2018-2019学年最新北师大版必修2高中数学《垂直关系的性质》同步练习(1)-精编试题

6.2 垂直关系的性质A组1.若直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系是()A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交C.a⊥bD.a与b不一定垂直解析:a与b垂直,但可能相交,也可能异面.答案:C2.已知直线l垂直于△ABC的两边AB,AC,直线m垂直于△ABC的两边BC,BA,则直线l,m的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.不确定解析:由已知得l与m均垂直于平面ABC,它们必平行.答案:B3.导学号62180051设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⫋α,直线b⫋β,且a不与l垂直,b 不与l垂直,那么a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析:当a,b都平行于l时,a与b平行.假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作b'⊥l.∵平面α⊥平面β,∴b'⊥平面α,∴b'⊥a,又由假设a⊥b易知a⊥平面β,从而a⊥l,这与已知a不与l垂直矛盾,故假设不正确,即a与b不可能垂直.答案:B4.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则AC与BC的夹角为()A.30°B.60°C.90°D.不确定解析:如图所示,令CD=AD=BD=1,则AC=BC=.∵平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,且平面ACD∩平面BCD=CD,∴AD⊥BD,∴AB=,∴∠ACB=60°.答案:B5.下列命题中错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析:若平面α⊥平面β,则在平面α内与面的交线不相交的直线平行于平面β,故A正确;若α内存在直线垂直于平面β,则α⊥β,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.故选D.答案:D6.如图所示,已知▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=.解析:∵AF⊥平面ABCD,AF∥DE,∴DE⊥平面ABCD,CD⫋平面ABCD.∴DE⊥CD.∵DE=AF=2,CD=3,∴CE=.答案:7.已知直线m,n与平面α与β,若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则直线m,n的位置关系是.解析:由α⊥β,n⊥β,得n⫋α或n∥α,又m∥α,所以直线m,n的位置关系为相交、平行或异面.答案:相交、平行或异面8.如图所示,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB=AC=2,则AD=.解析:如图所示,取BC的中点E,连接ED,AE.∵AB=AC,∴AE⊥BC.∵平面ABC⊥平面BDC,∴AE⊥平面BDC,∴AE⊥ED.在Rt△ABC和Rt△BCD中,AE=ED=BC=,∴在Rt△AED中,AD==2.答案:29.导学号62180052如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.证明:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又EF⊈平面PCD,PD⫋平面PCD,所以EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⫋平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又BF⫋平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.B组1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆但要去掉两个点解析:平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⫋平面PAC.且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.又BC⫋平面PBC,所以AC⊥BC,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A,B两点.答案:D2.导学号62180053在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD解析:因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.又AD⫋平面ADC,所以平面ADC⊥平面BCD.答案:C3.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()A.变大B.变小C.不变D.有时变大,有时变小解析:∵l⊥平面ABC,∴BC⊥l,∵BC⊥CA,AC∩l=A,∴BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,即∠PCB=90°.答案:C4.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α与β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.解析:利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.答案:若①③④,则②(或若②③④,则①)5.已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为 cm.解析:如图所示,连接AD,CD.在Rt△ABD中,AB=4,BD=12,∴AD==4(cm).又α⊥β,CA⊥AB,CA⫋α,∴CA⊥β,CA⊥AD.∴△CAD为直角三角形.∴CD==13(cm).答案:136.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.证明:(1)∵平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.∴四边形ABED为平行四边形,∴BE∥AD,又∵BE⊈平面PAD,AD⫋平面PAD,(3)∵AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,又∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF,又∵BE∩EF=E,∴CD⊥平面BEF.又∵CD⫋平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.7.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?(1)证明:∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.∵CD⊥BC,且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∵=λ(0<λ<1),∴不论λ为何值,恒有EF∥CD.又EF⫋平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解:由(1)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,∴BD=,AB=tan 60°=,∴AC=.