22谓词公式与解释讲解

谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。

基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。

以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。

在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。

第二节 谓词公式的分类与解释为了给出谓词公式的定义，先给出项和原子公式的定义。

定义2.1 项：（1） 个体常项和个体变项是项；（2） 设),...,,(21n x x x ϕ是任意的n 元函数，n t t t ,...,,21是项，则),...,,(21n t t t ϕ是项；（3） 有限地使用（1），（2）形成的符号串是项。

定义2.2 设),...,,(21n x x x R 是任意的n 元谓词，n t t t ,...,,21是项，则称),...,,(21n t t t R 是原子公式。

定义2.3合式公式：（1） 原子公式是合式公式；（2） 若A 是合式公式，则)(A ¬也是合式公式；（3） 若B A ,是合式公式，则)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧也是合式公式；（4） 若A 是合式公式，则(),()xA xA ∀∃也是合式公式。

其中x 为任意的个体变项；（5） 有限次地应用（1）～（4）形成的字符串是合式公式。

这样定义的合式公式又称作谓词公式，简称公式。

合式公式的最外层括号可以省去。

定义2.4（1） 在公式xA ∀和xA ∃中，A 是相应量词的辖域，x 称为指导变量。

（2） 在公式xA ∀和xA ∃中，x 的所有出现都是约束出现的，不是约束出现的变项称为自由出现的。

例如：在公式))),,()((),((z y x L y G y y x F x ∧∃→∀中，∀的辖域为))),,()((),((z y x L y G y y x F ∧∃→∃的辖域为)),,()((z y x L y G ∧x ∀中的x 和y ∃中的y 都是指导变量。

x 的出现都是约束的，),(y x F 中的y 是自由出现的，)(y G 与),,(z y x L 中的y 是约束出现的，z 的出现是自由的。

一般情况下，在一个谓词公式A 中，除了可能含若干个个体常项，函数常项，谓词常 项外，还可能含个体变项，函数变项，谓词变项等。

谓词公式转换在咱们学习数学和逻辑的这个奇妙旅程中，有个叫谓词公式转换的家伙，时不时就出来给咱们找点小挑战。

咱先来说说啥是谓词公式。

简单讲，谓词公式就是用一些符号和规则来描述事物的性质和关系的式子。

比如说，“对于所有的 x，如果 x是偶数，那么 x 能被 2 整除”，这就是一个谓词公式。

那为啥要进行谓词公式转换呢？这就好比你有一堆乱七八糟的积木，你得把它们重新组合、排列，才能搭出你想要的城堡。

谓词公式转换也是这个道理，通过转换，能让我们更清楚地理解和解决问题。

我记得有一次，我在给学生讲谓词公式转换的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起一支笔和一张纸，给他举了个例子。

假设我们有个果园，里面有苹果树和梨树。

我们用谓词 P(x) 表示 x 是苹果树，用 Q(x) 表示 x 结的果子是甜的。

那么“有的苹果树结的果子是甜的”这个命题，用谓词公式可以写成：存在 x (P(x) 且 Q(x)) 。

那如果我们要把这个公式转换一下，比如说，转换成“存在 x (Q(x)且P(x))”，意思是不是一样的呢？这时候学生们就开始七嘴八舌地讨论起来。

经过一番思考和讨论，大家发现，这两个公式表达的其实是同一个意思，只是顺序不同罢了。

通过这个小小的例子，学生们一下子就明白了谓词公式转换的作用，那就是可以从不同的角度去描述同一个问题，让我们的思维更加灵活。

再比如说，“对于所有的 x，P(x) 蕴含Q(x)”这个谓词公式，我们可以通过等价变换，把它变成“不存在 x (P(x) 且非Q(x))”。

这种转换在解决逻辑推理问题的时候特别有用。

在实际的学习和应用中，谓词公式转换就像是一把万能钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

比如说在数学证明中，通过巧妙地转换谓词公式，可以让复杂的问题变得简单明了；在计算机编程中，正确地进行谓词公式转换，可以让程序的逻辑更加清晰，减少错误。

总之，谓词公式转换虽然看起来有点复杂和抽象，但只要我们多练习、多思考，就能掌握其中的窍门，让它成为我们学习和解决问题的得力工具。

2.2 谓词公式与解释谓词公式：谓词演算的合式公式。

2.2 谓词公式与解释定义2.8P(t1, t2, …,t n)称为谓词演算的原子谓词公式，其中，P是谓词，t1, t2, …, t n是个体变元、个体常元或任意的n元函数。

定义2.91）原子谓词公式是谓词公式；2）若A是谓词公式，则(﹁A）也是谓词公式；3）若A和B都是谓词公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)都是谓词公式；4）若A是谓词公式，x是任何个体变元，则∀xA和∃xA都是谓词公式；5）只有经过有限次地应用规则1），2），3），4）所得到的公式是谓词公式。

