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半角的正弦余弦正切公式正弦的半角公式是指，对于任意角x，有sin(x/2) = ±√((1 - cos x)/2)。
余弦的半角公式是指，对于任意角x，有cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2)。
正切的半角公式是指，对于任意角x，有tan(x/2) = ±√((1 - cos x)/(1 + cos x))。
这些半角公式在三角学中起到了重要的作用，可以将一个角的正弦、余弦或正切值表示为另一个角的正弦、余弦或正切值的函数。
这些公式可以用来简化计算，减少计算复杂度。
我们来证明正弦的半角公式：根据泰勒级数展开，我们知道sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! + ...。
将x替换为(2y)，则有sin (2y) = (2y) - (2y)^3/3! + (2y)^5/5! - (2y)^7/7! + ...=2y-(8y^3/3!)+(32y^5/5!)-(128y^7/7!)+...再将y替换为(x/2)，我们有sin x = sin (2(x/2))=2(x/2)-(8((x/2)^3)/3!)+(32((x/2)^5)/5!)-(128((x/2)^7)/7!)+...根据幂函数的乘法法则和阶乘的定义，我们可以简化上述等式：sin x = 2(x/2) - (8(x^3/2^3)/3!) + (32(x^5/2^5)/5!) -(128(x^7/2^7)/7!) + ...=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...然后我们考虑sin(x/2)的幂级数展开：sin (x/2) = (x/2) - ((x/2)^3/3!) + ((x/2)^5/5!) -((x/2)^7/7!) + ...我们可以将sin x的幂级数展开与sin (x/2)的幂级数展开进行比较：x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...=(x/2)-((x/2)^3/3!)+((x/2)^5/5!)-((x/2)^7/7!)+...通过对比可以看到，两个展开式的各项对应系数相等。
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切半角公式半角公式的推导过程如下表：思考 如何确定公式中的正负号？自主测试1 若cos α＝12，则sin α2等于( )A ．12B ．－12C ．±12D ．±32自主测试2 已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ2的值为( )A ．23 B ．－223 C ．±233 D ．－23自主测试3 若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B ．12 C ．2 D ．－2课堂互动 解读半角公式剖析：(1)半角公式是二倍角公式变形形式的一种具体化的表达方式，其本质是通过“单角”的三角函数值表示“半角”的三角函数值．(2)公式适用的条件：①半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立；②tan α2＝±1－cos α1＋cos α和tan α2＝sin α1＋cos α中要求α≠2k π＋π，k ∈Z ，而tan α2＝1－cos αsin α中则要求α≠k π，k ∈Z . (3)因为tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题．所以在解题时，使用相对较为方便，但需注意该公式成立的条件．知识拓展 半角公式是由倍角公式变形所得，主要体现了半角的正弦、余弦、正切与单角余弦的关系，除此，我们还可以把sin α，cos α，tan α统一用tan α2表示，显示了正弦、余弦、正切之间极强的内在联系．即sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2，tan α＝sin αcos α＝2tanα21－tan2α2.典型考题题型一 利用半角公式求值 例题1 求值：(tan 5°－cot 5°)·cos 70°1＋sin 70°.反思 对于化简求值要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧． 题型二 给值求值问题例题2 已知sin α＝－45，π＜α＜3π2，求sin α2，cos α2，tan α2.反思 在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到的角的范围，还要注意选用公式要灵活多样．互动探究 若将本例中“π＜α＜3π2”改为“α为第三象限的角”结果又如何？题型三 恒等式的证明问题 例题3 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.反思 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证等方法．常用的方法有定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 题型四 三角函数的综合问题例题4 设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A ．反思 为了方便研究三角函数的有关性质，其常见做法是利用三角变换公式将其化为正弦型函数或余弦型函数，在三角形中讨论三角函数要注意角的约束及隐含条件A ＋B ＋C ＝π. 随堂练习1．已知cos α＝－cos 2α2，则cos α2等于( )A ．±33 B ．33 C ．－33 D ．±132．下列各式与tan α相等的是( ) A ．1－cos 2α1＋cos 2α B ．sin α1＋cos αC ．sin α1－cos 2αD ．1－cos 2αsin 2α3．