由AB2=AE·AC,得AE=,∴λ=,故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.8.导学号62180054如图所示,在四棱锥P-ABCD中,G为AD的中点,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB;(3)若E为BC的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,(2)证明:如图所示,连接PG,则PG⊥AD,由(1)得BG⊥AD,又PG∩BG=G,BG⫋平面PBG,PG⫋平面PBG,∴AD⊥平面PBG.∵PB⫋平面PBG,∴AD⊥PB.(3)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:取PC的中点F,连接DE,EF,DF,则在△PBC中,EF为中位线,则EF∥PB.∵EF⫋平面DEF,PB⊈平面DEF,∴PB∥平面DEF.在菱形ABCD中易得GB∥DE.∵DE⫋平面DEF,BG⊈平面DEF,∴BG∥平面DEF.∵PB∩GB=B,∴平面DEF∥平面PGB.又侧面PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.又侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD, ∴PG⊥平面ABCD,而PG⫋平面PGB,∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF⊥平面ABCD.。

8-4空间中的垂直关系基础巩固一、选择题1．对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是( )A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα[答案] D[解析] 本题考查空间线面位置关系的判定．A：与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合可能平行；D是成立的，故选D.2．平面α垂直于平面β(α、β为不重合的平面)成立的一个充分条件是( )A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一条直线l，l⊥α，l∥β[分析] 本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．[答案] D[解析] 对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．3．(文)(教材改编题)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析] 由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件．(理)设平面α⊥β，α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a 不与l垂直，b不与l垂直，则a与b( )A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行[答案] B[解析] 当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如图，过a 上一点作c⊥l，则c⊥β.∴b⊥c.又b⊥a，∴b⊥α，∴b⊥l，与已知矛盾．4．(2012·浙江文，5)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l ⊥β[答案] B[解析] 本题考查了空间中线面的垂直与平行，A中，α和β也可以相交，C中l应平行于β或在β内，D中l也可与β平行．5．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[答案] D[解析] 本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、的是( )CA的中点，下面四个结论中不成立．．．A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案] C[解析] ∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.∴BC∥面PDF，故A正确．又∵P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确．又∵PO面PAE，PO⊥面ABC，∴面PAE⊥面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.二、填空题7．(2012·太原调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．[答案] ①④[解析] ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．[答案] 27[解析] 如图，∵PC⊥平面ABC，MC面ABC，∴PC⊥MC.故PM＝PC2＋MC2＝MC2＋16.又∵MC的最小值为4×438＝23，∴PM的最小值为27.三、解答题9．(2012·北京文，16)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解析] (1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.能力提升一、选择题1．(2012·安徽理，6)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查了立体几何中垂直关系及充要条件的问题．①α⊥β，b⊥m⇒b⊥α⇒b⊥a.②如果a∥m，则a⊥b与b ⊥m条件相同．故选A.2．(文)a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：①a∥α且a∥b⇒b∥α；②a⊥α且a⊥b⇒b∥α；③a ⊥α且a ⊥b ⇒b ⊥α； ④a ⊥β且α⊥β⇒a ∥α. 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ⎭⎬⎫a ∥αa ∥b ⇒b ∥α或b α，故①错；⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α或b α，故②错；⎭⎬⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a α，故③错；⎭⎬⎫a ⊥βα⊥β⇒a ∥α或a α，故④错．(理)棱长都为2的直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为( )A.12B.22C.34D.38[答案] C[解析] 过点A 1作直线A 1M ⊥D 1C 1，交C 1D 1延长线于点M ，可得A 1M ⊥平面DD 1C 1C ，∠A 1CM 就是直线A 1C 与面DD 1C 1C 所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A 1D 1C 1＝120°，得A 1M ＝A 1D 1sin60°＝3，又A 1C ＝A 1C 21＋CC 21＝232＋22＝4， ∴sin ∠A 1CM ＝A 1M A 1C ＝34，故应选C. 二、填空题3．已知P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是点P 在平面α内的射影(1)若P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 的________．