时域分析法习题与解答

自动控制原理时域分析考试试题总汇3-1设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示，若该系统为单位反馈控制系统， 试确定其单位传递函数。

解：由图知，该系统为欠阻尼二阶系统，从图中直接得出%30%=σ s t p 1.0=根据公式3.0%21==--ζπζσe1.012=-=ζωπn p t，解得358.0)(ln )(ln 222=+=σπσζ1265.331-=-=s t p n ζπω于是开环传递函数为)1.24(3.1132)2()(2+=+=s s s s s G n ζωω 3-2单位反馈控制系统的微分方程为)(200)(200)(10)(t r t c t c t c =++•••（1） — （2） 求系统的传递函数C(s)/R(s)（3） 求系统的阻尼比和自然振荡频率 （4） 求系统的开环传递函数 （5） 若r(t)=1+2t,求稳态误差（6） 若r(t)=2sin(10t+5),求稳态输出3-4设电子心率起搏器系统如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分器。

要求： （1） 若5.0=ζ对于最佳响应，问起搏器的增益K 应为多大（2） 若期望心速为60次/min ，并突然接通起搏器，问1s 后实际心速为多少瞬时最大心速为多大解：（1）系统的开环传递函数为：)105.0()(+=s s Ks G：所以闭环传递函数 Ks s KK s s K s 202020)105.0()(2++=++=φ5.0,202,202===ζζωωn n K解之得：K=20 20=n ω (2) 闭环传递函数写为40020400)(2++=s s s φ 闭环极点 j s 310102,1±-= 所以系统单位脉冲响应为)310sin 310(cos )(10t j t et h t+=- 所以阶跃响应 ⎰=τ)(60)(dt t h t c =)1(6010τ-+ec(1)=次/min 峰值时间181.025.0120141.312=-⨯=-=ζωπn p t s{%5.16%75.05.012===⨯---πζπζσee最大心率为m in /9.69%)5.161(60次=+⨯3-5已知控制系统结构如图所示，（1） 当b=0时，试确定单位阶跃输入时系统的阻尼系数、自然频率、最大超调量以及单位斜坡输入所引起的稳态误差。

（3.3-1）若在图3-5（a）（b）的输入端 3.3若在图3 ）（b 同时加阶跃信号， 同时加阶跃信号，它的输出信号变化相同 如果（ 的输出随t线性增长， 吗？如果（a）的输出随t线性增长，说明 出现了什么问题？ 出现了什么问题？ （3.3-2）系统的方框图如图所示，试求系 3.3系统的方框图如图所示， 统的单位阶跃响应和调整时间。 统的单位阶跃响应和调整时间。
T / °C
85
83 82 81 80 78
81.81 80.19 6 20
24
t / min
• 答：由温度变量过程曲线可知： 由温度变量过程曲线可知：
最大偏差：A = 85 − 80 = 5°C 余差：C = 81 − 80 = 1°C 衰减比：第一个波峰值B = 85 − 81 = 4°C 第二个波峰值B′ = 83 − 81 = 2°C n = B / B′ = 4 : 1 过渡时间：由题要求，被控量进入新稳态的 ± 1%， 就可以认为过渡过程已经结束，那么限制范围应是 81 × (± 1% ) = ±0.81°C 由图可以看出，过渡时间为24min。 振荡周期：T = 20 − 6 = 14min

σ p = 73%
t s = 8s(∆ = 0.02)
解：
(2)ς
= 0.1，ω n = 1；
− 0.1×5t
2 e 1 × 1 − 0.12 t + arctan 1 − 0.1 x (t ) = 1 − sin 0.1 1 − 0.12 = 1 − 1.005e −0.1×5t sin (0.995t + 1.47 )
模 = 虚部 + 实部 = ω n
2 2
(3.4 − 9)对于欠阻尼的二阶系统

! !&!" !&! #& +# $ ) #&!& + ) * + * + ’ ’ ’
#*
!&! # * +" #%%%%%%% ) ’ # !&! 不 是 周 期 序 列 ’故 0 , ! !由 于 式中!&! # + $# , + 不 是 整 数’ ) * +" !’即 + $ ’ # ’ !&!
# $% !! (! 各序列图形如题图 (! # 所示 ’试求 + " #若 "" ’则 "" # / #和 "" #各是多少 0 ! ##$ " ## ## / # !" #" &" %# "" " #若 1" ’则 1" # / #和 1" #各是多少 0 # ##$ " ## ## / # #" %" &" %# 1" 解 ! 根据卷积和的图解机理 ’求得 " # #$ ’’!"" #$ ,’!"" #$ 5$ ! / # %# "" " # #$ !’! #$ ,’! #$ ,! # / # (! %# 1" 1" 1" !! )! 已知两序列 . ’ . ##$ , /’ !’ !’ !’ / ##$ , /’ !’ #’ %’ / !" !" #" " ! 试计算 " ! ## ## &" !" #" 解 ! 因为 "# + #! %!! !! !! ! " # # " # / "# + ! ! ! " ! # ! ! & ! !

