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谓词逻辑练习及答案第二章谓词逻辑练习一1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：（1）∀x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元）（2）∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)（3）∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))（4）P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))解（1）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，∀x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
（2）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中 x为约束变元。
存在量词∃，辖域 S(x) ，其中 x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)不是命题。
（3）全称量词∀，辖域 P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中 x为约束变元，T(y)中y为自由变元。
存在量词∃，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。
∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
（4）全称量词∀，辖域∃x(P(x)∧B(x,y))，其中 y为约束变元。
存在量词∃，辖域P(x)∧B(x,y)，其中 x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”：（1）∀x(E(x)→┐x=1)（2）∀x(E(x)∧┐x=1)（3）∃x(E(x)∧x=1)（4）∃x(E(x)→x=1)再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
解（1）∀x(E(x)→┐x=1) 真∀x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。
习题21．在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)所有的有理数均可表成分数。
Q(x)：x是有理数，F(x)：x可表成分数∀x(Q(x) →F(x))(2)有的有理数是整数。
Q(x)：x是有理数，Z(x)：x是整数∃x(Q(x) ∧Z(x))(3)凡偶数均能被2整除F(x)：x是偶数，G(x)：x能被2整除∀x(F(x) →G(x))(4)存在着偶素数F(x)：x是偶数，G(x)：x是素数∃x(F(x) ∧G(x))(5)没有不犯错误的人M(x)：x是人，G(x)：x犯错误﹁∃x(M(x)∧﹁G(x))∀x(M(x) →G(x))（所有的人都犯错误）(6)在北京工作的人未必都是北京人F(x)：x在北京工作，G(x)：x是北京人﹁∀x(F(x) →G(x))∃x(F(x)∧﹁G(x))（存在着在北京工作的非北京人）(7) 尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。
同课本p36例2.2.2(1)令C(x)：x聪明；M(x)：x是人。
则命题(7)可符号化为xCx))Mx→∃∧∧⌝∀Mxx()())(((xC)((8) 每列火车都比某些汽车快。
T(x)：x是火车，B(x)：x是汽车，F(x,y)：x比y快。
∀x(T(x) →∃y (B(y)∧F(x,y)))(9)某些汽车比所有的火车慢。
T (x )：x 是火车，B (x )：x 是汽车，F(x,y)：x 比y 快。
∃x(B(x) ∧∀y (T (y) →F (y ,x )) )2．指出下列各合式公式中的指导变项，量词的辖域，个体变项的自由出现和约束出现。
(1)),())((y x yH x F x ∃→∀(2)),()(y x G x xF ∧∃(3)),()),(),((y x xH z y L y x R y x ∃∧∨∀∀解：(1) ∃yH (x,y )中，y 为指导变项，∃的辖域为H (x,y )，其中y 是约束出现，x 是自由出现，∀x (F (x ))中，x 是指导变项，∀的辖域为F (x )，x 是约束出现。
高等数学第二章谓词逻辑练习题一、选择题1．下列四个公式正确的是①)()())()((x xB x xA x B x A x ?∧??∧? ②)()())()((x xB x xA x B x A x ?∨??∨?③)()())()((x xB x xA x B x A x ?∨??∨? ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧∧?A.①③B.①④C.③④D.②④2. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中量词?x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ?∨? (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ?∨ (D) )(x Q3. 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ??→??→?的类型是（）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 蕴涵式4. 