(2)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O 在△ABC的内部，则O是△ABC的________．(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．[答案] (1)外心(2)内心(3)垂心4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[答案] DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析] 由定理知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上．(1)求证：平面EFG∥平面SDB；(2)求证：PE⊥AC.[解析] (1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD.∵EF平面SBD，EG平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE平面EFG，∴PE⊥AC.6．(文)(2012·湖北文，19)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？[解析] (1)∵四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又∵AB∩AD＝A，∴AA2⊥平面ABCD.连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2⊥BD.∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面．又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1∴B1D1∥BD，∵AA2⊥BD，AC⊥BD，∴AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又∵AA2∩AC＝A，∴B1D1⊥平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300(cm2)．又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的梯形，所以S2＝(A1B1)2＋4×12(AB＋A1B1)h斜高＝202＋4×12(10＋20)132－[1220－10]2＝1120(cm2)．于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC ＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．[解析] (1)①∵C1B1∥A1D1，C1B1⃘平面ADD1A1，∴C1B1∥平面A1D1DA.又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF.②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.∴B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝22，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连接C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝4 6 .在Rt△BHC1中，BC1＝25，BH＝46，得sin∠BC1H＝BHBC1＝3015.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是30 15.7．(文)如图，在四棱锥S－ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC ＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．(1)求证：AC⊥平面SBD；(2)若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试写出动点P的轨迹，并证明你的结论．[分析] 本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法，旨在对推理论证能力、空间想象力和探究能力的考查．第(1)问要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要证明直线和平面内两条相交直线垂直即可；第(2)问要探究保持线线垂直的动点的轨迹，只要找出与AC垂直且过E点的平面即可得到动点P的轨迹．[解析] (1)∵底面ABCD是菱形，O为中心．∴AC⊥BD，又SA＝SC，∴AC⊥SO，而SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.(2)取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：连接EM、EN，∵E是BC的中点，M是SC的中点，∴EM∥SB，同理EN∥BD，∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，∴AC⊥EM.同理AC⊥EN，又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN，因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥PE，P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥PE.[点评] 由于《考试说明》中对立体几何部分整体要求的下降，故高考对立体几何考查的难度不会太高．但在空间位置关系的证明上，还是会一如既往地重点考查，并且在方式上会寻求突破和创新，变传统证明为判断型、探究型问题，增加了难度，体现了能力立意，复习中需引起足够重视．(理)如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使平面ABE⊥平面ADCE，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．[解析] (1)设AE中点为M，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM、DM平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM，∴AE⊥BD.(2)连接CM交EF于点N，∵ME綊FC，∴四边形MECF是平行四边形．∴N是线段CM的中点．∵P是BC的中点，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.又∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.∵AB∩BM＝B，AB、BM平面ABE，∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．∴DE与平面ABC不垂直．。

