《半角的正弦、余弦和正切》教案2

5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切（2）教案教学目的：1、掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根据2α所在象限正确选择公式中的正、负号； 2、会根据具体情况灵活运用公式。

用半角的正切公式时，往往选用αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan ；教学重点：半角公式的应用教学过程： （一）、引入 一、（设置情境）气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。

这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。

二、（双基回顾）αααcos sin 22sin =； ααα22sin cos 2cos -=； ααα2tan 1tan 22tan -=（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出2tan,2cos,2sinααα的表达式？探索研究证明：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=二、概念或定理或公式教学（推导）在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的1、在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得：2sin 21cos 2α-=α∴2cos 12sin 2α-=α2、在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得：12cos 2cos 2-α=α∴2cos 12cos 2α+=α3、以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2开方得：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半。

3.2.2半角的正弦余弦和正切（－）教学目标1知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简2能力目标：会灵活运用公式进行推导变形3情感目标灵活运用公式化繁为简（二）教学重点，难点重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明难点是用公式求值（三）教学方法引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习二倍角公式，提出问题，并引出新课让学生默写二倍角公式，让学生思考二倍角公式的实质？学生练习求sin1200Cos1200tan1200。

老师提出问题学生思考a可看作哪个角的2倍角？怎样用二倍角公式写出sinacosatana？学生默写以旧引新，注意创设问题的情景，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动公式的推导公式sin2α,cos2α,tan2α的推导，老师启发学生思考有时常用a的三角函数表示2α的三角函数，比如sin2α，cos2α可以用a的哪个三角函数怎样表示？学生推出结论得到cos2α=1cos2α+±sin2α=1cos2α-±tan2α=1cos1cosαα-±+通过设疑使学生学会分析问题，掌握公式的推导过程公式的理解（1）公式有何特点？如何记忆？(2)公式有何用途？老师：公式有何特点？如何记忆？学生回答：老师补充：（1）可以把a看作二倍角来记(2)公式用cosa表示出cos2αsin2αtan2α的三角函数公式前的符号取决于2α所在象限（3）公式可以用来化简，证明，求值引导学生观察，分析，记忆培养学生能力。

强调注意事项。

根据公式特点分析应用公式的应用例1求sin150Cos150,tan150练习：习题3－2 A1练习B，1得规律用根式求值时一般处理办法如下①如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号②如果给出a的具体范围时，则先求出2α所在范围，然后再根据2α所在范围选用符号③如给出的角时某一象限的角时，则根据下表决定符号sin2αcos2αtan2α第一象限第一，三象限＋，－＋，－+第二象限第一，三象限＋，－＋，－+第三象限第二，四象限＋，－－,＋－第四象限第二，四象限＋，－－,＋－通过练习使学生进一步理解公式及其应用，明确公式的用法公式补充例2求证tan2α＝sin1cosαα+＝1cossinαα-老师引导学生证明得到结论。

3.2.2 课题:半角的正弦、余弦和正切(一)学习目标：1、掌握半角的正弦、余弦和正切公式；2、能正确运用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明．3、通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的归纳以及探究意识． (二)教学重、难点：1.教学重点是半角的正弦、余弦和正切公式。

2．教学难点是半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取． 二、教学过程: （一）知识链接___________________2sin =α_____________________________________________________2cos ===α（二）问题导引 问题：1.能否用2α的正弦余弦表示?cos ,sin αα如何表示？ 2.能否用α2的正弦余弦表示?4cos ,sin4αα如何表示？ 你能得到什么结论？ (三)自主探究自主学习课本第145页例1上方的部分内容，并完成以下问题。

知识点梳理：（1）半角的正弦公式：=2sinα__________________________.（2）半角的余弦公式: =2cosα__________________________.（3）半角的正切公式：=2tanα。

思考与讨论:(1)半角公式适用的条件是什么? (2)半角公式的变形公式有哪些?(3)怎样确定半角公式中根号前的正负号?(四) 典例探讨例1求015tan ,15cos ,15sin 的值。

