人教版数学高一B版必修4优化练习半角的正弦、余弦和正切

半角的正弦、余弦和正切课时过关 ·能力提高1.若 sin θ=< θ< π,则 sin 的值等于 ()A. B.-C. D .-分析 :由 sin θ=< θ< π可得 cos θ=-.又,因此 sin.答案 :C2.tan 15 +°cot 15 等°于 ()A.2B.2C.4D.分析 :tan 15 +°cot 15 =°=4.答案 :C3.设α∈ (π,2π),则等于()A.sinB.cosC.-sinD. -cos分析 :由α∈ (π,2π)知,因此== sin .答案 :A4.若,则 sin α+ cos α的值是 ()A. B. C.1 D.分析 :由,联合 sin2α+ cos2α=1 可得 sin α= (sin α= 0 舍去 ),于是 cos α= ,进而 sin α+ cos α= .答案 :A5.若θ∈,sin 2θ=,则 sin θ等于 ()A. B. C. D.分析 :由θ∈,得 2θ∈.又 sin 2θ= ,故 cos 2θ=- .故 sin θ=.答案 :D6.化简等于()A.tan 2 θB.cot 4 θC.tan 4θD.cot 2 θ解析 := tan4θ.答案 :C7.已知α为三角形的内角,sin α= ,则 tan =.分析 :由已知得cos α=± ,且,于是 tan=3 或 .答案:3或★8.若< α<2π,且 cos α= ,则的值是.分析:.答案 :9. 已知0°< α< β< 90°,sinα 与sin β是方程x2-(cos 40°)x+ cos240°- = 0 的两根 , 则cos(2α-β)=.分析 :由已知 ,得Δ=2cos240°-4cos240°+ 2=2sin240°,∴x=cos 40 °± sin 40 .°∴x1= sin 45 cos° 40 +°cos 45 sin° 40 =°sin 85 , °x2= sin 45 cos° 40 -°cos 45 sin° 40 =°sin 5 . °又由 0°< α<β< 90°,知β= 85°,α= 5°,∴c os(2α-β)= cos(-75°)= cos 75 =°cos(45 +°30°)=.答案 :10.已知 sin sin,α∈,求 2sin2α+tan α--1 的值 .解 : ∵sin sin,∴2sin cos,即 sin.∴cos 4α= .而 2sin2α+ tan α--1=- cos 2α+=-.∵α∈,∴2α∈.∴cos 2α=-=-,∴tan 2α=-=-.∴-=-,即 2sin2α+ tan α--1 的值为.★11.已知向量a= (sin x,-cos x),b=(cos x, cos x), 函数 f(x)= a·b+.(1)求 f(x)的最小正周期 ;(2)当 0≤x≤时,求函数 f(x) 的值域 .解 :(1)f(x)= sin xcos x-cos2x+= sin 2x- (cos 2x+1)+= sin 2x- cos 2x= sin.故 f(x) 的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x-,∴-≤sin≤1,即 f(x) 的值域为.。

一、选择题1．下列各式与tan α相等的是()A. 1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α【解析】1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.【答案】 D2．若函数f(x)＝sin 2x－12(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解析】y＝sin 2x－1 2＝1－cos 2x2－12＝－12cos 2x ，∴函数是最小正周期为π的偶函数． 【答案】 D3．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值等于( ) A ．－105 B.105 C ．－155D.155【解析】 |cos θ|＝15，5π2<θ<3π，θ为第二象限的角，则cos θ＝－15，又5π4<θ2<3π2，θ2为第三象限的角，则sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155.【答案】 C4．已知sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则tan θ2的值为( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13 【解析】 ∵3π＜θ＜72π，sin θ＝－35， ∴cos θ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan θ＝34.∵3π＜θ＜72π，∴32π＜θ2＜74π， 又tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝34，∴tan θ2＝－3或13(舍去)． 【答案】 B5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a【解析】 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°， c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a <c <b . 【答案】 C 二、填空题6.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________． 【解析】 原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4.∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4. 【答案】 －2sin 47．5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝________. 【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－1－a 2.【答案】 －1－a 28．(2013·常熟高一检测)函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1的最小正周期为________．【解析】 y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1＝1＋cos (2x －π6)2＋1－cos (2x ＋π6)2－1＝32cos 2x ＋12sin 2x －32cos 2x ＋12sin 2x 2＝12sin 2x ， ∴T ＝2π2＝π. 