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名词解释线性系统的可控性在现代控制理论中，线性系统的可控性是一个重要的概念。
可控性指的是对于一个给定的线性系统，是否存在一种控制方法，可以将系统从任意初始状态控制到任意目标状态。
在本文中，我们将对线性系统的可控性进行解释。
1. 线性系统首先，我们需要了解什么是线性系统。
线性系统是指满足线性等式的系统，其输出仅依赖于输入和系统本身的性质。
线性系统具有许多重要的特性，例如可以通过叠加原理来分析系统的行为，使得控制设计变得相对简单。
2. 可控性的定义可控性是指在给定时间范围内，系统的状态可以从任意初始状态控制到任意目标状态的性质。
换句话说，如果一个线性系统是可控的，那么存在一种控制方法，可以使得系统从任何初始状态到达任何目标状态。
这种控制方法可能需要对系统施加一系列的输入信号，以实现对系统状态的精确调节。
3. 可控性矩阵要判断一个线性系统是否是可控的，我们需要引入可控性矩阵的概念。
可控性矩阵是由系统的状态方程和控制输入组成的矩阵，用于描述系统的可控性。
该矩阵的秩可以告诉我们系统的可控性。
4. 可控性判据通过可控性矩阵的秩的计算，我们可以得到一个重要的结论：当且仅当可控性矩阵的秩等于系统状态的维数时，系统才是可控的。
要注意的是，当系统的可控性矩阵的秩小于系统状态的维数时，系统是不可控的。
5. 可控性的意义为什么可控性是一个重要的概念呢？可控性是控制系统设计的基础，它决定了我们是否能够通过适当的输入信号实现对系统状态的控制。
如果一个系统是不可控的，那么无论我们采取怎样的控制策略，都无法将系统从某个初始状态控制到目标状态，这是控制系统设计中的一个致命缺陷。
6. 提高可控性的方法对于一个不可控的系统，我们需要采取措施来提高其可控性。
一种常用的方法是增加系统的输入维度。
通过引入更多的控制输入，我们可以扩展控制空间，从而增加系统可控性矩阵的秩。
另一种方法是通过设计适当的反馈控制策略，利用系统动态特性来增强系统的可控性。
线性系统的可控性和可观测性可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。
系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。
图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。
图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。
cc求系统的可控性矩阵例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
& x1 (t ), x1 (t )m1⎡0 ⎢−1 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣2c[1 0 0 1 0 0 0 −2e af (t )k前页& x2 (t ), x2 (t )m20⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ 0⎥ ⎥, b = ⎢−1⎥ ⎢0⎥ 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣2⎦系统不可控！rank b Ab A 2b⎡0 ⎢−1 3 A b =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣2]−1 0 2 00 3⎤ 3 0⎥ ⎥=2 0 − 6⎥ ⎥ −6 0 ⎦ty c返回PBH 秩判据 Popov-Belevitch-Hautus Tests& 系统 x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) 完全可控 ⇔A的特征值crank [λi I − A B ] = dim(A ) = ne ai = 1,2,L , n或者rank [sI − A B ] = dim(A ) = nty c11例：判别下列系统的可控性。
⎡0 ⎢0 & x=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0解:A的特征值 λ1 = λ2 = 0, λ3 = 5 , λ4 = − 5cPBH 秩判据e a1 00⎤ ⎡ 0 0 − 1 0⎥ ⎢ 1 ⎥x + ⎢ 0 0 1⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 5 0⎦ ⎣− 21⎤ 0⎥ ⎥u 1⎥ ⎥ 0⎦n = dim(A ) = 40 0 ⎡0 − 1 0 ⎢0 0 1 0 1 rank [0I − A B ] = rank ⎢ ⎢0 0 0 −1 0 ⎢ ⎣0 0 − 5 0 − 2ty c1⎤ 0⎥ ⎥=4 1⎥ ⎥ 0⎦1⎤ ⎥ 0⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎦前页⎡ ⎢ rank 5I − A B = rank ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣[⎡− 5 − 1 0 0 0 ⎢ 1 − 5 0 1 0 rank − 5I − A B = rank ⎢ ⎢ 0 0 − 5 −1 0 ⎢ −5 − 5 −2 0 ⎢ 0 ⎣[0 0 ⎡s −1 0 ⎢0 s 1 0 1 或者 rank [sI − A B] = rank ⎢ ⎢0 0 s −1 0 ⎢ 系统可控！ ⎣0 0 − 5 s − 2系统可控！