导数值与极限值的关系

高中数学知识点总结三角函数的导数与极限高中数学知识点总结：三角函数的导数与极限一、三角函数的极限在高中数学中，我们经常遇到三角函数的极限问题。

三角函数的极限计算是求取无穷小量与无穷大量之间的关系，下面就来总结一些三角函数的极限。

1. 正弦函数的极限lim (x→0) sin(x) / x = 1这个极限可以通过泰勒级数展开或用几何图形说明来证明。

因为sin(x)的图像在x=0处有一条切线，斜率为1，所以极限值为1。

2. 余弦函数的极限lim (x→0) (cos(x) - 1) / x = 0余弦函数的图像在x=0处有一条切线，斜率为0，所以极限值为0。

3. 正切函数的极限lim (x→0) tan(x) / x = 1正切函数在x=0时，正切线斜率为1，因此极限值为1。

4. 余切函数的极限lim (x→0) csc(x) = ∞余切函数在x=0时趋于无穷大。

5. sec(x)与cot(x)的极限lim (x→0) sec(x) = 1lim (x→0) cot(x) = ∞在x=0处，sec(x)为1，cot(x)为无穷大。

二、三角函数的导数导数是函数在某一点上的变化率，下面我们来总结一下常见三角函数的导数。

1. 正弦函数的导数d/dx sin(x) = cos(x)2. 余弦函数的导数d/dx cos(x) = -sin(x)3. 正切函数的导数d/dx tan(x) = sec^2(x)4. 余切函数的导数d/dx cot(x) = -csc^2(x)5. 正割函数的导数d/dx sec(x) = sec(x) * tan(x)6. 余割函数的导数d/dx csc(x) = -csc(x) * cot(x)三、三角函数的导数与极限的应用三角函数的导数与极限在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。

下面举几个例子说明其应用。

1. 物理学中的振动问题物理学中很多振动问题涉及到角度的变化，而角度变化与三角函数有密切关系，通过计算三角函数的导数和极限，可以得到振动过程中的速度和加速度等相关信息。

导数与函数的收敛性判定在微积分学中，导数是研究函数变化率的重要概念，而函数的收敛性则是判定函数是否趋于某个特定值的关键。

本文将探讨导数与函数的收敛性判定的关系，并介绍相关的数学理论和方法。

一、导数的定义与性质在数学中，给定函数f(x)，其在点x处的导数定义为：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x)) / h其中，lim表示极限的意思，h表示极小变化量。

导数可以理解为函数在某点的斜率，反映了函数在该点附近的变化趋势。

导数具有以下重要性质：1. 可导性：如果函数在某一点处可导，则该点附近的函数变化趋势较为平滑，没有明显的断裂或拐点。

2. 导数唯一性：函数在某点处的导数是唯一确定的，即使函数在该点的函数值发生变化，导数依然保持不变。

3. 导数与函数图像：函数在某一点的导数值，可以揭示函数图像在该点的切线斜率，进而帮助我们理解函数的变化特征。

二、函数的收敛性判定函数的收敛性是指函数是否在趋近于某个特定值。

我们常用极限的概念来判定函数的收敛性。

1. 函数收敛性的定义：对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，若函数值f(x)趋近于一个确定的常数L，则称函数f(x)在点a处收敛于L。

2. 极限的性质：判断函数的收敛性时，可以利用极限的一些基本性质，如极限的加法、乘法、复合等运算规则。

3. 判定函数极限的方法：常用的方法有数列极限法、夹逼定理、单调有界准则等。

这些方法可以用于判定函数在某点处的收敛性，或函数在无穷远处的收敛性。

三、导数与函数收敛性的联系导数与函数的收敛性息息相关，两者可以互相推导和辅助。

1. 函数收敛性与导数：若函数f(x)在某一点a处可导，且导数f'(a)存在，则可以得到函数f(x)在该点附近的近似线性表达式：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a)该近似表达式可以帮助我们判断函数在该点附近的收敛性，以及函数在其他点的变化趋势。

及 lim f ( x) = A, 得出: A > 0.
x→x0
ˆ 例如 在N (0, δ )内有 f ( x ) =| x |> 0,
但 lim | x |= A = 0.
x→0
说明: 定理4, 说明 定理 5, 6及推论所论极限 在自变量 的其它变化 及推论所论极限, 在自变量x的其它变化 趋势的情形下, →∞, →−∞, 趋势的情形下 即: x→x0−, x→x0+, x→∞ x→+∞, x→−∞ → → →∞ → ∞ →−∞ 都有类似的结论。 都有类似的结论。
y
y=|x|
| x|−|0| x lim+ = lim+ = 1, x →0 x→0 x x−0 | x |−|0| 故 lim 不存在 x →0 x − 0
所以函数 f ( x ) =| x | 在 x = 0 处不可导.
O
x
10
求取整函数f(x)=[x]在整数点 0=n处的左极限和右极限 在整数点x 处的左极限和右极限 处的左极限和右极限. 例10. 求取整函数 在整数点
x→n x→n
11
C. 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f(x)在|x|≥a (a≥0)上有定义 如果存在常 上有定义, 定义 设函数 在 ≥ ≥ 上有定义 如果存在常 使对任意给定的正数ε 总存在正数 正数X, 数A, 使对任意给定的正数ε, 总存在正数 当 |x|>X, 有: |f(x)−A|<ε 成立 > − < 成立,
f ( x0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x0 < δ } = { x 0 < x − x0 < δ } U { x − δ < x − x0 < 0}