《垂直关系的判定》同步练习1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A .垂直B .斜交C .平行D .不能确定 2.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( )A .平面DD 1C 1CB .平面A 1DCB 1C .平面A 1B 1C 1D 1D .平面A 1DB3.如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，mα和m ⊥γ，那么必有( )A .α⊥γ且l ⊥mB .α⊥γ且m ∥βC .m ∥β且l ⊥mD .α∥β且α⊥γ 4.如图1­6­11，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A ，B )，且PA ＝AC ，则二面角P ­BC ­A 的大小为( )图1­6­11A .60°B .30°C .45°D .90°5.在三棱锥P ­ABC 中，已知PC ⊥BC ，PC ⊥AC ，点E ，F ，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图1­6­12A .平面EFG ∥平面PBCB .平面EFG ⊥平面ABCC .∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角D .∠FEG 是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角6.如图1­6­13，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1与平面BB 1D 1D 的位置关系是________。

图1­6­137.如图1­6­14所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________。

高中数学1.6.1垂直关系的判定课时提能演练北师大版必修2"（30分钟50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.已知直线a∥β，则过a与β垂直的平面有()(A)有且只有一个(B)2个(C)无数个(D)不存在2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A，B）且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为()(A)60°(B)30°(C)45°(D)90°3.（2012·浙江高考）设l是直线α，β是两个不同的平面()（A）若l∥α,l∥β，则α∥β（B）若l∥α，l⊥β，则α⊥β（C）若α⊥β,l⊥α,则l⊥β（D）若α⊥β,l∥α,则l⊥β4.（2012·沈阳高一检测）如图，四边形ABCD中，AD=AB,AD∥BC，∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中，下列结论正确的是()(A)平面ABD⊥平面ABC(B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC(D)平面ADC⊥平面ABC二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2012·临沂高一检测）□ABCD的对角线交于点O，点P在□ABCD所在平面外，且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是_________.6.（2011·大纲版全国高考）已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.（2012·江苏高考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D,E分别是棱BC,CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE,F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．CD=1, 8.(易错题）在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=12现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直，如图2.（1）求证：平面BDE⊥平面BEC;(2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.【挑战能力】（10分）已知△BCD中，∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E，F分别是AC，AD上的动点，且AE AF==λ(0<λ<1).AC AD（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC;（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?答案解析1.【解析】选A.过a上任意一点，有且只有一条直线l与β垂直，l 与a惟一确定一个平面，该平面与β垂直.2.【解析】选C.∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,易得BC⊥AC,又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，PA=AC,∴∠PCA=45°.3.【解题指南】根据线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断. 【解析】选B.若l ∥α,l ∥β，则α,β可能相交，故A 错；若l ∥α，则平面α内必存在一直线m 与l 平行，又l ⊥β，则m ⊥β，又m ⊂α，故α⊥β,故B 对；若α⊥β,l ⊥α,则l ∥β或l ⊂β,故C 错;若α⊥β,l ∥α,则l 与β关系不确定，故D 错．4.【解析】选D.由平面图形易知∠BDC=90°, ∵平面ABD ⊥平面BCD,CD ⊥BD,CD 平面BCD ∴CD ⊥平面ABD,∴CD ⊥AB.又AB ⊥AD,AD ∩CD=D ，∴AB ⊥平面ADC. 又AB 平面ABC,∴平面ADC ⊥平面ABC. 5.【解析】∵AO=CO,PA=PC, ∴PO ⊥AC.∵BO=DO,PD=PB,∴PO ⊥BD. 又AC ∩BD=O,∴PO ⊥平面ABCD.答案：PO ⊥平面ABCD6.【解析】如图所示，延长FE 、CB 相交于点G. 连接AG,设正方体的棱长为3, 则GB=BC=3,作BH ⊥AG,连接EH. 则∠EHB 为所求二面角的平面角.∵BH=,2EB=1,∴EB tan EHB .BH 3∠==答案：37.【解题指南】（1）关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.（2）关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F平行.【证明】（1）D,E分别是棱BC,CC1上的点（点D不同于点C），且AD ⊥DE,又因三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以有BB1⊥平面ADC，即有AD⊥BB1.又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1,所以有AB=AC.又由（1）知AD⊥平面BCC1B1,所以AD⊥BC,所以D为边BC上的中点，连接DF，得AA1FD为平行四边形，故A1F∥AD,又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE．【例】如图,两个全等的正方形木板ABCD与DCC′D′互相垂直.求BD′与DC′所成的角.【解析】将几何图形补成正方体如图所示，连接CD′,由BC⊥平面DCC′D′，∴BC⊥DC′，又DC′⊥D′C，BC∩D′C=C，∴DC′⊥平面BCD′，∴DC′⊥BD′,∴BD′与DC′所成的角为90°.8.【解析】（1）因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,又在正方形ADEF中，ED⊥AD,所以，ED⊥平面ABCD.而BC平面ABCD,所以，ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，CD=2,所以，BD2+BC2=CD2,所以，BC⊥BD.