将消失，大粒子略有增大，这就是重量分析中的陈化过程。

2.人工降雨的原理是什么？答：人工降雨的先决条件是云层中有足够的过饱和度，一般要大于4（即水的饱和蒸气压是平面液体蒸气压的4倍以上）。

即使如此，雨滴也不一定形成，因为根据开尔文公式，小液滴的蒸气压大。

对大片液体而言的过饱和度为4，而对初生成的微小液滴仍未达到饱和，所以雨滴无法形成。

如果这时用飞机在这样的云层中播散干冰，AgI或灰尘，提供凝聚中心，增大新形成雨滴的半径，水汽就凝聚变成雨下降。

3.为什么有机蒸馏中加了沸石才能防止暴沸？答：有机溶液中溶解的空气极少。

沸腾时蒸气泡中的压力应该等于外压。

Laplace拉氏变换公式表

Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。

2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。

3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。

4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。

5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。

6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。

7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。

8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。

9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。

10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。

12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)

1 , 所以 2 s 1
0

sin t dt t

0
1 π d s arctan s |0 2 s 1 2
四、位移性质 若L [f (t)]=F (s), 则有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
证明:
根据Laplace变换式, 有
at
求L [ea t t m].
m
( m 1) 利用位移性质， , 已知 L [ t ] m 1 s
可得:
( m 1) L [e t ] m 1 (s a)
at m
求L [e –at sin k t].
k 已知 L [sin kt ] 2 , 利用位移性质， 2 s k
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s