第4章 一阶电路的时域分析基础与提高题P4-1 uF 2电容器的端电压是V 10时，存储电荷是多少？ 解：uC 20101026=⨯⨯==-CU qP4-2 充电到V 150的uF 20电容器，通过一个M Ω3电阻器放电，需要多长时间？何时的放电电流最大？最大值多少？解：s RC 60102010366=⨯⨯⨯==-τ，放电完毕约等于s 3005=τ 刚开始放电时电流最大，最大电流为uA 501031506=⨯ P4-3 当uF 2电容器电压如图P4-3所示时，画出流过此电容器的电流波形图。

假设电压与电流为关联参考方向。

图P4-3 图1解：关联参考方向，则电容电流dtt du C t i c c )()(=，分段求解如下： （1）A t i V t u ust c c 0)(,0)(,0=∴=≤（2）()A t i Vt t u us t c c 401020102)(,1020)(,10666=⨯⨯⨯=∴⨯=≤≤-（3）A t i V t u us t c c 0)(,20)(,41=∴=≤≤（4）()A t i V t t u us t c c 40)1020(102)(,1001020)(,64666-=⨯-⨯⨯=∴+⨯-=≤≤-（5）()A t i Vt t u us t c c 201010102)(,801010)(,86666=⨯⨯⨯=∴-⨯=≤≤-（6）A t i V t u ust c c 0)(,0)(,8=∴=≥ 电容的电流如图1所示。

P4-4 0.32tA 电流流过150mH 电感器，求s t 4=时，电感器存储的能量。

解：电感器存储的能量()23232.0101502121t Li W ⨯⨯⨯==- 当s t 4=时，电感器存储的能量为P4-5 由20V 电源与Ω2电阻、H 6.3电感组成的串联电路，合上开关后经过多长时间电流达到其最大值，最大值多少？设合上开关前电感无初始储能。

第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=试求系统闭环传递函数)(s Φ。

解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程T c t c t r t r t ∙∙+=+()()()()τ近似描述，其中，1)(0<-<τT 。

试证系统的动态性能指标为 T T T t d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=τln 693.0t T r =22. T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入ss R 1)(=当初始条件为0时有：11)()(++=Ts s s R s C τ 11111)(+--=⋅++=∴Ts T s s Ts s s C ττC t h t T Te t T()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时h t T Te t td ()./==---051τ12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴T T T t d τln 2ln2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)当 Tt e TT t h /219.0)(---==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 Tt e TT t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21090122ln ... 3) 求 t sTt s s e TT t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln TT T T T T T T T t s τττ-+=+-=--=∴3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。

要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。

第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。

； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。

2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di L t v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv C t i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解 齐次解和特解。

齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=--- 当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++= bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++ 特解的函数形式与激励函数的形式有关。

2
1
T0
10 K
TK0
0.2 2.5
因此有
ts 4.75T0 0.95 1
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3-9 电子心脏起博器心律控制系统结构图如题3-49图所示，其中模仿心脏的传递函
数相当于一纯积分环节。
1.若 0.5 对应最佳响应，问起博器增益 K 应取多大？
2、若期望心速为60次/min，并突然接通起博器，问1s钟后实际心速为多
2.2T
阶跃响应到达并保持 在终值 5％误差带内
3) 求 ts
h(
ts
)
0.95
1
T
T
ets
/T
所需的最短时间
T
T
T
ts T [ln T
ln0.05 ] T [ln T
ln 20 ] T [ 3 ln T
]
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3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的
+
A4 s+3
按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得：
A1=
-1 2
A3=
2 3
A4=112
A2=
-3 4
A2将=(各2-11待)!定( d系2-1[数Fd(代ss)2(入-1s-上p1 式)2]得) s=：p1 f(t)= =2-tde[-st(-d(sss+43+23e))-]t+s=32-1=+-41312 e-3t
K 应取何值，调节时间 ts 是多少？
解 依题意应取 1，这时可设闭环极点为
s1,2 1 T0 写出系统闭环传递函数
( s )
10 K

