27314_高中数学必修2同步第九讲精品拓展

高中数学教案9新人教A版必修2教案教案：高中数学新人教A版必修2第9讲三角函数基本关系的推导与应用一、教学目标1.知识目标（1）了解正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。

（2）掌握正弦、余弦、正切的取值范围和周期。

2.技能目标（1）能够推导正弦、余弦的和差公式及其应用。

（2）能够应用三角函数基本关系解决实际问题。

3.情感目标培养学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生合作学习的能力。

二、教学重点1.掌握正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。

2.能够推导正弦、余弦的和差公式及其应用。

三、教学难点1.掌握正弦、余弦、正切的取值范围和周期。

2.能够应用三角函数基本关系解决实际问题。

四、教学过程1.导入新课通过展示一幅太阳之类的图片，引导学生思考太阳的位置与时间的关系。

提问：阳光直射地球的位置相对于地球的位置是如何变化的？阳光直射地球的位置与时间会有什么样的关系？2.引入新知通过引导学生进一步思考，得出阳光直射地球的位置与时间的关系，即太阳的仰角与时间之间的关系。

然后引入正弦、余弦的定义。

给出一个直角三角形ABC，角A为锐角，定义正弦、余弦分别为AB与BC的比值和AB与AC的比值。

引导学生通过观察，与其他角度的直角三角形进行比较，得出正弦、余弦的取值范围和周期。

3.拓展延伸（1）推导正弦的和差公式及其应用。

将两个正弦函数相加，用三角恒等式将其转化为一个正弦函数的形式。

进一步讨论推导余弦的和差公式。

最后给出一个实际问题，引导学生应用正弦的和差公式解决问题。

（2）探究被减量为π/4的余弦的和差公式。

让学生结合实际例子，观察余弦函数的相似性，基于类似的推理过程推导余弦的和差公式。

（3）应用三角函数基本关系解决实际问题。

给出一个实际问题，让学生通过建立三角函数之间的基本关系，使用正弦、余弦、正切函数解决问题。

4.归纳总结（1）总结正弦、余弦、正切的定义及其间的基本关系。

并让学生通过归纳总结记忆。

（2）总结正弦、余弦的和差公式的推导步骤与应用方法。

人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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人教版高中数学必修2全册教案(word版可编辑修改)按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放人教版数学必修二第一章空间几何体重难点解析第一章课文目录1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积重难点：1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

知识结构：度量一、空间几何体的结构、三视图和直观图1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱:一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