t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L f (t k ) L [ f (t k )] k 0 k 0
F ( s )e ks
k 0
,有 0
1 F ( s) (Re( s ) c ) s 1 e
求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换. f t
由象函数的微分性质,有
d k L [t sin kt ] 2 ds s k 2
k L [sin kt ] 2 s k2
同理
s
2ks
2
k2
2
(Re( s ) 0)
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Δp =
2γ r气泡
2γ r毛细管
Hale Waihona Puke 当r气泡＝r毛细管时，r最小，Δp有最大值
Δpmax =
3、滴重法
2.3.5 表面张力的测定方法
让被测液体通过毛细管滴尖流出，落入一个 容器内，待积聚至足够重量后，计算出每滴 液滴平均重量W，根据Tate定律， 表面张力能拉住液体的最大重是为滴尖周 长和液体表面张力的乘积。
2.3 杨-拉普拉斯公式
1805年Young-Laplace导出了附加压力与曲率 半径之间的关系式： 1 1
ΔPs = γ (
一般式： 特殊式（对球面）：
R
' 1
+
R
' 2
)
2γ ΔP = R'
根据数学上规定，凸面的曲率半径取正值，凹 面的曲率半径取负值。所以，凸面的附加压力指向 液体，凹面的附加压力指向气体，即附加压力总是 指向球面的球心。
w = Δ ρ Vg
= 2 π rf
如果待测的液体不能湿润管尖材 料，r取内径，反之取外径。
由实验测得的每滴液体重mg，由密度确定每滴液体体积，这样便可得到 R/v1/3。由表查出相应的f 值，正确的γ值为： 《界面化学》p19表1－4 Δ ρ Vg Δ ρ Vg γ = = β 2 π rf ( V / r 3 ) r 此方法也可用于液-液(如油-水)界面张力的测定，即使一种液体在另一种液体中形成 液滴，并按下式计算界面张力γ12：如：水和油的密度差。 γ 12 = ( ρ1 − ρ 2 ) gV / 2π rf
化简得dx = xdz/R1' 化简得dy = ydz/R
' 2
7. 将dx,dy代入(A)式,得：
1 1 ΔPs = γ ( ' + ' ) R1 R2
Young-Laplace 一般式的推导
8. 拉普拉斯方程的特殊情况：
8.1如果是球面，
' R1' = R2 , 则 :
2γ ΔP = R'
2γ γ =4 R R
若是液滴球面，R为正值，对于液体中气泡，R为负值。
8.2如果是液膜气泡，液膜与内外气相有两个界面，而这两个曲 面的曲率半径近似相等，其表面积为一般液中气泡的2倍。则 8.3如果是圆柱形面，设R1=∞，则 8.4如果是平面，设R1=R2=∞，则
ΔP = 2
ΔP =
γ
R2
ΔP = 0 平面上跨过界面的内外压差为零 ΔP = 0
应用此方法实验时，管尖要磨平，不能有缺口。对于挥发性液体，必须将实验系 统密封好，以防止蒸发而引起损失，同时应当使液滴缓慢地脱落
2.3.5 表面张力的测定方法
4 、圆环法
在图中，水平接触面的圆环（通常用铂环）被提拉时将带起一些液 体，形成液柱(b)。环对天平所施之力由两个部分组成：环本身的 重力W和带起液体的重力 p=mg 。p 随提起高度增加而增加，但 有一极限，超过此值环与液面脱开，此极限值取决于液体的表面 张力和环的尺寸。这是因为外力提起液柱是通过液体表面张力实 现的。因此，最大液柱重力 mg 应与环受到的液体表面张力垂直 分量相等。设拉起的液柱为圆筒形，则
γ d A = Ps d V γ ( x d y + y d x ) = Ps xy d z
(A)
Young-Laplace 一般式的推导
6. 根据相似三角形原理可得：
( x + dx) /( R1' + dz ) = x / R1' ( y + dy ) /( R + dz ) = y / R
' 2 ' 2
5、吊片法（静态、动态） 教材p13
采用平板部分垂直插入液体，底边与液体接触，平板用细丝挂在天平的一端，在天 平的另一端加上砝码直到平板达到平衡不再移动为止。此时砝码的重量就是被提上 来的液体加上平板自身的重量，如图1.11所示。
W砝码 = W板 + 2(l + t )γ cos θ
（1.38）
另外可以用一种静态的吊板法测定表面张力。如 图1.11所示，将平板插入液体后，如果该液体对 平板湿润，则产生毛细升高现象，h为液面升高 端点力水平液面的距离，θ为接触角，
P = W吊环 + 2πRγ + 2π ( R + 2r )γ = W吊环 + 4π ( R + r )γ
2.3.5 表面张力的测定方法
其中 R 为环的内半径，r 为环丝的半径。但实际上拉起的液柱并不是圆 筒形，而常如图（c）所示的那样偏离圆筒形。为修正实际所测重力 与实际值的偏差，引入校正因子 f。即
几种毛细现象
3）压汞法测孔径 水银在一般固体的孔中形成凸液面，欲使水银进入固体孔中须克服毛 细压差。即 2γ cos θ