引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。

在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。

极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。

因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。

本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L' Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。

旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。

达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。

例1求极限limb -tanx b _sin X a -asin x解由于b-lanx b -sinxct -a b tanx b , b b-sinxta n x= -------------------------- r ------------------ sin x tan x sin x sin x所以, limx—0b -tanx b -sinxa _asin xb -tanx b b b -sinxa —a tan x.. □ -a二lim limx 0 tan x sin x x 2tan x sin x第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数y = f (x)在其定义域中的一点X)处极限也y r f (X o+也X)- f(X o)lim lim - —u0 .)x 匸J-：x存在，则称在X o处可导，称此极限值为f (X)在X-处的导数，记为f(X o).显然，f(X) 在X o处的导数还有如下的等价定义形式：f（X）- f（X-）X — X-F面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵=：b l n 二心b l n「- 2-b l n〉.例2 (本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设 f (0) = k，试证lim f(b)「f(a) = k.证明(希望把极限式写成导数定义中的形式)f(b) -f (a) b -a(拟合法思想：把要证的极限值 k 写成与此式相似的形式)0<f(b)-f(a) _k .：：： b |f(b)-f(O) b -a|b -a|| b -ka f(a)-f(O)b -a a因 a > 0-，a bb — a b — ab f(b)-f(0) a f(a)-f(O) b -a b b -a aab —a两式相减，可得又因f (0) =k ，故当a > 0 - b > 0 •时右端极限为零，原极限获证.1.2 L ' Hospital 法则本节主要总结了 L ' Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的 问题，并深入分析了使用L ' Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶 另外还指出L ' Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ' Hospital 法则L ' Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮 演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是 不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效 的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷 大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很 大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会旳有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为-未定型或未定型.事实上，未°°b > 0 ■，所以有b 0 a ，nnJlim 二=lim 竺x x, e'X二limHim 半X .； ： ,-0 .求lim x )0x m 0x0 (1 -cost)dt3x例 3 求极限 lim.x'.xf^dt ，其中0，f (x)为闭区间1.0,11上的连续函数.定型除以上两种类型外还有0.：二_：：, 1：, 00, ::0等类型. L ' Hospital 法则： 定理和若函数f 和g 满足：① lim f (x) = lim g(x) = 0 ；^Xo^^0② 在点X 的某空心邻域u 0(x 。