【答案】 π 三、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a ，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin 2θ4的值． 【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π， 又cos θ2＝a ，∴sin θ2＝1－cos 2θ2＝1－a 2，∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2a1－a 2.(2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝2a 2－1.(3)sin 2θ4＝1－cos θ22＝1－a 2.10．已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0，π2]，求：a ·b 及|a ＋b |.【解】 a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ；|a ＋b |＝(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2＝2＋2cos 2x ＝4×1＋cos 2x 2＝21＋cos 2x2＝2|cos x |.∵x ∈[0，π2]，∴cos x ≥0，∴|a ＋b |＝2cos x . 11．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.【解】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4， ∴cos α2＜0，sin α2＞0.∴原式＝(sin α2＋cos α2)22|cos α2|－2|sin α2|＋(sin α2－cos α2)22|cos α2|＋2|sin α2|＝(sin α2＋cos α2)2－2(sin α2＋cos α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2)＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.。

一、选择题1．下列各式与tan α相等的是()A. 1－cos 2α1＋cos 2α B.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α【解析】1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.【答案】D2．若函数f(x)＝sin 2x－12(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【解析】y＝sin 2x－1 2＝1－cos 2x2－12＝－12cos 2x，∴函数是最小正周期为π的偶函数．【答案】D3．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sinθ2的值等于()A．－105 B.105C．－155 D.155【解析】|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，θ为第二象限的角，则cos θ＝－15，又5π4<θ2<3π2，θ2为第三象限的角，则sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155.【答案】 C4．已知sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则tan θ2的值为( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13【解析】 ∵3π＜θ＜72π，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan θ＝34.∵3π＜θ＜72π，∴32π＜θ2＜74π， 又tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝34， ∴tan θ2＝－3或13(舍去)．【答案】 B5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a【解析】 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13° ·cos 13°＝sin 26°， c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的． ∴a <c <b . 【答案】 C 二、填空题6.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．【解析】原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|.∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4.∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4.【答案】－2sin 47．5π<θ<6π，cos θ2＝a，则sinθ4＝________.【解析】∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sinθ4<0.sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.【答案】－1－a 28．(2019·常熟高一检测)函数y＝cos2(x－π12)＋sin2(x＋π12)－1的最小正周期为________．【解析】y＝cos2(x－π12)＋sin2(x＋π12)－1＝1＋cos(2x－π6)2＋1－cos(2x＋π6)2－1＝32cos 2x＋12sin 2x－32cos 2x＋12sin 2x2＝12sin 2x，∴T＝2π2＝π.【答案】π三、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin2θ4的值．【解】(1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π，又cos θ2＝a，∴sinθ2＝1－cos2θ2＝1－a2，∴sin θ＝2sin θ2cosθ2＝2a1－a2.(2)cos θ＝2cos2θ2－1＝2a2－1.(3)sin2θ4＝1－cosθ22＝1－a2.10．已知向量a＝(cos 3x2，sin3x2)，b＝(cosx2，－sinx2)，且x∈[0，π2]，求：a·b及|a＋b|.【解】a·b＝cos 3x2cosx2－sin3x2sinx2＝cos 2x；|a＋b|＝(cos 3x2＋cosx2)2＋(sin3x2－sinx2)2＝2＋2cos 2x＝4×1＋cos 2x2＝21＋cos 2x2＝2|cos x|.