ce a]]5 0 0 0−1 0 5 1 0 5 0 −50 0 1 0 −1 0 5 −2ty c1⎤ 0⎥ ⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎦1⎤ ⎥ 0⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎦12PBH 特征向量判据Popov-Belevitch-Hautus Eigenvector Tests A 不能有与B 所有的列正交的非零左特征向量α T A = λα T , α T B = 0 ⇒ α ≡ 0ce a e at特殊形式判据y cc(1) A 为对角阵 (2) A 为约当阵& x = Λx + Bu & x = Jx + Buty c返回13(1) A 为对角阵⎡λ1 0 L 0 ⎤ ⎢0 λ L 0 ⎥ 2 ⎥ Λ=⎢ ⎢M M M M⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 0 0 L λn ⎦ce a e ab2& x = Λx + BuB 矩阵的行不全为零 B 矩阵的行不全为零tc1y c返回⎡λ ⎤ ⎡0⎤ & x=⎢ 1 x+ u λ2 ⎥ ⎢b2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦& x1 = λ1 x1 & x2 = λ2 x2 + b2u y = c1 x1 + c2 x2y = [c1 c2 ]xu 与 x1 无任何联系系统不可控！c& x1∫λ1x1u& x2∫λ2x2tc2y cy14注意c秩判据⎡λ1 ⎤ ⎢ ⎥ λ1 ⎢ ⎥ ⎢ λ2 ⎥ ⎣ ⎦e a[对角阵含有相同元素时，要求更高！B 矩阵的行线性无关 B 矩阵的行线性无关A 的两重特征值有两个独立的特征向量rank B AB A 2 B L A n-1B = dim(A ) = nt]y c返回例：判别下列对角规范型线性定常系统的可控性。
1， ⎢ &1 ⎥ = ⎢& ⎡x ⎤ ⎣ x2 ⎦ ⎡− 2 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣0⎦& ⎡ x1 ⎤ ⎡8 0 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡u ⎤ ⎢& ⎥ 2， ⎢ x2 ⎥ = ⎢0 − 1 0⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢3 0⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u & ⎢ x3 ⎥ ⎢0 0 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 2⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣1 3， ⎢ &1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢1⎥u ⎣ x2 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦c& ⎡x ⎤e a有全零行 系统不可控！ 没有全零行 系统可控！⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1⎤行线性相关 系统不可控！or: 秩判据 rank [b Ab] = rank ⎢⎡1 1⎤ = 1 < dim A = 2 1 1⎥ ⎣ ⎦ty c15例：判别下列对角规范型线性定常系统的可控性。
1， ⎢ &1 ⎥ = ⎢& ⎡x ⎤⎣ x2 ⎦ ⎡− 2 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ u + 0 − 1⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦& ⎡ x1 ⎤ ⎡8 0 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡u ⎤ ⎢& ⎥ 2， ⎢ x2 ⎥ = ⎢0 − 1 0⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢3 0⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u & ⎢ x3 ⎥ ⎢0 0 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 2⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣c& ⎡x ⎤⎣ x2 ⎦e a e a有全零行 系统不可控！ 没有全零行 系统可控！ 行线性无关 系统可控！3， ⎢ &1 ⎥ = ⎢⎡1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡2 0⎤ ⎡ u1 ⎤ + 0 1⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢0 4⎥ ⎢u2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎣or: 秩判据 rank [B AB] = rank ⎢⎡2 0 2 0⎤ ⎥=2 ⎣0 4 0 4⎦ty ccty c16n 阶矩阵A 有 n 个互异特征值，可化为对角阵； n 阶矩阵A 有重特征值，由其独立的特征向量 的个数决定化为对角阵还是约当阵，以及约当 阵的形状。