又ED,BD包含于平面BDE,ED∩BD=D,所以，BC⊥平面BDE.而BC平面BEC,所以，平面BDE⊥平面BEC.(2)因为EF∥AD,EF平面ABCD,AD平面ABCD,所以,EF∥平面ABCD.因为平面EFB与平面ABCD有公共点B，所以可设平面EFB∩平面ABCD=BG,G∈CD.因为EF∥平面ABCD,EF平面EFB,平面EFB∩平面ABCD=BG,所以EF ∥BG.从而，BG∥AD,又AB∥DG,且AB=1,CD=2,所以G为CD中点，ABGD也为正方形.易知BG⊥平面ECD,所以BG⊥EG,BG⊥DG.所以，∠EGD是平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的平面角，而∠EGD=45°,所以平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为45°.【挑战能力】【解析】（1）∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.又∵AE AF==λ(0<λ<1),AC AD∴不论λ为何值，恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,又∵EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由（1）知，BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,°∴∴AC==由AB2=AE·AC,得6AE6AE,,=λ==故当λ＝6时，平面BEF⊥平面ACD.7。

2018-2019数学北师大版必修2作业：第一章 6.1 垂直关系的判定垂直时，过该直线有无数个平面与已知平面垂直，故C错；过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故D错．3.如图，已知正方形ABCD所在平面外有一点M，如果MC⊥平面ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直异面D．相交但不垂直解析：选C.因为MC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以MC⊥BD.又BD⊥AC，AC∩MC＝C且AC，MC在平面ACM内，所以BD⊥平面ACM.又AM平面ACM，所以BD⊥MA，但BD与MA不相交．4．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1­BD­C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选A.如图，连接AC 交BD于O ，连接C 1O .因为AB ＝AD ，所以底面为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BC ＝CD ，所以C 1D ＝C 1B ，O 为BD 的中点，所以C 1O ⊥BD .所以∠C 1OC 就是二面角C 1­BD ­C 的平面角．则在△C 1OC 中，CC 1＝2， CO ＝12（23）2＋（23）2＝6， tan ∠C 1OC ＝CC 1CO ＝26＝33， 所以∠C 1OC ＝30°.5.如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，过A 作△ABC 所在平面α的垂线AP ，连接PB ，PC ，过A 作AD ⊥BC 于点D ，连接PD ，那么图中直角三角形的个数是( )A ．4B ．6C ．7D ．8解析：选D.容易证得PA ⊥BC ，又AD ⊥BC ，PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAD，从而图中：△ABC，△PAB，△PAC，△PAD，△ABD，△ACD，△PBD，△PCD均为直角三角形．共有8个．6．已知PA垂直于▱ABCD所在平面，若PC⊥BD，则▱ABCD的形状是________．解析：因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为PC⊥BD，PA∩PC ＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以▱ABCD一定是菱形．答案：菱形7．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有________对．解析：因为AB⊥平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，又因为BC⊥CD，AB⊥CD，AB∩BC＝B，所以DC⊥平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.故共有3对．答案：38．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么给出下面四个结论：①AH⊥平面EFH；②AG⊥平面EFH；③HF⊥平面AEF；④HG⊥平面AEF.其中正确命题的序号是________．解析：在这个空间图形中，AH⊥HF，AH ⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.答案：①9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1.求证：(1)EF∥平面ABC.(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC.因为EF平面ABC，BC平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.10．在△ABC中，∠BAC＝60°，P是△ABC 所在平面外一点，PA＝PB＝PC，∠APB＝∠APC＝90°.(1)求证：PB⊥平面PAC.(2)若H是△ABC的重心，求证：PH⊥平面ABC.证明：(1)如图，由题设易得AB＝AC，因为∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝BC.因为PA＝PB＝PC，所以△PAB≌△PBC，所以∠BPC＝∠APB＝90°，即PB⊥PC.又PB⊥PA，PA∩PC＝P，所以PB⊥平面PAC.(2)取BC的中点D，因为PB＝PC，所以PD⊥BC.同理可得AD⊥BC，PD∩AD＝D，所以BC⊥平面PAD.因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以△ABC的重心H在AD上，所以BC⊥PH，同理可得AB⊥PH.又AB∩BC＝B，所以PH⊥平面ABC.[B.能力提升]1.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有()A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B.由PA⊥平面ABCD可得平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD.又ABCD为正方形，CD⊥AD，因为PA⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD.同理可得，平面PBC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD.共7对．2.如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：选D.由已知PC⊥BC，PC⊥AC，又AC∩BC＝C，所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC.又FG平面EFG，所以平面EFG⊥平面ABC，故B正确．