偏导数存在和极限标题：一次数学之旅：偏导数存在与极限导言：数学是一门神奇而又美妙的学科，它贯穿于我们生活的方方面面。

在数学的世界里，我们探索着无尽的奥秘，寻找着隐藏的规律。

今天，我将带领大家一起探索偏导数存在与极限的奇妙之旅。

第一章：偏导数存在的意义当我们研究多元函数时，偏导数的存在与否成为了一个关键问题。

偏导数存在意味着函数在某一点的变化率是有定义的，这对于我们理解函数的性质和行为至关重要。

通过偏导数，我们可以揭示函数在不同方向上的变化趋势，从而更好地掌握函数的特性。

第二章：偏导数的计算方法要确定偏导数的存在，我们需要首先掌握偏导数的计算方法。

通过对函数在不同变量上进行求导，我们可以得到函数在每个方向上的变化率。

这些变化率的存在与否决定了偏导数的存在性。

在具体的计算过程中，我们可以运用链式法则、梯度等工具，将多元函数的求导问题转化为一元函数的求导问题，从而简化计算。

第三章：极限的概念与应用在数学中，极限是一个基本而又关键的概念。

它不仅与偏导数的存在性息息相关，也贯穿于整个数学的发展历程中。

通过极限，我们可以研究函数在无穷远处的行为，刻画函数的收敛性和发散性，揭示函数的整体特性。

极限的应用广泛，涉及数值计算、微积分、数学分析等多个领域。

第四章：偏导数存在与极限的关系偏导数存在与极限之间存在着紧密的联系。

偏导数的存在性要求函数在某一点的极限存在，并且该极限值与不同方向上的极限值相等。

通过分析偏导数的存在与极限的关系，我们可以揭示函数的性质和行为，进一步深入理解多元函数的奥秘。

结语：偏导数存在与极限是数学中重要的概念和工具。

它们在多元函数的研究中发挥着重要作用，帮助我们理解函数的性质和行为。

通过深入学习偏导数存在与极限的理论和应用，我们可以更好地掌握数学的精髓，拥抱数学的魅力。

让我们一起踏上这次数学之旅，感受数学的无限魅力！。

导数在函数中的作用导数是微积分中的重要概念，广泛应用于函数、曲线和图形的研究中。

它是描述函数在其中一点上的变化率的工具，具有很多实际应用。

在本文中，我将详细介绍导数在函数中的作用及其应用。

首先，导数可以用于研究函数的单调性。

函数的导数可以告诉我们函数在其中一点上是增加还是减少。

如果导数大于零，那么函数在该点上是递增的；如果导数小于零，那么函数在该点上是递减的。

当导数等于零时，表示函数在该点上取得极值，对于凸函数来说，如果导数从正数递减到0，然后再从0递增到正数，那么该点就是极小值点；如果导数从负数递增到0，然后再从0递减到负数，那么该点就是极大值点。

通过导数，我们可以更好地理解函数的增减趋势，并画出函数的增减图，这对于很多实际问题的研究和解决都非常有帮助。

其次，导数可以用于研究函数的凸性和拐点。

函数的导数在其中一点上的变化可以告诉我们函数曲线的凸凹性。

如果导数在其中一点的左侧小于右侧，则说明函数曲线在该点上凹下去；如果导数在其中一点的左侧大于右侧，则说明函数曲线在该点上凸出来。

当导数发生变化的点称为函数的拐点，拐点是函数曲线转折的地方。

通过研究函数的凸性和拐点，我们可以更好地理解函数的形状和性质，从而解决实际问题。

第三，导数可以用于研究函数的极限。

在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它描述了函数在其中一点附近的行为。

通过导数，我们可以计算函数在其中一点的导数值，并通过计算导数的极限得到函数在该点的极限值。

这对于研究函数的连续性和光滑性非常重要，也是微积分中一些重要定理（如极值定理和洛必达法则）的基础。

第四，导数可以用于求解函数的最值问题。

最值问题是求函数取值的极大值或极小值的问题。

通过计算函数的导数，我们可以找到函数在其中一区间的最值点。

当导数从正数递减到零再递增到负数时，函数在此处取得极大值；当导数从负数递增到零再递减到正数时，函数在此处取得极小值。

利用导数求解最值问题，我们可以优化一些实际问题，如最大利润、最短路径等。

导数与函数的收敛分析在数学分析中，导数与函数的收敛是重要的概念和工具。

导数可以用来描述函数在某一点的局部变化率，而函数的收敛性则可以告诉我们函数在某一点或者某一区间内趋于哪个值。

本文将以导数与函数的收敛分析为主题，介绍相关概念和定理，并探讨它们的应用。

一、导数的概念与计算方法导数是函数微分学中的重要概念，描述了函数在某一点的变化率。

函数在某一点的导数可以通过极限的概念来定义。

具体而言，对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，其定义如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为一个趋近于0的数。