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+??y x y x (B) )0(=+??y x x y(C))0(=+??y x y x (D) )0(=+y x y x5. 设个体域{,}A a b =，公式()()xP x xS x ?∧?在中消去量词后应为( )(A) ()()P x S x ∧ (B) ()()(()())P a P b S a S b ∧∧∨(C) ()()P a S b ∧ (D) ()()()()P a P b S a S b ∧∧∨6. 在谓词演算中，下列各式正确的是( )(A) (,)(,)x yA x y y xA x y (B) (,)(,)x yA x y y xA x y(C) (,)(,)x yA x y x yA x y (D) (,)(,)x yA x y y xA x y7.下列各式不正确的是( )(A) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?(B) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∧??∧?(C) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?(D) (())()x P x Q xP x Q ?∧??∧8. 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b}, 01 0 1b) P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P 则在解释I 下取真值为1的公式是( ).(A) ?x ?yP(x,y) (B)?x ?yP(x,y) (C)?xP(x,x) (D)?x ?yP(x,y).9. 设个体变元z y x ,,的论域都为自然数集合，(,,):,P x y z x y z +=(,,),(,):Q x y z x y z R x y x y ?=<：，则以下命题中（）是假命题.A ．),0,(x x xP ?B ．),,(y y x yP x ??C ．),,(x x y yQ x ??D ．)0,(x xR ?10. 下面不是命题的是（）A ．()xP x ?B ．()()x P x ?C ．()()()x P x P y ?∨D ．()()(()())x y P x R y ??→11公式()()()()x P x x Q x ?→?的前束范式为（）A ．()()(()())x y P x Q y ??→B ．()()(()())x y P x Q y ??→C ．()()(()())x y P x Q y ??→D ．()()(()())x y P x Q y ??→12. 公式()(())x P x Q （）A ．(()())(()())x P x Q Q x P x ?→∧→?B ．(()())(()())x P x Q Q x P x ?→∧→?C (()())(()())x P x Q Q x P x ?→∧→?D ．(()())(()())x P x Q Q x P x ?→∧→?13. ()()(,)x y P x y ??的否定是（）A ．()()(,)x y P x yB ．()()(,)x y P x yC ．()()(,)x y P x yD ．()()(,)x y P x y14.下列谓词公式与()(()())x A x B x ?↓等价的是（）A ．()()()()x A x xB x ?↓? B ．()()()()x A x x B x ?↑?C ．()()()()x A x x B x ?↓?D ．()()()()x A x x B x ?↑?15.在谓词演算中，()P a 是()xP x ?的有效结论，其理论依据是（）A ．USB ．UGC ．ESD ．EG16. 设个体域是整数集合，P 代表?x ?y ((x <="" )→(x="" -y=""(A) P 是真命题 (B) P 是假命题(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式二、填空题1. 设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ()x y xy y ??= ( ) (2) ()+x y x y y ??= ( )(3) ()+x y x y x ??= ( ) (4) (2)x y y x ??= ( )2. 谓词公式()((,)())()((,)()())x P x y Q z y R x y z Q z ?∨∧?→?中量词?x 的辖域是3. 公式()(()(,)()(,))()x P x Q x y z R y z S x ?→∨?→中量的自由变量为约束变量为4. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 .5. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ?→?消去量词化为6. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为7. 谓词公式?x (F (x )→G (x ))∧??y (F (y )→G (y ))的类型是．8. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则?x (P (x )∨Q (x ))的真值是9.只用联结词,,??→表示以下公式()(()())x P x Q x ?∧=()(()()())x P x y Q y =()(()()())y x P x Q y ??∨?=三、计算及证明1. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→?