第9讲 期中复习（练习）提升卷一、填空题（每题3分，共36分）1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）如图，三个全等的三角形ABF 、BCD △、CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．【答案】26【分析】如果设AE x =，根据题意可知CD AE x ==，2EF DE x ==，且60CAE ACE ∠+∠=︒，由此在ACE 中借助于正弦定理，构造出ACE ∠的方程，再根据2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθ===++计算可得．【详解】解：如图，设ACE θ∠=，22EF AE x ==，因为ABF BCD CAE ≅≅，且ABC 与DEF 均为为等边三角形，所以ACE BAF ∠=∠，所以60ACE CAE CAE BAF ∠+∠=∠+∠=︒，所以60CAE θ∠=︒-． 结合22EF AE x ==可得CD AE x ==，2DE EF x ==，所以3CE x =， 在ACE 中，由正弦定理得sin sin AE CEACE CAE=∠∠，即3sin sin(60)x x θθ=︒-， 即sin(60)3sin θθ︒-=1sin 3sin 2θθθ-=，7sin 2θθ=，解得tan θ=．所以222222sin cos 2tan 7sin 22sin cos sin cos tan 11θθθθθθθθθ=====+++⎝⎭．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用正切求齐次式的值，属于中档题. 2．（2020·上海奉贤区·高一期中）设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 【答案】－34【解析】因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα+＝()22221sin cos cos sin sin ααααα+-＝24sin cos sin sin αααα-＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝135，所以cos 2α＝45. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．3．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z . 4．（2020·上海奉贤区·高一期中）已知sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，则cos 223πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝________． 【答案】79-【详解】由sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝13，得cos26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1－2sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝79，即cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝79， 所以cos 223πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 23ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝79-，故答案为79-. 5．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知α，()0,βπ∈，且()tan 3αβ-=，tan 11β=-，2αβ-的值为_______. 【答案】23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan 11β=-可求得tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-根据tan 19α=<及tan 011β=-<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】因为()tan 3αβ-=,tan 11β=- 由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--==+⋅代入tan 11β=-tan α+=⎝⎭化简可求得tan α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 011β=-< 所以2πβπ<<则20παβ-<-< 所以223παβ-=- 故答案为: 23π-【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.6．（2020·上海崇明区·高一期末）已知等腰三角形底角正弦值为45，则顶角的余弦值是_________ 【答案】725【分析】利用诱导公式及二倍角公式求解即可． 【详解】设等腰三角形的底角为α ，则顶角为2.πα-22247cos(2)cos 2(12sin )2sin 12()1.525παααα∴-=-=--=-=⨯-=【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式，解题的关键是根据题目条件熟练地选用余弦的二倍角公式来解决问题．7．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1tan 2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π3B ⎛ ⎝⎭，所以1π224ABCS ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.8．（2019·上海市文来中学高一期末）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，()424,,n 04x x f x x x ππππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭⎛⎫≤⎧⎪⎪=⎨≤ ⎪⎝⎭，关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()2πα+=____.