可以利用导数的定义公式，计算出许多常见函数的导数。

例如，对于幂函数x^n，它的导数可以通过幂函数的求导公式来计算。

而对于三角函数、指数函数，也有相应的求导公式。

通过这些公式，我们可以方便地求得各种函数在某一点的导数。

二、函数的收敛性与极限函数的收敛性是指函数在某一点或者某一区间内趋于某一特定值的性质。

而函数趋于某一特定值的过程可以通过极限的概念来描述。

对于函数f(x)，当x趋近于某一点a时，我们可以表示为：lim(x->a) f(x) = L其中，L为x趋近于a时函数f(x)的极限值。

函数的收敛性可以根据这一极限值来判断。

三、导数与函数的收敛关系导数与函数的收敛性之间存在一定的联系。

具体而言，函数在某一点收敛时，它在该点处的导数存在且等于该点处函数的极限值。

这一结论可以通过导数的定义和极限的定义来证明。

而对于函数在某一区间内的收敛性，如果函数在该区间内处处可导且导数连续，则函数在该区间内处处收敛。

四、导数与函数收敛分析的应用导数与函数收敛分析在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。

在微积分中，导数可以用来求函数的最值、判定函数的单调性、几何意义等。

在物理学中，导数可用于描述物理量之间的关系和变化率。

在金融学中，导数可用于计算金融衍生品的风险价值。

在使用洛必达法则之前，需要检查函数是否满 足可导和极限存在的条件。
验证极限存在性
使用洛必达法则后，需要验证得到的极限是否 与原函数的极限相等，以避免错误结论。
注意计算的复杂性和精度
洛必达法则在计算过程中可能会涉及复杂的运算和近似，需要注意计算的精度 和准确性。
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函数在某点的极值是指该点附近函数值的最小或最大值。
导数与极值的关系
函数的极值点一定是其导数为零的点，但导数为零的点不一定是 极值点。
判断极值的方法
通过求导数并令其为零，然后判断该点附近函数值的符号变化， 确定是否为极值点。
导数在曲线的凹凸性判断中的应用
凹凸性的定义
曲线在某段区间内是凹的或凸的，取决于其切线的斜率变 化。
角速度计算
角速度是描述刚体转动快慢的物理量， 可以通过导数计算刚体在某时刻的角速 度。例如，匀角速度转动的角速度等于 角度对时间的导数。
VS
角加速度计算
角加速度是描述刚体转动角速度变化快慢 的物理量，可以通过导数计算刚体在某时 刻的角加速度。例如，匀角加速转动的角 加速度等于角速度对时间的导数。
导数在电流和电压计算中的应用
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率。
详细描述
在二维坐标系中，函数在某一点的导数等于该点处切线的斜率。导数可以用来 分析函数图像的形状和变化趋势，如单调性、极值点和拐点等。
导数与函数单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。因此，通过 求导并分析导数的符号，可以确定函数的单调性。

导数定义知识点总结一、导数的定义导数的定义最早是由牛顿和莱布尼兹提出的，它描述了函数在某一点处的变化率。

设函数y = f(x)，在x点附近有一个增量Δx，对应的函数值的增量为Δy = f(x + Δx) - f(x)。

那么，当Δx趋向于0时，函数值的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx就趋向于一个极限值，这个极限值即为函数f(x)在点x处的导数。

导数用f'(x)或者y'来表示。

导数的定义有两种常见形式，分别是利用极限定义（差商）和利用变化率定义。

极限定义是导数的最原始的定义方式，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。

利用变化率定义，可以帮助我们更好地理解导数的几何意义，即函数曲线在某一点处的切线斜率。

无论使用何种定义形式，导数可以帮助我们描述函数的变化趋势，从而更好地理解函数的性质。

二、导数的性质1. 可导性：函数在某一点可导意味着在这一点函数的变化率存在，也就是说在该点存在切线。

导数存在的条件是函数在该点附近有微小的线性变化，这意味着函数在该点连续且不突变。

2. 导数与函数的关系：函数的导数可以帮助我们了解函数的变化趋势。

例如，函数的导数为正表示函数在该点上升，导数为负表示函数在该点下降，导数为零表示函数在该点取极值。

3. 导数的运算法则：一元函数的导数具有许多运算法则，包括常数倍法则、和差法则、积法则、商法则、复合函数求导法则等。

这些法则可以帮助我们更方便地求解函数的导数。

此外，对于特殊函数如反函数、隐函数、参数方程等也有相应的求导方法。

4. 高阶导数：导数也可以有高阶导数的概念，即对函数的导数再求导数。

高阶导数可以更清晰地描述函数的曲线特性，如拐点、凹凸性等。

三、导数的应用1. 函数的极值点：导数可以帮助我们判断函数的极值点，即函数的最大值、最小值以及函数的极限值。

通过求解导数为零的方程或者利用一阶导数的符号变化规则，我们可以找到函数的极值点。

这对于优化问题和最佳化问题有着重要的应用。

利用导数求函数的极值
总结词
利用导数等于0的点，确定函数的极值点。
详细描述
如果函数在某点的导数等于0，且该点两侧 的导数符号相反，则该点为函数的极值点。
利用导数求曲线的切线方程
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用导数求曲线在某点的切线斜率。
函数在某点的导数值即为该点处切线的斜率。再根据点斜 式方程，结合切点坐标，即可求出切线方程。
详细描述
在物理学中，导数常用于描述物体的运动状态和变化规律。例如，物体的速度和加速度可以通过对时间求导来获 得。导数在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
02 导数的计算
导数的四则运算
总结词
掌握导数的四则运算规则，包括加、减、乘、除等运算。
详细描述
导数的四则运算法则是导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。这些运算法则可以帮 助我们简化复杂的导数表达式，从而更好地理解和分析函数的单调性、极值等性质。
详细描述
极限是研究函数的重要工具，通过研究函数在不同点处的极限行为，我们可以了解函数的性质，如连 续性、可导性、单调性等。例如，利用极限研究函数的连续性和间断点，或者利用极限研究函数的极 值和最值等。
谢谢聆听
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的反义词，两者在一定条件 下可以相互转化。
06 极限的应用
利用极限证明等式或不等式
总结词
通过极限，我们可以证明一些数学中的等式或不等式 。
详细描述
在数学中，有些等式或不等式可能难以直接证明，但通 过求极限，我们可以得到一些有用的性质和结论，从而 证明这些等式或不等式。例如，利用极限证明一些函数 的等价无穷小关系，或者利用极限证明函数的单调性等 。