的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤ 2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．2. 说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式(永真式)．3. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?4. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?的前束范式5. 前提：?xF (x ), ?x (F (x )→G (x )∧H (x ))结论：?x (F (x )∧H (x ))6. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →→?．。
第2章习题答案1. 解 (1)设F(x)表示“x犯错误”，N(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：⌝∃x(N(x)∧⌝F(x))。
(2)设F(x)表示“x是推理”，M(x)表示“x是计算机”，H(x，y)表示“x能由y完成”，则此语句符号化为：⌝∀x(F(x)→∃ y M(y)∧H(x，y))。
(3)设C(x)表示“x是计算机系的学生”，D(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：∀x(C(x)→D(x))。
(4)因原语句与“一切自然数x，都有一个自然数y，使得y是x的后继数；并且对任意自然数x，当y 和z都是x的后继时，则有y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为：∀x(N(x)→∃ y(N(y)∧M(x，y)))∧∀x∀y∀z(N(x)∧N(y)∧N(z)→(M(x，y)∧M(x，z)→( y＝z))) 其中N(x)表示x是自然数，M(x，y)表示y是x的后继数。
(5)设S(x，y，z)表示“x＋y＝z”，则此语句符号化为：∀x∀y∃z S(x，y，z)。
(6)设Z(x)表示“x是整数”，S(x，y)表示“xy＝0”，T(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x∀y(Z(x)∧Z(y)→(S(x，y)→ T(x，0)∨T(y，0)))。
(7)设E(x)表示“x是偶数”，P(x)表示“x是素数”，S(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x(E(x)∧P(x)→∀y(E(y)∧P(y)→ S(x，y)))。
(8)设E(x)表示“x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，N(x)表示“x是自然数”，则此语句符号化为：⌝∃x(E(x)∧O(x)∧N(x))。
(9)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，Z(x)表示“x是整数”，则此语句符号化为：∃x(R(x)∧Q(x)∧⌝Z(x))。
(10)设R(x)表示“x是实数”，Q(x，y)表示“y大于x”，则此语句符号化为：∀x(R(x)→∃⌝y(R(y)∧Q(x，y)))。
数理逻辑习题解二1.设个体域是整数集合，请利用给出的谓词将下列命题符号化。
N(e)：e是自然数（不包括0）。
P(e)：e是素数。
Q(e)：e是偶数。
E(e1,e2)：e1=e2。
L(e1,e2)：e1≤e2。
D(e1,e2)：e1|e2。
（即e1整除e2）a)凡素数均为自然数。
b)没有最大的素数。
c)有些自然数不是素数。
d)并非所有的素数都不是偶数。
e)偶素数只有2。
f)一个自然数是素数的充要条件是除1之外，该数不能被其它任何小于它的自然数整除。
[解]a)∀x(P(x)→N(x))。
b)⌝∃x(P(x)∧∀y(P(y)→L(y,x)))。
c)∃x(N(x)∧⌝P(x))。
d)⌝∀x(P(x)→⌝Q(x))。
e)∀x(P(x)∧Q(x)→E(x,2))。
f)∀x(N(x)→(P(x)↔⌝∃y(N(y)∧⌝E(y,1)∧⌝E(y,x)∧L(y,x)∧D(y,x))))。
2.利用上题给出的各谓词，用自然语言表达下述命题。
a)∀x(Q(x)→D(2,x))b)∃x(N(x)∧D(x,9))c)∀x∀y(N(x)∧N(y)∧D(x,y)∧D(y,x)→E(x,y))d)⌝∃x(N(x)∧∀y(N(y)→L(y,x))e)∀x(P(x)→∀y(N(y)∧D(y,x)→E(y,x)∨E(y,1)))f)∀x(N(x)∧⌝P(x)→∃y(⌝E(y,x)∧⌝E(y,1)∧D(y,x)))[解]a)凡偶数都能被2整除。
b)存在着能整除9的自然数。
c)两个能互相整除的自然数相等。
d)没有最大的自然数。
e)凡素数的因数只有1和自身。
g)凡合数必有不是1和自身的因数。
3.符号∃!称为唯一性量词，即∃!x A(x)为真当且仅当存在唯一的x，使得A(x)为真。
请用量词∀，∃和相等=来表达∃!x A(x)。
[解]1)∃!x A(x)=Df∃x(A(x)∧∀y(A(y)→y=x))。
2)∃!x A(x)=Df∃x A(x)∧∀x∀y(A(x)∧A(y)→x=y)3)∃!x A(x)=Df∃x∀y(A(y)↔y=x)注:可以证明上述三种表达式是等价的。
第二章 谓词逻辑习题2.11 指出下列命题的个体、谓词或量词：⑪离散数学是一门计算机基础课程。
⑫田亮是一名优秀的跳水运动员。
⑬所有大学生都要好好学习计算机课程。
⑭并非一切推理都能够由计算机来完成的。
解 ⑪个体：离散数学；谓词：…是一门计算机基础课程。