点拨：灵活运用公式求值的同时，要注意这些“亚特殊角”三角函数值的记忆。

例2 求证：ααααααsin cos 12tan ,cos 1sin 2tan-=+=点拨：首先要用心观察角的变换。

例三．求8cos π的值(五)变式拓展 1. 求8sin π的值。

2．函数()()0cos 2>=ωωx y 的最小正周期是 。

3．已知2sin ,325,51cos θπθπθ求<<= 的值。

322半角的正弦、余弦和正切1了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程2掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明重点、难点[基础·初探]教材整理半角公式阅读教材＝a2a这时点A、D距离O的距离为错误!a，矩形ABCD的面积最大值为a2[探究共研型]三角恒等变换与三角函数图象性质的综合应用探究1 如何求函数＝in错误!＋2in2错误!∈R的最小正周期？【提示】＝in错误!＋1－co错误!＝错误!in错误!＋1＝错误!in错误!＋1，所以函数的最小正周期T＝π探究2 研究形如f ＝a in2ω＋b in ωco ω＋c co2ω的性质时应首先把函数f 化简成什么形式再解答？【提示】研究形如f ＝a in2ω＋b in ωco ω＋c co2ω的性质时，先化成f ＝错误!inω＋φ＋c的形式再解答已知函数f ＝4co ω·in错误!ω>0的最小正周期为π1求ω的值；2讨论f 在区间错误!上的单调性【精彩点拨】利用三角公式化简函数式，写为f ＝A inω＋φ＋b的形式，再讨论函数的性质【自主解答】1f ＝4co ω·in错误!＝2错误!in ω·co ω＋2错误!co2ω＝错误!in 2ω＋co 2ω＋错误!＝2in错误!＋错误!因为f 的最小正周期为π，且ω>0，从而有错误!＝π，故ω＝12由1知，f ＝2in错误!＋错误!若0≤≤错误!，则错误!≤2＋错误!≤错误!当错误!≤2＋错误!≤错误!，即0≤≤错误!时，f 单调递增；当错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!co 错误!＝错误!＝错误!【答案】 Cα＝错误!，α∈错误!，则in 错误!等于B－错误!【解析】由题知错误!∈错误!，∴in 错误!>0，in 错误!＝错误!＝错误!【答案】 Aα－co α＝－错误!，则in 2α的值等于【导学号：】B－错误!C－错误!错误!【解析】由in α－co α＝－错误!，in α－co α2＝1－2in αco α＝1－in 2α＝错误!，所以in 2α＝－错误!【答案】 C42021·山东高考函数＝错误!in 2＋co2的最小正周期为________【解析】∵＝错误!in 2＋co2＝错误!in 2＋错误!co 2＋错误!＝in错误!＋错误!，∴函数的最小正周期T＝错误!＝π【答案】π【解】错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝1我还有这些不足：1_________________________________________________________2_________________________________________________________我的课下提升方案：1_________________________________________________________2_________________________________________________________学业分层测评二十八建议用时：45分钟[学业达标]一、选择题＝－in2＋错误!∈R，则f 是的奇函数B最小正周期为π的奇函数C最小正周期为2π的偶函数D最小正周期为π的偶函数【解析】 f ＝－错误!＋错误!＝错误!co【答案】 D22021·邢台期末若inπ－α＝－错误!且α∈错误!，则in错误!等于A－错误!B－错误!【解析】由题意知in α＝－错误!，α∈错误!，∴co α＝－错误!，∵错误!∈错误!，∴in错误!＝co 错误!＝－错误!＝－错误!故选B【答案】 B32021·鹤岗一中期末设a＝错误!co 7°＋错误!in 7°，b＝错误!，c＝错误!，则有A b>a>cB a>b>cC a>c>bD c>b>a【解析】a＝in 37°，b＝tan 38°，c＝in 36°，由于tan 38°>in 38°>in 37°>in 36°，所以b>a> 【答案】 Aα＋βco β－coα＋βin β＝0，则inα＋2β＋inα－2β等于A1 B－1C0 D±1【解析】∵inα＋βco β－coα＋βin β＝inα＋β－β＝in α＝0，∴inα＋2β＋inα－2β＝2in αco 2β＝0【答案】 C＝1＋错误!tan co ,0≤错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 0，a∈R，且f 的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为错误!1求ω的值；2设f 在区间错误!上的最小值为错误!，求a的值【解】 f ＝1＋co 2ω＋错误!in 2ω－错误!co 2ω＋a＝in错误!＋a＋11由2ω＋错误!＝2π＋错误!∈Z，得ω＝π＋错误!∈Z又ω>0，∴当＝0时，f 的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为＝错误!＝错误!，故ω＝12由1知f ＝in错误!＋a＋1，由错误!≤≤错误!，得错误!≤2≤错误!π，错误!≤2＋错误!≤错误!，∴当2＋错误!＝错误!，即＝错误!时，f 取得最小值为错误!＋a＋1由错误!＋a＋1＝错误!，得a＝错误!－错误![能力提升]12021·临沂高一检测已知450°<α<540°，则错误!的值是A－in 错误!错误!错误!D－co 错误!【解析】因为450°<α<540°，所以225°<错误!<270°，所以co α<0，in 错误!<0，所以原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－in 错误!故选A【答案】 A22021·泉州质检已知函数f ＝2co2错误!，g＝错误!21求证：f 错误!＝g；2求函数h＝f －g∈[0，π]的单调区间，并求使h取到最小值时的值【解】1证明：f ＝2co2错误!＝1＋co ，g＝错误!2＝1＋2in 错误!co 错误!＝1＋in ，∵f 错误!＝1＋co错误!＝1＋in ，∴f 错误!＝g，命题得证2函数h＝f －g＝co －in＝错误!错误!＝错误!co错误!，∵∈[0，π]，∴错误!≤＋错误!≤错误!，当错误!≤＋错误!≤π，即0≤≤错误!时，h递减，当π≤＋错误!≤错误!，即错误!≤≤π时，h递增∴函数h的单调递减区间为错误!，单调递增区间为错误!，根据函数h的单调性，可知当＝错误!时，函数h取到最小值。