课本练习
思考,已知函数 在区间[1,5] 思考,已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间 在区间 内的最小值为2, 内的最小值为 ,求m的值 的值
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1,曲线 ,曲线y=x4-2x3+3x在点 在点P(-1,0)处的切线的 在点 , 处的切线的 斜率为( 斜率为 ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2,函数y=x100+2x50+4x25的导数为 ) ,函数 的导数为( (A)y'=100(x99+x49+x24) (B) y'=100x99 (C) y'=100x99+50x49+25x24 (D) y'=100x99+2x49
定义法 公式法
练习: 练习: 1,求下列函数的导数 ,
)(x (1)y=(x2-3x+2)( 4+x2-1) ) ( )( ) (2)y=(x/2+t)2 ) ( )
2,设f(x)=ax3-bx2+cx,且f /(0)=0, , ( ) , ) , f /(1)=1,f /(2)=8,求a,b,c ) , ) , , , 3,抛物线f(x)=x2-2x+4在哪一点处的 ,抛物线 ( ) 在哪一点处的 切线平行于x轴 在哪一处的切线与x轴的 切线平行于 轴?在哪一处的切线与 轴的 交角为45 交角为 0?
5, 求导的公式与法则 , 求导的公式与法则——
/
(C ) = 0 n / n 1 * ( x ) = nx (n ∈ N )

极大值 和_______ 极小值 统称为极值． 极值点，_______
练习1：指出下图中的极大值、极小值、极 值点、极值
y y=f(x) P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) o a x1 x2 x3 b x
4
2、上图的左右端点是极值点吗？极值点 在图像的什么地方出现？ 3、一个函数只有一个极大值和一个极小 值吗？它的极大值一定大于它的极小值吗？
• 1.理解极大值、极小值的概念． • 2.会用导数求最高次幂不超过三次的 多项式函数的极大值、极小值． 重点： 利用导数求函数的极大值、极小值．
（一）导学案自主探究（一） 在点t=a附近的图像有什么特点（自左向右上 升还是下降）？此点附近的导数符号有什么 变化？在t=a时，函数h(t)在此点的导数是多少？
∴a＝－6，b＝9. ………………………6 分
• (2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1) ……… ……… 8分 • 当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1. • 当f′(x)>0时，0<x<1； • 当f′(x)<0时，x<0或x>1. ……… ……… ……… ……… 10分 • ∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为 f(0)＝0. ……… 12分
3
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋
∞)
f ′ (x )
＋
0
－
0
＋
f(
x)
极
大值
极
小值
2 ∴f(x)的递增区间为－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间 2 为－3，1. 2 49 2 当 x＝－3时，f(x)有极大值，f－3＝27；

