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章末复习课一、随机事件的概率1．通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．了解概率的意义及频率与概率的区别．2．掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养．例1 随机抽取一个年份，对某市今年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期123456789101112131415天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，该市不下雨的概率为P ＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨，的频率为78以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.反思感悟(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试验次数无关，可以用频率估计概率．跟踪训练1电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.＝0.025.故所求概率为502 000(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－372＝0.814.2 000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．二、互斥事件、对立事件与相互独立事件1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．2．若事件A，B满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A 与B，A与B，A与B也相互独立．3．掌握互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用，提升逻辑推理和数学运算素养．例2一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是()A．E1与E2B．E1与E3C．E2与E3D．以上都不对答案 B解析事件E1与E2互斥且对立；E1与E3是互斥而不对立事件，E2与E3既不互斥也不对立．反思感悟事件间的关系的判断方法(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．(3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)·P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立．跟踪训练2(1)若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案 A解析由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．(2)有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； ②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸出2个球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚正面”，事件N ：“2枚结果相同”． 其中，M ，N 是相互独立事件的有________(填序号)． 答案 ③解析 在①中，掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”，事件M 发生与否和事件N 有关，故M 和N 不是相互独立事件；在②中，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸出2个球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”，事件M 发生与否和事件N 有关，故M 和N 不是相互独立事件；在③中，分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚正面”，事件N ：“2枚结果相同”，事件M 发生与否与事件N 无关，事件N 发生与否与事件M 无关，故M 和N 是相互独立事件． 三、古典概型1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝mn 时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n 和事件A 的样本点个数m . 2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养．例3 袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率． (1)A ：取出的两球都是白球；(2)B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相同．(1)“从袋中的6个球中任取2球，所取的2球全是白球”为事件A ，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点．所以P (A )＝615＝25. (2)“从袋中的6个球中任取2球，其中一个是白球，另一个是红球”为事件B ，则B ＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共含有8个样本点，所以P (B )＝815. 反思感悟 在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目．跟踪训练3 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 3B 3，A 4B 1，A 4B 2，A 4B 3，A 5B 1，A 5B 2，A 5B 3}，共含15个样本点．根据题意这些样本点出现的可能性相等．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的样本点有A 1B 2，A 1B 3，共2个． 所以其概率为P ＝215.四、相互独立事件概率的计算1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养．例4 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第二轮考核的概率．解 记“该选手正确回答第i 轮问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25.(1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝45×35×⎝⎛⎭⎫1－25＝36125. (2)该选手至多进入第二轮考核的概率为P (A 1＋A 1A 2)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＝⎝⎛⎭⎫1－45＋45×⎝⎛⎭⎫1－35＝1325. 反思感悟 解此类题的步骤如下 (1)标记事件． (2)判断事件的独立性．(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立)． (4)套用公式．跟踪训练4 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率； (2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率．解 记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两相互独立． (1)由题意得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05， P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1， P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125，∴P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.(2)∵A ，B ，C 两两相互独立， ∴A ，B ，C 两两相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为 P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝0.8×0.75×0.5＝0.3， ∴这一小时内至少有一台需要照顾的概率为 P ＝1－P (A B C )＝1－0.3＝0.7.1．(多选)有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是( ) A ．至少有1件次品与至多有1件正品 B ．至少有1件次品与都是正品 C ．至少有1件次品与至少有1件正品 D ．恰有1件次品与恰有2件正品 答案 BD解析 对于A ，至少有1件次品与至多有1件正品，都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事件，故A 不正确；对于B ，至少有1件次品包含着“一件正品一件次品”“两件次品”，与“两件都是正品”是对立事件，故B 正确；对于C ，至少有1件次品与至少有1件正品都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事件，故C 不正确；对于D ，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥而不对立事件，故D 正确．2．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时，甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( ) A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张 D ．