27306_高中数学必修2同步第一讲精品拓展

人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；2．锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；3．台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h(S′、S为上、下底面面积，h为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.知识点二球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)；2．球的体积公式V＝πR3.类型一柱体、锥体、台体的体积例1 (1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为( )A. B.34C. D.64答案A解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.(2)现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( )A．0.6 cm B．0.15 cm C．1.2 cm D．0.3 cm答案A解析设杯里的水下降h cm，由题意知π()2h＝×20×π×32，解得h＝0.6 cm.反思与感悟(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc，∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc，∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.又因为A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，所以DD′＝(cm)，O′D′＝×20＝(cm)，OD＝×30＝5(cm)，所以棱台的高h＝O′O＝OD－O′D′2)＝\f(13\r(3),3)2－5\r(3)－\f(10\r(3),3)2)＝4(cm)．由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝(S上＋S下＋)＝×(×202＋×302＋×20×30)＝1 900(cm3)．类型二球的表面积与体积例 2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．解如图等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OE＝R，OA＝＝2OE＝2R，∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan 30°＝R，∴V球＝πR3，V圆锥＝π·BD2×AD＝π(R)2×3R＝3πR3，则V球∶V圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2答案B解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为2a2＋a2＋a2)＝a，得球的半径为a，则球的表面积为4π(a)2＝6πa2.反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝a ，如图②.(3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝a.(5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝a.跟踪训练2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，∴外接球的半径为，∴其体积比为π×()3∶π×()3＝1∶3.(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球表面积为_______．答案 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为＝，∴外接球表面积为4π×()2＝9π.例3 在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的表面积．解方法一(1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm.由πr＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝＝，在Rt△OBC中，OC＝＝.由题意可知OC1－OC＝9，即－＝9，解此方程，取正值得R＝25.(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1＝，OC＝.由题意可知OC1＋OC＝9，即＋＝9.整理，得＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．方法二(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC＝R2－49，OC2＝R2－400，两式相减，得OC－OC2＝400－49⇔(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，解得OC1＝24，OC＝15，∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，∴R＝25 cm.(以下略)反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3 把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是( )A．1 B．2 C．1或7 D．2或6答案C解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧，②两个平行截面在球心的同侧．对于①，m＝＝4，n＝＝3，两平行截面间的距离是m＋n＝7；对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.故选C.类型三组合体的体积例4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.＋πB.＋πC.＋2πD.＋2π答案A解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋×(×1×2)×1＝π＋.故选A.反思与感悟此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．跟踪训练 4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．解三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球．这个奖杯的体积V＝h(S上＋＋S下)＋22π·16＋×33＝336＋100π(cm3)．1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．8 cm答案C解析∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，∴铜质的五棱柱的体积V＝16×4＝64(cm3)，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，则a3＝64，解得a＝4 cm，故选C.2.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为( )A. B.12C. D.34答案D解析V＝Sh＝××3＝.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( )A．2πB．4πC．8πD．16π答案B解析体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S＝4π×12＝4π.4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR2·2R＝2πR3，V 锥＝πR2·2R＝πR3，V 球＝πR3，故V 柱∶V 锥∶V 球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝ShV 台体＝h(S ＋＋S′)V 锥体＝Sh.2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求VA －BCD ，h ＝.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即VA －BCD ＝VB －ACD ＝VC －ABD ＝VD －ABC ，求解的原则是V 易求，且△B CD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课时作业一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π答案 B解析 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr2l ＝2π.2．如图，在正方体中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的( )A. B. C. D．不确定答案B解析由于四棱锥S－ABCD的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的，故选B.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π＋12B.π＋18C．9π＋42 D．36π＋18答案B解析由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π()3＋3×3×2＝π＋18.4．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )A. B.12C. D.34答案C解析∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′＝，∴VC－AA′B′B＝1－＝.5．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3答案C解析如图，根据题意，|OO1|＝4 cm，|O1A|＝3 cm，∴|OA|＝R＝＝5(cm)，故球的体积V＝πR3＝(cm3)．故选C.6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为 2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为( )A．(2＋4) cm2 B．(4＋8) cm2C．(8＋16) cm2 D．(16＋32) cm2答案C解析∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为2，∴正四棱柱的高为＝2，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16，故选C.7.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.πB.πC.π D．2π答案C解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π.8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为( )A．45π B．27π C．36π D．54π答案D解析因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.二、填空题9．如图，三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．