下载文档原格式
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x －y ＝0的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．90°D ．135°详细分析：选A.因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.故选A. 2．斜率为4的直线经过A (3，5)，B (a ，7)，C (－1，b )三点，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝72，b＝0B ．a ＝－72，b ＝－11C ．a ＝72，b ＝－11D ．a ＝－72，b ＝11详细分析：选C.由题意知k AB ＝k AC＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧7－5a －3＝4，b －5－1－3＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72，b ＝－11.3．若a ＋b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则在同一直角坐标系中，直线y ＝ax ＋1与y ＝bx －1表示正确的是( )详细分析：选B.由a ＋b ＝0(a ≠0，b ≠0)知两直线的斜率互为相反数，所以排除C ，D ；又两直线在y 轴上的截距分别为1和－1，所以排除A ，故选B.4．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9详细分析：选C.因为r ＝d ＝|6＋4＋5|32＋（－4）2＝3，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，故选C. 5．点P (4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( ) A ．(－6，8) B ．(－8，－6) C ．(6，8)D ．(－6，－8)详细分析：选D.设点P (4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为P 1(x 1，y 1)．由对称的概念，知PP 1的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋42，y 12在对称轴5x ＋4y ＋21＝0上，且PP 1与对称轴垂直，则有⎩⎪⎨⎪⎧5·x 1＋42＋4·y 12＋21＝0，y 1x 1－4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6，y 1＝－8.所以P 1(－6，－8)．故选D.6．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1，2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝0详细分析：选D.将圆C 的一般方程化成标准方程为(x －2)2＋y 2＝9， 所以C (2，0)．由题意知，过点P (1，2)的最短弦所在的直线l 应与PC 垂直， 故有k l ·k PC ＝－1.由k PC ＝2－01－2＝－2，得k l ＝12.所以直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.7．从点(1，0)射出的光线经过直线y ＝x ＋1反射后的反射光线射到点(3，0)上，则该束光线经过的路程是( )A ．2 5 B. 2 C. 5D ．2详细分析：选A.因为点(1，0)关于直线y ＝x ＋1对称的点的坐标是(－1，2)，所以该束光线经过的路程即为点(－1，2)与点(3，0)之间的距离d ，由两点间的距离公式可得d ＝（－1－3）2＋（2－0）2＝2 5.故选A.8．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12详细分析：选C.两直线联立，求出交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋22k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又因为交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋22k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.9．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若A ，C 的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2，0)或(4，6)B ．(2，0)或(6，4)C ．(4，6)D ．(0，2)详细分析：选A.设B 点坐标为(x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，BC ＝AC ，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，（x －3）2＋（y －3）2＝（0－3）2＋（4－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，所以B (2，0)或B (4，6)．10．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( ) A.5－5 B ．5－ 5 C ．30－10 5D ．无法确定详细分析：选C.设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上一点．配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为C (1，－2)，半径r ＝5.所以x 2＋y 2＝（x －0）2＋（y －0）2，所以要使x 2＋y 2最小，则线段PO 最短．如图，当点P ，O ，C 在同一直线上时，PO min＝PC －OC ＝5－12＋（－2）2＝5－5，即(x 2＋y 2)min ＝30－10 5.11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3，3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0 详细分析：选B.法一：可联立方程组利用弦长公式求MN ，再结合MN ≥23可得答案． 法二：利用圆的性质知，圆心到直线的距离的平方加上弦长一半的平方等于半径的平方，求出MN ，再结合MN ≥23可得答案，故选B.12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞详细分析：选B.因为y (y －mx －m )＝0，所以y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然C 2与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0x 2＋y 2－2x ＝0消去y ，得关于x的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________． 详细分析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由AC ＝BC ，得AC 2＝BC 2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，149. 答案：⎝⎛⎭⎫0，0，149 14．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．详细分析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，4＋3＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，所求距离为12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 答案：21315．过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________． 详细分析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2b －1a －2＝－1|a －b －1|2＝r，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝0r ＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝216．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为________米．详细分析：如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100， 当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， 所以水面宽度A ′B ′＝251米． 答案：251三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1，1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3，4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)因为k ＝tan 135°＝－1， 所以l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×（－1）＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1， 所以A ′的坐标为(－2，－1)．18．(本小题满分12分)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (2，1)引圆的切线，求切线方程． 解：当切线斜率存在时，设切线的方程为y －1＝k (x －2)即：kx －y －2k ＋1＝0， 因为圆心(0，0)到切线的距离是2， 所以|－2k ＋1|1＋k 2＝2，解得k ＝－34，所以切线方程为－34x －y ＋32＋1＝0，即3x ＋4y －10＝0.当切线斜率不存在时，又x ＝2与圆也相切， 所以所求切线方程为3x ＋4y －10＝0和x ＝2.19．(本小题满分12分)如图所示，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当线段AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°) ＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以线段AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．因为P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.20．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l ：x ＋2y －4＝0与圆C 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值． 解：(1)由x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，故5－m ＞0，即m ＜5. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．直线OM ，ON 的斜率显然都存在，由OM ⊥ON ，得y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.又因直线l 与圆C 交于M ，N 两点，所以Δ＝162－20(m ＋8)＞0，得m ＜245，且y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85，所以x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝4m －165.代入①，得m ＝85，满足m ＜245.所以m ＝85.21．