高等代数北大版教案-第6章线性空间
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第六章 线性空间
§1 集合映射
一 授课内容:§1 集合映射
二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号
与乘积号的定义.
三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:
1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ⋂;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ⋃;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \.
定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为
).(,:a f a B A f →
如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即
{}A a a f A f ∈=|)()(.
若,'A a a ∈≠∀都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈∀都存在
A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应.
2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:
∑==+++n i i n a a a a 1
21 , ∏==n
i i n a a a a 1
21 .
当然也可以写成
∑≤≤=
+++n
i i
n a
a a a 121 , ∏≤≤=
n
i i
n a
a a a 121 .
(2)求和号的性质 容易证明,
∑∑===n i n i i i a a 1
1
λλ,∑∑∑===+=+n i n i n i i i i i b a b a 1
1
1
)(,∑∑∑∑=====n i m j n
i ij m j ij a a 111
1.
事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:
nm
n n m m a a a a a a a a a
21
2222111211
分别先按行和列求和,再求总和即可.
§2 线性空间的定义与简单性质
一 授课内容:§2 线性空间的定义与简单性质
二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质. 三 教学重点:线性空间的定义与简单性质. 四 教学难点:线性空间的定义与简单性质. 五 教学过程:
1.线性空间的定义
(1)定义4.1(线性空间) 设V 是一个非空集合,且V 上有一个二元运算“+”()V V V ⨯→,又设K 为数域,V 中的元素与K 中的元素有运算数量
乘法“•”()K V V ⨯→,且“+”与“•”满足如下性质: 1、 加法交换律 ,V αβ∀∈,有αββα+=+;
2、 加法结合律 ,,V αβγ∀∈,有()()αβγαβγ++=++;
3、 存在“零元”,即存在0V ∈,使得,0V ααα∀∈+=;
4、 存在负元,即V α∀∈,存在V β∈,使得0αβ+=;
5、 “1律” 1αα•=;
6、 数乘结合律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()()()kl k l l k ααα==;
7、 分配律 ,,k l K V α∀∈∈,都有()k l k l ααα+=+;
8、 分配律 ,,k K V αβ∀∈∈,都有()k k k αβαβ+=+,
则称V 为K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“•”的定义,不光与集合V 有关.
(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质
命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.
证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有00'00'=+=;
V α∀∈,设,'ββ都是α的负向量,则
0(')'()0βββαββαβββ=+=++=++=+=,
于是命题得证.由于负向量唯一,我们用α-代表α的负向量.
定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:
αβ-定义为()αβ+-.
命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:
1、 加法满足消去律 αγβγαβ+=+⇒=;
2、 可移项 αβγαγβ+=⇒=-;
3、 可以消因子 k αβ=且0k ≠,则1
k
αβ=
; 4、 00,α•= 00,k •= (1)αα-=-. (3)线性空间的例子
例4.1令V 表示在(,)a b 上可微的函数所构成的集合,令K =,V 中加
法的定义就是函数的加法,关于K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成K 上的线性空间.
4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价;极大线性无关组.
定义4.3(线性组合) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,又给定数域K
内s 个数12,,,s k k k ,称1122s s k k k ααα++
+为向量组12,,
,s ααα的一个
线性组合.
定义4.4(线性表出) 给定V 内一个向量组12,,,s ααα,设β是V 内的
一个向量,如果存在K 内s 个数12,,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=++
+,
则称向量β可以被向量组12,,
,s ααα线性表出.
定义 4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V 内一个向量组
12,,
,s ααα,如果对V 内某一个向量β,存在数域K 内不全为零的数12,,
,s k k k ,使得11220s s k k k ααα++
+=,则称向量组12,,
,s ααα线性相
关;若由方程11220s s k k k ααα+++=必定推出120s k k k ====,则称向
量组12,,
,s ααα线性无关.
命题4.3 设12,,
s V ααα∈,则下述两条等价:
1)12,,
s ααα线性相关;
2)某个i α可被其余向量线性表示. 证明同向量空间.
定义4.6(线性等价) 给定V 内两个向量组
12,,,r ααα (Ⅰ), 12,,
,s βββ (Ⅱ),
如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.
定义4.7(极大线性无关部分组) 给定V 内一个向量组12,,
,s ααα,如