答案124解析设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝S△ABC，∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h，∴＝＝.10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为___ cm3.答案π3解析∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm，半径为 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 cm，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V ＝·π·12·1＝.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案＋16解析由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V＝×(×1×1)×1＋[π()3]×＝＋.12．若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．答案3π解析满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V－ABC，所以VA＝AB＝BC＝1，VB＝AC＝，其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R＝，所以该四面体外接球的表面积为4π×()2＝3π.三、解答题13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)解 过C 作CO1⊥AB 于点O1，由已知得∠BCA＝90°，∵∠BAC＝30°，AB ＝2R ，∴AC＝R ，BC ＝R ，CO1＝R.∴S 球＝4πR2，＝π×R×R＝πR2，1圆锥侧AO S 1圆锥侧BO S ＝π×R×R＝πR2，∴11几何体表球圆锥侧圆锥侧＝＋＋AO BO S S S S ＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2.又∵V 球＝πR3，1圆锥AO V ＝·AO1·π·CO＝πR2·AO1， 1圆锥BO V ＝·BO1·π·CO＝πR2·BO1，∴V 几何体＝V 球－＝πR3.()11圆锥圆锥＋AO BO V V 四、探究与拓展14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm答案 C解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r ＝3.15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解 (1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝ cm，A1D1＝AD＝2 cm，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．知识点一 圆柱、圆锥、圆台 圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征 (1)定义⎭⎪⎬⎪⎫圆柱圆锥圆台分别看作以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫矩形的一边直角三角形的一直角边直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫矩形直角三角形直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体→这类几何体叫旋转体． (2)相关概念①高：在轴上的这条边(或它的长度)． ②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面． ③侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面． ④母线：绕轴旋转的边． (3)图形表示知识点二 球1．定义：一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球． 2．相关概念(1)球心：形成球的半圆的圆心；球的半径：连接球心和球面上一点的线段． (2)球的直径：连接球面上两点并且通过球心的线段． (3)球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆． (4)球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆．(5)两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离．3．球形表示特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．知识点三旋转体1．定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体．2．轴：这条直线叫做旋转体的轴．知识点四组合体思考组合体是由简单几何体堆砌(或叠加)而成的吗？答案不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等．梳理由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．1．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(√)2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(×)3．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(×)类型一旋转体的结构特征例1下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．答案④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.类型二简单组合体的结构特征例2如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示．(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(2)所示．(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．反思与感悟(1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．(2)必要时作模型，培养动手能力．跟踪训练2如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图①、图②.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．类型三旋转体中的有关计算命题角度1有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知，腰长为12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD 交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪训练3 如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的底面半径．解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似， 得R －rR＝342－22，即1－r 2＝12，解得r ＝1.即圆柱的底面半径为1.命题角度2 球的截面的有关计算例4 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径． 解 ①若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr21＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400.由题意可知OC1－OC＝9，即R2－49－R2－400＝9，解此方程，取正值得R＝25.②若球心在两截面之间，如图(2)所示，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.引申探究若将把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是________．答案1或7解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧， ②两个平行截面在球心的同侧． 对于①，m ＝52－32＝4，n ＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m ＋n ＝7； 对于②，两平行截面间的距离是m －n ＝1.反思与感悟 设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解．跟踪训练4 设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于24πR .求A ，B 两地间的球面距离．解 如图所示，A ，B 是北纬45°圈上的两点，AO ′为它的半径，O 为地球的球心，∴OO ′⊥AO ′，OO ′⊥BO ′. ∵∠OAO ′＝∠OBO ′＝45°， ∴AO ′＝BO ′＝OA ·cos 45°＝22R . 设∠AO ′B 的度数为α， 则απ180°·AO ′＝απ180°·22R ＝24πR ，∴α＝90°. ∴AB ＝AO ′2＋BO ′2＝⎝⎛⎭⎫22R 2＋⎝⎛⎭⎫22R 2＝R . 在△AOB 中，AO ＝BO ＝AB ＝R ，则△AOB 为正三角形， ∴∠AOB ＝60°.∴A ，B 两地间的球面距离为60°πR 180°＝π3R .1．下列几何体是台体的是()考点圆台的结构特征题点圆台的概念的应用答案 D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如下图中的几何体的是()答案 B解析由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确．3．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱答案 B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案 2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故圆锥的母线长为2.5．湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为________ cm.答案13解析设球的半径为R cm，由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，球心距d＝(R－8)cm，由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2，即208－16R＝0，解得R＝13 cm.1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、选择题1．下列几何体中不是旋转体的是()答案 D2．下列说法正确的是( )A ．到定点的距离等于定长的点的集合是球B ．球面上不同的三点可能在同一条直线上C ．用一个平面截球，其截面是一个圆D ．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 考点 球的结构特征 题点 球的概念的应用 答案 D解析 对于A ，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A 错；对于B ，球面上不同的三点一定不共线，故B 错；对于C ，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C 错，故选D. 3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．