6.2平面向量的运算第二课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义

（新）人教高中数学A版必修二第六章第2节《平面向量的运算》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第六章第1节《平面向量的概念》。

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。

向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量是描述直线、曲线，平面、曲面以及高维空间数学同题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。

本章的学习可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义;掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理;用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题:提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.第2节主要讲平面向量的运算。

本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。

一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．平面向量及其应用。

内容包括：向量运算①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。

②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。

理解两个平面向量共线的含义。

③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。

⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。

⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

二、教材分析。

对于“运算"学生并不陌生，他们已经学习了数的运算、代数式的运算、集合的运算等，针对每一种代数运算无外乎要研究运算的背景、意义、法则、性质、应用等，从而建立相应的运算体系，平面向量运算内容关注了以下两个方面: 一是引导学生从物理、几何、代数三个角度理解向量运算；二是引导学生类比数的运算研究向量的运算.本节在学生已经学习了平面向量概念的基础上，对平面向量这个新获得的数学研究对象，从运算的角度进一步展开研究。

6.2.3 向量的数乘运算教案第一课时向量数乘运算及其性质（一）课时教学内容向量数乘运算及其性质．（二）课时教学目标借助实例分析，掌握向量的数乘运算及其性质．（三）教学重点与难点重点：向量的数乘运算、运算规则．难点：对向量数乘运算的理解．（四）教学过程设计引言：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？1．创设问题，引入新知问题1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+ (-a)+ (-a)，它们的长度和方向是怎样的？师生活动：教师组织学生画图尝试计算，并从形与数两个角度表达自己的计算结果．教师还可以组织学生举一些类似的例子，并探究结论．如可以借助几何画板等信息技术手段作出4a等向量，与向量a进行比较，发现它们之间的关系．让学生初步体会对的不同值，向量与a之间的关系，体会这种向量运算所蕴含的数与形的含义．最后教师引导学生类比数的乘法，给出向量数乘运算的概念．设计意图：类比数的加法运算，用向量加法运算法则，计算3个向量a（或-a）的和，用简约的方式表示计算的结果，进而提出向量数乘运算的概念，发展学生的运算素养．2．巩固向量数乘运算的概念问题2如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？师生活动：教师组织学生自己画图，分析、表达结果：b=3.5a，b的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍．设计意图：通过用向量a表示结果，探讨结果的长度与方向，巩固向量数乘运算的概念．3．探究向量数乘运算的运算律问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么向量数乘运算有哪些运算律呢？请你写出来并加以验证．师生活动：学生类比数的运算律提出向量数乘运算的运算律，再借助向量数乘运算的定义，自主验证向量数乘运算的三个运算律．对于有困难的学生可以组间交流，教师指导．另外，在教师引导下，将向量的加法、减法和数乘向量统称为向量的线性运算，即定义线性运算．要给学生说明，有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这就为向量法解决几何问题奠定了基础．关于向量的线性运算的运算性质，也要让学生加以了解．设计意图：学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．4．巩固新知例1 计算：（1）(-3)×4a；（2）3(a+b)-2(a-b)-a；（3）(2a+3b-c)- (3a-2b+c)．师生活动：教师引导学生步步有据地展开运算，给出运算过程和结果．教师必要时可以提醒学生，虽然向量的数乘运算及运算律与数的运算及运算律非常类似，但也要注意区别，运算的结果是向量而不是数量．设计意图：帮助学生巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．例2 如图1，,师生活动：（1）让学生自主尝试本问题的解决，体会化归的思想方法；（2）教师适时渗透“给定平面内任意两个不共线的向量a，b，能否用它们表示该平面内的其他向量”的问题，培养问题意识，为平面向量基本定理的教学埋下伏笔．设计意图：巩固向量加法、减法及向量数乘运算的定义，会用两个向量表示其他向量，渗透用向量研究几何问题的意识，为后继学习平面向量基本定理奠定基础．5．课堂练习教科书第15页的练习．设计意图：考查学生向量数乘运算及其几何意义的理解情况．6．布置作业习题6.2的第8题．（五）目标检测1．设a，b为向量，计算下列各式：（1）．设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况．2．把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积：（1）设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况．第二课时共线向量与向量数乘运算的关系教案（一）课时教学内容共线向量与向量数乘运算的关系．（二）课时教学目标掌握共线向量与向量数乘运算的关系．（三）教学重点与难点重点：共线向量与向量数乘运算的关系．难点：对共线向量与向量数乘运算的关系的理解．（四）教学过程设计1．创设情境，探讨共线向量定理问题1向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现向量与a （a ≠0，是实数）之间的位置关系吗？对于向量a，b及实数，（1）如果b=a（a≠0），向量a与b是否共线？（2）如果向量b与非零向量a共线，b=a成立吗？师生活动：学生独立思考的基础上，小组交流．从正反两个方面讨论共线向量的数乘运算表达．引导学生概括共线向量定理，并关注学生对定理中有关充要条件以及对的唯一性的理解．这里可以借助信息技术手段加以演示，让学生直观感知共线向量定理．最后师生共同概括出共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa．追问1：如图1，若P为AB的中点，则的关系如何？学生独立思考的基础上得到：设计意图：让学生通过探讨共线向量与向量数乘运算的关系得出共线向量定理．2．例题引领，综合运用知识例1如图2，已知任意两个非零向量a，b，试作．猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．师生活动：学生自主尝试，作图、观察，得到猜想：A，B，C三点共线．教师可以运用多媒体手段辅助，让学生充分直观感知猜想的合理性．然后，教师引导学生转换命题，体会判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线．由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线．本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即考虑是否存在λ，使成立．最后，师生共同给出证明．追问2：已知不共线向量a，b，作向量终点轨迹有什么规律吗？（呢？）追问3：已知不共线向量a，b你能解释的几何意义吗？向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数．设计意图：通过操作、观察，让学生掌握利用向量共线判断三点共线的方法，提高学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观想象和逻辑推理数学素养．例2已知a，b是两个不共线的向量，向量共线，求实数t 的值．师生活动：教师引导学生阅读题意，明晰题目的条件和要求的结论．学生先自主探究，然后交流解题思路，在学生充分讨论的基础上，教师适时介入，并概要地说明解决问题的关键：判断两个向量共线，首先要考虑其中一个向量不为零向量，可以采取反证法说明向量a－b不为零向量（否则a，b共线），就可以运用共线向量定理建立两个向量之间的关系，进而把这个关系转化成方程或方程组，使问题获得解决．教学中应引导学生体会：（1）数学解题的过程本来就是依据数学的概念、法则、定理、公式等进行命题转化的过程；（2）方程（组）思想是求解未知量的极好武器．设计意图：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．3．课堂小结提升问题2通过本节课的学习，我们知道了向量的数乘运算及其几何意义，那么实数与向量还能有其他运算吗？比如相加、相减、相除．你认为共线向量定理与证明平面几何中三点共线、直线平行和线段数量关系之间有什么关系？师生活动：学生思考、回答，教师总结：实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减，实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量．向量共线定理是用向量方法证明平面几何中三点共线、直线平行和线段数量关系的理论依据．设计意图：通过问题2对本节课内容进行小结，进一步加深学生对向量数乘运算的理解．4．课堂练习教科书第16页的练习．设计意图：考查学生对共线向量定理的理解情况．5．布置作业习题6.2的第9，14题．（五）目标检测设计1．已知共线，求实数t的值．设计意图：考查学生将向量共线问题转化为方程组问题求解的能力．2．已知，求证：A，B，C三点共线．设计意图：考查学生运用数乘向量运算和共线向量定理进行推理的能力．3．如图，成立，则=（）．设计意图：考查学生结合图形性质运用向量线性运算求解的能力．（六）单元小结问题（1）概述本单元平面向量加法、减法、向量数乘运算（向量的线性运算）是如何定义的．（2）结合实例分别说明向量加法、减法和向量数乘运算的几何意义，共线向量与向量数乘运算的关系．（3）说明为什么要研究平面向量加法、向量数乘运算的运算律，这些运算律的几何意义是什么．（4）概述平面向量线性运算有哪些简单应用．师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，师生辨析完善．在这个过程中，教师不仅要关注学生对基本知识的表达，更要关注学生是否善于借助举例表达对相关知识的理解，是否能察觉知识发生发展的过程中重要的数学思想方法，是否善于概括总结自己的学习收获，发展学生的数学素养．设计意图：（1）让学生回顾借助物理背景，类比数的运算定义向量加法、减法和向量数乘运算的过程．（2）让学生体会向量集几何、代数于一身的两重性，给我们研究数学问题带来极大的方便，如向量数乘运算直接刻画了一类平行向量的关系．（3）让学生体会运算律为我们进行向量的综合运算，进而解决一些相关的问题带来很大方便．（4）明确向量线性运算的背景、法则、几何意义、运算律的基础上，让学生梳理向量线性运算在解决简单的几何问题、物理问题等方面的运用，初步体会向量运算的作用．。