⑫个体：田亮；谓词：…是一名优秀的跳水运动员。
⑬个体：大学生；谓词：…要好好学习计算机课程；量词：所有。
⑭个体：推理；谓词：…是能够由计算机来完成的；量词：一切。
2 用谓词符号化下列命题：⑪小芳是舞蹈演员。
⑫苏格拉底是一位有名的哲学家。
⑬张三作完了他的作业。
⑭我身体很好。
解 ⑪设)(x F ：x 是舞蹈演员；a ：小芳。
命题符号化：)(a F 。
⑫设)(x F ：x 是一位有名的哲学家；a ：苏格拉底。
命题符号化：)(a F 。
⑬设)(x F ：x 作完了他的作业家；a ：张三。
命题符号化：)(a F 。
⑭设)(x F ：x 身体很好；a ：我。
命题符号化：)(a F 。
3 选择合适的个体域符号化下列命题。
⑪如果一个整数的平方是奇数，那么这个整数是奇数。
⑫有些国家在南半球，而有些国家在北半球。
⑬并非所有不在中国居住的人都不是中国人。
⑭有些艺术家既是导演又是演员。
⑮有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫才是好猫。
解 ⑪选取个体域为整数集合。
设)(x F ：x 的平方是奇数；)(x G ：x 是奇数。
命题符号化：)()(x G x F 。
⑫选取个体域为所有国家的集合。
设)(x F ：x 在南半球；)(x G ：x 在北半球。
命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。
⑬选取个体域为所有人的集合。
设)(x F ：x 在中国居住；)(x G ：x 是中国人。
命题符号化：))()((x G x F x ⌝→⌝⌝∀⑭选取个体域为所有人的集合。
设)(x M ：x 是艺术家；)(x F ：x 是导演；)(x G ：x 是演员。
命题符号化：∃x (M (x )∧F (x )∧G (x ))。
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀α（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀α （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀α（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀α （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
求下列各式的真值。
（1）)3(，x xP ∃（2）)1(y yP ，∀ （3）)(y x yP x ，∀∀ （4）)(y x yP x ，∃∃（5）)(y x yP x ，∀∃（6）)(y x xP y ，∃∀解：(2) 当3=x 时可使式子成立，所以为Ture 。
(3) 当1≠y 时就不成立，所以为False 。
(4) 任意的x,y 使得y x =，显然有y x ≠的情况出现，所以为False 。
(4)存在x,y 使得y x =，显然当1,1==y x 时是一种情况，所以为Ture 。
(5)存在x ，任意的y 使得y x =成立，显然不成立，所以为False 。
(6)任意的y ，存在x ，使得y x =成立，显然不成立，所以为False 。
4. 令谓词)(x P 表示“x 说德语”，)(x Q 表示“x 了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。
用)(x P 、)(x Q 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。
（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。
（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。
（4）杭电没有学生会说德语或了解C++。
假设个体域为全总个体域，谓词)(x M 表示“x 是杭电学生”。
用)(x P 、)(x Q 、)(x M 、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。
解：（ⅰ）个体域为杭电全体学生的集合时：（1）))()((x Q x P x ∧∃ （2）))()((x Q x P x ⌝∧∃ （3）))()((x Q x P x ∨∀ （4）))()((x Q x P x ∨⌝∀（ⅱ）假设个体域为全总个体域，谓词)(x M 表示“x 是杭电学生”时：（1）))()()((x Q x P x M x ∧∧∃ （2）))()()((x Q x P x M x ⌝∧∧∃ （3）)))()(()((x Q x P x M x ∨∧∀ （4）)))()(()((x Q x P x M x ∨⌝∧∀5. 令谓词)(y x P ，表示“x 爱y ”，其中x 和y 的个体域都是全世界所有人的集合。
用)(y x P ，、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）每个人都爱王平。
（2）每个人都爱某个人。
（3）有个人人都爱的人。
（4）没有人爱所有的人。
（5）有个张键不爱的人。
（6）有个人人都不爱的人。
（7）恰有一个人人都爱的人。
（8）成龙爱的人恰有两个。
（9）每个人都爱自己。
（10）有人除自己以外谁都不爱。
解：a ：王平 b ：张键 c ：张龙(1) ）a x xP ,(∀ (2)),(y x yP x ∃∀ (3)),(y x xP y ∀∃ (4)),(y x P y x ⌝∃∀ (5))(x b P x ，⌝∃ (6)),(y x P y x ⌝∀∃ (7))))),(((),((x z z P z x y yP x =→∀∀∧∀∃ωω(8))))()(()(),((y z x z z c P z c P x c P y x y x =∨=→∀∧∧∧≠∃∃， (9)),(x x xP ∀ (10))),((y x y x P y x =↔∀∃ §2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