2.2.1 谓词公式的定义根据运算的优先级，有些括号可以适当的去掉如：F(x)F(x)∨⌝G(x,y)∀x(F(x)→G(x))∃x∀y(F(x)→G(y)∧L(x,y))都是谓词公式。

2.2.2 自由与约束定义2.１０对于谓词公式∀xA或∃xA来说，x称为量词∀x或量词∃x的指导变元或作用变元。

A称为相应量词的辖域。

在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，所有约束出现的变元称为约束变元。

A 中不是约束出现的其他变元均称为是自由出现的，所有自由出现的变元为自由变元。

例2.5说明下列各式中量词的辖域与变元约束的情况：1）∀xF(y)2）∀x(F(x)→G(x))3）∀x(F(x)→∃yG(x, y))4）∀x∀y(F(x, y)∧G(y, z))∧∃xF(x, y)5）∀x(F(x)∧∃xG(x, z)→∃yH(x, y))∨G(x, y)6）∀x(F(x)↔G(x))∧∃xH(x)∧R(x)2.2.2 自由与约束解：1）∀xF(y)∀x的辖域是F(y)，其中y为自由出现。

2）∀x(F(x)→G(x))∀x的辖域是F(x)→G(x), x为约束出现。

3）∀x(F(x)→∃yG(x, y))∀x的辖域是F(x)→∃yG(x, y), ∃y的辖域是G(x, y)，其中x, y都为约束出现。

第2章 谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明.一、重点内容1. 谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。

谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a ,b ,c ,…表示)和个体变项(用x ,y ,z ,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F ,G ,P ,…表示.注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义.谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应.在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域。

一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2. 公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x (F (x )→G (x ))，∃x (F (x )∧G (x ))，∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧L (x ,y )→H (x ,y ))等都是谓词公式. 变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则 (1) 每一个常项指定D 中一个元素； (2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3. 前束范式 一个谓词公式的前束范式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成B x Q x Q x Q k k ...2211那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔，⎺∨；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x ,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束范式.4.谓词逻辑的推理理论 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等值公式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用. 在谓词演算推理中，某些前提和结论可能受到量词的限制，为了使用这些推理，引入消去和附加量词的规则，有US 规则(全称量词消去规则)，UG 规则(全称量词附加规则)，ES 规则(存在量词消去规则)，EG 规则(存在量词附加规则)等，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算的推理进行.二、实例例2.1 将下列命题符号化：(1) 有某些实数是有理数；(2) 所有的人都呼吸；(3)每个母亲都爱自己的孩子.注意：一般地，全称量词“∀”后，跟蕴含联结词“→”；存在量词“∃”后，跟合取联结词“∧”.解 (1) 设R (x )：x 是实数，Q (x )：x 是有理数。

谓词公式补余律谓词公式补余律，是数理逻辑中的一个重要概念，用来描述命题中的主语和谓语之间的关系。

在逻辑推理中，谓词公式补余律是一个基本原理，它帮助我们理解命题的真值和逻辑结构。

本文将从逻辑角度探讨谓词公式补余律的含义和应用。

我们来简单介绍一下谓词公式补余律的定义。

在逻辑学中，谓词是对主语进行陈述或描述的动词或形容词，而补余则是指主语所具有的性质或特征。

谓词公式补余律指的是，如果一个命题中的主语已经包含了谓语所要表达的全部信息，那么谓语就可以省略不写，因为它已经可以通过主语来推导出来。

举个简单的例子来说明谓词公式补余律。

假设有一个命题是“所有人都是动物”，这个命题中的主语是“人”，谓语是“是动物”。

根据谓词公式补余律，我们可以省略谓语部分，只写出主语“人”，因为在这个命题中已经包含了所有人都是动物这个信息。

谓词公式补余律在逻辑推理和论证中起着非常重要的作用。

通过运用这一原理，我们可以简化命题的表达，减少冗余信息，使逻辑推理更加清晰和简洁。

在实际生活和学术研究中，谓词公式补余律可以帮助我们更好地理解和分析复杂的命题结构，提高逻辑推理的准确性和效率。

除了在逻辑学中的应用，谓词公式补余律也可以在其他领域发挥重要作用。

比如在自然语言处理和人工智能领域，谓词公式补余律可以帮助计算机更好地理解和处理自然语言的命题结构，提高机器学习和推理的效率和准确性。

谓词公式补余律是数理逻辑中的一个基本原理，它帮助我们理解命题的结构和含义，简化命题的表达，提高逻辑推理的准确性和效率。

通过深入研究和应用谓词公式补余律，我们可以更好地理解和利用逻辑学在各个领域的应用，推动科学技术的发展和人类文明的进步。

希望本文对读者有所启发和帮助，引发对逻辑学和谓词公式补余律的思考和探讨。