极限与导数一、复习策略极限的概念及其渗透的思想在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具．1、有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数极限的和（或积），在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限．2、两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在．3、对型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值．4、求函数的极限的几种基本的方法:①代入法；②约去分母为零的因式；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法5、函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件：函数f（x）在点x=x处有定义;函数f（x）在点x=x处有极限;函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值，即f（x）=f（x）．导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1、导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微)；(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)；(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于n次多项式的导数问题属于较难类型．2、关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便．3、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意．4、求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数．也就是说，首先选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数．整个过程可简记为分解——求导——回代．熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．二、典例剖析例1、在处可导，则________，________．解：函数在处可导，则必连续，，，，∴．，，∴，．例2、(08福建)已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是()解：从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B 答案，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC ，最后就只有答案D 了，可以验证y=g(x)的导函数是增函数，增加越来越快．答案：D例3、若数列{a n }的首项为a 1=1，且对任意n ∈N *，a n 与a n ＋1恰为方程x 2－b n x ＋c n =0的两根，其中0＜|c|＜1，当(b 1＋b 2＋…＋b n )≤3时，求c 的取值范围．解：首先，由题意对任意n ∈N *，a n ·a n ＋1=c n 恒成立． ∴===c ．又a 1·a 2=a 2=c ．∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是首项为1，公比为c 的等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是首项为c ，公比为c 的等比数列．其次，由于对任意n ∈N *，a n ＋a n ＋1=b n 恒成立． ∴==c ．又b 1=a 1＋a 2=1＋c ，b 2=a 2＋a 3=2c ，∴b 1，b 3，b 5，…，b 2n －1，…是首项为1＋c ，公比为c 的等比数列，b 2，b 4，b 6，…，b 2n ，…是首项为2c ，公比为c 的等比数列，∴(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )= (b 1＋b 3＋b 5＋…)＋(b 2＋b 4＋…)=＋≤3．解得c≤或c ＞1，∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤或－1＜c ＜0．故c 的取值范围是(－1，0)∪(0，］．例4、(2006浙江)已知函数=x 3＋x 2，数列 {x n }(x n ＞0)的第一项x 1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在处的切线与经过(0，0)和(x n ，f(x n ))两点的直线平行(如图)．求证：当n 时：(I)；(II)证明：(I)∵∴曲线在处的切线斜率∵过和两点的直线斜率是∴.(II)∵函数当时单调递增，而，∴，即因此又∵令则∵∴因此故例5、(07山东卷)设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．证明：因为，所以的定义域为．．当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减．所以当，函数没有极值点．当时，令，得(舍去)，，当时，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为．无极大值．当时，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为．无极小值．综上所述：当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为，无极大值．若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为，无极小值．例6、(2006湖北) 设x=3是函数f(x)=(x2＋ax＋b)e3－x(x∈R)的一个极值点．(1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；(2)设＞0，=()．若存在使得||＜1成立，求的取值范围．解：(1)，由f′(3)=0得，所以，令f′(x)=0得．由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠－4，当时，，故f(x)在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．当a＞－4时，x1＞x2，故f (x)在(－∞，－a－1]上为减函数，在[－a－1，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数．(2)当a＞0时，－a－1＜0，故f(x)在[0，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数．因此f(x)在[0，4]上的值域为，而在[0，4]上为增函数，所以值域为．注意到，故由假设知解得．故的取值范围是．例7、定义在(0，＋∞)上的函数，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.(1)若函数f(x)在点x=1处连续，求a的值；(2)若函数f(x)为(0，1)上的单调函数，求实数a的取值范围；并判断此时函数f(x)在(0，＋∞)上是否为单调函数；(3)当x∈(0，1)时，记g(x)=lnf(x)＋x2－ax. 试证明：对，当n≥2时，有解：(1)∵f(1)=1，，已知f(x)在点x=1处连续，∴有e a－1=1. ∴a=1.(2)当x∈(0，1)时，此时，，∵，，∴不可能在(0，1)上恒小于0.故f(x)在(0，1)上必为增函数. ∴－2x2＋ax＋10在(0，1)上恒成立.在(0，1)上恒成立.设，x∈(0，1). ∵u(x)在(0，1)上是增函数，u(x)＜1.∴当a≥1时，f(x)在(0，1)上是增函数.当a=1时，f(x)在(0，＋∞)上也是增函数；当a＞1时，∵，此时，f(x)在(0，＋∞)上不是增函数.(3)当x∈(0，1)时，g(x)=lnf(x)＋x2－ax=lnx. 当n≥2时，欲证，即证需证即需证猜想：，其中t∈(0，1).下面证明之. 构造函数，t∈(0，1).∵，∴h(t)在(0，1)上是减函数，而，∴h(t)＞0，即有同理，设s(t)=lnt－t＋1，t∈(0，1).∵，∴s(t)在(0，1)上是增函数，而，∴s(t)＜0，即有故有，其中t∈(0，1).分别取，有，，，…相加，得即∴即∴冲刺练习一、选择题1、[n(1－)(1－)(1－)…(1－)]等于（）A．0B．1C．2D．32、数列{a n}中，a1=，a n＋a n＋1=，n∈N*，则(a1＋a2＋…＋a n)等于（）A．B．C．D．3、已知的值是（）A．B．0C．8D．不存在4、在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．05、设f0(x) = sinx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，f n＋1(x) = f n′(x)，n∈N，则f2005(x)=（）A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx6、已知对任意实数，有，，且时，，，则时（）A．