2017_18版高中数学1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用学案

基本初等函数的导数公式表
函数的导数是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势。

函数的导数可以用公式表示，下面是基本初等函数的导数公式表：
1. 常数函数的导数：f'(x)=0
2. 一次函数的导数：f'(x)=ax+b
3. 二次函数的导数：f'(x)=2ax+b
4. 三次函数的导数：f'(x)=3ax2+2bx+c
5. 幂函数的导数：f'(x)=axn-1
6. 指数函数的导数：f'(x)=aex
7. 对数函数的导数：f'(x)=1/x
8. 反三角函数的导数：f'(x)=a/cosx
9. 反双曲函数的导数：f'(x)=a/coshx
10. 反正弦函数的导数：f'(x)=-asinx
11. 反余弦函数的导数：f'(x)=-acosx
12. 反正切函数的导数：f'(x)=1/tanx
13. 反双曲正切函数的导数：f'(x)=1/tanhx
14. 反双曲余弦函数的导数：f'(x)=-acoshx
15. 反双曲正弦函数的导数：f'(x)=-asinhx
以上就是基本初等函数的导数公式表，它们可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势。

函数的导数可以用来计算函数的斜率，从而更好地理解函数的变化趋势。

此外，函数的导数
还可以用来计算函数的极值点，从而更好地理解函数的变化趋势。

因此，函数的导数是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势。

1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x2【解析】 ∵(cos x )′＝－sin x ，∴A 不正确；∵(sin x )′＝cos x ，∴B 不正确； ∵(x )′＝12x，∴D 不正确． 【答案】 C2．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为 ( ) 【导学号：05410010】A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)【解析】 切线的斜率k ＝tan 34π＝－1， 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1，又f ′(x )＝－1x 2，∴－1x 20＝－1，∴x 0＝1或－1， ∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.【答案】 D3．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝x 3＋1D ．f (x )＝x 4－1 【解析】 由f ′(x )＝4x 3知f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入选项中验证可得，选B.【答案】 B4．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( )A ．4B ．－4C ．28D ．－28 【解析】 ∵y ′＝3x 2，∴点(2,8)处的切线斜率k ＝f ′(2)＝12.∴切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，∴k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.【答案】 C5．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是( ) A.π3 B.π6C.23πD.56π 【解析】 ∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x .又∵f ′(α)＝cos α＝12， ∴α＝2k π±π3(k ∈Z )． 当k ＝0时，α＝π3. 【答案】 A二、填空题6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.【解析】 因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x且x >0， f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x＝1，即2x 2－x －1＝0， 解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1. 【答案】 17．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________. 【解析】 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0.∵y ′＝(ln x )′＝1x， 由题意知1x 0＝12， ∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－18．已知函数y ＝f (x )的图象在M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________. 【导学号：05410012】【解析】 依题意知，f (1)＝12×1＋2＝52， f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.【答案】 3三、解答题9．若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求质点P 在t ＝8 s时的瞬时速度．【解】 ∵s ′＝(3t 2)′＝(t 23)′＝23t －13， ∴v ＝23×8－13＝23×2－1＝13， ∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s. 10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．【解】 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3. 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 ＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，所以4为最小正周期，故f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .【答案】 C2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8 【解析】 因为y ′＝－12x －32，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线方程为： y －a －12＝－12a －32(x －a )，由x ＝0得y ＝32a －12，由y ＝0得x ＝3a ， 所以12·32a －12·3a ＝18，解得a ＝64. 【答案】 A3．点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是__________．【解析】 与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－112＋12＝328.【答案】 3284．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程；(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．【解】 (1)因为y ′＝2x .P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1， 切线的斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.。