因为FG∥PC，GE∥BC，所以平面EFG∥平面PBC.故A正确．由异面直线所成角的定义知C正确．故选D.3．已知点O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的投影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．解析：连接OA，OB，OC，由PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心．若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，所以BC⊥PO.所以BC⊥平面PAO.所以BC⊥AO.同理AC⊥OB.所以O是△ABC的垂心．若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．答案：外垂内4.如图正方体ABCD-A1B1C1D1，点P在面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥面ACD1；③DP⊥BC1；④面PDB1⊥面ACD1.其中正确的命题的序号是________(写出所有你认为正确结论的序号)．解析：对于①，容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A-D1PC的体积不变，正确；对于②，连接A1B，A1C1，容易证明A1C1∥AC且相等，由①知，AD1∥BC1，所以BA1C1∥平面ACD1，从而由线面平行的定义可得，正确；对于③，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则DC与DP重合，与条件矛盾，错误；对于④，连接DB1，容易证明DB1⊥平面ACD1，从而由面面垂直的判定定理知，正确．答案：①②④5．已知Rt△ABC，斜边BCα，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大小．解：如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.因为AO⊥α，BCα，所以AO⊥BC.又因为AO ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD . 而AD 平面AOD ，所以AD ⊥BC .所以∠ADO 是二面角A -BC -O 的平面角． 由AO ⊥α，OB α，OC α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，所以设AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a . 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，所以BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，所以AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a . 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32. 所以∠ADO ＝60°，即二面角A -BC -O 的大小是60°.6．(选做题)如图，在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB <CD ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，PD ＝2a .(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)设M为PB的中点，当CD＝2AB时，求证：DM⊥MC.证明：(1)因为∠BAD＝90°，所以AB⊥AD.又PD⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PD⊥AB.因为PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)连接BD，因为∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，所以BD＝2a，所以PD＝BD，∠BDA＝45°.又M为PB的中点，所以DM⊥PB.①取CD的中点为N，连接BN，则DN∥AB，且DN＝AB，所以BN∥AD，故BN⊥CD，因为CD＝2AB，AB＝AD，所以CN＝BN，即∠CBN＝45°，所以∠CBD＝90°⇒CB⊥BD.PD⊥平面ABCD⇒PD⊥BC，因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD.因为DM平面PBD，所以BC⊥DM.②由①②，因为PB∩BC＝B，所以DM⊥平面PBC.而CM平面PBC，所以DM⊥MC.。

垂直关系的判定1．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()．A．n⊥β B．n∥β或C．n⊥α D．n∥α或解析如图所示．图①中n与β相交，②中，③中n∥β，n∥α，∴排除A、B、C，故选D.答案 D2．已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，，⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()．A．①③B．②④C．①④D．②③解析由α∥β，，⇒m∥n或m、n异面，∴②错，由m∥n，m∥α⇒n∥α或，∴③错，故选C.答案 C3．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是()．A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析当三点A、B、C不在平面α的同侧时，平面ABC与α相交，相交时也可能垂直于α，排除A、B、C.答案 D4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下结论：①AB⊥平面BCC1B1；②AC⊥平面CDD1C1；③AC⊥平面BDD1B1.其中正确的序号是________．解析结合图形，利用线面垂直的判定定理进行判断．答案①③5．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于平面α内两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内所有直线；③若，，且l⊥m，则α⊥β；④若，且l⊥α，则α⊥β；⑤若，，且α∥β，则m∥l.其中正确命题的序号是________．解析利用线面、面面关系的判定及性质求解．①④是线面垂直、面面垂直的判定定理，故均正确．l∥α，则l与α内的直线可能平行，也可能异面，故②不正确；两个平面平行时，分别在两平面内也可以有相互垂直的直线，故③不正确；两个平面平行，两个平面内的直线有可能是异面直线，故⑤不正确．答案①④6．如图，在Rt△AOB中，斜边AB＝4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB .证明∵Rt△AOC是由Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，∴Rt△AOC≌Rt△AOB，∴CO⊥AO，OB⊥AO，∴∠COB为二面角B-AO-C的平面角．又∵二面角B -AO-C是直二面角，∴∠COB＝90°，∴CO⊥OB，∴CO⊥平面AOB，又平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.7．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下面命题正确的是()．