，B．，C．，D．，7、经过原点且与曲线y=相切的方程是（）A．x＋y=0或＋y=0B．x－y=0或＋y=0C．x＋y=0或－y=0D．x－y=0或－y=08、已知函数f(x)=函数f(x)在哪点连续（）A．处处连续B．x=1C．x=0D．x=9、已知二次函数的导数为，，对于任意实数，都有，则的最小值为（）A．3B．C．2D．10、设函数，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当时，与的大小关系是（）A．B．C．D．与的大小不确定[提示]二、填空题11、=__________．12、曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为=__________．13、设f(x)=x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)= __________．14、若直线y=3x＋1是曲线y=x3－a的一条切线，则实数a的值是_______．15、函数y=f(x)的导函数的图象如下图所示，给出下列判断:①函数y=f(x)在区间(－3，－)内单调递增;②函数y=f(x)在区间(－，3)内单调递减;③函数y=f(x)在区间(4，5)内单调递增;④当x=2时，函数y=f(x)有极小值;⑤当x=－时，函数y=f(x)有极大值.则上述判断中正确的是_____________．16、已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点(0，1)，(2，0)，如图所示.求：(Ⅰ)x的值；(Ⅱ)a，b，c的值.[答案]三、解答题17、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为．(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间．[答案]18、(08江苏卷17)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A，B 及CD的中点P 处，已知AB=20km，CB =10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且A，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；②设OP=x(km) ，将y表示成x的函数关系式．(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．[答案]19、设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n和a n的关系是S n=1－ba n－，其中b是与n无关的常数，且b≠－1．(1)求an 和an－1的关系式；(2)写出用n和b表示an的表达式；(3)当0＜b＜1时，求极限Sn．[答案]20、已知f(x)=ax－ln(－x)，x∈[－e，0)，，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.(1)若a=－1，求f(x)的极值；(2)求证：在(1)的条件下，；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．1-5 CCCDC 6-10 BADCB提示：1、原式=［n××××…×］==2．2、2(a1＋a2＋…＋a n)=a1＋［(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(a n－1＋a n)］＋a n=＋[＋＋…＋]＋a n．∴原式=［＋＋a n］=(＋＋a n)．∵a n＋a n＋，∴a n＋a n＋1=0，∴a n=0．∴原式＝, 选C．1=3、，．4、=3x2－8，由题意得0＜3x2－8＜1，解之得或，其中整数x的可取值为0个，选(D)．5、，由此继续求导下去，四个一循环，又2005故选C.6、由已知f(x)为奇函数，图像关于原点对称，在对称区间的单调性相同; g(x)为偶函数，在对称区间的单调性相反，当x＞0时，f′(x)＞0，g′(x) ＞0，递增，当x ＜0时， f(x)递增， f′(x)＞0; g(x)递减， g′(x)＜0．7、设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k=，另一方面，y′=()′=，故y′(x0)=k，即或x02＋18x0＋45=0，得x0(1)=－3， x0(2)=－15，对应有y0(1)=3，y0(2)=，因此得两个切点A(－3，3)或B(－15，)，从而得y′(-3)= =－1及y′(-15)=，由于切线过原点，故得切线：l A:y=－x或l B:y=－．8、f(x)= f(x)=f()．9、＝，依题意，有：，可得，＝＝＋1≥2＋1≥2＋1＝2，故选(C)．10、与的图象在轴上有公共点，∴.∵，，由题意，∴令，则．∴在其定义域内单调递减，∵，∴当时，，即.11、解析：12、±1解析：∵=3x2，∴在(a，a3)处切线为y－a3=3a2(x－a)，令y=0，得切线与x轴交点()，切线与直线x=a交于(a，a3)，∴曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为S=，令S=，解得a=±1.13、n!解析：设g(x)=(x＋1)(x＋2)……(x＋n)，则f(x)=xg(x)，于是f′(x)=g(x)＋xg′(x)，f′(0)=g(0)＋0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！．14、－3或1解析：设切点为P(x0，y0)，对y=x3－a求导数是=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.(1)当x=1时，∵P(x0，y0)在y=3x＋1上，∴y=3×1＋1=4，即P(1，4).又P(1，4)也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3.(2)当x=－1时，∵P(x0，y0)在y=3x＋1上，∴y=3×(－1)＋1=－2，即P(－1，－2).又P(－1，－2)也在y=x3－a上，∴－2=(－1)3－a.∴a=1.综上可知，实数a的值为－3或1.15、③解析：当x∈(4，5)时，恒有f′(x)＞0.16、解法一：(Ⅰ)由图像可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1，2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0故f(x)在(－∞，1)， (2，＋∞)上递增，在(1，2)上递减，因此f(x)在处取得极大值，所以．(Ⅱ)由f′(1)=0， f′(2)=0， f(1)=5．得解得a=2， b=－9， c=12.解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)设又由f(1)=5，即得m=6．所以a=2，b=－9，c=12．17、解：(Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0，2)，知d=2，所以由在M(－1，f(－1))处的切线方程是，知故所求的解析式是(Ⅱ)解得当当故内是增函数，在内是减函数，内是增函数．18、(Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则，故，又OP＝，所以，所求函数关系式为．②若OP=x(km) ，则OQ＝10－，所以OA=OB=．所求函数关系式为．(Ⅱ)选择函数模型①，．令0 得，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，．这时点P位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处．19、解：(1)a n=S n－S n－1=－b(a n－a n－1)－=－b(a n－a n－1)＋ (n≥2)．解得a n=(n≥2)．20、(1)∵f(x)=－x－ln(－x)，f′(x)=－1，∴当－e＜x＜－1时， f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x) 单调递增，∴f(x)的极小值为f(－1)=1．(2)∵f(x)的极小值即f(x)在[－e，0)上的最小值为1，∴| f(x)|min=1，令h(x)=g(x)＋，又∵，∴当－e＜x＜0时， h′(x) ＜0，且h(x)在x=－e处连续．∴h(x)在[－e，0)上单调递减，∴h(x)max=h(－e)=∴当x[－e，0)时，(3)假设存在实数a，使f(x)=ax－ln(－x)有最小值3，[－e，0)，f′(x)=，①当a≥时，由于(－e，0)，则f′(x)=a且f(x) 在x=－e处连续．∴函数f(x)=ax－ln(－x)是[－e，0)上的增函数，∴f(x)min=f(－e)= －ae－1=3，解得a=(舍去).②当a＜时，则当－e＜x＜时，f′(x)=a此时f(x)=ax－ln(－x) 是减函数，当时，f′(x)=a此时f(x)=ax－ln(－x) 是增函数，∴f(x)min=f()=1－ln()=3，解得a=－e2.由①、②知，存在实数a=－e2，使得当[－e，0)时f(x)有最小值3．。