新课程有效课堂教学设计简案主题：《半角的正弦、余弦和正切》 课时：2课时主备人：李学英 审核人： 张建敏 王俊授课时间：教学目标1.知识目标：掌握半角的正弦、余弦和正切公式的推导过程，能正确运用半角的正弦、余弦和正切公式求三角函数值。

2.能力目标：能应用公式进行三角函数求值、化简、证明。

3.情感目标：通过合作学习、合作探究，体验合作中的快乐和成功。

通过公式的推导和运用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点教学重点：半角的正弦、余弦和正切公式教学难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。

教学重点、难点重点是半角公式的推导与应用公式。

难点是半角与倍角的联系及符号的判断。

教学过程第一课时1创设情境，导入新课：回忆倍角公式ααα2.,2.,2T c s ，能否用倍角表示单角？ 2自主学习，走进文本:教师：（1）发放《问题导读单》。

⑵走进学生指导读、划、写、记、练、 思。

学生：⑴自主读文，抓住重点，体会两角和与差正切公式的推导。

⑵生成问题。

3交流收获，生成问题：教师：⑴走进学生倾听交流的收获。

⑵组织交流（围绕例题、习题）学生：小组长组织交流收获，发言人记录。

4学生总结反思：教师：⑴关注学生写反思，教师及时指导。

⑵组织交流反思并评价。

学生：⑴独立反思。

⑵倾听交流，共同提高。

第二课时1创设情境，回顾知识：回顾上节内容，导入下一环节。

2自主学习，解决问题：教师：⑴发放《问题训练单》。

⑵关注学生情况。

⑶指导解决问题。

学生：⑴浏览《问题训练单》。

⑵走进文本读、划、写、记、练、思。

⑶组织语言，准备交流。

3合作交流，解决问题：教师：⑴走进小组倾听交流。

⑵有效指导，解决问题。

⑶组织全班交流。

⑷科学引导，使问题条理化。

4展示疑难，合作交流：教师：指导学生分组交流并加以总结提炼，并提出新问题加以解决。

学生：⑴展示问题。

⑵讲解交流问题。

5问题训练，提升能力：教师：⑴发《问题训练单》。

⑵巡视，批阅，搜集做题信息。

人教版高中必修4(B版)3.2.2半角的正切、余切和正弦课程设计课程简介本课程主要讲解半角的正切、余切和正弦的概念、性质、计算方法及在解决实际问题中的应用。

通过学习本课程，能够对三角函数有更深刻的认识，掌握其运算法则和解决实际问题的方法。

课程目标1.理解半角的正切、余切、正弦的概念和性质；2.掌握半角正切、余切、正弦的计算方法；3.能够在实际问题中应用半角正切、余切、正弦进行计算；4.发扬实践创新精神，培养解决实际问题的能力。

教学内容第一节：半角正切的计算方法1.什么是半角正切，定义及基本性质；2.半角正切计算公式及应用；3.练习及应用实例分析。

第二节：半角余切的计算方法1.什么是半角余切，定义及基本性质；2.半角余切计算公式及应用；3.练习及应用实例分析。

第三节：半角正弦的计算方法1.什么是半角正弦，定义及基本性质；2.半角正弦计算公式及应用；3.练习及应用实例分析。

第四节：综合练习及应用实例通过对前三节课内容的综合应用，设计并解决实际问题。

教学重点1.掌握半角正切、余切、正弦的定义及性质；2.熟练掌握半角正切、余切、正弦的计算方法；3.能够正确应用半角正切、余切、正弦进行实际问题的求解。

教学难点1.能够灵活应用半角正切、余切、正弦进行综合问题的求解；2.能够解决一些复杂问题需要多个几何、三角函数概念的组合运用。

教学方法1.讲授教学法：通过讲解概念、性质，导入计算方法及应用途径；2.讨论教学法：通过讨论案例，引导学生运用所学的知识进行分析和判断；3.实验教学法：通过实际案例及问题的讨论和分析，培养学生解决实际问题的能力。

