第七届 数学解题能力展示决赛试题

全国数学能力竞赛试题及答案试题一：代数基础题目：解下列方程组：\[ \begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases} \]答案：将第一个方程乘以2得到 \( 2x + 2y = 10 \)，然后将其与第二个方程相加，得到 \( 3x = 11 \)，解得 \( x = \frac{11}{3} \)。

将 \( x \) 的值代入第一个方程，解得 \( y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{4}{3} \)。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。

答案：根据勾股定理，AB的长度可以通过以下公式计算：\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]试题三：概率统计题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有1个红球的概率。

答案：首先计算没有红球的概率，即两个球都是蓝球的概率，为\( \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} \)。

因此，至少有1个红球的概率为 \( 1 - \frac{6}{56} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28} \)。

试题四：数列与级数题目：数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} = 2a_n \)，求 \( a_5 \) 的值。

答案：根据数列的递推关系，可以依次计算出：\[ a_2 = 2a_1 = 2 \]\[ a_3 = 2a_2 = 4 \]\[ a_4 = 2a_3 = 8 \]\[ a_5 = 2a_4 = 16 \]试题五：组合数学题目：从10个人中选出3个人组成一个委员会，求不同的委员会组合数。

郎溪县七年级数学〔华师大版〕竞赛试题温馨提示：亲爱的考生，沉着、冷静是你取胜的法宝，探究、创新是你成功的关键，相信自己，你会成功！用一个字节可以存放两个点的颜色。

那么当 m和 n 都是奇数时，至少需要 _____个字节存放这幅图象的所有点的颜色。

9.在正整数中，不能写成三个不相等的合数之和的最大奇数是_____________。

10.在密码学中，称直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。

一、细心填一填〔每题 6 分，共 60 分〕对于英文，人们将26 个字母按顺序分别对应整数0 到 25，现有 4 个字母构成的密码单词，记41.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，那么这个锐角的度数个字母对应的数字分别为，：整数，，，除___________。

以 26 的余数分别为9， 16， 23， 12，那么密码的单词是 _________。

2. If， then result of is ________ 。

二、精心选一选〔每题 5 分，共50 分〕以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。

3.：如图1，中， D、E、F、G均为 BC边上的点，且，，。

a 的相反数，那么〔〕11. 数a的任意正奇数次幂都等于假设1，那么图中所有三角形的面积之和为_____。

A. B. C. D.不存在这样的 a 值AA H D12. 如下图，在数轴上有六个点，且，那么与点 C 所表示的数最接近的整数是〔〕B D F G B E CE C图2图14.使关于 x 的方程同时有一个正根和一个负根的整数 a 的值是 ______。

5.小明的哥哥过生日时，妈妈送了他一件礼物：即三年后可以支取3000 元的教育储蓄。

小明知道这笔储蓄年利率是3％〔按复利计算〕，那么小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存储________元。

〔银行按整数元办理存储〕6. m 为正整数，二元一次方程组有整数解，即x， y 均为整数，那么__________。

数学竞赛 第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案1．公园只售两种门票：个人票每张5元，元，l0l0人一张的团体票每张30元，购买10张以上团体票者可优惠l0l0％。

％。

％。

(1) (1)甲单位甲单位45人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱? ?(2) (2)乙单位乙单位208人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱? ?2．用无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体(如图如图))，大正方体内的对角线，，，所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了40l 个。

问：无色透明小正方体用了多少个个。

问：无色透明小正方体用了多少个? ?3．a 是自然数，且17a=，求a 的最小值。

的最小值。

4．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加l 。

如此进行直到为l 时操作停止。

问：经过9次操作变为1的数有多少个的数有多少个? ?5．已知m ，n ，k 为自然数，m≥n≥k，是100的倍数，求m ＋n －k 的最小值。

的最小值。

6．1998个小朋友围成一圈，从某人开始，逆时针方向报数，从l 报到6464，再依次从，再依次从l 报到6464，一，一直报下去，直到每人报过l0次为止。

问：次为止。

问：(1) (1)有没有报过有没有报过5，又报过l0的人的人??有多少有多少??说明理由；说明理由；(2) (2)有没有报过有没有报过5，又报过ll 的人的人??有多少有多少??说明理由；说明理由；参考答案1.1.【解】【解】【解】(1)45(1)45个人，应当买4张团体票张团体票((每张10人)，5张个人票，共用：30×4＋5×5＝张个人票，共用：30×4＋5×5＝145145元(比5张团体票省张团体票省))。

(2)208个人，可以买21张团体票张团体票((每张10人)，共用：30×21×(1－，共用：30×21×(1－101010％％)＝3×21×9＝＝3×21×9＝567567元，元， 如果买20张团体票，张团体票，88张个人票，共用：30×20×(1－张个人票，共用：30×20×(1－10%)10%)10%)＋5×8＝＋5×8＝＋5×8＝580580元由于购买10张以上团体票的可以优惠1010％，所以％，所以208人买21张团体票反而省钱。

请根据以上信息，求出火车的长度和火车的速度.
25. （满分8分）已知在数轴 上，一动点Q从原点O出发，沿直线 以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……
(1)求出5秒钟后动点Q所处的位置；
七年级数学竞赛试题参考答案
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
D
C
C
C
D
D
C
C
填空题
11.-1 12.1 13. 3 14. 6 15. 16. 50
17. B，603， 18. 127，
三、简答题
19.（1） （2）
20. .原式=
21.
22. 设左、中、右都是n张牌，如图
左 中 右
第一步：n n n
17.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A，B，C，D.
请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B
→C → … 的方式）从A开始数连续的正整数 1，2，3，
4，…，当数到 时，对应的字母是；当字母C
第 次出现时，恰好数到的数是；当字母C
第 次出现时（ 为正整数），恰好数到的数是
（用含 的代数式表示）.
的值。
21.(（满分6分）已知有 理数 在数轴上的位置如图，化简
22.（满分6分）扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步，分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；