(本小题满分12分)已知圆C 经过两点P (－1，－3)，Q (2，6)，且圆心在直线x ＋2y －4＝0上，直线l 的方程为(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0.(1)求圆C 的方程；(2)证明：直线l 与圆C 恒相交； (3)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解：(1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由条件，得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋9－D －3E ＋F ＝0，4＋36＋2D ＋6E ＋F ＝0，⎝⎛⎭⎫－D 2＋2×⎝⎛⎭⎫－E 2－4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. (2)证明：由(k －1)x ＋2y ＋5－3k ＝0， 得k (x －3)－(x －2y －5)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即直线l 过定点(3，－1)，由32＋(－1)2－4×3－2×(－1)－20<0，知点(3，－1)在圆内， 所以直线l 与圆C 恒相交．(3)圆心C (2，1)，半径为5，由题意知， 直线l 被圆C 截得的最短弦长为 252－[（2－3）2＋（1＋1）2]＝4 5.22．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0(a >0)与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5， 所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25.因为m 为整数，故m ＝1.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25.(2)把直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0.由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0.即12a 2－5a >0，由于a >0，解得a >512，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫512，＋∞. (3)设符合条件的实数a 存在，由于a ≠0，则直线l 的斜率为－1a ，l 的方程为y ＝－1a (x＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.由于34∈⎝⎛⎭⎫512，＋∞，故存在实数a ＝34，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。
解析几何部分（共：1—17课时及每章评价）参考答案：第1课时 直线的斜率（1）1．D 2．C 3．D 4．4- 5．1k ≤ 6．可以是(2,4)，不惟一． 7．由题意，()132212a -=++，∴2a =-．8．当1m =时，直线l 与x 轴垂直，此时直线斜率不存在； 当1m ≠时，直线斜率34111k m m-==--． 9．在直线斜率为0，OC 边所在直线斜率不存在，BC 边所在直线斜率为43-．10．由AB AC k k ≠，可得1112383k --≠---， ∴1k ≠．第2课时 直线的斜率（2）1．C 2．B 3．D 4．60o． 5．6 6． (0,2)7． 045α≤<o o 或135180α<<o o．8．倾斜角为45o时斜率为1，倾斜角为135o时斜率为1-．9．直线l 上任一点(,)M m n 经平移后得(3,1)N m n -+在l 上，由两点的斜率公式得(1)1(3)3l n n k m m +-==---．10．直线2l 的倾斜角为180(6015)135α=--=oooo， ∴2tan135tan 451k ==-=-oo．第3课时 直线的方程（1）1．C 2．D 3．A 4．D 5．（1）4y =-；（2）23y x =-- 6．1y +6y x =-+7．由直线1l 的方程2y =+可得1l 的倾斜角为60o ，∴直线l 的倾斜角为30o，斜率为tan 303=o，所以，直线l 的方程为12)y x -=-，即1y x =-+．8． 1:1:(2)-9．由直线1l的方程20x y -+=可求得1l 的斜率为1， ∴倾斜角为145α=o，由图可得2l 的倾斜角2115αα=+o∴直线2l 的斜率为tan 60=o， ∴直线2l 的方程为2)y x -=-0y -=．10．设直线方程为34y x b =+， 令0x =，得y b =；令0y =，得43x b =-， 由题意，14||||623b b ⨯-⨯=，29b =，∴3b =±， 所以，直线l 的方程为334y x =±．第4课时 直线的方程（2）1．D 2．D 3．B 4． 2y x =或1y x =+ 5．3 6． 10x y +-=或32120x y -+=7．设矩形的第四个顶点为C ，由图可得(8,5)C ， ∴对角线OC 所在直线方程为005080y x --=--，即580x y -=，AB 所在直线方程为185x y+=，即58400x y +-=． 8．当截距都为0时，直线经过原点，直线斜率为43-，方程为43y x =-；当截距都不为0时，设直线方程为1x ya a +=， 将点(3,4)-代入直线方程得341a a-+=，解得1a =-， 所以，直线方程为430x y +=或10x y ++=．9．当0t =时，20Q =；当50t =时，0Q =，故直线方程是15020t Q +=．图略． 10．直线AB 的方程为3x =，直线AC 的方程为123x y+=，直线x a =与,AB AC 的交点分别为(,3)a 、63(,)2a a -，又∵92ABC S ∆=，∴1639(3)224a a -⋅⋅-=，∴a =（舍负）．第5课时 直线的方程（3）1．B 2．D 3．B 4．D 5． 350x y -+= 6．24- 7．当2a =时，直线方程为2x =不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为1(4)2y x a a =+--， 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤，综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤． 8．（1）由题意得：22(23)(21)m m m m ---=+-， 即2340m m --=，解得43m =或1-（舍） （2）由题意得：22(23)(21)260m m m m m ----+--+=，即23100m m +-=，解得2m =-或53． 9．方法1：取1m =，得直线方程为4y =-， 取12m =，得直线方程为9x =， 显然，两直线交点坐标为(9,4)P -，将P 点坐标分别代入原方程得(1)9(21)(4)5m m m -⨯+-⨯-=-恒成立，所以，不论m 取什么实数，直线(1)m x -+(21)5m y m -=-总经过点(9,4)P -．方法2：原方程可整理得(21)(5)0x y m x y +--+-=，当21050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩成立，即94x y =⎧⎨=-⎩时，原方程对任意实数m 都成立，∴不论m 取什么实数，直线过定点(9,4)-．10．方程0x y k +-=可变形为23)9k =-， 当90k -=即9k =时，方程表示一条直线90x y +-=； 当90k -<即9k >时，方程不能表示直线；当90k ->即9k <3= ∵方程仅表示一条直线，∴30+>且30-<，即0k <．综上可得，实数k 的取值范围为9k =或0k <．第6课 两直线的交点1．D 2．D 3．B 4．B 5．－3 6．6或-6 7．10，-12，-2 8．32190x y -+=9．4m =，或1m =-，或1m =．（提示：如果三条直线不能围成三角形，则有两种情形，一是其中有平行的直线，二是三条直线交于一点．） 10．(1)表示的图形是经过两直线210x y -+=和2390x y ++=的交点(3,1)--的直线（不包括直线2390x y ++=）．(2)30x y -=或40x y ++=．（提示：可设所求直线方程为21(239)0x y x y λ-++++=，即(21)(32)910x y λλλ++-++=．若截距为０，则910λ+=，即19λ=-，此时直线方程为30x y -=；若截距不为０，则21132λλ+-=--，即3λ=，此时直线方程为40x y ++=．） 11．直线l 的方程为60x y += 12．22b -≤≤（数形结合）第7课 两直线的平行与垂直（1） 1．D 2．B 3．C 4．平行, 不平行5．平行或重合 6．-2 ， 0或10 7．四边形ABCD 是平行四边形． 8．32A C =≠-且9．2,2m n == 10．20x y += 11. 3440x y +-=12.860860x y x y -+=--=或(提示：Q 所求直线与已知直线l ：8610x y -+=平行，∴设所求直线的方程为860x y λ-+=，与两坐标轴的交点为λ（-，0）8，λ（0，）6．又该直线与两坐标轴围成的三角形面积为８，∴1||||8286λλ⋅-⋅=，λ∴=±，故所求直线方程为860x y -+=或860x y --= 第8课 两直线的平行与垂直（2）1. B2. C3. C4. C5. B6. 垂直，不垂直7. 32y x =+8. 2，-2，09. 20x y -= 10. 310x y ++=和330x y -+= 11. 1a =-或92a =-12.270x y +-=,10x y -+=,250x y +-=(提示:由于点A 的坐标不满足所给的两条高所在的直线方程,所以所给的两条高线方程是过顶点B ,C 的,于是2AB k =-,1AC k =,即可求出边AB ,AC 所在的直线方程分别为270x y +-=,10x y -+=.再由直线AB 及过点B 的高,即可求出点B 的坐标(3,1),由直线AC 及过点C 的高,即可求出点C 的坐标(1,2).于是边BC 所在的直线方程为250x y +-=.)第9课 平面上两点间的距离１．C 2．C 3．C 4．A5．B 6．22y y =-=-或 7．47240x y +-= 8．23120x y +-=912|x x - 10．13410x x y =++=或 11．5150x y --=12．(1) (2,0)P -；(2) (13,0)P ，此时||PM PN -． 13．54x =（提示：y =数形结合，设(1,1),(2,3),(,0)A B P x ，则y PA PB =+）第10课时 点到直线的距离（1）１．()A ２．()C ３．()D ４．()A ５．()C ６．()A ７．5８．2a =或463９．设所求直线方程为340x y m -+=，=解得：14m =或12m =-（舍），所以，所求的直线方程为：34140x y -+=．１０．由题意第一、三象限角平分线的方程为y x =，设00(,)P x y ，则00x y =，即00(,)P x x ．= 解得：01x =或09x =-，所以点P 的坐标为：(1,1)或(9,9)--．11．由题意：当直线l 在两坐标轴上的截距为0时， 设l 的方程为y kx =（截距为0且斜率不存在时不符合题意）=k = 122-±，所以直线l 的方程为：122y x -±=． 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设l 的方程为1x ya a+=，即0x y a +-=，=a =13或1a =， 所以直线l 的方程为：130x y +-=或10x y +-=．综上所述：直线l 的方程为：122y x -±=或130x y +-=或10x y +-=． １２．设(,1)M t t -，则M 到两平行线段的距离相等，∴43t =，即41(,)33M ∵直线l 过(1,1)P -，41(,)33M 两点，所以，l 的方程为2750x y +-=．第11课时 点到直线的距离（2）１．()B ２．()C ３．()A ４．18 ５．(1,2)或(2,1)- ６．34210x y +-=７．320８．4310x y +-=９．设l ：320x y C -+=则1d =2d =1221d d =，所以|1|2|13|1C C +=+，解得：25C =-或9-， 所以l 的方程为：32250x y --=或3290x y --=．１０．证明：设(,)P a b ，则221a b -=P 到直线1l ，2l的距离分别为1d =，2d = ∴2212||122a b d d -==g． １１．