甲得10张，乙得2张答案 A解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为12，即甲、乙每局得分的概率相等，所以继续游戏甲获胜的概率是12＋12×12＝34，乙获胜的概率是12×12＝14，所以甲得到的游戏牌为12×34＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×14＝3(张)，故选A.3．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为89的是( )A ．颜色相同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球答案 B解析 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有6种，其概率为627＝29；无红球的结果有8种，其概率为827.4．一枚硬币连掷三次，事件A 为“三次反面向上”，事件B 为“恰有一次正面向上”，事件C 为“至少两次正面向上”，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝________. 答案 1解析 事件A ，B ，C 之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.。
再练一课(范围：10.1.3～10.1.4)1.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.35答案 B解析 这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，其中甲被选中包含3个样本点，故甲被选中的概率为12. 2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.16答案 A解析 甲、乙两人参加学习小组，若以(A ，B )表示甲参加学习小组A ，乙参加学习小组B ，则基本事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P ＝13. 3.在国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 B解析 用(A ，B ，C )表示A ，B ，C 通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )，共6种，其中B 先于A ，C 通过的有(B ，C ，A )和(B ，A ，C )，共2种，故所求概率P ＝26＝13. 4.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25 C.35 D.910答案 D解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910. 5.从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59答案 A解析 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，b ≥0，将取出的两个数记为(k ，b )，则一共有(－1，－2)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2,1)，(2,2)九种情况，符合题意的有(－1,1)，(－1,2)两种情况，所以所求概率为29. 6.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.则所取的2道题不是同一类题的概率为________.答案 815解析 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个，所以P (B )＝815. 7.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，则两种品牌都齐全的概率为________.答案 35解析 3 台甲型电脑为1,2,3,2台乙型电脑为A ，B ，则所有的样本点为(1,2)，(1,3)，(1，A )，(1，B )，(2,3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个.记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的样本点有6个，所以P (C )＝610＝35. 8.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数分别为x ，y ，则x y是整数的概率是________. 答案 718解析 先后两次抛掷一枚骰子，得到的点数分别为x ，y 的情况一共有36种，其中x y是整数的情况有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)，共14种.故x y 是整数的概率为718. 9.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种.因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910. 10.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率.解 (1)从袋中随机取两个球，该试验的样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点.记“取出的球的编号之和不大于4”为事件A ，A ＝{(1,2)，(1,3)}，含2个样本点.故P (A )＝26＝13. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共含16个样本点，记“满足n <m ＋2”为事件B ，B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共含有13个样本点，故“满足条件n <m ＋2”的事件的概率P (B )＝1316.11.从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15B.25C.310D.710答案 B解析 从5张卡片中任取2张，样本空间Ω＝{AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE }，共含有10个样本点，而恰好按字母顺序相邻为事件A ，A ＝{AB ，BC ，CD ，DE }，含有4个样本点，故此事件的概率P (A )＝410＝25. 12.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配成1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是( )A.12B.25C.35D.45答案 B解析 由题意知共有(1.72,1.83)，(1.72,2.28)，(1.72,1.55)，(1.72,0.62)，(1.83,1.72)，(1.83,2.28)，(1.83,1.55)，(1.83,0.62)，(2.28,1.72)，(2.28,1.83)，(2.28,1.55)，(2.28,0.62)，(1.55,1.72)，(1.55,1.83)，(1.55,2.28)，(1.55,0.62)，(0.62,1.72)，(0.62,1.83)，(0.62,2.28)，(0.62,1.55)，20个基本事件， 而满足条件的有(1.72,1.83)，(1.72,2.28)，(1.83，1.72)，(1.83,2.28)，(2.28,1.72)，(2.28,1.83)，(2.28,1.55)，(1.55,2.28)，共8个，故所求概率为820＝25. 13.已知a ∈{0,1,2}，b ∈{－1,1,3,5}，则函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.512B.13C.14D.16答案 A解析 ∵a ∈{0,1,2}，b ∈{－1,1,3,5}，∴基本事件总数n ＝3×4＝12.函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数，①当a ＝0时，f (x )＝－2bx ，符合条件的只有(0，－1)，即a ＝0，b ＝－1；②当a ≠0时，需要满足b a≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种. ∴函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P ＝512. 14.设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为________.答案 3或4解析 点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5，n ∈N )，则当n ＝2时，P 点是(1,1)，当n ＝3时，P 点可能是(1,2)，(2,1).当n ＝4时，P 点可能为(1,3)，(2,2)，当n ＝5时，P 点是(2,3)，即事件C 3，C 4的概率最大，故n ＝3或4.15.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16答案 D解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b 1，b 2，b 3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 1，b 1)，(a 2，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，田忌获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 3)，(a 2，b 2)，齐王获胜，共6种等可能结果.其中田忌获胜的只有一种(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，则田忌获胜的概率为16，故选D.16.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时.(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.解将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，本题中的样本点的总数为24.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝1 24.(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝924＝3 8.(3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝824＝13.为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