【答案】2-【分析】作出函数()y f x =的图像，结合图像可得1m =，即1y =，从而可得四个不同的实数根，进而可得34πα=，代入即可求解. 【详解】当0x ≥时，函数在区间0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在区间,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，()f x 的极大值为4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭极小值为02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π， 作出函数当0x ≥时的图像如图， 函数函数()y f x =是R 上的偶函数，∴当0x <时()y f x =的图像与当0x ≥时的图像关于y 轴对称，故函数x ∈R 的图像如图所示，将()()f x m m R =∈进行平移，可得当1m =时， 两图像有且仅有四个不同的实数根， 令1y =，可得12,44x x ππ=-=，334x π=-，434x π=， 所以34πα=，3sin()cos cos242ππαα∴+===-故答案为：2-【点睛】本题考查了三角函数的图像以及根据方程根的个数求参数值、特殊角的三角函数值，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．（2019·上海市实验学校高一期末）如图为函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<，x ∈R ）的部分图像，则()y f x =函数解析式为________【答案】()2sin(2)3f x x π=+【分析】由函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像，先求得2,A T π==，得到()2sin(2)f x x ϕ=+，再由()212f π=，得到sin()16πϕ+=，结合||2ϕπ<，求得3πϕ=，即可得到函数的解析式.【详解】由题意，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像， 可得12,43124A T πππ==-=，所以T π=，又由22w Tπ==，即()2sin(2)f x x ϕ=+，又由()2sin(2)2sin()212126f πππϕϕ=⨯+=+=，即sin()16πϕ+=， 解得2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，又因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10．（2019·上海黄浦区·高一期末）已知函数2()cos 2sin f x x a x b =-++，x ∈R （常数a 、b R ∈），若当且仅当sin x a =时，函数()f x 取得最大值1，则实数b 的数值为______. 【答案】-1【分析】先将函数转化成同名三角函数，再结合二次函数性质进行求解即可 【详解】()222()cos 2sin 1sin 2sin sin 2sin 1f x x a x b x a x b x a x b =-++=--++=++-令[]sin ,1,1t x t =∈-，()221f t t at b =++-，对称轴为t a =-；当0a >时，1t =时函数值最大，1a =，解得1b =-；当0a =时，对称轴为0t =，函数在1t =±时取到最大值，与题设矛盾； 当0a <时，1t =-时函数值最大，1a =-，解得1b =-； 故b 的数值为：-1 故答案为：-1【点睛】本题考查换元法在三角函数中的应用，分类讨论求解函数最值，属于中档题11．（2019·上海市宜川中学）有60个角12360θθθθ⋯、、、、，在它们的终边上各有一点12360P P P P ⋯、、、、，如果点k P 的坐标为()()()cos 30cos k 60160k k k N -︒+︒≤≤∈，，，，则12360sin sin sin sin θθθθ+++⋯+=___________.【答案】0.5-【分析】利用诱导公式得12360θθθθ⋯、、、、，的度数，结合正弦函数值关于x 轴对称求解【详解】()cos(30),cos(60)k k ︒︒-+即()cos(30),sin(30)k k --1160,,,θθθ∴分别为29,28,29,30︒⋯--，又29,29;28,21;8;,,︒--⋯-，1均关于x 轴对称，()sin 300.5,sin 00-=-=故60123sin sin sin sin 0.5θθθθ+++⋯+=-，故答案为0.5-【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦函数的对称性，是基础题 12．（2019·上海市七宝中学高一期中）已知函数()()()1sin 20192019xxx f x x R π-=∈+，下别列命题:①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在区间[]22ππ-，上共有13个零点； ③函数()f x 在区间()01，上单调递增；④函数()f x 的图像是轴对称图像．其中真命题有________(填所有真命题的序号). 【答案】②④【分析】由正弦函数的奇偶性和指数的运算性质，可判断()f x 的奇偶性；由()0f x =，解方程可得零点个数；由(1)()f x f x -=，可得()f x 的对称性，可判断正确结论． 【详解】由sin()sin()x x ππ-=-，可得sin()y x π=为奇函数， 而120192019x x y -=+，不为偶函数， 则()f x 不是奇函数，故①错误；由()0f x =，可得sin()0x π=，即x k ππ=，即x k =，k Z ∈，在[2π-，2]π上，6x =-，5-，⋯，0，1，⋯，6，共有13个实根，故②正确； 由11sin (1)sin (1)()2019201920192019x x x xx xf x f x ππ----===++，可得()f x 的图象关于直线12x =对称， 故函数()f x 在区间(0,1)上不单调，故③错误，④正确． 故答案为②④．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、对称性的判断，以及零点个数，考查定义法和化简运算能力，属于基础题． 二、选择题（每题4分，共16分）13．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值. 