Δp =
r
当γ、θ已知，通过测定毛细压差可计算固体的孔径。如催化剂的孔 径测定，水泥基材料的孔结构测试。
2.3.5 表面张力的测定方法
1、毛细管上升法 如图，将一洁净的半径为 r 的均匀毛细管插入 能润湿该毛细管的液体中，则由于表面张 力所引起的附加压力， 将使液柱上升，达 平衡时，附加压力与液柱所形成的压力大 小相等，方向相反： 式中 h 为达平衡时液柱高度，g 为重力加速度， Δρ＝ρ液－ρ气（ρ 为密度）。由图中可以看出 ，曲率半径 r 与毛细管半径 R 以及接触角 θ 之间 存在着如下关系，
⎛ ⎞ r r2 r3 2 a = r ⎜ h + − 0.1288 + 0.1312 2 KK⎟ ⎜ ⎟ 3 h h ⎝ ⎠
这里可以注意到展开式中第一项为基本的拉普 拉斯公式，第二项是对弯月面下月牙形液体重 量的修正，其余各项是对弯月面与球面偏差的 修正。
几种毛细现象
1）液体在地层和纺织品中的流动 原油和水在地层中的流动属液体在不均匀孔径的毛细管中的流动，当忽 略重力作用时，由于不同管径的曲率半径不同，造成两部分液面的附加 压力不同（毛细压差）。因此，液体将往附加压力大的方向流动。 若要改变其流动方向，必须施加一克服此压力差的力，若采用表面化学 方法改变体系表面张力和液面曲率，可以改变体系毛细压差以利于实现 所要求的流动。这是三次采油的关键问题之一。 2）关于泡沫和乳状液的稳定性 泡沫和乳状液是由两种不相混溶的流体相形成的的分散体系。泡沫 是大量气体分散在少量液体中构成的，而乳状液是一种液体以微小 液滴状态分散在另一液相中。泡沫的片膜与片膜之间构成具有不同 曲率的连续液体，由于附加压力不同，液体从曲率小、压力大的片 膜流向曲率大、压力小的片膜边界，最后导致泡沫排液、泡膜变薄 而破裂。这是影响泡膜稳定的重要原因。
h2 = 1 − sin θ 2 a
（1.39）
这样，如果在用分离法测定W砝码的同时，有用一台测高计测定h，用式（1.38） 和公式（1.39）就可以在一个实验中同时测定液体的表面张力和平板材料与该液 体的接触角。 由上可知，吊板法的基本特点是直观可靠，而且不需要校正因子，这与其它脱离 法有所不同。但为了使吊板全被待测液体湿润，则需要预先将吊板加工成粗糙表 面，并处理得非常洁净。
ΔP = 2γ / r
Δρgh = 2γ / r
2．3．2 毛细上升的处理 毛细常数定义式
2γ a = = rh Δρg
2
a —毛细常数
若液体完全不能湿润毛细管，公式仍然适用，但此时呈凸液面，毛细上升 改为毛细下降，h表示下降深度，见图2－9。 更普通的情况为液体与圆柱形毛细管之间接触角为θ，即液体对于毛细管的 湿润程度介于完全湿润与完全不湿润之间的情况，见图2－10。 1.曲率半径R'与毛细管半径R的关系： 2. ps = 2γ / R'= (ρ l－ρ g) g h 因ρl>>ρg所以：ps=2γ / R'=ρ l g h 一般式：2γ cosθ / R=Δρ g h R'=R/cosθ
图2－10
2．3．3 毛细升高的精确解
事实上，凹月面不可能是一个绝对的球面，也即在凹月面上，每一点的曲 率半径都不一定相等。其次，只有在凹月面的最低一点，毛细上升的高度 才为h，在其它各点上，毛细上升的高度都应以y表示，y为凹月面上某一 点离开平液面的距离。也即在凹月面的每一点上，曲率都应当与 ΔP=Δρgy相对应。对毛细上升问题的精确处理，就是要考虑对以上二个 偏差的修正。
2.3.5 表面张力的测定方法
若接触角 θ＝0，Cosθ＝1， Δρ＝ρ液 则
从上式可见，若 R 已知，由平衡液柱上升高度可测出液体表面 张力。若接触角不为零，则应用与接触角有关的公式。但由于目 前接触角θ的测量准确度还难以满足准确测定表面张力的要求， 因此，该法一般不用于测定接触角不为零的液体表面张力。 若考虑到对弯液面的修正，常用公式为：
Young-Laplace 一般式的推导
2.3.1. 公式推导： 1. 在任意弯曲液面上取小矩形曲面ABCD(红色面)，其面积为xy。曲面 边缘AB和BC弧的曲率半径分别为 R1' 和 R2' 。 2. 作曲面的两个相互垂直的正截面，交线Oz为 O点的法线。 3. 令曲面沿法线方向移动dz ，使曲面扩大到 A’B’C’D’(蓝色面)，则x与y各增加dx和dy 。 4. 移动后曲面面积增加dA和dV为： d A = ( x + d x )( y + d y ) − xy = xdy + ydx d V = xy d z 5. 增加dA面积所作的功与克服附加压力Ps增加 dV所作的功应该相等，即：
Δρ Rg (h + R / 3) r= 2cos θ
毛细管上升法理论完整，方法简单，有足够的测量精度。应用此法时 除了要有足够的恒温精度和有足够精度的测高仪外，还须注意选 择内径均匀的毛细管。
2.3.5 表面张力的测定方法
2.最大气泡压力法 用最大气泡法测量液体表面张力的装置如图所示：将毛细管垂直地插入 液体中，其深度为h 。由上端通入气体，在毛细管下端呈小气泡放 出，小气泡内的最大压力可由 U 型管压力计测出。