设(,)M x y 为A ∠的平分线AD 上任意一点，由已知可求得,AC AB 边所在直线方程分别为5120x y -+=，5120x y --=，由角平分线的性质得：=∴512512x y x y -+=--或512(512)x y x y -+=---， 即6y x =-+或y x =，由图知：AC AD AB k k k <<，∴155AD k <<，∴6y x =-+不合题意，舍去，所以，A ∠的平分线AD 所在直线方程y x =． １２．设CD 所在直线方程为30x y m ++=，=，解得7m =或5m =-（舍）．所以CD 所在直线方程为370x y ++=．因为AB BC ⊥所以设BC 所在直线方程为30x y n -+=，=，解得9n =或3n =-．经检验BC 所在直线方程为390x y -+=，AD 所在直线方程为330x y --=．综上所述，其它三边所在直线方程为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=．第12课时 圆的方程（1）１．()B ２．()C ３．()B ４．()C ５．()C ６．()B ７．（1）0a =；（2）||b r =；（3）310a b +-=． ８．22(6)36x y -+=９．C e 的圆心为(3,2)C -，C 'e 的圆心与(3,2)C -关于10x y -+=对称， ∴设C 'e 的圆心为(,)C a b '则3210222113a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩g ，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，C 'e 的标准方程为：22(3)(4)36x y ++-=．１０．由题意可设C e 的圆心为(,)C a b 半径为r ，则||2a =当2a =时，C e ：222(2)()x y b r -+-= 因为C e 与直线20x y +-=相切于点(1,1)P ， ∴222(12)(1)b r -+-= ①且1(1)112b--=--g ② 联立方程组，解得：2b =，r =所以C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=同理，当2a =-时，C e 的方程为：22(2)(2)18x y +++=综上所述：C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=或22(2)(2)18x y +++=１１．由题意设C e 的方程为222()()x a y b r -+-=，由C e 经过点(2,1)-，得：222(2)(1)a b r -+--=①由C e 与直线10x y --=r =② 由圆心在直线2y x =-上，得：2b a =-③联立方程组，解得：918a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，或12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以，C e 的方程为：22(9)(18)338x y -++=或22(1)(2)2x y -++=．１２．设⊙C 的方程为：222()()x a y b r -+-=，∵⊙C 与x 轴相切，所以22r b =①，又∵圆心(,)C a b 到直线0x y -=的距离为：d =∴222r +=，即 22()142a b r -+=②，又圆心在直线30x y -=上，所以30a b -=③联立方程组，解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以C e 的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．第13课时 圆的方程（2）１．()C ２．()D ３．()B ４．12k <-５．2 ６．2π７．5，5 ８．2或23-９．圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)，(1,1)两点坐标代入方程分别得0F = ①20D E F +++= ②又∵圆心(,)22D E--在直线30x y --=上，∴60E D --= ③解由①②③组成的方程组得4,2,0D E F =-==，∴所求圆方程为22420x y x y +-+=，圆心(2,1)-１０．证明：将034222=+--+y x y x 化为22(1)(2)2x y -+-= 则点与圆心之间的距离的平方为222(41)(2)17125m m m m -+-=-+ 又∵圆的半径的平方为2，∴2171252m m -+-217123m m =-+ 令2()17123f x m m =-+0∆<，即2()17123f x m m =-+恒大于0，即点与圆心之间的距离恒大于圆的半径，所以无论实数m 如何变化，点(4,)m m 都在圆034222=+--+y x y x 之外．11．设所求圆的方程为： 022=++++F Ey Dx y x令0y =，得20x Dx F ++=．由韦达定理，得12x x D +=-，12x x F =由12||x x -=6=，∴2436D F -=． 将(1,2)A ，(3,4)B 分别代入022=++++F Ey Dx y x ，得25D E F ++=-，3425D E F ++=-．联立方程组，解得12D =，22E =-，27F =或8D =-，2E =-，7F =所以所求的圆的方程为221222270x y x y ++-+=或228270x y x y +--+=12．证明：由题意22210250x y ax ay a ++---=，∴2225()()102524a a x a y a ++-=++ 令25()10254a f a a =++，则0∆<， ∴()0f a >即22(25)(210)0x y a x y +-+--=，表示圆心为(,)2a a -若22(25)(210)0x y a x y +-+--=对任意a 成立，则222502100x y x y ⎧+-=⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩或5x y =⎧⎨=⎩，即圆恒过定点(3,4)-，(5,0)．第14课时 直线与圆的位置关系1．C 2．C 3．D 4．B 5．34250x y +-= 6．40x y +±=7 8． 247200x y --=和2x =；7 9．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 10．16m =-．11． 4330x y ++=或3430x y +-=．第15课时 圆与圆的位置关系 ⒈B ⒉B 3．D 4．A5．20x y -+= 6．260x y -+= ，6 7．(1,1) 8．22(3)(1)5x y -+-= 9．224(1)(2)5x y ++-=10．（1）240x y -+=； （2）22(2)(1)5x y ++-=； （3）22(3)(3)10x y ++-=． 11． 3r =±．第16课时 空间直角坐标系1．B ⒉C 3．C 4．D5．(2,0,0)、(0,3,0)- 6．(0,4,2)7．442110x y z ++-=8．略 9．略10．提示（1）只要写出的三点的纵坐标和竖坐标分别相等即可；（2）只要写出的三点的竖坐标相等即可．11．111212121x x y y z z x x y y z z ---==---21(x x ≠且21y y ≠且21)z z ≠．第17课时 空间两点间的距离1．D 2．D 3．A 4．A 5．(0,2,0) 6．222(1)(2)(4)9x y z -+++-=7．7 8．(1,0,0)P ± 9．[提示]建立空间直角坐标系，由中点坐标公式求出,P Q 两点坐标，用两点间距离公式即可求得线段PQ2．10．（1）(1,2,1)[提示]设重心G 的坐标为(,,)x y z ，则222GA GB GC ++2233x y =+22236126643(1)3(2)z x y z x y +---+=-+-23(1)46z +-+．当1,2,1x y z ===时，点G 到,,A B C 三点的距离的平方和最小，所以重心的坐标为(1,2,1)．（2）1,8,9x y z ===．第二章《解析几何初步》评价与检测参考答案：1．C 2．D 3．B 4．B 526．0d ≤≤ 7．4个 8．60 9．67250x y +-= 10．2750x y +-= 11．22(2)(2)25x y -++= 12．(1,0)A -，C (5,6)- 13．B14．C 15．A 16．D 17．11(,)102- 18．4a =±19．20,x y y x ++==，y x = 20．10 21．解：设与51270x y ++=平行的边所在直线方程为5120x y m ++=(7)m ≠，则=解得19m =-， ∴直线方程为512190x y +-=，又可设与51270x y ++=垂直的边所在直线方程为1250x y n -+=()n R ∈，则=解得100n=或74，∴另两边所在直线方程为1251000x y-+=，125740x y-+=22．解：设()2,1B-，()4,2C，()2,3D第四个顶点的坐标为(),A m n.则有BC所在直线的斜率为32BCk=；CD所在直线的斜率为12CDk=-；BD所在直线的斜率不存在.①若BD∥AC，BC∥AD，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又BC ADk k=，即33242n-=-，6n∴=.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,6.②若BD∥AC，CD∥BA，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又CD BAk k=，即()11242n---=-，2n∴=-.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,2-.③若CD∥BA，BC∥AD，则,CD BABC ADk kk k=⎧⎨=⎩()11223322nmmnnm--⎧-=⎪=⎧⎪-⇒⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪-⎩∴平行四边形第四个顶点的坐标为()0,0.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标可为()4,6或()4,2-或()0,0.23．解：设1122(,),(,)P x y Q x y，由2223060x yx y x y c+-=⎧⎨++-+=⎩消去x得2520120y y c-++=，∴由韦达定理知：12124125y y c y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩Q OP OQ ⊥，12121y y x x ∴⋅=-， 即12120x x y y +=，又12121212(32)(32)96()4x x y y y y y y =--=-++∴121296()50y y y y -++=， 也就是12964505c +-⨯+⨯=解之，得3c =． 从而所求圆的方程为22630x y x y ++-+=24．解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1|OP x ==，2|OQ x ==．,P Q Q 为直线与圆的交点，∴ 12,x x 是方程22(1)(86)210x m m x ++-+=的两根， ∴12221,1x x m=+ ∴ 2221(1)211OP OQ m m ⋅=+=+。