[A基础达标]1．下列事件中是随机事件的是()A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内解析：选C.当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x∉(0，1)，所以C是随机事件；当∈(0，2)时，必有x∉(－1，0)，所以D是不可能事件．故选C.2．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是()A．3B．4C．5 D．6解析：选D.有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个基本事件．3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为() A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品解析：选C.25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．4．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是()A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确解析：选C.若取1，2，3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．5．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为()A．男女、男男、女女B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女解析：选C.用列举法可知，性别情况有男男、男女、女男、女女，共4种可能．6．下列给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤若a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．答案：③⑤④①②7．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．解析：将这个试验的所有结果一一列举出来为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种．答案：368．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．解析：从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数．答案：49．做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)用集合表示“第1次取出的数字是2”这一事件．解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}．(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2，0)，(2，1)}．10．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件；如果是，判断它们是否是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E也是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由上述分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C 与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．[B能力提升]11．打靶3次，事件A i表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示()A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确解析：选B.A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.12．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是()A．F与G互斥B ．E 与G 互斥但不对立C ．E ，F ，G 任意两个事件均互斥D ．E 与G 对立解析：选D.由题意得事件E 与事件F 不可能同时发生，是互斥事件；事件E 与事件G 不可能同时发生，是互斥事件；当事件F 发生时，事件G 一定发生，所以事件F 与事件G 不是互斥事件．故A ，C 错．事件E 与事件G 中必有一个发生，所以事件E 与事件G 对立，所以B 错误，D 正确．13．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A 中任取不相同的两个数作为点P 的坐标，则事件“点P 落在x 轴上”包含的样本点共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个解析：选C.“点P 落在x 轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A 中有9个非零数，故选C.14．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y ，用(x ，y )表示一个样本点．(1)请写出所有的样本点；(2)满足条件“x y为整数”这一事件包含哪几个样本点？ 解：(1)先后抛掷两次正四面体的样本点：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个样本点．(2)用A 表示满足条件“x y为整数”的事件，则A 包含的样本点有：(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共8个样本点．[C 拓展探索]15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S 1，S 2，…，S 10站．若甲在S 3站买票，乙在S 6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A 表示甲可能到达的站的集合，B 表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的样本空间Ω；(2)用集合表示事件A 、事件B ；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}；(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．。
一、选择题：（每题4分，共40分） 1.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A .43-B .34-C .43D .342．若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角3．已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （ ）．A ．21m m-B ．21m m--C ．21mm-±D ．m m 21-±4．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ）． A ．2B ．2-C ．2-或2D ．05．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）． A ．231+-B ．231+-C ．231-D ．231+ 6.若10<<a ，ππ<<x 2，则11cos cos )(2--+---x xa ax x a x x a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-7.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭8.要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象() A.向左平行移动3π个单位B.向左平行移动6π个单位C.向右平行移动3π个单位D.向右平行移动6π个单位9.集合A={α|α=6πk ,k ∈Z },B={β|β=3πn +6π,n ∈Z }的关系是()A.A ⊂BB.A ⊃BC.A ⊆BD.A=B10. 若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A ．35(,)(,)244ππππB .5(,)(,)424ππππC .353(,)(,)2442ππππD .33(,)(,)244ππππ二、填空题11．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是。