∵x∈[0，π2]，∴cos x≥0，∴|a＋b|＝2cos x.11．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.【解】∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sinα2＞0.∴原式＝(sinα2＋cosα2)22|cosα2|－2|sinα2|＋(sinα2－cosα2)22|cosα2|＋2|sinα2|＝(sinα2＋cosα2)2－2(sinα2＋cosα2)＋(sinα2－cosα2)22(sinα2－cosα2)＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切【选题明细表】1.若sin αα是第二象限角,则( A )(A)5 (B)-5 (C)解析:由题意,得cos α,,所以tan故选A.2.已知sin θ<θ<3π,那么+cos( B )(C)-解析:由已知得,cos θ=-所以=-=-所以+cos故选B.3.函数y=sin2的最小正周期是( C )(A)4π(B)2π(C)π解析=-π.故选C.4.已知cos α<α<2π,则( A )(A)-(C)-解析:α<2π,π.所以tan =-故选A.5.已知tan α则tan 的值为.解析:当α为第二象限角时,sin αα则tan当α为第四象限角时,sin α=-α则tan答案:2或6.若cos α则的值等于.解析:因为cos α所以原式.答案7.θ为第二象限的角,sin(3π-θ则( C )(B) (C) (D)解析:因为sin(3π-θ)=sin θ,且θ是第二象限的角,所以cos θ=-,所以故选C.8.已知关于x的方程x2+xcos Acos B-2sin的两根之和等于两根之积的一半,则△ABC一定是( C )(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)等边三角形解析:依题意有(-2sin即cos Acos B=sin2所以所以2cos Acos B=1-cos C,所以2cos Acos B=1+cos(A+B)所以cos Acos B+sin Asin B=1,所以cos(A-B)=1,又-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B,故选C.9.函数y=2cos2x+sin 2x的最小值是.解析最小值为答案10.(2017·潍坊普通高中月考)已知函数f(x)=sin xcosx-cos2(1)求函数f(x)的对称中心;(2)求f(x)在[0,π]上的单调增区间.解令π,得x=故所求对称中心为∈Z.(2)令2kπ2kπ解得kπx≤kπ∈Z.又由于x∈[0,π],所以x∈∪π],故所求单调增区间为π].11.(2017·临沂罗庄区期末统考)已知O为坐标原点,(sin αα,0),α,2),点P(1)记函数f(α求函数f(α)的最小正周期;(2)若O,P,C三点共线,求的值.解:(1)α-sin α,-1),设则α,y),由x=2cos α-sin α,y=-1,故α-sin α,-1).α-cos α,1),α,-1),所以f(α)=(sin α-cos α,1)·(2sin α,-1)=2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2αsin(2α所以f(α)的最小正周期T=π.(2)由O,P,C三点共线可得(-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α),得tan αsin 2α。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 一、基础过关1． 已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α2 2． 当tan α2≠0时，tan α2的值与sin α( ) A ．同号B ．异号C ．有时同号有时异号D ．sin α可能为零3．cot α2－tanα2cot α2＋tanα2化简的结果是( ) A ．cot αB ．tan αC ．cos αD ．sin α4． 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105B.105C ．－155D.1555． 代数式sin 2θ(1＋tan 2θtan θ)的化简结果是________． 6． 已知α是第三象限角，sin α＝－2425，则tan α2＝________.7． 化简：sin 4α1＋cos 4α·cos 2α1＋cos 2α·cos α1＋cos α.8． 证明：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α＝tan α2.二、能力提升9． 若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2的值为 ( )A ．－5B ．5C ．－513D.51310．若sin 2α＝2425，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.15B.75C ．±15D ．±7511．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．12．已知π<α<3π2，化简下面的式子．1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝(1＋cot x)sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f(α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f(x)的取值范围．。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知cos α=-cos 22α，则cos 2α等于( ) A.±33 B.33 C.33- D.±31解析：由二倍角余弦公式，得3cos 22α=1，所以cos 2α=±33. 答案:A 2.若cos α=21，则sin 2α等于( ) A.21 B.21- C.±21 D.±23 解析：sin 2α=±2cos 1α-=±21或由1-2sin 22α=cosα⇒sin 2α=±21.答案:C3.设α∈（π，2π），则2)cos(1απ+-等于（ ）A.sin2α B.cos 2α C.-sin 2α D.-cos 2α 解析：2cos 2cos 12)cos(12αααπ=+=+-=｜cos 2α｜，又α∈（π，2π)，∴2α∈（2π，π).∴｜cos 2α｜=-cos 2α.答案:D4.已知sin θ=54-，θ为第三象限的角，则tan 2θ=______________. 解析：由条件，求得cosθ=53-，于是tan θθθcos 1sin 2+==-2.