— P2-1 —第二章 连续系统的时域分析习题解答2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。

试列写各响应关于激励微分算子方程。

解：.1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1111)( )b (;105.7)625(3 102 ;)(375)()6253(4)()()61002.041( )a (0202200204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p ppft u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++⇒++=+=+++=++=⨯=+⇒⨯==+⇒=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。

解：.1)()()( ; 11)()()( )b (;6253105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (220 20 40 0 +++==+++==+⨯==+==-p p p p t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i fu2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。

.)2)(1()3()( )4( ; 323)( )3(; 33)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+=p p p p p H p p p H p p p H p p p H解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d)1( f tf y t y t f y t y +=+=+ . d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f tf y t y t y f t f y t y +=+++=+ 2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为：.4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(13)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84()12()( )2(;1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(42)( )1(---2---2--=''='=++==''='=+++-=='=+++=t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t yf (u 0(t ) (b) u 0(t ) (a)图题2-1— 2 —试求系统的零输入响应y x (t )(t /0)。

1． 自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是____________，另一个是__________分量。

2． 函数f(t)=te63-的拉氏变换式是________________________________。

3． 积分环节的传递函数表达式为G （s ）=_________________________。

4．在斜坡函数的输入作用下，___________型系统的稳态误差为零。

四、控制系统结构图如图2所示。

（1）希望系统所有特征根位于s 平面上s ＝－2的左侧区域，且ξ不小于0.5。

试画出特征根在s 平面上的分布范围（用阴影线表示）。

（2）当特征根处在阴影线范围内时，试求,K T 的取值范围。

（20分）五、已知系统的结构图如图3所示。

若()21()r t t =⨯时，试求（1）当0f K =时，求系统的响应()c t ，超调量%σ及调节时间s t 。

（2）当0f K ≠时，若要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此时的调节时间s t 的值。

（3）比较上述两种情况，说明内反馈f K s 的作用是什么？ （20分）图3六、系统结构图如图4所示。

当输入信号()1()r t t =，干扰信号()1()n t t =时，求系统总的稳态误差e ss 。

（15分）图41、 根轨迹是指_____________系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。

2、 线性系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均严格位于s______________半平面3、在二阶系统中引入比例-微分控制会使系统的阻尼系数________________。

9、已知单位反馈系统的开环传递函数50 ()(0.11)(5)G ss s s=++，则在斜坡信号作用下的稳态误差为_________。

3、某控制系统的方框图如图所示，试求(16分)(1)该系统的开环传递函数)(sGk、闭环传递函数)()(sRsC和误差传递函数)()(sRsE。

3-8
已知系统的闭环传递函数为 GB (s)
=
Y (s) R(s)
=
(s2
15.36(s + 6.25)
，试估算
+ 2s + 2)(s + 6)(s + 8)
系统性能指标。
解：高阶系统可以降阶，系统有一对零极点 − 6.25 和 − 6 ，是对偶极子，可以相消。 系统剩下三个极点 −1 ± j 和-8，显然 −1 ± j 是系统的主导极点，所以系统降阶后，闭环传
解 (1) 当τ = 0时则原系统 的开环传递函数为
G(s) = 10 s(s + 2)
3-2
与G(s) =
ω
2 n
比较可知
s(s + 2ζωn )
由
ω2ζn2ω=n
10 =
2
得
ωn = 10
ζ =
10
10
(2) 当τ ≠ 0时则原系统 的开环传递函数为
G(s) =
10
s(s + 2 +10τ )
3-10 设单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定系统稳定时 K 的取值范围。
（1） G(s)H (s) =
K
s(s + 1)(0.2s + 1)
(2) G(s)H (s) = K (0.2s + 1) s(s + 1)(s + 1)
解 (1) 闭环传递函数为
∴GB (s)
=
K s(s + 1)(0.2s + 1) + K
=
0.2s 3
K + 1.2s 2
+s+
K