（苏教版）高中数学必修2配套练习+章节检测卷全集第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台A级基础巩固1．下列图中属于棱柱的有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析: 根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱．答案: C2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线()A．20条B．15条C．12条D．10条解析: 由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)．答案: D3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为()解析: 判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件: 有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥; B是四棱锥; C, D是五棱锥．答案: A4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)．①所有的棱都相等;②至少有两个面的形状完全相同;③相邻两个面的交线叫作侧棱．解析: ①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等; ②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同; ③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱．答案: ②5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对．解析: 观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对．答案: 4 16．下列说法正确的是________(填序号)．①底面是正方形的棱锥是正四棱锥;②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥;③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥;④正四面体是正三棱锥．解析: 根据定义判定．答案: ④7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个．解析: 从长方体中寻找四棱锥模型．答案: 48．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗?解: 不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面是有一个公共顶点的三角形”, 如图所示的几何体并不是棱锥．9．下列三个命题, 其中正确的有________个．①用一个平面去截棱锥, 棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似, 其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行, 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．解析: 由棱台定义知3个命题均不正确．答案: 0B级能力提升10.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示), 则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析: 两个☆不能并列相邻, B、D错误; 两个※不能并列相邻, C错误, 故选A.也可通过实物制作检验来判定．答案: A11．下列说法不正确的是________(填序号)．①有些棱台的侧棱都相等;②四棱锥有五个顶点;③三棱台的上、下底面是相似三角形;④有两个面平行且相似, 其余各面都是梯形的几何体是棱台．解析: 根据棱锥顶点的定义可知, 四棱锥仅有一个顶点, 则②不正确; 显然①③正确; 举反例: 将两个相同的四棱台的上底面重合上下放置, 得到的几何体不是棱台, ④不正确．答案: ②④12．下列图中的几何体是棱台的是________(填序号)．解析: ①③都不是由棱锥截成的, 不符合棱台的定义, 故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面, 不符合棱台的定义, 故②不满足题意．④符合棱台的定义．答案: ④13.如图所示是一个正方体的表面展开图, 把它折回成正方体后, 下列命题中, 正确命题的序号是________．①点H与点C重合;②点D, M与点R重合;③点B与点Q重合;④点A与点S重合．解析: 把面EFNM作为该正方体的底面, 将展开图还原为正方体, 如图所示, 然后逐个检验, 便可得到命题②④是正确的．答案: ②④14．一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为2, 3, 6, 这个长方体的对角线的长是________．解析: 设三边分别为a, b, c, 则ab＝2, bc＝3, ca＝6, 解得: a＝2, b＝1, c＝3, 所以对角线长为a2＋b2＋c2＝1＋2＋3＝ 6.答案: 615．两个完全相同的长方体, 长、宽、高分别为5 cm, 4 cm, 3 cm, 把它们重叠在一起组成一个新长方体, 在这些新长方体中, 求最长的对角线的长度．解: 当一个长方体放在另一个长方体的上方时, 这时新的长方体的对角线长d1＝52＋42＋（3＋3）2＝77(cm);当一个长方体放在另一个长方体的右边时, 这时新的长方体的对角线长d2＝（5＋5）2＋42＋32＝55(cm);当一个长方体放在另一个长方体的前方时, 这时新的长方体的对角线长d3＝52＋（4＋4）2＋32＝72(cm)．综上可知, 新长方体中, 最长的对角线的长度为5 5 cm.16.如图所示, 已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16, 一条侧棱长为211, 点E是BC的中点, 计算它的高和斜高．解: 因为正方形ABCD的面积为16,所以边长为4, OB＝2 2.又侧棱长为211,所以VO＝（211）2－（22）2＝6.又OE＝2, 所以斜高VE＝62＋22＝210.故它的高为6, 斜高为210.第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球A级基础巩固1．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点, 有无数条母线解析: 圆锥是直角三角形绕直角边所在直线旋转得到的, 如果绕斜边旋转就不是圆锥, A不正确; 夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体, 故B不正确; 通过圆台侧面上一点, 有且只有一条母线, 故D不正确．答案: C2．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行, 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的解析: 两直线平行时, 直线绕定直线旋转才形成柱面, 故A不正确; 半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体, 故B不正确; C不符合棱台的定义．答案: D3．下列命题中, 正确的是()A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形解析: A中的截面是抛物面, 故错误; B中截面只过一个底面时, 不成立; 而D中截面不过另一个底面时, 也不成立; 因为圆锥的母线相等, 所以过圆锥顶点的截面是等腰三角形, 故C成立．答案: C4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体, 现用一个竖直的平面去截这个组合体, 则截面图形可能是()A．①②B．①③C．①④D．①⑤解析: 一个圆柱挖去一个圆锥后, 剩下的几何体被一个竖直的平面所截后, 圆柱的轮廓是矩形除去一条边, 圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．答案: D5．给出以下命题:①空间中到定点的距离等于定长r的点的集合, 构成半径为r的球;②空间中到定点的距离等于定长r的点的集合, 构成半径为r的球面;③一个圆面绕其直径所在直线旋转180°所形成的曲面围成的几何体是球;④球面的对称轴有无数条, 对称中心有无数个．其中正确的是________(填序号)．解析: 由球的定义知, ①错误, ②正确, ③正确; ④错误, 因为球面的对称中心只有一个, 即球心．答案: ②③6．半圆绕着直径所在直线旋转一周所得的几何图形是______．解析: 注意球与球面、半圆与半圆面的区别．答案: 球面7．如图所示, 一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°, 想象并说出它形成的几何体的结构特征．试着说出它的名称为________．解析: 旋转形成的几何体是由两个同心球构成的, 即大球中挖去一个同心的小球．答案: 空心球8．一个正方体内接于一个球, 过球心作一截面, 如下图所示, 则截面的可能图形是________(填图序)．解析: 当截面平行于正方体的一个侧面时得③, 当截面过正方体对角线时得②, 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①, 但无论如何都不能得出④.答案: 图①、图②、图③B级能力提升9．下面平面图形中能旋转而形成如图所示的几何体的是()解析: 此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成, 是由A中的平面图形旋转而形成的．答案: A10．用一个平面截半径为25 cm的球, 截面圆的面积是49π cm2, 则球心到截面的距离为________．解析: 球的半径R＝25(cm), 截面圆的半径r＝7(cm), 则球心到截面的距离d＝252－72＝24(cm)．答案: 24 cm11．若一个圆锥的轴截面是等边三角形, 其面积为3, 则这个圆锥的母线长为________．解析: 如图所示, 设等边三角形ABC为圆锥的轴截面, 由题意易知其母线长即△ABC的边长, 且S△ABC＝34AB2, 所以3＝34AB2.所以AB＝2.故所求圆锥的母线长为2.答案: 212．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．图①图②解: (1)图中的几何体是由六棱柱中挖去一个圆柱构成的．(2)图中的几何体是由圆锥、圆柱、圆台构成的．13．已知圆柱的底面圆的半径是20 cm, 高是15 cm, 则平行于圆柱的轴且与此轴相距12 cm的截面面积是________cm2.解析: 圆柱的底面如图所示,设所求截面的底边长为x cm ,由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝202－122, 解得x ＝32, 所以S 截面＝32×15＝480(cm 2)．答案: 48014．把四个半径为R 的小球放在桌面上, 使下层三个, 上层一个, 两两相切, 求上层小球最高处离桌面的距离．解: 如图所示, 由于四个半径为R 的球两两相切, 故四个球的球心构成一个棱长为2R 的正四面体O 4-O 1O 2O 3, 因为底面等边三角形O 1O 2O 3的高为32×2R , 所以该棱锥的高OO 4＝（2R ）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫233R 2＝263R . 所以上层小球最高处离桌面的距离d ＝263R ＋R ＋R ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋263R .第1章 立体几何初步1.1 空间几何体1.1.3 中心投影和平行投影A级基础巩固1．已知△ABC, 若选定的投影面与△ABC所在平面平行, 则经过中心投影后所得三角形与△ABC()A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对解析: 根据中心投影的概念判断是相似．答案: B2．下列命题正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析: 因为当平面图形与投射线平行时, 所得投影是线段, 故A, B错．又因为点的平行投影仍是点, 所以相交直线的投影不可能平行, 故C错．由排除法可知, 选项D正确．答案: D3．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形, 则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析: 由三视图知识, 知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形, 而圆柱的正视图不可能为三角形．答案: A4．下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析: 在各自的三视图中: ①正方体的三个视图都相同; ②圆锥有两个视图相同; ③三棱台的三个视图都不同; ④正四棱锥有两个视图相同．