（1）))()((y x Q x P x ，→∀ （2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀（3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解： （1）x 是指导变元，x ∀的辖域是),()(y x Q x P →，对于x ∀的辖域而言，x 是约束变元，y 是自由变元。
（2）x,y 都为指导变元，x ∀的辖域是)()(y x yQ y x P ，，∃→，y ∃的辖域是)(y x Q ，；对于x ∀的辖域而言，x,y 都为约束变元，对于y ∃的辖域而言，x 是自由变元，y 是约束变元。
（3）x,y 为指导变元，x ∀的辖域是)())()((z y x xR z y Q y x P y ，，，，∃∨∧∃，y ∃的辖域是)())()((z y x xR z y Q y x P ，，，，∃∨∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；对于x ∀的辖域而言，x,y 为约束变元，z 为自由变元，对于y ∃的辖域而言，z 为自由变元，y 为约束变元，x 即为约束变元也为自由变元，对于x ∃的辖域而言，x 为约束变元，y,z 是自由变元。
在整个公式中，x,y 即为约束变元又为自由变元，z 为自由变元。
2. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∧∀→∧∀ （2）))()(())()((y yQ x xP x Q x P x ∀∨∀→∨∀ （3）)())()((y yQ y yQ x xP ∃∧∃→∀⌝ （4）))()(())()((x xQ y P x Q y P x ∀→→→∀ （5）))()(())()((x xQ x P x Q x P x ∀→→→∀ （6）)))()(()((x P y x yQ x P →∀→⌝， （7）))()(()(y x P y x Q y x P ，，，→→解：（1）易知公式是)()(q p q p ∧→∧的代换实例，而 1)()()()(=∧∨∧⌝=∧→∧q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（2）易知公式是)()(q p q p ∨→∨的代换实例，而 1)()()()(=∨∨∨⌝=∨→∨q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（3）易知公式是q q p ∧→⌝)(的代换实例，而0)()(=∧⌝∧=∧∨⌝⌝=∧→⌝q q p q q p q q p 是永假式，所以公式是永假式。
（4）易知公式是)()(q p q p →→→的代换实例，而 1)()()()(=→∨→⌝=→→→q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（5）易知公式是)()(q p q p →→→的代换实例，而 1)()()()(=→∨→⌝=→→→q p q p q p q p 是永真式，所以公式是永真式。
（6）易知公式是))((p q p →→⌝的代换实例，而0))(())((=⌝∧∧=∨⌝∨⌝⌝=→→⌝p q p p q p p q p 是永假式，所以公式是永假式。
（7）易知公式是p q p →→的代换实例，而p q p p q p p q p ∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→)()( 是可满足式，所以公式是可满足式。
§2.3 谓词公式的等价演算与范式习题2.31. 将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。
（1）没有小于负数的正数。
（2）相等的两个角未必都是对顶角。
解：（1）)(x P ：x 为负数，)(x Q ：x 是正数，),(y x R ：x 小于y ，命题可符号化为：)))(),(((y Q x P R y x ∀∀或)))(),(((y Q x P R y x ⌝⌝∃∃（2）略2.设)(x P 、)(x Q 和)(y x R ，都是谓词，证明下列各等价式 （1）))()(())()((x Q x P x x Q x P x ⌝→∀=∧⌝∃ （2）))()(())()((x Q x P x x Q x P x ⌝∧∃=→⌝∀（3）))()()(())()()((y x R y Q x P y x y x R y Q x P y x ，，⌝∧∧∃∃=→∧∀⌝∀ （4）))()()(())()()((y x R y Q x P y x y x R y Q x P y x ，，⌝→∧∀∀=∧∧∃⌝∃ 证明：（1）左边＝))()((x Q x P x ∧⌝∀＝))()((x Q x P x ⌝∨⌝∀ ＝))()((x Q x P x ⌝→∀＝右边（2）左边 ＝))()((x Q x P x →⌝∃＝))()((x Q x P x ∨⌝⌝∃＝))()((x Q x P x ⌝∧∃＝右边 （3）左边＝)),()()((y x R y Q x P y x →∧⌝∃∃ ＝)),())()(((y x R y Q x P y x ∨∧⌝⌝∃∃ ＝))()()((y x R y Q x P y x ，⌝∧∧∃∃＝右边 （4）左边＝),()()((y x R y Q x P y x ∧∧⌝∀∀＝),())()((y x R y Q x P y x ⌝∨∧⌝∀∀ ＝))()()((y x R y Q x P y x ，⌝→∧∀∀＝右边3. 求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。