【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin025α=>，2α是第一象限的角，所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.14．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【分析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.15．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）将函数y=sin2x 的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 A ．cos 2y x = B ．22cos y x =C ．D ．22sin y x =【答案】B【解析】由题意知:平移后的函数解析式为12sin 2()4y x π=++=12sin(2)2x π++ =212cos 22cos x x +=,选B.16．（2020·上海市实验学校高一期末）已知函数()sin()(0,)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．4π B ．2π C ．2π-D ．3π-【答案】C【解析】由函数()()(0)f x sin x ，ωϕωϕπ=+><的图象可知： T π=，2ω=122f ππϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故选C三、解答题（本大题共5题，共48分，解答各题必须写出必要步骤） 17．（2020·上海市建平中学）已知1sin cos 5αα+=-，(0,)απ∈，求下列式子的值： （1）sin cos αα； （2）tan2α；（3）33sin cos αα+． 【答案】（1）1225-；（2）3；（3）37125-．【分析】（1）将已知条件两边平方，由此求得sin cos αα的值.（2）由sin cos αα的值，求得cos sin αα-的值，进而求得sin ,cos αα的值，从而求得tan2α的值.（3）由sin ,cos αα的值求得33sin cos αα+的值.【详解】（1）由1sin cos 5αα+=-两边平方得()221sin cos 5αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 221sin 2sin cos cos 25αααα++=，即112sin cos 25αα+=，所以12sin cos 25αα=-. （2）由于12sin cos 25αα=-且(0,)απ∈，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0,sin 0αα<>，所以cos sin 0αα-<.而()22449cos sin 12sin cos 12525αααα-=-=+=，所以 7cos sin 5αα-=-.由1sin cos 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得34sin ,cos 55αα==-，所以21sin sincossin sin 2222tan1cos 21cos coscos 222αααααααααα⋅====++353415==-.（3）333334276437sin cos 55125125125αα⎛⎫⎛⎫+=+-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和降次公式，属于中档题.18．（2020·上海市控江中学高一期中）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 【答案】（1）3-；（2）1试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把tan 2α=代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以2cos α，得到关于tan α的式子，代入tan 2α=，即可得到答案．试题解析：（Ⅰ）tan tan214tan() 3.41211tan tan 4παπαπα+++===--⨯-（Ⅱ）原式222sin cos sin sin cos 2cos aααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+- 2221222⨯==+-． 考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用19．（2019·上海市向明中学高一期中）在ABC ∆，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A C p B +=⋅，0p >，且214ac b =. （1）当54p =，1b =时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围.【答案】（1）1a =，14c =或14a =，1c =；（2）⎝. 【分析】（1）考虑用正弦定理将已知条件sin sin sin A C p B +=⋅化成边的形式，联立方程组求解即可；（2）先求出p 的表达式，然后观察该式的特点求p 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===， 所以sin sin sin A C p B +=⋅，即a c p b +=⋅，所以54p =，1b =时，得54a c +=， 因为21144ac b ==，所以1a =，14c =或14a =，1c =；（2）由（1）知，a c p b +=⋅， 又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-⋅，得()()()22222cos 21cos b a c ac ac B p b ac B =+--⋅=⋅-+， 因为214ac b =， 所以()()()22222cos 21cos b a c ac ac B a c ac B =+--⋅=+-+()()221=21cos 4p b b B ⋅-⋅+，所以()211=1cos 2p B -+，所以231=cos 22p B +，因为B 为锐角，所以0cos 1B <<，所以2322p <<且0p >，所以p ∈⎝.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同时考查学生的推理与计算能力. 