A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β解析A中，α⊥γ，β⊥γ⇒α与β平行或相交．∴A不正确；C中，m∥α，n∥α⇒m与n平行、相交或异面．∴C不正确；D中，m∥α，m∥β⇒α与β平行或相交．∴D不正确．故选B.答案 B8．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()．A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.答案 C9．如图所示，在空间四边形ABCD中，如果AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD 的位置关系是________．解析如图所示，过A作AH⊥平面BCD，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH.故H为△BCD的垂心．连接CH，则BD⊥CH.∴BD⊥AC.答案AC⊥BD10．如果二面角α­l­β中α内一点A到平面β的距离是A点到棱l距离的一半，则α­l­β的平面角为________．解析二面角的大小可用平面角的大小来表示，它们的范围是[0°，180°]，过点A向平面β作垂线时垂足可能在半平面β内也可能在半平面β外，从而该有两种可能．过点A向平面β作垂线，垂足为点C，过点A向直线l作垂线，垂足为B，连接BC，则∠ABC或其补角为α­l­β的平面角，显然∠ABC＝30°，故α­l­β的平面角为30°或150°.答案30°或150°11．如图，已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB交SB于点E.过点E作EF⊥SC交SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1)∵SA⊥平面AC，平面AC，∴SA⊥BC.∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.由(1)有SC⊥平面AEF，平面AEF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.12．(创新拓展)如图所示，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD ＝AC，(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)求二面角C-BD-A的余弦值．(1)证明法一由题设，知AD＝CD＝BD，作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心，即AB的中点，∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD ， ∴平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面ABC.法二 取AB 中点O ，连接OD 、OC ， 则有OD ⊥AB ，OC ⊥AB ，即∠COD 是二面角C-AB-D 的平面角． 设AC ＝a ，则OC ＝OD ＝22a. 又CD ＝AD ＝AC ，∴CD ＝a.∴△COD 是直角三角形，即∠COD ＝90°.∴二面角是直二面角，即平面ABD ⊥平面ABC.(2)解 取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC. ∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形，∴OE ⊥BD. ∴∠OEC 为二面角C-BD-A 的平面角． 由(1)可证得OC ⊥平面ABD ，∴OC ⊥OE.∴△COE 为直角三角形．设BC ＝b ，则CE ＝32b ，OE ＝12b ， ∴cos ∠OEC ＝OE CE ＝33.。

北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时 异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。

《垂直关系的性质》同步练习1.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊆/α，l ⊆/β，则( )A .α∥β且l ∥αB .α⊥β且l ⊥βC .α与β相交，且交线垂直于lD .α与β相交，且交线平行于l2.若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ; ④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A .1 B .2 C .3 D .43.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A .若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB .若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC .若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD .若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α 4.如图1­6­29，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是()图1­6­29A .线段B 1CB .线段BC 1C .BB 1中点与CC 1中点连成的线段D .BC 中点与B 1C 1中点连成的线段5.如图1­6­30，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD ，则在三棱锥A ­BCD 中，下列命题正确的是()图1­6­30A .平面ABD ⊥平面ABCB .平面ADC ⊥平面BDCC .平面ABC ⊥平面BDCD .平面ADC ⊥平面ABC6.若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________。

1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( ) A ．垂直 B ．斜交 C ．平行 D ．不能确定解析：选A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项A 正确． 2．以下命题正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①B ．①③C ．②③D ．①②解析：选A.①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中b ，α的关系可以线面平行或直线在平面内；③中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内．3. 如图，已知正方形ABCD 所在平面外有一点M ，如果MC ⊥平面ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直相交C ．垂直异面D ．相交但不垂直解析：选C.因为MC ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以MC ⊥BD ． 又BD ⊥AC ，AC ∩MC ＝C 且AC ，MC 在平面ACM 内， 所以BD ⊥平面ACM . 又AM平面ACM ，所以BD ⊥MA ，但BD 与MA 不相交．4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1­BD ­C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A.