第1题单位冲击函数性质 P18 1.，故答案为02.在t=0处有值其余点为0，t=0 (-,-1]，故答案为03.的导数为，故答案为4.原式=，故答案为15.当t=2时，有意义，将t=2代入，得原式=，故答案为第二题单位冲击序列性质 P94-96 1.只有n=1时，有意义，将1代入原式，故答案为12.原式==0，故答案为03.由定义可知答案为4.，故答案为05.同上题，，故答案为0第三题阶跃函数性质-用阶跃函数表示分段函数 P14参考“门函数”，阶跃函数的截取性质1.2.3.4.5.第四题阶跃序列性质-用阶跃序列表示分段序列只有当时=1，其余为01.2.3.4.5.第五题卷积积分 P60-62 1.答案为2.答案为=3.答案为4.答案为5.答案为第六题卷积积分 P101-105 1.答案为2.答案为3.答案为4.答案为5.答案为第七题系统的性质-线性 P27-28 1.若，则有，所以不是线性的2.若，则有，所以不是线性的3.若，则有，所以不是线性的4.若，则有所以是线性的5.若，则有所以不是线性的第八题系统的性质-时不变性 P28-29 1.，所以是时不变的2.，所以是时变的3.，所以是时不变的4.，所以是时变的5.，所以是时变的1.若则有，所以是因果的2.若则有，所以是因果的3.若则有，所以是因果的4.若则有，所以是因果的5.若则有，所以是因果的1.若则有，所以是稳定的2.若但，所以是不稳定的3.若则有，所以是稳定的4.若则有，所以是稳定的5.若但，所以是不稳定标红色的为不确定的，请大家注意一下。

e ssr 0
K v 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。
越大， 越小。所以说 Kv e ss 斜坡输入的能力。 反映了系统跟踪
Kv
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s
型系统，K v lim KG0 ( s ) K ,
s 0
essr
s 0
K K p lim G k ( s ) lim G 0 ( s ) s 0 s 0 s
当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , e ssr s 0
1 1 K
K 当 1时， K p lim G0 ( s ) , e ssr 0 s 0 s
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR( s ) 1 1 e ssr lim s 0 1 G ( s ) 1 lim G k ( s ) 1 K p k
s 0
式中：K p lim G k ( s )称为静态位置误差系数；
稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限 值的称为有差系统。 在单位阶跃作用下，0型系统( 0 )为有 差系统，Ⅰ型以上的系统( 1 )为无差系统。
有差系统
第三章 时域分析法
1 当输入为 R ( s ) 2 时（单位斜坡函数） s sR( s ) 1 1 e ssr lim s 0 1 G ( s ) lim s G k ( s ) K v k
' e
在s=0的邻域t的邻域
1 '' e sr ( t ) e (0)rs ( t ) (0)rs ' ( t ) e (0)rs ' ' ( t ) 2! C 0 rs ( t ) C1rs ' ( t ) C 2 rs ' ' ( t )

f(t) 1
f(3 t) 1
t
−2 −1 0
12
−1
⇒
t
− 2 −1 0
12
3
3
33
f(-3 t) 1
⇒
t
−2 3
−1 3
0 12 33
f(-3(t-2)) 1
⇒
0
45 33
t 78 33
图2-6 题 2-9（3）解答图
方法二：先翻转、再展缩、后平移。先翻转，再压缩 3 倍，后右移 2 个单位。
f (t) ⎯翻⎯⎯转→ f (−t) ⎯压⎯缩⎯3⎯倍→ f (−3t) ⎯右⎯移⎯2个单⎯⎯位→ f (−（3 t − 2）) = f (−3t + 6)
a
a
2
(2) 根据冲激信号的筛选特性 f (t)δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 ) ，可得 tδ (t) = 0δ (t) = 0
(3) 根据冲激信号的筛选特性可得 f (t) = sin t ⋅ δ (t − π ) = sin π ⋅δ (t − π ) = δ (t − π ) 。
(4) f (t) = δ (t − 1) − 2δ (t − 2) + δ (t − 3) (5) f (t) = r(t + 1) − r(t −1) − u(t −1) (6) f (t) = r(t + 2) − r(t + 1) − r(t −1) + r(t − 2)
【解】 题中各信号的波形如图 2-1所示。 f(t)
(1) f (3t)
(2) f (3t + 6)
(3) f (−3t + 6)
(4) f ( t ) 3

第3章 线性系统的时域分析3.1 学习要点1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用；3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法；5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。

3.2 思考与习题祥解题3.1 思考与总结下述问题。

（1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。

（2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。

（3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。

（4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响？（5）系统误差与哪些因素有关？试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。

（6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。

请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关？答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图3.1所示。

图3.1 二阶系统特征根在复平面上的分布当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。

当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。

当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。

当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。

（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。

ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。

当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。

当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。

ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差；ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。