答案: D5．将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为()解析: 所给几何体的侧视图是矩形, 里面从右上到左下加对角线．答案: D6．一个图形的平行投影是一条线段, 这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．①线段; ②直线; ③圆; ④梯形; ⑤长方体．解析: ①的平行投影是线段或点; ②的平行投影是直线或点; 对于③④, 当图形所在面与投影面垂直时, 其正投影为线段; ⑤的平行投影显然不可能是线段．故填②⑤.答案: ②⑤7．两条相交直线的平行投影是___________________________．解析: 当两条相交直线所在平面与投影线不平行时, 平行投影是两条相交直线; 当平行时, 其投影是一条直线．答案: 两条相交直线或一条直线8．图①和图②为两个几何体的三视图, 根据三视图可以判断这两个几何体分别为________、________．解析: 根据三视图的形状联想几何体的结构．答案: 圆台四棱锥9．如图所示的长方体和圆柱的三视图是否正确?解: 均不正确．画一个物体的三视图, 不仅要确定其形状, 而且要确定线段的长短关系．长方体和圆柱的正确三视图如图所示:B级能力提升10．(2014·江西卷)一几何体的直观图如图所示, 下列给出的四个俯视图中正确的是()解析: 该几何体是组合体, 上面的几何体是一个五面体, 下面是一个长方体, 且五面体的一个面即为长方体的一个面, 五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等, 故选B.答案: B11．画简单组合体的三视图时, 下列说法错误的是________(填序号)．①主视图与俯视图长相同;②主视图与左视图高平齐;③俯视图与左视图宽相等;④俯视图画在左视图的正下方．解析: 由画图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”, 易知①②③正确．答案: ④12．下列实例中, 不是中心投影的是________(填序号)．①工程图纸; ②小孔成像; ③相片; ④人的视觉．解析: 由中心投影和平行投影的定义知, 小孔成像、相片、人的视觉为中心投影, 工程图纸为平行投影．答案: ①13．一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是________(填图序)．解析: 由三视图可知该几何体上部分是一个圆台, 下部分是一个圆柱, 故填图④.答案: 图④14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示, 则这个正三棱柱的高和底面边长分别为________、________．解析: 从左视图中得到高为2, 正三棱柱的底面正三角形的高为23, 可得边长为4.答案: 2 415．已知正方体的棱长为1, 其俯视图是一个面积为1的正方形, 左视图是一个面积为2的矩形, 则该正方体的主视图的面积等于________．解析: 由题意可知, 该正方体是斜放的, 其俯视图恰好是正方形, 而左视图和主视图都是正方体的对角面, 故该正方体的主视图的面积等于 2.答案: 216．在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱, 仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来, 如图所示, 则这堆正方体货箱共有________个．解析: 由主视图可知货箱有3层, 由左视图可知货箱前后有3排, 由俯视图可知货箱有3列, 则货箱的具体分布情况如图所示, 其中小正方形的数字表示此位置上面货箱的个数．因此这堆正方体货箱共有3＋1＋1＋2＋1＋1＝9(个)．答案: 9第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.4 直观图画法A组基础巩固1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图, 对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的线段仍相交B．原来垂直的线段仍垂直C．原来平行的线段仍平行 D．原来共点的线段仍共点解析: 根据斜二测画法可知, 原来垂直的线段未必垂直．答案: B2．建立坐标系, 得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()解析: 由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．答案: C3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图, 正确的是()解析: 正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长度减半, 故只有C正确．答案: C4．下图为一平面图形的直观图, 因此平面图形可能是()解析: 根据直观图, 平面图形的一边在x′轴上, 另一边与y′轴平行, 故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．答案: C5．如图所示, △A′B′C′是△ABC的直观图, 其中A′C′＝A′B′, 那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析: 由直观图看出, 三角形中有两边分别和两轴平行且相等, 由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行, 即有两边垂直且不等, 所以原三角形为直角三角形．答案: B6．利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形; ⑤梯形的直观图是梯形．以上结论, 正确的是________(填序号)．解析: 因平行性不改变, 故②正确, ①也正确, 梯形的两底保持平行且不相等, 故⑤也正确; 平行于y轴的线段, 长度变为原来的一半, 故③④不正确．答案: ①②⑤7．如图所示, 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形, 则原来图形的形状是________(填序号)．①②③④解析: 根据斜二测画法知, 在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍, 可知①正确．答案: ①B级能力提升8.如图所示, Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图, 直角边O′B′＝1, 则这个平面图形的面积是()A ．2 2B ．1 C. 2 D ．4 2解析: 设这个平面图形为△OAB .因为O ′B ′＝1, 所以O ′A ′＝2.所以在Rt △OAB 中, ∠AOB ＝90°, OB ＝1, OA ＝22, 所以S△AOB ＝12×1×22＝ 2. 答案: C9.如图所示, 正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm, 它是水平放置的一个平面图形的直观图, 则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3)cm D．2(1＋2)cm解析: 根据直观图的画法, 原几何图形如图所示,四边形OABC为平行四边形, OB＝22, OA＝1, AB＝3, 从而原图周长为8 cm.答案: A10．有一个长为5 cm, 宽为4 cm的矩形, 则其直观图的面积为________．解析: 该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2), 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系, 可得直观图的面积为S′＝24S＝52cm2.答案: 5 211．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解: 等腰梯形及其直观图如图①和图②所示．(1)如图①所示, 取AB所在直线为x轴, AB的中点O为原点, AB的中垂线为y轴建立直角坐标系, 画出对应的直观图中的坐标系x′O′y′, 使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB, 在y′轴上取O′E′＝1 2OE, 以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′, D′A′, 如图②所示, 所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．12．下图是已知几何体的三视图, 用斜二测画法画出它的直观图．解: (1)画轴, 如图①所示, 画x轴、y轴、z轴, 三轴相交于点O, 使∠xOy＝45°, ∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A, B两点, 在z轴上取点O′, 使OO′等于三视图中相应高度, 过点O′作Ox的平行线O′x′, Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′, 设⊙O′交x′轴于A′, B′两点．(3)成图, 连接A′A, B′B.去掉辅助线, 将被遮挡的部分改为虚线, 即得到给出三视图所表示的直观图, 如图②所示．13．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°, 腰和上底均为1的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是多少?解: 由题意, 知原图形为直角梯形, 且上底为1, 下底为1＋2,高为2, 所以实际图形的面积＝（1＋1＋2）×22＝2＋ 2.第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1．下列有关平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面解析: 我们用平行四边形表示平面, 但不能说平行四边形就是一个平面, 故A项不正确; 平面图形和平面是两个概念, 平面图形是有大小的, 而平面无法度量, 故B项不正确; 太平洋面是有边界的, 不是无限延展的, 故C项不正确; 在需要时, 除用平行四边形表示平面外, 还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．答案: D2.如图所示, 用符号语言可表示为()A．α∩β＝m, n⊂α, m∩n＝AB．α∩β＝m, n∈a, m∩n＝AC．α∩β＝m, n⊂α, A⊂m, A⊂nD．α∩β＝m, n∈a, A∈m, A∈n解析: α与β交于m, n在α内, m与n交于A.答案: A3．下列说法正确的是()A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析: 对于A, 若三点共线, 则错误; 对于B项, 若两条直线既不平行, 也不相交, 则错误; 对于C项, 空间四边形就不只确定一个平面．答案: D4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A．1个或3个B．1个或4个C．1个, 3个或4个D．1个, 2个或4个解析: 若三点在同一直线上, 且与已知直线平行或相交, 或该直线在由该三点确定的平面内, 则均确定1个平面; 若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面; 若三点不共线, 且该直线在由该三点确定的平面外, 则可确定4个平面．答案: C5.如图所示, 平面α∩平面β＝l, A, B∈α, C∈β, C∉l, 直线AB∩l ＝D, 过A, B, C三点确定的平面为γ, 则平面γ, β的交线必过点________．解析: 根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内, 故在β与γ的交线上．答案: C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析: 若四点共线, 可确定无数个平面; 若四点共面不共线, 可确定一个平面; 若四点不共面, 可确定四个平面．答案: 1个或4个或无数7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中两两相交的三条直线确定一个平面;②一条直线和一个点能确定一个平面;③梯形一定是平面图形．