极限与导数知识点总结极限与导数是微积分学中非常重要的内容，它们是我们理解函数性质和计算函数变化率的基础。

在这篇总结中，我将从定义、性质和常见计算方法等方面对极限与导数进行详细的介绍和解析。

一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

如果一个函数$f(x)$在$x=a$附近的取值随着$x$的逼近$a$而无限接近某一值$A$，那么我们就说当$x$趋近$a$时$f(x)$的极限为$A$，记作$\lim_{x\to a}f(x)=A$。

2. 极限的性质（1）唯一性：若$\lim_{x\to a}f(x)$存在，则其极限唯一。

（2）局部有界性：如果$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在，则存在一个$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)$有界。

（3）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在且$A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。

（4）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$\lim_{x\to a}f(x)=A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。

3. 极限存在的条件函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在的条件有：（1）情况一：$\lim_{x\to a}f(x)$存在且有限。

（2）情况二：$\lim_{x\to a^+}f(x)$和$\lim_{x\to a^-}f(x)$均存在且相等。

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、0lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=⇔=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα⇔: ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ=4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得()f C ζ=。

5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。

第三章 微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ=2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()()'()f b f a f g b g a g ζζ-=-拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。

4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。

罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。

当然也有用第一章的零点定理的。

但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。

而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。

导数极值点极值点，也称为极大值点或极小值点，是指函数f(x)在定义域内某个点处的导数f(x)为0，或在极限计算中导数存在于该点处但不等于0的点。

极值点可以分为极大值点和极小值点，当某点x的函数值大于任意更接近该点的其他点时，此点称为极大值点；而当某点x 的函数值小于接近该点的任何其他点时，此点称为极小值点。

从函数的角度来看，对于极值点的求解，可以考虑函数的导数。

在高等数学中，函数的导数是一种测量函数变化速度的量，其实质是表示某函数在某指定点处的“斜率”，它是描述函数变化情况的量，即当函数增加时，对应点的斜率增加，当函数减少时，对应点的斜率减少。

当导数为零时，意味着此处斜率等于零，也就是此处函数不再变化，此点即为极值点。

利用求导法求解极值点的方法，一般可以总结如下：（1）求出函数f(x)的导数f(x)；（2）令f(x)=0，求解得出x的值；（3）代入到f(x)中，得到极值的值。

对于一元函数来说，求极值点的关键步骤即为求导数，需要利用求导数公式及一些极值性质，如直线函数、二次函数、三次函数、反比例函数、对数函数及指数函数等各类函数的求导数公式都有所不同。

另外，在求极值点的过程中，需要注意两个特性：单调性和连续性。

单调性是指函数在任意点处的导数是函数单调递增或单调递减的，这也是求极值点的关键。

连续性是指函数在任一处都可以获得某种定义，否则函数极值将无效。

以上所述，可以总结出求极值点的基本思路：（1）首先，根据函数形式，求出函数的导数；（2）然后，令导数等于零，求解出极值点；（3）最后，代入函数，求出极值的值。

求解极值点的方法，是高等数学中较为重要的知识点之一，它不仅可以帮助我们求解实际问题，而且在理解函数特性及求解运动轨迹等问题中也有不可替代的作用。

例如，在计算内爆炸和内摩擦力时，可考虑函数的极值点作为定值；在运动的抛物线轨迹计算中，可根据函数的极值点，求出物体的最大高度和最大运动距离，等等，都离不开极值点的概念。

可导与极限存在的关系
可导与极限存在的关系是微积分中的一个重要概念。

在这篇文章中，我们将深入探讨
可导与极限存在之间的关系。

首先，我们需要了解什么是可导和什么是极限存在。

可导是指在一个定义域内的某个点处，函数在这个点处存在切线。

具体地说，如果对
于函数f(x)，在x=a处存在一个常数k，使得当x接近a时，f(x)与直线y=f(a)+k(x-a)
的误差项o(x-a)同阶小，那么我们就说这个函数在x=a处可导。

极限存在则是指当一个自变量向某一特定数值趋近时，函数值与这个数值趋于相等，
即函数在这个数值处的极限值存在。

如果对于函数f(x)，当x趋近于a时，f(x)趋近于L，那么我们就说函数f(x)在x=a处的极限为L。

在大多数情况下，如果一个函数在某一点可导，那么它在这个点处的极限也一定存在。

这是因为可导的定义需要用到一阶导数，而一阶导数的概念就是函数在某一点的极限斜率，如果一个函数在某一点可导，那么它在这个点处的极限斜率一定存在。

但是，在某些情况下，函数在某一点处的极限存在，但它并不可导。

一个典型的例子
就是函数f(x)=|x|在x=0处的情况，虽然这个函数在x=0处的极限存在，但它在这个点处是不可导的。

综上所述，可导与极限存在之间具有很强的相关性，它们往往是密切联系的。

对于大
多数函数来说，它们之间是可以相互推导的，因此在进行微积分计算时，我们可以很方便
地利用这种关系来求解。