答案:-210分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.下列各式与tan α相等的是（ ） A.αα2cos 12cos 1+- B.ααcos 1sin +C.αα2cos 1sin - D.αα2sin 2cos 1-解析：由于αααααcos sin 2sin 22sin 2cos 12=-=tanα.答案:D2.设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，那么4sin θ等于（ ） A.21a+-B.21a --C.21a +-D.21a--解析：由于5π＜θ＜6π， ∴45π＜4θ＜23π. ∴sin4θ=2122cos1a --=--θ. 答案:B3.已知sin α=2524-，且α为第三象限角，则tan 2α等于（ ） A.34- B.43- C.34 D.43解析：由sinα=2524-，且α为第三象限角，则cosα=257-，所以tan 3425712524cos 1sin 2-=--=+=ααα.答案:A 4.已知sin2α-cos 2α=55-，450°＜α＜540°，则tan 2α=______________. 解析：由sin2α-cos 2α=55-， ∴（sin2α-cos 2α)2=（55-)2,得sinα=54.又450°＜α＜540°， ∴cosα=53-.∴tan 2α=253154cos 1sin =-=+αα.答案:2 5.若23π＜α＜2π，且cos α=41，则α2cos 21212121++的值是多少？ 解析：∵23π＜α＜2π，∴43π＜2α＜π.又cosα=41， ∴cos2α=4102cos 1-=+-α. ∴ααcos 21212cos 21212121∙+=++=｜cos 2α｜=-cos 2α=410. 答案:4106.已知tan α=a ，求αααα2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+的值.解：∵tan αααααsin cos 1cos 1sin 2-=+=，∴tanα=αααα2sin 2cos 12cos 12sin -=+.利用比例性质， ∴αααα2sin 2cos 12cos 2sin 1++-+=tanα=a.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.设α∈（π，2π），则2)cos(1απ++等于（ ）A.sin 2αB.cos 2αC.-sin 2αD.-cos 2α 解析：∵α∈（π，2π)，∴2α∈（2π，π).∴sin 2α＞0.∴2cos 12)cos(1ααπ-=++=｜sin 2α｜=sin 2α. 答案:A 2.设2π＜α＜π，且cos α=a ，则2sin α等于（ ）A.21a + B.21a - C.±21a + D.±21a- 解析：sin 2α=212cos 1a-=-α. 答案:B 3.化简θθθθ8cos 8sin 18cos 8sin 1++-+等于（ ）A.tan 2θB.cot 4θC.tan 4θD.cot 2θ解析：由tan 2α=ααααsin cos 1cos 1sin -=+得tan4θ=θθθθ8sin 8cos 18cos 18sin -=+，∴θθθθ8cos 8sin 18cos 8sin 1++-+=tan4θ. 答案:C 4.若sin θ=53-，3π＜θ＜27π，则tan 2θ等于（ ） A.3 B.-3 C.31-D.31解析：∵sinθ=53-，3π＜θ＜27π， ∴cosθ=-54.∴23π＜2θ＜47π.∴tan 2θ=.3)54(1)54(1cos 1cos 1-=-+---=+--θθ答案:B 5.tan15°+cot15°等于( )A.2B.32C.4D.334 解析：∵tan 2α=αααcos 1sin cos 1=-，∴原式=.4323230cos 130sin 30sin 30cos 1=++-=︒-︒+︒︒-答案:C6.y=cos 2x+cosxsinx 的值域是_____________. 解析：y=cos 2x+cosxsinx=2122cos 1++x sin2x=21sin2x+21cos2x+21=22sin （2x+4π)+21，∴y ∈［22-+21，22+21］. 答案:［22-+21，22+21］ 7.已知sin α=31，2π＜α＜3π，那么sin 2α+cos 2α=______________. 解析：（sin 2α+cos 2α)2=1+sinα=34，又2π＜α＜3π， ∴π＜2α＜23π.∴sin2α+cos 2α=332-. 答案: 332-8.已知α为三角形内角,sin α=53,则cot 2α=____________. 解析：由条件,得cosα=±54,cot 2α=31353541sin cos 12sin 2cos或=±=+=αααα. 答案:3或319.化简：cos 2A+cos 2（3π-A ）+cos 2（3π+A ）.解：原式=2)232cos(12)232cos(122cos 1A A A +++-+++ππ 2123+=［cos2A+cos （32π-2A)+cos （32π+2A)］ =23+21［cos2A+cos 32πcos2A+sin 32πsin2A+cos 32πcos2A-sin 32πsin2A ］ =23+21［cos2A+2cos 32πcos2A ］ =23+21（cos2A-cos2A)=23. 10.已知sin （4π+2α）·sin （4π-2α）=41，α∈（4π，2π），求2sin 2α+tan α-αtan 1-1的值.解：由sin （4π+2α)·sin （4π-2α)=41，∴2sin （4π+2α)cos （4π+2α)=21， 即sin （2π+4α)=21.∴cos4α=21.而2sin 2α+tanα-αtan 1-1 =-cos2α+ααααcos sin cos sin 22-=-（cos2α+α2tan 2).∵α∈（4π，2π)，∴2α∈（2π，π). ∴cos2α=2324cos 1-=+-α， tan2α=334cos 14cos 1-=+--αα. ∴-（cos2α+α2tan 2)=-（33223-+-)=325.。