解析: 根据三个公理及推论知①②均不正确．答案: ③8．下列各图的正方体中, P, Q, R, S分别是所在棱的中点, 则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析: ①中PS∥RQ, ③中SR∥PQ, 由推论3知四点共面．答案: ①③9．点A在直线l上但不在平面α内, 则l与α的公共点有__________个．答案: 0或110．根据下列条件, 画出图形: 平面α∩平面β＝AB, 直线CD⊂α, CD∥AB, E∈CD, 直线EF∩β＝F, F∉AB.解: 由题意画出图形如图所示．B级能力提升11．如图所示, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 设A1C∩平面ABC1D1＝E, 则B, E, D1三点的关系是________________________．解析: 连接AC、A1C1、AC1, (图略)则E为A1C与AC1的交点,故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形, 所以B, E, D1三点共线．答案: 共线12．下列叙述中, 正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上, 点P在直线m上, 点P在直线n上, 则l, m, n共面;②若点P在直线l上, 点P在直线m上, 则l, m共面;③若点P不在直线l上, 点P不在直线m上, 点P不在直线n上, 则l, m, n不共面;④若点P不在直线l上, 点P不在直线m上, 则l, m不共面;⑤若点P在直线l上, 点P不在直线m上, 则l, m不共面．解析: 因为P∈l, P∈m, 所以l∩m＝P.由推论2知, l, m共面．答案: ②13.如图所示, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点M, N, E, F分别是棱CD, AB, DD1, AA1上的点, 若MN与EF交于点Q, 求证: D, A, Q 三点共线．证明: 因为MN∩EF＝Q,所以Q∈直线MN, Q∈直线EF.又因为M∈直线CD, N∈直线AB,CD⊂平面ABCD, AB⊂平面ABCD,所以M, N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理, 可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD,所以Q∈直线AD, 即D, A, Q三点共线．14．如图所示, 正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别是棱AA1, AB 的中点, 求证: D1E, CF, DA三线共点．证明: 如图所示, 连接EF, A1B, D1C,因为E, F为AA1, AB的中点,所以EF綊12A1B.又因为A1B綊D1C, 所以EF綊12D1C.故直线D1E, CF在同一个平面内, 且D1E, CF不平行, 则D1E, CF必相交于一点, 设该点为M.又因为M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1,所以M∈AD, 即D1E、CF、DA三线共点．15.如图所示, 在四面体ABCD中, E, G, H, F分别为BC, AB, AD, CD上的点, EG∥HF, 且HF<EG.求证: EF, GH, BD交于一点．证明: 因为EG∥HF,所以E, F, H, G四点共面,又HF<EG, 所以四边形EFHG是一个梯形．如图所示, 延长GH和EF交于一点O,因为GH在平面ABD内, EF在平面BCD内,所以点O既在平面ABD内, 又在平面BCD内．所以点O在这两个平面的交线上, 而这两个平面的交线是BD, 且交线只有这一条．所以点O在直线BD上．所以GH和EF的交点在BD上,即EF, GH, BD交于一点．16.已知: 如图所示, a∥b∥c, 直线l∩a＝A, l∩b＝B, l∩c＝C. 求证: a, b, c, l四线共面．证明: 因为a∥b, 所以a, b确定一个平面α.因为A∈a, B∈b, 所以A∈α, B∈α.所以AB⊂α, 即l⊂α.同理,由b∥c, 得b, c确定一个平面β, 可证l⊂β.所以l, b⊂α, l, b⊂β.因为l∩b＝B, 所以l, b只能确定一个平面．所以α与β重合．故c在平面α内．所以a, b, c, l四线共面．第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.2 空间两条直线的位置关系A组基础巩固1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面解析: 可能相交也可能异面, 但一定不平行(否则与条件矛盾)．答案: D2．a, b为异面直线是指()①a∩b＝∅, 且a不平行于b; ②a⊂平面α, b⊄平面α, 且a∩b＝∅; ③a⊂平面α, b⊂平面β, 且α∩β＝∅; ④不存在平面α能使a⊂α, 且b⊂α成立．A．①②③B．①③④C．②③D．①④解析: ②③中的a, b有可能平行, ①④符合异面直线的定义．答案: D3．下列选项中, 点P, Q, R, S分别在正方体的四条棱上, 并且是所在棱的中点, 则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析: 易知选项A, B中PQ∥RS, 选项D中RS与PQ相交, 只有选项C中RS与PQ是异面直线．答案: C4．下列命题中, 其中正确的为________(填序号)．①若两条直线没有公共点, 则这两条直线互相平行;②若两条直线都和第三条直线相交, 那么这两条直线互相平行;③若两条直线都和第三条直线平行, 则这两条直线互相平行;④若两条直线都和第三条直线异面, 则这两条直线互相平行;⑤若两条直线都和第三条直线有公共点, 那么这两条直线不可能互相平行．解析: 根据两条直线的位置关系, 知只有③正确．答案: ③5．已知AB∥PQ, BC∥QR, 若∠ABC＝30°, 则∠PQR＝______．解析: 由等角定理可知, 当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相同时, ∠PQR＝30°; 当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相反时, ∠PQR＝150°.故填30°或150°.。
姓名，年级：时间：第一章 章末检测1、已知1111ABCD A BC D -为棱长为1的正方体,点1P ， 2P 分别是线段AB ,1BD 上的动点且不包括端点，在1P , 2P 运动的过程中线段1P ， 2P 始终平行于平面11A ADD ，则四面体121P P AB -的体积的最大值是( ）A.124 B 。
112C. 148D. 122、一个封闭的正三棱柱容器,高为3，内装水若干(如图甲,底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙,一个侧面处于水平状态）,这时水面与各棱交点11,,,E F F E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ )A. 32B. 74C.2 D 。
943、我国古代数学专著《九章算术》中有关“堑堵”的记载堑堵"即底面是直角三角形的直三棱柱。
已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下几何体的三视图如图所示,则剩下几何体的体积是（ ）A。
50 B。
75C. 50 2D. 75 24、已知圆锥的母线长为5cm，,圆锥的侧面展开图如图所示,且1120AOA∠=，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程为（）A。
8cmB. 53cmC. 10cmD。
5cmπ5、如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ )A.平行B。
垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直6、如图1，在三棱锥P ABC -中, PA ⊥平面,,ABC AC BC D ⊥为侧棱PC 上的一点，它的主视图和左视图如图2所示, 则下列命题正确的是( )A. AD ⊥平面PBC ,且三棱柱D ABC -的体积为83B 。
BD ⊥平面PAC ,且三棱柱D ABC -的体积为83C. AD ⊥平面PBC ,且三棱柱D ABC -的体积为163D. BD ⊥平面PAC ，且三棱柱D ABC -的体积为1637、经过两条异面直线a ， b 外的一点P 作与,?a b 都平行的平面,则这样的平面（ )A 。
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二第2章2.1直线与方程同步测试试卷一、填空题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.）1. 下列直线中与直线平行的一条是________.2x－y＋1＝0 ②2x－4y＋2＝0③2x＋4y＋1＝0 ④2x－4y＋1＝02．已知两点A(2，m)与点B(m，1)之间的距离等于13，则实数m＝_________.3．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是______________.4．直线l：mx－m2y－1＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是__________．5.点P(1，2)关于x轴和y轴的对称的点依次是_________.6．已知两条平行直线l1 : 3x＋4y＋5＝0，l2 : 6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝__________．7．a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点____________.8．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是____________．9．已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________．10．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则22＋yx的最小值等于____________．二、解答题（本题共4小题，共50分）11．(12分)求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程．12．(12分)过点P(1，2)的直线l被两平行线l1 : 4x＋3y＋1＝0与l2 : 4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l的方程．建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分13．(12分)△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上的高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标．14．(14分)已知方程(m2―2m―3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．(1)求该方程表示一条直线的条件；(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值；(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．第2章2.1直线与方程同步测试试卷（数学苏教版必修2）答题纸得分：一、填空题1．2． 3. 4. 5. 6．7．8．9．10．二、解答题11.12.13.14.第2章 2.1直线与方程 同步测试试卷（数学苏教版必修2）答案一、填空题1.④ 解析：利用A 1B 2－A 2B 1＝0来判断，排除①③，而②中直线与已知直线重合．2.-1或4 解析：因为|AB |＝ 1 －＋ － 222)()(m m ＝13，所以2m 2－6m ＋5＝13． 解得m ＝－1或m ＝4．3. y ＝3(x －4) 解析：因为△ABC 是等边三角形，所以BC 边所在的直线过点B ，且倾斜角为3π， 所以BC 边所在的直线方程为y ＝3(x －4)．4. x ＋y －3＝0 解析：由点P 在l 上得2m ―m 2―1＝0，所以m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．