组织形式课堂授课、案例分析、小组讨论、课外实践。

教学评估1.期中测试：对本课程的知识点进行测试；2.期末考试：对整个学期所学内容进行考核；3.课堂表现：认真听讲、积极参与讨论、完成作业。

参考文献1.《高中数学必修四》人教版，北京师范大学数学系编，人民教育出版社；2.《数学课程标准》。

人教版高中必修4(B版)3.2.2半角的正切、余切和正弦课程设计一、课程目标本课程设计的目标是让学生能够熟练地掌握半角下正弦、余切和正切的计算方法与知识点，通过一些例题更深入理解和掌握半角下三角函数的性质和运算规律，达到能够独立解决其它相关题目的水平。

二、课程内容1.半角的正弦1.1 什么是半角1.2 半角下正弦的定义1.3 半角下正弦的性质1.4 半角下正弦的计算方法1.5 半角下正弦的应用实例2.半角的余切2.1 半角下余切的定义2.2 半角下余切的性质2.3 半角下余切的计算方法2.4 半角下余切的应用实例3.半角的正切3.1 半角下正切的定义3.2 半角下正切的性质3.3 半角下正切的计算方法3.4 半角下正切的应用实例4. 试题练习4.1 选择题4.2 计算题4.3 应用题三、授课方式1.讲授通过讲述半角下正弦、余切和正切的基本定义、性质及计算方法，直观地让学生明白三角函数之间的内在联系，形成整体的认知。

2.互动引导学生独立思考，讲解一些典型的半角下三角函数求解题目，鼓励学生合作，共同研究有关问题。

适时调整讨论的目标和重点，使学生在思考时遵循系统、逻辑的思考模式，提高质量。

3.练习针对不同层次的学生，安排相应的题目，小组或者个人布置相应的作业，在其它课时进行反馈和总结。

让学生通过大量的练习，提高自己的计算及解题能力，巩固所学知识。

四、教学评估教学评估将有望针对学生的学习态度、接受程度，着重关注学生掌握的程度及练习水平。

具体包括：1.投入度：学生在授课过程中的参与度、内容理解及回答问题的准确性。

2.作业完成度：根据教师所布置的相应习题，评估学生的完成情况，主要评估其计算及解题能力。

3.课堂作业：针对特定情况，设计公开式的测试题或者测验，着重考察学生的计算、分析作答能力。

五、教学反思本课程设计基于数学课程的基础知识理论，重点讲解半角下正弦、余切和正切的计算方法及应用实例，但是，由于数学知识的复杂性，课程中实际涉及到的内容比较简化，理论掌握和实践应用很多情况下存在明显差异。

课题：半角的正弦、余弦和正切 组卷人 姜汉明一、教学目标1、理解半角的正弦、余弦和正切的公式；能够代公式求解有关半角的三角比问题；会确定半角的正弦、余弦和正切三角比的符号，知道公式成立的条件。

2、经历半角的正弦、余弦和正切公式的推导过程，体验转化的思想方法，感悟倍角与半角互逆变换的思维方法。

3、在公式的推导和应用过程中,体会与学习慎密的数学思维方法及其数学表达方式。

二、教学重点：半角的正弦、余弦和正切公式应用。

三、教学过程（一）、【学习导引】复习二倍角公式及公式特征：=α2sin _______________=α2cos _______________=_______________=_______________=α2tan _______________2、已知，532sin =x ),0(π∈x 且则cosx=__; tanx=___ 3、尝试利用已学公式求8sinπ的值。

（二）、【新知体验】1、公式①②③推导：2cos 12cos ββ+±=①，2cos 12sin ββ-±=② βββcos 1cos 12tan+-±=③2、思考：2tan β能否用sin β、cos β的不含根号的式子表示呢？βββcos 1sin 2tan+=④， βββsin cos 12tan -=⑤。

公式④⑤探求（三）、例题解析例1：（1）已知53cos =β，)0,2(πβ-∈，求2sin β、2cos β和2tan β的值（2）已知：53cos =β，β是第四象限角，求2sin β和2tan β的值例2、已知：532sin =θ，)2,(ππθ∈，求4cos θ和4tan θ的值例3、利用半角公式求下列各式的值：（1）075sin （2）83tan 8tanππ+。

例4、证明下列恒等式：（1）ααπsin 1)24(cos 22+=- （2）αααααtan 2cos 12cos 4sin 4cos 1=+∙-（四）、课堂练习：书本P66练习5.5（2）1、2、3、4（五）、课堂小结：（六）、课后作业：附在后面（七）、教后反思：1、已知 3cos 5α=，(,0)2πα∈-，则=2sin α 、 =2cos α、=2tan α。