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于( )A ．－1＋a2B ．－1－a2C ．－1＋a 2 D ．－1－a24．若sin α＝－45，且α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝________.5．求值：cos 2A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3－A ＋cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋A ＝__________. 6．已知向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．参考答案思考 答：根据“α2”的范围来确定，如果不能确定角“α2”的范围，“±”应保留．自主测试1 【答案】C 【解析】sin α2＝±1－cos α2＝±12.自主测试2 【答案】B【解析】∵270°＜θ＜360°，∴135°＜θ2＜180°，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋792＝－223. 自主测试3 【答案】A【解析】解法一：由cos α＝－45，且α是第三象限的角，得sin α＝－35，又tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3，∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－－3＝－12.解法二：∵cos α＝－45，α为第三象限的角，∴sin α＝－35.∴tan α＝34.由tan α＝34＝2tanα21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3.又∵π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π＜α2＜3π4＋2n π，此时α2在第二象限，tan α2＜0；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π＜α2＜7π4＋2n π， 此时α2在第四象限，tan α2＜0.∴tan α2＝－3.∴1＋tanα21－tanα2＝1－31－(－3)＝－12.例题1 解：解法一：原式＝⎝⎛⎭⎫tan 5°－1tan 5°·cos 70°1＋sin 70°＝tan 25°－1tan 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－2·1－tan 25°2tan 5°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cot 10°·tan 10°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin 5°cos 5°－cos 5°sin 5°·sin 20°1＋cos 20°＝sin 25°－cos 25°sin 5°·cos 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝－cos 10°12sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2.解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos 10°sin 10°－1sin 10°1＋cos 10°·sin 20°1＋cos 20°＝⎝⎛⎭⎫1－cos 10°sin 10°－1＋cos 10°sin 10°·sin 20°1＋cos 20°＝－2cos 10°sin 10°·2sin 10°cos 10°2cos 210°＝－2. 例题2 分析：先由sin α的值求出cos α的值，然后利用半角公式求解． 解：∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4.又∵sin α＝－45，∴cos α＝－35.则sin α2＝1－cos α2＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55， ∴tan α2＝sinα2cosα2＝255－55＝－2.互动探究 解：sin α2＝±255，cos α2＝±55，tan α2＝－2.例题3 分析：解答本题时，首先可将切化弦，然后利用半角公式、倍角公式化简． 证明：证法一：原式左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2α2cos αsin α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边，故原式成立．证法二：原式左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． 故原式成立．例题4 分析：(1)先利用两角和的余弦公式和降幂公式统一角，再化为正弦型函数求f (x )的最大值和最小正周期．(2)注意A ＋B ＋C ＝π，并利用两角和的正弦公式求sin(B ＋C )，即为sin A ． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由(1)可得，f ⎝⎛⎭⎫C 2＝12－32sin C ＝－14， 所以sin C ＝32.因为C 为锐角，所以C ＝π3. 又因为在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.随堂练习 1．【答案】A【解析】由二倍角的余弦公式，得2cos 2α2－1＝－cos 2α2，即3cos 2α2＝1，所以cos α2＝±33.2．【答案】D 3．【答案】B【解析】∵5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π2.∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 4．【答案】－135．【答案】32【解析】原式＝1＋cos 2A2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A 2＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A 2＝32＋12⎣⎡⎦⎤cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2A ＝32＋12⎝⎛ cos 2A ＋cos 2π3cos 2A ＋sin 2π3sin 2A ＋cos 2π3cos 2A －⎭⎫sin 2π3sin 2A ＝32＋12⎝⎛⎭⎫cos 2A ＋2cos 2π3cos 2A ＝32＋12(cos 2A －cos 2A )＝32. 6．解：(1)由已知得，f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 故f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3＜2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.。
半角的正弦、余弦和正切（课堂教学实录）广西防城港市上思县上思中学[教者]王春雷 [点评]凌旭球（中学特级教师）一、教学目标1、 掌握半角公式及推导方法。
2、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。
3、 能熟练、合理地运用公式。
二、重点、难点分析1、 重点：2αS ，2αC ，2αT 公式的推导、识记及熟练运用。
2、 难点：2αS ，2αC 公式中双重符号的选择、2αT 三个公式的灵活运用。
三、教学用具、准备电脑和投影设备，自制电脑课件。
四、教学过程设计 （一）复习引入师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -= （师生合作回答，然后用投影显示） 评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。
下面，我们一起来看一道习题：)4,0(,542cos παα∈=，求α4cos 和α2cos 的值。
（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？生：能，用二倍角公式。
师：那好，下面我们就一起来完成这道题：2571)54(212cos 2)]2(2cos[4cos 22=-⨯=-==ααα ⇒-=1cos 22cos 2αα109254122cos 1cos 2=+=+=αα 10103cos ±=⇒α10103cos =⇒α （生集体回答，师板书） 评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。
师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。
现在，我们再来看另一道习题，已知：)2,0(,54cos παα∈=，求2cos α的值。
（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。
生：不能。
师：但如果我们把看成上题的α2角，那2α角就变成了上题的什么角？ 生：α角。
师：所以，2cos α的值是……（稍作停顿）生：10103。
师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的α2角换成α角，把公式中的α角换成2α角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。
（师板书课题） 评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的欲望与热情。
（二）新课讲授1、公式推导师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。
先探讨如何将公式变形得出2sinα与α角的三角函数关系。
生：由]2sin 1[2sin22cos2sin2sin 2ααααα-±==，从中解出2sinα。
师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出2sinα，能否用更简洁的方法来求解呢？生：可以利用2sin 21cos 2αα-=得出2cos 12sin 2αα-=，从而2sin α2cos 1α-±= 师：（板书）对，但公式中“±”号的确定是关键，是不是两个都要呢？ 生：（稍作讨论后回答）不是，应根据2α角所在的范围中正弦的符号来选取。
师：具体的说，就是2α角在第一、二象限时取……（稍作停顿）生：“+”号。
师：当2α角在第三、四象限时取……（稍作停顿）生：“-”号。
师：如果没有指明2α角的范围呢？ 生：“±”号都要。
评：师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“±”号的确定这一关键性问题。
师：很好。
下面我们接着来研究2α角的余弦。
生：利用12cos2cos 2-=αα得出2cos 12cos 2αα+=，从而2cos 12cos αα+±=。
师：（板书）这里又出现了“±”号，请大家参照刚才的方法总结一下。
生：当2α角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“-”；如果没有指明2α角的范围时，“±”号两个都要。
评：有了“半角正弦”的推导作样板，“半角余弦”的导出自然水到渠成。
师：不错。
我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函数关系式，你能马上得出半角的正切公式吗？生：能。
由商数关系得：αααααααcos 1cos 12cos 12cos 12cos 2sin 2tan +-±=+±-±== 评：点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用。