如图，连接AC 交BD 于O ，连接C 1O .因为AB ＝AD ，所以底面为正方形，所以AC ⊥BD ． 又因为BC ＝CD ，所以C 1D ＝C 1B ，O 为BD 的中点，所以C 1O ⊥BD ． 所以∠C 1OC 就是二面角C 1­BD ­C 的平面角．则在△C 1OC 中，CC 1＝2，CO ＝12（23）2＋（23）2＝6，tan ∠C 1OC ＝CC 1CO ＝26＝33，所以∠C 1OC ＝30°.5. 如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，过A 作△ABC 所在平面α的垂线AP ，连接PB ，PC ，过A 作AD ⊥BC 于点D ，连接PD ，那么图中直角三角形的个数是( )A ．4B ．6C ．7D ．8解析：选D ．容易证得PA ⊥BC ，又AD ⊥BC ，PA ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面PAD ，从而图中：△ABC ，△PAB ，△PAC ，△PAD ，△ABD ，△ACD ，△PBD ，△PCD 均为直角三角形．共有8个．6．已知PA 垂直于▱ABCD 所在平面，若PC ⊥BD ，则▱ABCD 的形状是________． 解析：因为PA ⊥平面ABCD ，BD平面ABCD ，所以PA ⊥BD ．又因为PC ⊥BD ，PA∩PC ＝P ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD ⊥AC ，所以▱ABCD 一定是菱形．答案：菱形7. 如图，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．解析：因为EA ⊥α，CD α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA .同样，因为EB ⊥β，CD β，则有EB ⊥CD ．又EA ∩EB ＝E ， 所以CD ⊥平面AEB ． 又因为AB平面AEB ，所以CD ⊥AB ．答案：CD ⊥AB8．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么给出下面四个结论：①AH ⊥平面EFH ；②AG ⊥平面EFH ；③HF ⊥平面AEF ；④HG ⊥平面AEF .其中正确命题的序号是________．解析：在这个空间图形中，AH⊥HF，AH⊥HE，HF∩HE＝H，所以AH⊥平面EFH.答案：①9. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C1.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC.因为E F平面ABC，BC平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.10．在△ABC中，∠BAC＝60°，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，∠APB ＝∠APC＝90°.(1)求证：PB⊥平面PAC；(2)若H是△ABC的重心，求证：PH⊥平面ABC.证明：(1)如图，由题设易得AB＝AC，因为∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝BC.因为PA＝PB＝PC，所以△PAB≌△PBC，所以∠BPC＝∠APB＝90°，即PB⊥PC.又PB⊥PA，PA∩PC＝P，所以PB⊥平面PAC.(2)取BC的中点D，连接AD，PD，因为PB＝PC，所以PD⊥BC.同理可得AD⊥BC，PD∩AD＝D，所以BC⊥平面PAD．因为AD是△ABC的边BC上的中线，所以△ABC的重心H在AD上，所以BC⊥PH，同理可得AB⊥PH.又AB∩BC＝B，所以PH⊥平面ABC.1. 如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有()A．8对B．7对C．6对D．5对解析：选B．由PA⊥平面ABCD可得平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD．又ABCD为正方形，CD⊥AD，因为PA⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD．同理可得，平面PBC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD．共7对．2. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD．若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD．所以a的最小值为2.答案：23. 已知三棱锥P-ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝20.D为AB的中点，且△PDB 为等边三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D-AP-C的正弦值．解：(1)证明：在Rt△ACB中，D是斜边AB的中点，所以BD＝DA.因为△PDB 是等边三角形，所以BD ＝DP ＝BP ，则BD ＝DA ＝DP ， 因此△APB 为直角三角形，即PA ⊥BP . 又PA ⊥PC ，PC ∩BP ＝P ， 所以PA ⊥平面PCB ． 因为BC平面PCB ，所以PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC . 因为BC平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .(2)由(1)知PA ⊥PB 及已知PA ⊥PC ， 故∠BPC 即为二面角D -AP -C 的平面角． 由(1)知BC ⊥平面PAC ，则BC ⊥PC .在Rt △BPC 中，BC ＝4，BP ＝BD ＝10，所以sin ∠BPC ＝BC BP ＝410＝25，即二面角D -AP -C 的正弦值为25.4. (选做题)如图，在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB <CD ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，PD ＝2a .(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)设M 为PB 的中点，当CD ＝2AB 时，求证：DM ⊥MC . 证明：(1)因为∠BAD ＝90°，所以AB ⊥AD ． 又PD ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，所以PD ⊥AB ．因为PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面PAD ． 又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．(2)连接BD ，因为∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝a ， 所以BD ＝2a ，所以PD ＝BD ，∠BDA ＝45°.又M为PB的中点，所以DM⊥PB．①取CD的中点为N，连接BN，则DN∥AB，且DN＝AB，所以BN∥AD，故BN⊥CD，因为CD＝2AB，AB＝AD，所以CN＝BN，即∠CBN＝45°，所以∠CBD＝90°⇒CB⊥BD．PD⊥平面ABCD⇒PD⊥BC，因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD．因为DM平面PBD，所以BC⊥DM.②由①②，因为PB∩BC＝B，所以DM⊥平面PBC.而CM平面PBC，所以DM⊥MC.。