n 个独立的特征向量 可化为对角阵 r 个独立的特征向量ce a e a0 L λ2 L M 0对角阵 or 约当阵？ 对角阵 or 约当阵？r 个约当块/对角块ty c(1) A可化为对角阵n 阶矩阵A 有 n 个互异特征值； n 阶矩阵A 有重特征值，但有n 个独立的特征向量。
⎡ λ1 ⎢0 −1 P AP = ⎢ ⎢M ⎢ ⎣0 0⎤ 0⎥ ⎥=Λ M M⎥ ⎥ L λn ⎦cP = [p1 p 2 L p n ]可能为互异特征值，也可能有重特征值。
ty c17例1：cλI − A = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) 三个互异特征值Ap = λi p i = 1,2,3 ⇒e a e a⎡1 − 1 4⎤ A = ⎢0 2 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 3 ⎥ ⎣ ⎦(λi I − A )p = 0P = [p1 p 2⎡1 0 0 ⎤ P −1AP = ⎢0 2 0⎥ = Λ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ty cp3 ]2 − 2⎤ ⎡2 ⎢2 5 − 4⎥ 例2： A = ⎢ ⎥ ⎢− 2 − 4 5 ⎥ ⎣ ⎦λI − A = (λ − 10 )(λ − 1)2⇒(10I − A )p1 = 0cAp = λi p i = 1,2,3(λi I − A )p = 0⎡ 8 − 2 2⎤ ⎡ 2 4 5⎤ ⎢ − 2 5 4⎥ → ⎢0 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 4 5 ⎥ ⎢0 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ p11 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢p ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p13 ⎥ ⎢− 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ty c18秩为22 − 2⎤ ⎡2 λI − A = (λ − 10 )(λ − 1)2 A=⎢ 2 5 − 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 2 − 4 5 ⎥ 秩为1 ⎣ ⎦ ⎡ − 1 − 2 2 ⎤ ⎡ − 1 − 2 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (I − A )p 2 = 0 ⎢− 2 − 4 4 ⎥ → ⎢ 0 0 0⎥ ⎢2 4 − 4⎥ ⎢ 0 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ 0 ⎥ ⎢ p33 ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡10 0 0⎤ 三阶矩阵A共有三个独立的 −1 P AP = ⎢ 0 1 0⎥ = Λ ⎢ ⎥ 特征向量,可化为对角阵。
⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ 前页A 的两重特征值有两个 ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 31 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p22 ⎥ = ⎢ 1 ⎥, ⎢ p32 ⎥ = ⎢0⎥ 独立的特征向量！⎢ p23 ⎥ ⎣ ⎦ce a e a⎡p ⎤⎡ − 2⎤ ⎡ p ⎤ty c⎡5 ⎤(2) A可化为约当阵n 阶矩阵A 有重特征值，少于n 个独立的特征向量。
P −1AP = J P = [p1 p 2 L p n ]cty c19⎡2 6 − 15⎤ A ⎢ 例3： = ⎢1 1 − 5 ⎥ ⎥ ⎢1 2 − 6 ⎥ ⎣ ⎦秩为1⎡− 3 − 6 15⎤ ⎡ p11 ⎤ ⎢−1 − 2 5 ⎥⎢ p ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎢ − 1 − 2 5 ⎥ ⎢ p13 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦cAp = λi p i = 1,2,3e aλI − A = (λ + 1)3 三重特征值⇒(λi I − A )p = 0⎡ p21 ⎤ ⎡5⎤ ⎢ p ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p23 ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ − p11 − 2 p12 + 5 p13 = 0⎡ p11 ⎤ ⎡− 2⎤ ⎢ p ⎥ = ⎢ 1 ⎥, ⎢ 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p13 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦A 的三重特征值有两个 独立的特征向量!⎡− 1 1 0 ⎤ P −1AP = ⎢ 0 − 1 0 ⎥ = J ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 − 1⎥ ⎣ ⎦ty c20。