题目 6.2.1向量的加法运算课标要求在探究向量的运算性质时，与实数的运算性质进行了类比数的运算，学生能够理解向量的线性运算，运算的原理、方法、规律，理解平面向量的线性运算的概念。

提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养。

核心素养目标1.掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。

2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力。

3. 通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

教学重点两个向量的的概念及其几何意义,向量加法的运算律。

教学难点数形结合求向量的和。

教学策略 1.探究与发现2.自主练习与指导教具准备多媒体课件，班班通，教材教学方法启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。

学习方法从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。

教学过程环节一：复习回顾，温故知新教师活动：提出问题，引导、检查学生学习情况1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？学生活动：回顾上节课学习过的内容，思考问题并举手回答活动意图说明：通过复习上节所学知识，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

环节二：知识探究（一）：向量的三角形法则教师活动：思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？1.已知向量a和b，如图在平面内任取一点O，作bABaOA==,，则向量OB叫做a和b的和，记作ba+．即OBABOAba=+=+。

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

向量加法的三角形法则：第一个向量的终点和第二个向量的起点连在一起，由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量叫做两个向量的和向量。

【口诀】首尾相连首尾连。

学生活动：回顾学习过的物理知识，独立思考，回答问题通过思考，浏览教材，总结向量加法的三角形法则的定义理解口诀的含义并熟背口诀活动意图说明：通过思考，由质点的位移引入向量加法的三角形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。