半角的正弦、余弦和正切.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程..掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(重点、难点)[基础·初探]教材整理半角公式阅读教材内容，完成下列问题.＝±α))，＝±α))，＝±α＋α))＝α＋α)＝αα).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)() ＝α)).( )()存在α∈，使得＝α.( )()对于任意α∈，＝α都不成立.( )()若α是第一象限角，则＝α＋α)).( )【解析】()×.只有当－＋π≤≤＋π(∈)，即－π＋π≤α≤π＋π(∈)时，＝α)).()√.当α＝－＋时，上式成立，但一般情况下不成立.()×.当α＝π(∈)时，上式成立，但一般情况下不成立.()√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时＝α＋α))成立.【答案】()×()√()×()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()已知θ()化简(－α)(－β)－(α＋β)－ (α－β))).【精彩点拨】()①θ＝－→＝±θ＋θ))→的值；②θ＝－→＝θθ)(\\(或 (θ)＝))θ＋θ)))→的值. 对于()的思考要注意符号的选择.()灵活运用三角函数公式求解.【自主解答】()因为°<θ<°，所以°<<°，即是第二象限的角，所以<，∴＝－θ＋θ))＝－＝－.()原式＝－( α＋β)＋αβ－(α＋β) (α－β)＋(α－β)))＝－＋αβ－(α＋β) (α－β)))＝αβ＋＝αβ－αβ＝.。

半角的正弦、余弦和正切练习1．tan 15°＋cot 15°等于( )A ．2B ．．4 D2．设α( ) A ．sin 2αB ．cos 2αC ．sin 2α- D ．cos 2α- 3．若sin 11cos 2αα=+，则sin α＋cos α的值是( ) A ．75 B ．85 C ．1 D ．29154．若sin 2α＝14，且α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos α－sin α的值是( )A ．2 B ．3C ．2-D ．4-5．1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++( ) A ．tan 2θ B ．cot 4θC ．tan 4θD ．cot 2θ 6．已知α为三角形的内角，sin α＝35，则cot α=________.7．若3π2＜α＜2π，且cos α＝14________．8．已知0°＜α＜β＜90°，sin α与sin β是方程x 2－cos 40°)x ＋cos 240°－12＝0的两根，则cos(2α－β)＝________. 9．已知ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．10．(2011·北京模拟)已知函数f (x )sin 2x －2sin 2x . (1)求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若x ∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求f (x )的最大值和最小值．参考答案1．解析：原式＝1cos30sin30sin301cos30-︒︒+︒-︒＝22＝4. 答案：C2．解析：∵α∈(π，2π)，∴2α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>.sin sin 22αα==. 答案：A3．解析：由sin 11cos 2αα=+，① 得sin (1cos )1(1cos )(1cos )2αααα-=+-，整理得1cos 1sin 2αα-=.② 由①得1cos 2sin αα+=.③ ②＋③得25sin 2α=，解得sin α＝45. 又由①得cos α＝2sin α－1＝2×45－1＝35. 故sin α＋cos α＝437555+=. 答案：A4．解析：∵(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－14＝34， ∴|cos α－sin α|.由α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，知cos α＜sin α，∴cos α－sin α＝答案：C5．解析：由sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+，得 tan 4θ＝sin81cos81cos8sin8θθθθ-=+， 所以1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++＝tan 4θ. 答案：C6．解析：由条件，得cos α＝45±， 则411cos 5cot 332sin 5ααα±+===或13.答案：3或137．解析：∵3π2＜α＜2π，∴3π4＜2α＜π.又cos α＝14，∴cos 24α==-.cos cos 224αα==-=.8．解析：由已知得Δ＝2cos 240°－4cos 240°＋2＝2sin 240°，∴x＝2cos 40°±2sin 40°. ∴x 1＝sin 45°cos 40°＋cos 45°sin 40°＝sin 85°， x 2＝sin 45°cos 40°－cos 45°sin 40°＝sin 5°. 又由0°＜α＜β＜90°，知β＝85°，α＝5°，∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos 75°＝cos(45°＋30°)＝4.答案：49．解：∵ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ππ12sin 2cos 2442αα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即π1sin 422α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴1cos 42α＝. 而2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋22sin cos sin cos αααα-＝2cos2tan2αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∵α∈ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴cos 2α＝=， tan 2α＝3=-.∴2cos2tan2αα⎛⎫ ⎪⎛⎫ -+=-+= ⎪⎝⎭ ⎝即2sin 2α＋tan α－1tan α－1.10．解：(1)π6f ⎛⎫⎪⎝⎭2ππ312sin 213624-=-⨯=.(2)f (x )x ＋cos 2x －1＝2πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1. 因为x ∈ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x -≤+≤， 所以12-≤πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1， 所以f (x )的最大值为1，最小值为－2.。