所以所求直线的斜率为－1，显然x ＋y －3＝0满足要求．5. (1，－2)和(－1，2) 解析：因为点(x ，y )关于x 轴和y 轴的对称点依次是(x ，－y )和(－x ，y )，所以P (1，2)关于x 轴和y 轴的对称的点依次是(1，－2)和(－1，2)． 6.-12或48 解析：将l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0，因为两条直线平行，所以b ＝8． 由228＋ 6 － 10c ＝3，解得c ＝－20或c ＝40． 所以b ＋c ＝－12或48．7. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21解析：方法1：因为a ＋2b ＝1，所以a ＝1－2b ．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0． 整理得(1－2x )b ＋(x ＋3y )＝0．所以当x ＝21，y ＝－61时上式恒成立． 所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．方法2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0，进一步变形为a ×21＋3×⎪⎭⎫⎝⎛61 －＋b ＝0． 这说明直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝21，y ＝－61时恒成立． 所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．8.251± 解析：由已知得1 － 20 － a ＝1－ 0－ 1a ，所以 a 2―a ―1＝0． 解得a ＝251±．9. y ＝2x 解析：已知直线可变形为y ＋2＝－a (x ＋1)，所以直线恒过点(―1，―2)．故所求的直线方程是y ＋2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ．10.1360解析：因为实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，所以22 ＋ y x 表示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离．所以22 ＋ y x 的最小值表示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离．容易计算d ＝144 ＋ 2560＝1360．即所求22 ＋ y x 的最小值为1360． 二、解答题11．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ， 令x ＝0，得y ＝b ，所以直线与y 轴的交点为(0，b )； 令y ＝0，得x ＝－34b ，所以直线与x 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ，34 －b ． 由已知，得|b |＋b 34 －＋2234 － ＋ ⎪⎭⎫⎝⎛b b ＝12，解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0． 12．解：当直线l 的方程为x ＝1时，可验证不符合题意，故设l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎨⎧0 ＝ 1 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋ ＝ y x x y k k 解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛4 ＋ 38 ＋ 5 － ，4 ＋ 37 － 3k k k k ；由⎩⎨⎧0 ＝ 6 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋ ＝ y x x y k k 解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛4 ＋ 301 － 8 ，4 ＋ 321 － 3k k k k ．因为|AB |＝2，所以 4 ＋ 35＋ 4 ＋ 3522⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k ＝2．整理得7k 2－48k －7＝0．解得k 1＝7或k 2＝－71． 故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0．13．解：依条件，有⎩⎨⎧x y x y ＝1－ 2 ＝ 解得A (1，1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2，5)关于y ＝x 的对称点C'(5，2)在AB 边所在的直线上．AB 边所在的直线方程为y －1＝1－ 51－ 2(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0．又BC 边上的高线所在的直线方程是y ＝2x －1，所以BC 边所在的直线的斜率为－21． BC 边所在的直线的方程是y ＝―21(x －2)＋5，整理得x ＋2y －12＝0． 联立x －4y ＋3＝0与x ＋2y －12＝0，解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛25 ，7．14．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m 2―2m ―3＝0，解得m ＝－1或m ＝3； 令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝21． 所以方程表示一条直线的条件是m ∈R ，且m ≠－1． (2)由(1)易知，当m ＝21时，方程表示的直线的斜率不存在， 此时的方程为x ＝34，它表示一条垂直于x 轴的直线． (3)依题意，有3－ 2 － 6－22m m m ＝－3，所以3m 2－4m －15＝0． 所以m ＝3，或m ＝－35，由(1)知所求m ＝－35． (4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率k =1．故由－1－ ＋ 23 － 2 － 22m m m m ＝1，解得m ＝34或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝34．。
苏教版高中数学必修二全册同步课时练习棱柱 棱锥 棱台(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C ．棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形．A [棱柱的面中，有两个底面，所以至少有两个面互相平行，故A 正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面，B 错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，C 错误．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面可能是平行四边形，D 错误．]2．如图所表示的几何体中，不是棱锥的为( )A B C DA [结合棱锥的定义可知，A 不符合其定义，故选A.] 3．如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝2，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1C [根据棱台是由棱锥截成的进行判断．A 中A 1B 1AB ≠ B 1C 1BC ，故A 不正确；B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC，故B 不正确；C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 正确；D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台，故选C.]4.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图形如图所示，A ，B ，C 是展开图上的三点，在正方体盒子中三角形ABC 的形状为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形B[由题图知，分别连接A，B，C三点，AB，BC，CA是正方体盒子的面对角线，所以△ABC 为等边三角形．]5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为________．A BC DA[两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．]二、填空题6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．①③④⑤[在正方体ABCDA1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤.]7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.12[由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱，又棱柱侧棱长相等，故每条侧棱长为12 cm.]8．所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个．7[如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥．图(3)是它们拼接而成的一个几何体．故暴露的面数为7个．(1) (2) (3)]三、解答题9．观察图中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．(1) (2) (3)[解]图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组成．图(3)是由一个三棱台和一个上底面与三棱台的下底面重合的三棱柱组成．10．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？[解](1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF均为直角三角形．(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD －S △PEF －S △DPF －S △DPE ＝(2a )2－12a 2－a 2－a 2＝32a 2.[等级过关练]1．一个截面经过棱锥各条侧棱的中点，则截得棱台的上、下底面积之比是( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶8C [如图，由于A 1是SA 的中点， 则SA 1SA ＝12＝A 1B 1AB， 故S 上底面S 下底面＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1B 1AB 2＝14.] 2．在正五棱柱中，不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线条数有( )A ．5B ．6C ．8D ．10D [正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线．]3．用一个平行于底面的平面去截一个几何体，如果截面是三角形，则这个几何体可能是__________．三棱锥、三棱柱、三棱台等(答案不唯一) [用平行于底面的平面去截三棱柱，截面是三角形，用同样的方法去截三棱锥、三棱台，所得截面均为三角形．]4．如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________ cm.13 [由题意，若以BC 为轴展开，则A ，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.]5．如图所示，已知三棱台ABCA′B′C′.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．