因此，二阶系统的时域性能指标超调量由ξ值唯一确定，即001_100%2⨯=-πξξσe。

第1章 信号及信号的时域分析1. 判断下列信号是否是周期的，如果是周期的，求出它的基频和公共周期。

(1) )30sin()5sin(34)(t t t f ππ+-= (2) )30cos()10cos()(t t t f ππ=(3) )20cos()10cos()(t t t f -=π (4) )42cos(2)2cos()(π--=t t t f解:（1）613052121==ΩΩ=n n 因此，公共周期525212110=⨯=Ω=πππn T ,基频Hz T f 5.225100===(2) )40cos 20(cos 5.0)30cos()10cos()(t t t t t f ππππ+== 2140202121==ΩΩ=n n 因此，公共周期s n T 10120212110=⨯=Ω=πππ基频Hz T f 1010==(3) 由于两个分量的频率比值201021π=ΩΩ是无理数，因此无法找出公共周期。

所以是非周期的。

(4) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。

因此，公共周期π==01f T s 。

2.指出并证明下列信号中哪些是功率信号，哪些是能量信号，哪些既不是功率信号也不是能量信号。

(1) )2(2)1(5)(---+t u t u t u (2) )2(6)1(5)(---+t u t u t u(3) )(5t u et- (4) )()1(5t u e t+-解:(1) 波形如题2解图(a)所示。

显然是功率信号。

t d t f T P T T T ⎰-∞→=2)(21lim 16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰→∞t d t d t d T T T W(2) 波形如题2解图(b)所示。

显然是能量信号。

J dt dt E 371611612212102=⨯+⨯=+=⎰⎰ (3) 能量信号 1.0101)(lim 0101025=-===⎰⎰∞∞---∞→Tt t t T e dt e dt e E J (4) 功率信号，显然有 1=P W3. 周期信号如题图3所示，试计算信号的功率。

3.1
3.1.1
系统的时域性能指标
典型输入信号
时域表达式 r(t)=l(t),t≥0 复域表达式 R(s)=1/s
t r(t)
信号名称 单位阶跃函数
函数曲线
r(t)
单位斜坡函数 r(t)=t,t≥0 单位加速度函数 r(t)=1/2t2 t≥0
R(s)=1/s2
r(t) t
R(s)= 1/s3
r(t) t
（2）临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) = 1 − e −ωntωn t − e −ωnt = 1 − e −ω t (1 + ω nt ) —— 稳态值为1的无超调的
n
（3）过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
2 ωn 1 ⋅ C (s) = ( s + 1 / T1 )( s + 1 / T2 ) s
0.9h (∞) 误差带 ±2%或±5%
0.5h(∞)
0.1h(∞)
td tr tp
ts
t
tr
ts
t
◆上升时间tr： 振荡——第一次上升到终值所需时间； 非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间； ◆延迟时间td： 第一次达到其终值一半所需的时间； ◆峰值时间tp： 超过其终值后，到达第一个峰值所需的时间； ◆调节时间ts： 到达并保持在[终值±5%终值](或±2%)内所需的最短时间。
（2）标准二阶系统传递函数
ω n2 C (s) Φ (s) = = 2 2 R ( s ) s + 2ζω n s + ω n
ω n ——自然频率（无阻尼自然振荡频率）
ζ ——阻尼比（相对阻尼系数）
（3）标准二阶系统结构图 （单位反馈）

用图形表达如下：
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
5. 解：（5） π | X (ej ) |2 d π
根据帕斯维尔定理
2
x(n)
1
X (e j ) 2 d
n
2
所以
X (e j ) 2 d 2
2 nx(n) 2 (9 11 9 64 25 49) 316
n3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
6． 试求如下序列旳傅里叶变换：
(1) x1(n) (n 3)
(2)
x2
(n)
1 2
(n
1)
(n)
1 2
(n
1)
(3) x3(n) anu(n) 0 a 1
(4) x4 (n) u(n 3) u(n 4)
2
2
1 2
所以
ho (n) 0
1
2
n 1 n0 n 1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
对于实因果序列，能够根据ho(n)及h(0)恢复h(n)，即
2 n 0
h(n) ho (n)u (n) h(0) (n)
u (n) 1 0
n0 n0
所以
h(n)
ho
2ho (n)
(n) h(0)
2
7
x(n) 2
2
x(n)
n
n3
2 (11 4 11 4 11) 28
（6）