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， 正弦定理变形：sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===， 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C =⋅=⋅=⋅，余弦定理：2222cos b a c ac B =+-⋅， 其中()2222a c a c ac +=+-. 20．（2019·上海市宜川中学）已知函数()()23sin 2cos 1.2f x x x x ππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的最大值和最小值,并求取得最大值和最小值时对应的x 的值； (2)设方程()f x m =在区间()0π，内有两个相异的实数根12x x 、，求12x x +的值； (3)如果对于区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意一个x ，都有()1f x a -≤成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）的最大值为2，此时x ＝k π6π+，k ∈Z ，f （x ）的最小值为﹣2，此时x ＝k π3π-，k ∈Z ；（2）x 1+x 2＝3π或x 1+x 2＝43π；（3）a ≥1．【分析】（1）利用三角形的恒等变换，将f （x ）化简成f （x ）＝2sin （2x 6π+），再求f （x ）的最大值和最小值，（2）根据函数图象，找到m 的取值范围，观察x 1和x 2的关系，写出x 1+x 2的值， （3）根据定义域求得f （x ）的取值范围，再求a 的取值范围．【详解】（1）f （x ）＝（π+x ）sin （32π+x ）+2cos 2x ﹣1，=x +cos2x ，＝2sin （2x 6π+）， f （x ）的最大值为2，x 取得最大值对应的x 的值x ＝k π6π+，k ∈Z ， f （x ）的最小值为﹣2，x 取得最小值对应x 的值x ＝k π3π-，k ∈Z ，（2）f （x ）＝m ，sin （2x 6π+）2m=，f （x ）＝m 在（0，π）内有相异的两个实数根x 1，x 2，⇔f （x ）与y 2m=有两个不同的交点，1122m ＜＜或1122m -＜＜， 由图象可知：当m ∈（1，2）函数y ＝f （x ）的图象关于直线x 6π=对称，x 1+x 2＝263ππ⨯=；当m ∈（-1，2），函数y ＝f （x ）的图象关于直线x 23π=对称， x 1+x 2＝22433ππ⨯=，综上x 1+x 2＝3π或x 1+x 2＝43π （3）f （x ）﹣a ≤1，即a ≥f （x ）﹣1，x ∈[6π-，3π]，2x 6π+∈[6π-，56π]，∴f （x ）∈[﹣1，2]， ∴a ≥1．【点睛】本题考查根据三角恒等变换，化简求函数的最值，根据定义域求函数的取值范围，属于中档题．21．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）对于定义域为R 的函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如表：（1）求[]{}(0)ff f ：（2）数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，求1234n x x x x +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+（3）若()sin()y f x A x b ωϕ==++，其中0,0,0,03A b ωπϕπ><<<<<<，求此函数的解析式，并求*(1)(2)(3)()f f f n n N ++⋅⋅⋅+∈． 【答案】（1）2；（2）4n ；（3）见解析 【分析】（1）由内往外计算即可；（2）由已知，通过计算易得数列{}n x 是以4为周期的周期数列，先计算1234x x x x +++的值，利用1234n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=1234()x x x x +++即可得到答案；（3）代入表中数据即可得到()y f x =的解析式，再分n 为奇数、偶数讨论求和即可. 【详解】（1）由表中数据可得[]{}(0)f f f =((3))(1)2f f f =-=.（2）12x =，由于1()n n x f x +=，则21()(2)0x f x f ===，32()(0)3x f x f ===，43()(3)1x f x f ===-，54()(1)2x f x f ==-=，所以15,x x =，依次递推可得数列{}n x 的周期为4，又12344x x x x +++=，所以12344n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=.（3）由题意得(1)2(1)2(0)3(2)0f f f f -=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，由(1)(1)f f -=，得sin()sin()ωϕωϕ+=-+，即sin cos 0ωϕ=，又0ωπ<<，则sin 0ω≠，从而cos 0ϕ=，而0ϕπ<<，所以2ϕπ=，故(0)3(2)cos 20(1)cos 2f A b f A b f A b ωω=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+=⎩，消b ，得2cos 32(2cos 1)30A A A A ωω+-=⎧⎨-+-=⎩ 所以22242230A A A A -+-+=，解得12,1,cos 2A b ω===，又0ωπ<<， 所以3πω=，所以()2sin()12cos 1323f x x x πππ=++=+， 此函数有最小正周期6，且(6)(0)3f f ==，(1)(2)(3)(4)(5)(6)6f f f f f f +++++=，当*2,n k k N =∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)[(1)(2)(6)]63f f f k k f f f k n +++=+++==；当*21,n k k N =-∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)(62)(61)(6)[(1)(2)(6)]5f f f k f k f k f k k f f f +++-----=+++-6532k n =-=-.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.。