师：（板书）由于分子、分母都有“±”号，能否把“±”号约掉？ 生：不能。
师：那么又如何理解结果中的“±”号呢？生：是分子、分母的“±”号搭配的结果——当分子、分母同号时取“+”，分子、分母异号时取“-”。
师：由这一搭配的结果，你能根据2α角所在的范围说出如何选取正切符号吗？ 生：能。
当2α角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“-”；当没有指明2α角的取值范围时，应该同时取“±”号。
师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论） 评：问题提得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。
师：我们能不能利用乘除符号性质来判断2cos2sinαα与2cos 2sin αα是同号还是异号呢？ 生：能，是同号。
师：那么2tanα与αsin 呢？生：也是同号。
师：根据这种思路，下面我们进一步来研究2tanα的公式，使它变得更简单，更便于使用。
由于2cos2sin 2tanααα=，将2cos2sinαα的分子、分母同时乘以22sin α或22cos α，使2sin α变成αsin ，那么会得到什么结果呢？ 生：αααααααααcos 1sin 2cos22cos 2cos22sin2cos2sin 2tan+=⋅⋅==或αααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2tan-=⋅⋅==（师板书）2、公式识记师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。
下面，我们一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆。
（投影显示公式）2sinα2cos 1α-±= ⑴ （2αS ）2cos 12cosαα+±=。
⑵ （2αC ） αααcos 1cos 12tan+-±= ⑶ （2αT ）ααcos 1sin +=⑷ααsin cos 1-=⑸ （2αT ）’ 师：首先明确公式成立的条件，即α角的取值范围，先看⑴、⑵。
生：公式⑴、⑵的条件是R ∈α。
师：再看公式⑶、⑷。
生：对于公式⑶、⑷，需满足左、右两式均有意义，即：ππαk +≠22，且0cos 1≠+α，所以Z k k ∈+≠,)12(πα。
师：那么公式⑸的条件呢？生：ππαk +≠22，且0sin ≠α，即：Z k k ∈+≠,)12(πα，且παk ≠，所以παk ≠，Z k ∈。
师：公式⑷、⑸都是从式子2cos2sin 2tanααα=推出的，为什么成立的条件不相同呢？生：（稍作议论后回答）因为同乘以22sin α时，不能保证它一定不为零，为了保证变形的等价性，需添上条件παk ≠2，即παk 2≠，所以增加了公式的使用条件。
师：现在我们将公式成立的条件总结如图所示，希望大家在使用时加以注意。
师：下面我们一起探讨对公式如何记忆。
请大家先仔细观察半角的正切公式，然后对下列这四个式子，ααcos sin 1-，ααcos sin 1+，ααsin 1cos +，ααsin 1cos -（投影显示）进行判断，是否是2tan α公式的表达式？生：都不是。
师：对，在2tanα的表达式中，只含有三种不同的式子：αcos 1+，αcos 1-和αsin ，而αcos 1+若出现一定会在分母上，如⑶、⑷；若αcos 1-出现则一定出现出分子上，如⑶、⑸；而⑷、⑸两个公式，一旦分子或分母确定下来，另一个位置肯定就是αsin 。
同时，根据2cos2sin2tanααα=的性质，我们就可以很容易地建立起αcos 1-与2sin α，αcos 1+与2cosα的联系。
当然，最好的记忆方法还应该是在公式的应用中熟悉、并掌握下来。
评：揭示公式成立的条件及内在联系，理清其结构形式，不仅使学生改变死记硬背公式的习惯，而且掌握了公式的本质达到识记作用。
这样做可拓展学生的思维领域，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、巩固练习师：下面，请大家应用半角公式来解题，看投影： 例：已知54sin -=α，根据下列条件求2sin α，2cos α，2tan α的值。
⑴)2,23(ππα∈； ⑵α为第四象限的角。
师：我们应该用什么方法来解这道题呢？ 生：用半角公式。
师：还需要什么条件吗？ 生：还需要知道αcos 和2α角的范围。
师：那好，我们现在请一位同学上来具体计算一下⑴。
生：（板书）⑴解：)2,23(ππα∈Θ ),43(2ππα∈∴，53cos =α 5525312cos 12sin =-=-=∴αα 55225312cos 12cos -=+-=+-=∴αα 2cos2sin2tanααα=21-=师：做得很好。
特别值得肯定的是对2α角范围的指出，因为公式中“±”号的选择要看2α角的范围。
评：恰当的课内练习，起着巩固新知的作用，而对学生练习作实事求是的评价，非常重要，可使学生感受成功的乐趣。
师：下面，我们来做⑵。
由于时间关系，我们只要求指出各值的符号即可。
生：αΘ为第四象限，παππk k 222<<-∴，即)(,24Z k k k ∈<<-παππ。
当k 为偶数时，2α为第四象限的角；当k 为奇数时，2α为第二象限的角。
当2α为第二象限时，αcos 为正，2sin α为正，2cos α为负，2tan α为负。
当2α为第四象限时，αcos 为正，2sin α为负，2cos α为正，2tan α为负。
师：不错，下面大家比较一下这两道小题的计算，你们有何发现，或有什么疑问吗？ 生：⑴中的)2,23(ππα∈是第四象限的角，⑵中的α角也是第四象限的角，为什么⑴只有一组解，而⑵却有两组解呢？师：问题提得好。
这是因为⑴中的α角是区间角，只是第四象限角中的一部分，2α角只有一种可能；而⑵中的α是象限角，2α角有两种可能。
所以我们要在解题时一定要注意区分区间角和象限角这两个不同的概念。
（三）归纳小结这节课我们一起导出了“半角公式”，并做了初步的理解与应用。