15 答案 B4．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( ) A ．10 3 cm B ．20 3 cm C ．20 cm D ．10 cm 答案 A解析 如图所示，在Rt △ABO 中，AB ＝20 cm ，∠A ＝30°，所以AO ＝AB ·cos 30°＝20·32＝103(cm)．5．如果圆台两底面的半径分别是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是( ) A ．24π B ．16π C ．8π D ．4π答案 B解析 截面圆的半径为7＋12＝4，面积为πr2＝16π.6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )A ．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案 D解析 其中ABCD 不是面，该几何体有8个面．7．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A ．2B ．2π C.2π或4πD.π2或π4答案 C解析 如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2π，故选C.8.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析 圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.二、填空题9．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．答案 两个圆锥解析 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．10．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2，∴由题意可知12·2r ·h ＝r 42－r 2＝8， ∴r 2＝8，∴h ＝2 2.11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________． 考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 3 解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl 2，所以母线长为l ＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径为r ＝1，所以该圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.三、解答题12．A ，B ，C 是球面上三点，已知弦(连接球面上两点的线段)AB ＝18 cm ，BC ＝24 cm ，AC ＝30 cm ，平面ABC 与球心的距离恰好为球半径R 的一半，求球的半径．解 如图所示，因为AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 是直角三角形．所以△ABC 的外接圆圆心O 1是AC 的中点．过A ，B ，C 三点的平面截球O 得圆O 1的半径为r ＝15 cm.在Rt △OO 1C 中，R 2＝⎝⎛⎭⎫R 22＋r 2.所以R 2＝R 24＋152，所以R 2＝300， 所以R ＝103(cm)．即球的半径为10 3 cm.13．圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．解 设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，圆台上底面面积为S 1，下底面面积为S 2，两底面面积之和为S .如图所示，∠ASO ＝30°，在Rt △SO ′A ′中，r SA ′＝sin 30°， ∴SA ′＝2r .在Rt △SOA 中，2r SA＝sin 30°，∴SA ＝4r . 又SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.四、探究与拓展14．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )答案 B解析 由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B.15．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．考点 圆台的结构特征题点 与圆台有关的运算解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，则θ·l ＝2π×5，θ·(l ＋20)＝2π×10，解得θ＝π2，l ＝20 cm. ∴OA ＝40 cm ，OM ＝30 cm.∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ 为所求的最短距离．∵OA ·OM ＝AM ·OQ ，∴OQ ＝24 cm.故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。

新课标高中数学人教A版必修二第一章空间几何体同步精讲精练==本文档为word格式有参考答案，下载后可随意编辑修改！==目录第1讲§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 (01)第2讲§1.1.2 简单组合体的结构特征 (03)第3讲§1.2.2空间几何体的三视图 (05)第4讲§1.2.3空间几何体的直观图 (07)第5讲§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 (09)第6讲§1.3.1 柱体、锥体、台体的体积 (11)第7讲§1.3.2 球的体积和表面积 (13)第8讲第一章空间几何体复习 (15)《必修②第一章 空间几何体》——知识点、例题讲解讲2第1讲 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽象概括能力.¤知识要点：结 构 特 征图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台 （1）两底面相互平行； （2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.¤例题精讲：【例1】请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形； （2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l 旋转180°. 解：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形. 几何体为正五棱柱.（2）由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球.【例2】若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高. 解：底面正三角形中，边长为3，高为333sin 602⨯︒=，中心到顶点距离为332323⨯=， 则棱锥的高为222(3)1-=.【例3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长.解：设圆台的母线为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r .根据相似三角形的性质得，334rl r=+，解得9l =. 所以，圆台的母线长为9cm .点评：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.【例4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为,,αβγ，求222cos cos cos αβγ++与222sin sin sin αβγ++的值.解：设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为a 、b 、c ，相应对角线长为l ，则222l a b c =++.222222cos cos cos ()()()1a b cl l lαβγ++=++=， ∴ 222cos cos cos αβγ++=1.222222222222sin sin sin 2b c a c a b l l lαβγ+++++=++=，∴ 222sin sin sin αβγ++=2. 点评：从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系《必修②第一章 空间几何体》---同步精练3“cos α=邻斜”、“sin α=对斜”而求. 关键在于找准直角三角形中的三边，斜边是长方体的对角线，角的邻边是各棱长，角的对边是相应矩形面的对角线.第1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征※基础达标1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2．下列说法中正确的是（ ）.A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径 3．下列说法错误的是（ ）.A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形4．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（ ）. A. 六边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 直角三角形 5．下列说法正确的是（ ）.A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6．设圆锥母线长为l ，高为2l，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为 . 7．若长方体的三个面的面积分别为62cm ,32cm ,22cm ，则此长方体的对角线长为 .※能力提高8．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长.9．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -.（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示. 如果不是，说明理由.※探究创新《必修②第一章 空间几何体》——知识点、例题讲解讲410．现有一批长方体金属原料，其长宽高的规格为12×3×3.1(长度单位：米). 某车间要用这些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为3×2.4×1，第二种为4×1.5×0.7．若这两种长方体各需900个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面3位)第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体. ¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解：在长方体''''ABCD A B C D -中，取四棱锥'A ABCD -，它的四个侧面都是直角三角形. 选D. 【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R +r ，梯形的高即球的直径为22()()2r R R r rR +--=， 所以，球的半径为rR .【例3】圆锥底面半径为１cm ，高为2cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 解：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图所示.设正方体棱长为x ，则CC 1=x ，C 1D 12x =。