高一必修二数学第9章知识点总结第一节探究勾股定理勾股定理是我们研究数学的基础之一，它被广泛应用在几何、物理等领域中。

勾股定理的数学表达式为：在一个直角三角形中，直角边的两边的平方和等于斜边的平方。

在勾股定理的使用过程中，我们可以利用它求解直角三角形的各个边长，或者验证一个三边是否构成了一个直角三角形。

第二节直角三角函数直角三角函数是计算直角三角形各边长度和角度大小的重要工具。

在直角三角函数中，我们主要学习了正弦、余弦和正切三种基本函数。

正弦函数表示的是一个角的相对于斜边的长度，余弦函数表示的是一个角的相对于直角边的长度，正切函数表示的是一个角的正弦值与余弦值的商。

在实际应用中，我们可以利用直角三角函数求解各种问题，比如测量不可直接测量的高度、距离等。

第三节三角恒等式三角恒等式是指在三角函数中成立的恒等关系。

掌握了三角恒等式的性质，我们可以在求解问题过程中化简表达式、变换角度等。

常见的三角恒等式有：用各种角度表示的正弦、余弦、正切函数之间的关系，以及与角度平方和的关系等。

在解决问题的过程中，利用三角恒等式可以简化计算步骤，提高计算效率。

第四节解直角三角形解直角三角形是通过给定的初等三角函数值，求解直角三角形各个边长和角度大小的问题。

我们可以利用之前学习过的直角三角函数或者三角恒等式，结合已知条件来求解未知量。

解直角三角形的基本步骤是：根据已知条件确定所求解的直角三角形种类，然后利用相应的三角函数或者三角恒等式，通过解方程来求解未知量。

在解题过程中，我们需要注意合理选择解法，注意单位的转换以及问题的实际意义。

第五节平面向量平面向量是指在数学中用有向线段表示的量，它有大小和方向两个特征。

在平面向量的运算中，我们主要学习了向量的加法、数乘和点乘三种运算法则。

向量的加法是将两个向量的位移效果进行相加，数乘是将向量的大小进行缩放或者反向，点乘是将两个向量的夹角与大小进行运算得到一个标量。

平面向量的运用十分广泛，可以用于解决平面几何、力学等实际问题，也可以用于向量方程和直线方程的表示。

第九章ꢁꢁ统计9.1ꢁ随机抽样9.1.1简单随机抽样1.了解普查与抽样调查的概念，知道两种调查方法的优缺点，能结合实际问题选择恰当的数据调查方法.2.了解总体、样本、样本量的概念，了解抽样调查的随机性.3.结合具体的实际问题情境，了解随机抽样的必要性和重要性.4.在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.5.能从样本数据中提出基本的数字特征——平均数，并给出合理的解释重点：1.普查与抽样调查的意义.ꢁꢁ2.总体与样本的意义.ꢁꢁꢁꢁꢁꢁ3.简单随机抽样及其应用.ꢁꢁ4.数据的平均数的概念及意义.难点：1.简单随机抽样的应用.2.平均数的意义.一、普查与抽样调查知识梳理1.普查:对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查.在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为个体.2.抽样调查:根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查.我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本量.3.普查和抽样调查的对比ꢁꢁ方法普查抽样调查特点（1）迅速及时；优点调查结果全面、系统（2）节约人力、物力和财力缺点工作量大，有时费时费力调查结果不如普查全面、系统1.调查对象少；2.调查对象多，适用范围但是调查结果要求必须全面、系统、准确时1.调查对象太多，且不必要普查的；2.调查方式有破坏性时例1给出以下调查：①了解一批汽车驾校训练班学员的训练成绩是否达标；②了解一批炮弹的杀伤力；③某饮料厂对一批产品质量进行检查；④调查对2020年央视春晚节目的满意度；⑤检验航天设备中各零件产品的质量.其中适宜用抽样调查的是ꢁꢁꢁꢁ.（将正确答案的序号全填上）【解析】若调查的目的必须通过普查才能实现，一般用普查，但若存在一定的破坏性则用抽样调查，关键还是看实际需要.驾校训练的司机直接影响驾驶安全，必须普查；炮弹的杀伤力调查具有破坏性，只能采用抽样调查；饮料质量的调查也具有破坏性，应该采用抽样调查；央视春晚节目的满意度调查比较复杂，普查成本高，也没必要，适宜用抽样调查；航天设备不能有一点疏忽，每一个零件的质量都需要检查.【答案】ꢁ②③④例2某工厂为了了解其加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（ꢁꢁꢁ）A.总体ꢁꢁB.个体ꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁC.总体的一个样本D.样本量【解析】总体是这批零件的长度，个体是这批零件中每个零件的长度，抽取的200个零件的长度是样本，样本量是200.【答案】ꢁC训练题①③④ꢁ下列调查适合用抽样调查的是ꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁ.1.①了解某电视机厂生产的电视机的质量；②语文老师要检查某个学生作文中的错别字；③某部门要了解某湖的水质情况；④调查某市高中生对健康知识的了解情况.解析：①某电视机厂生产的电视机很多，普查费时费力，应采用抽样调查；②错别字是必须纠正的，应采用普查；③湖水不能全部分析，应采用抽样调查；④高中生较多，调查结果不需要非常精确，应采用抽样调查.2.为了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，5 000名学生成绩的全体是C（ꢁꢁ）A.总体B.个体C.从总体中抽取的一个样本D.样本量ꢁ二、简单随机抽样知识梳理1.简单随机抽样的定义：如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.2.简单随机抽样的特点（1）总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析.（2）逐个抽取：简单随机抽样是从总体中逐个进行抽取，这样便于实际操作.（3）不放回抽样：简单随机抽样是一种不放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算.ꢁ（4）等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽到的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽到的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性.ꢁꢁ例3已知下列抽取样本的方式：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中不放回地依次抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.（ꢁꢁ）其中，不是简单随机抽样的个数是A.1B.2C.3D.4【解题提示】ꢁ根据简单随机抽样的特征：有限性，逐一性，不放回性，等可能性判断即可.【解析】ꢁ①不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样中总体的个数是有限的，而题中是无限的；②不是简单随机抽样，原因是本章讲的简单随机抽样是不放回抽取，而题中是放回的；③是简单随机抽样，符合本章讲的简单随机抽样的特征；④不是简单随机抽样，原因是个子最高的5名同学是56名同学中特定的，不存在随机性，不是等可能抽样.【答案】ꢁC◆简单随机抽样必须具备下列特征（1）被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；（2）抽取的样本是从总体中逐个抽取的；（3）简单随机抽样是一种不放回抽样；（4）简单随机抽样是一种等可能的抽样.如果四个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.训练题1.C下列抽样方法是简单随机抽样的是（ꢁꢁ）A.坛子中有1个大球，4个小球，搅均匀后，随机取出一个球B.在校园里随意选三名同学进行调查C.在剧院里为抽取三名观众调查，将所有座号写在同样的纸片上，放入箱子搅匀后逐个抽取，共取三张D.买彩票时随手写几组号B2下列问题中，适合用简单随机抽样方法抽样的是（ꢁ）A.某报告厅有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下每排32号听众进行座谈B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C.某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本D.某乡农田有山地800公顷，丘陵1ꢁ200公顷，平地2ꢁ400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量四、抽签法与随机数法知识梳理1.抽签法的操作步骤：第一步，编号：将N个个体编号（号码可以从1到N，也可以使用已有的号码）.第二步，写签：将N个号码写到大小、形状相同的号签上.第三步，抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取n次，并记录其编号.第四步，定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本.提示：（1）给个体编号时可利用已有编号，如学号、考号、标签号等；（2）制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）形状、大小应当都一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等；（3）在抽签法中，搅拌均匀的目的是让每个号签被抽到的机会均等.2.随机数法的步骤（1）先给N个个数编号，例如按1~N进行编号；（2）用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数；（3）把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本；（4）重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数.3.抽签法与随机数法的比较（1）抽签法与随机数法的相同点ꢁꢁ①抽签法与随机数法都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总ꢁꢁꢁ体的个数有限；ꢁꢁ②抽签法与随机数法都是从总体中逐个进行抽取，都是不放回抽样.（2）抽签法与随机数法的不同点随机数法更适用于总体个数较多的时候，而抽签法适用于总体个数较少时.ꢁ一ꢁ、抽签法的应用例4要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程.【解题提示】ꢁ已知N＝30，n＝3，抽签法抽样时编号1，2，…，30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本.【解】ꢁ应使用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车编号，号码是1，2，3， (30)②将1~30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上；③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象.应用抽签法的4个注意点（1）编号.如果已有编号可不必重新编号.（2）号签要求大小、形状完全相同.（3）号签要均匀搅拌.（4）要逐一不放回地抽取.【注意】一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.训练题1.B下列抽样试验中，用抽签法方便的是（ꢁꢁ）A.从某厂生产的3ꢁ000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3ꢁ000件产品中抽取10件进行质量检验2某中学从40名学生中选1人作为男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则抽签法的序号是ꢁꢁꢁ①ꢁ.①将这40名学生从1~40进行编号，相应地制作1~40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选；②将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员.ꢁ二ꢁ、随机数法的应用例4现有120台机器，请用随机数法抽取10台机器，写出抽样过程.【解题提示】ꢁ已知N＝120，n＝10，用随机数法抽样时编号000，001，002，…，119，抽取10个编号（都是三位数），对应的机器组成样本.【解】ꢁ第一步，先将120台机器编号，可以编为000，001，002， (119)第二步，利用工具（转盘、科学计算器或计算机等）产生000，001，002，…，119中的随机数，产生的数是几，就选第几号个体；第三步，重复第二步，若生成的随机数重复，则剔除重复的编号并重新产生随机数，凡不在000~119中的数跳过去不取，直至选到预先设定的样本容量.◆随机数法抽样的三个步骤1.编号：将总体中N个个体依次编号为0，1，2，…，N-1.ꢁ2.利用随机数法确定抽取个体编号：利用工具（转盘、科学计算器或计算机等）产生0，1，2，…，N-1中的随机数，产生的数是几，就选第几号个体.3.获取样本：读数在总体编号内的取出，而读数不在总体编号内的和已取出的跳过，依次下去，直至得到容量为n的样本.注意：当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整使新编号位数相同.训练题总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取5个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下，则选出来的第5个个体的编号为（ꢁꢁ）B 66ꢁ06ꢁ58ꢁ61ꢁ54ꢁ35ꢁ02ꢁ42ꢁ35ꢁ48ꢁ96ꢁ32ꢁ14ꢁ52ꢁ41ꢁ52ꢁ48A.54ꢁꢁꢁꢁꢁB.14ꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁꢁC.35ꢁꢁꢁꢁD.32五、简单随机抽样中的两类特征数知识梳理简单随机抽样的总体平均数和样本平均数例5从某项综合能力测试成绩表中抽取100人的成绩，统计如下，则这100人的成绩的平均数为（ꢁꢁ）A.3B.2.5C.3.5D.2.75分数/分人数12345 2010401020ꢁ训练题1.某校组织了一次知识竞赛.在参加的同学中随机抽取100位同学的回答情况进行统计，答对的题数如下：答对5题的有10人，答对6题的有30人，答对7题的有30人，答对8题的有15人，答对9题的有10人，答对10题的有5人.则可以估7计在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数为ꢁꢁꢁꢁ.2.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的条形图如图，根据条形图可得这50名学生这一天B平均每人的课外阅读时间为（ꢁꢁ）A.0.6小时ꢁC.1.0小时B.0.9小时D.1.5小时小结1对普查与抽样调查的理解（1）普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查，当检验对象数量很大或对检验对象具有破坏性时，采用普查的方式是行不通的，要进行抽样调查.（2）普查与抽样调查的适用条件是不同的，在具体问题中，用普查还是抽样调查的方式，要根据它们的特点和适用范围进行判断.2.统计的基本概念（1）总体：调查对象的全体.（2）个体：组成总体的每一个调查对象.（3）样本：从总体中抽取的那部分个体.（4）样本量：样本中包含的个体数.3.（不放回）简单随机抽样必须具备下列特征（1）被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；（2）抽取的样本是从总体中逐个抽取的；（3）简单随机抽样是一种不放回抽样；（4）简单随机抽样是一种等可能的抽样.4.总体平均数与样本平均数的概念第九章统计9.1随机抽样9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径1.通过实例了解分层随机抽样的特点和适用范围.2.了解分层随机抽样的必要性.3.掌握各层样本量化比例分配的方法.重点：分层随机抽样的方法及计算.难点：实际问题中抽样方法的选择与操作.知识梳理一、分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.二、分层随机抽样的特点（1）从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况.（2）分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于.（3）分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛.三、分层随机抽样的实施步骤（1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；（2）根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k＝；（3）确定第i层应该抽取的个体数目n≈N×k（N为第i层所包含的个i i i体数），使得各n i之和为n；（4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本.四、分层随机抽样中的平均数五、数据获取途径1.通过调查获取数据：对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.2.通过试验获取数据：通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础.3.通过观察获取数据：通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，其中蕴含着所观察现象的本质信息，这些信息十分宝贵，统计学理论和方法是挖掘这些信息的强有力的工具之一.4.通过查询获得数据：我们可以收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.我们往往把这样获得的数据叫做二手数据.随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式.但从网络上查找的数据，因为数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真，为进一步的数据分析奠定基础.一分层随机抽样的理解例从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.抽签法B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样D.随机数法【解析】∵小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，∴学段对统计结果影响较大.∵同一学段男女生肺活量差异不大，∴性别对统计结果无明显影响，∴最合理的抽样方法是按学段分层随机抽样.故选C.【答案】C解题方法分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则（1）前提：分层随机抽样的适用前提是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.（2）遵循的两个原则：①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.选择抽样方法的思路（1）若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层随机抽样.（2）若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样.当总体中的个体数较小时，宜用抽签法；当总体中的个体数较大、样本量较小时，宜用随机数法.训练题BD训练题AC训练题A200。