[解](1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，多面体是B′C′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.①②圆柱圆锥圆台和球(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形C[由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．]2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )A．圆锥B．圆台C．圆柱D．两个圆锥组合体D[连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其一条对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．]3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能的图形是( )A B C DD[当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，但无论如何都不能截出D.]4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是( )A．圆台B．圆锥C．圆锥侧面D．圆台侧面C[由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周，得到的是圆锥侧面，不含底面．]5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为( )A．9 B．3C. 5 D．2 2B[如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝22.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.]二、填空题6．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．一个六棱柱中挖去一个圆柱[一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．]7．如图所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的．圆锥、圆柱[旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．]8．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．πS[因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.]三、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．[解]如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，解得r＝2 cm.所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4 cm.10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．[解] 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的半径O1D为x.因为OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，则CD＝BC，所以x＝l，故截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．[等级过关练]1．下列命题中正确的是( )A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球C[A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体；C正确；D错，点的集合应为球面．]2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A．圆锥B ．两个圆锥组合体C ．圆台D ．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥D [如图，以AB 为轴旋转所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．]3．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到点G 的最短距离是________cm.52π2＋4 [如图所示，E ′F ＝12×2π×52＝52π(cm)， ∴最短距离E ′G ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．]4．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．12 [由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r ＝AB2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12.]5．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值． [解]将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ，∴SR ＝SA ·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.中心投影与平行投影及直观图画法(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是( ) A ．正三角形的直观图仍然是正三角形 B ．平行四边形的直观图一定是平行四边形 C ．正方形的直观图是正方形 D ．圆的直观图是圆B [由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故A 、C 错误；又圆的直观图为椭圆，故D 错误．]2．如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是( )A B C DC [根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y ′轴的边与底边垂直．]3．如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．ACD [由题图可知，在△ABC 中，AB ⊥BC ，AC 为斜边，AD 为直角边上的一条中线，显然斜边AC 最长．]4．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′与x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2D [由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S直观图，得12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.]5．如图所示，为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A.22B ．1 C. 2D ．2A [在直观图中，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.]二、填空题6．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为 1 cm ，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm.8 [由于平行性不变，O ′A ′∥B ′C ′，故在原图形中，OABC ，∴四边形OABC 为平行四边形，且对角线OB ⊥OA ，对角线OB ＝22，则AB ＝12＋（22）2＝3.∴原图形的周长为l ＝3×2＋1×2＝8.]7.如图是△AOB 用斜二测画法画出的直观图△A ′O ′B ′，则△AOB 的面积是________．16 [由题图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又因为底边OB 的高线长为8， 所以面积S ＝12×4×8＝16.]8．如图所示，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．10 [由四边形OPQR 的直观图可知该四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.]三、解答题9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm ，3 cm ，2 cm 的长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图．[解] 画法：第一步，画轴，如图(1)，画x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°.(1) (2)第二步，画底面，以点O ′为中点，在x ′轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y ′轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm ，分别过点M 和N 作y ′轴的平行线，过点P 和Q 作x ′轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面．第三步，画侧棱，过A ，B ，C ，D 各点分别作z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.第四步，成图，顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，∠A ′B ′C ′＝45°，D ′C ′⊥A ′D ′，A ′B ′＝A ′D ′＝1，D ′C ′⊥B ′C ′，求这块菜地的面积．[解] 在直观图①中，过点A ′作A ′E ′⊥B ′C ′，垂足为E ′，①则在Rt △A ′B ′E ′中，A ′B ′＝1， ∠A ′B ′E ＝45°， ∴B ′E ′＝22，而四边形A ′E ′C ′D ′为矩形，A ′D ′＝1，②∴E ′C ′＝A ′D ′＝1. ∴B ′C ′＝B ′E ′＋E ′C ′＝22＋1. 由此可得原图形如图②，在原图形中，AD ＝1，AB ＝2，BC ＝22＋1， 且AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴这块菜地的面积S ＝12(AD ＋BC )·AB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.[等级过关练]1．利用斜二测画法画边长为1 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )A B C DD [正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.故D 正确．] 2．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中O ′C ′＝O ′A ′＝2O ′B ′，则以下说法正确的是( )A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等边三角形C [将其恢复成原图，设A ′C ′＝2，则可得OB ＝2O ′B ′＝1，AC ＝A ′C ′＝2，故△ABC 是等腰直角三角形．]3.如图，在直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中原四边形OABC 为________(填形状)，面积为________ cm 2.矩形 8 [由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm ，OC ＝4 cm ，所以四边形OABC 的面积S ＝2×4＝8(cm 2)．]4．在平面直角坐标系xOy 中，O (0，0)，B (4，0)，C (0，22)，用斜二测画法把△OBC 画在对应的x ′O ′y ′中时，B ′C ′的长是________．10 [由题设知OB ＝4，OC ＝22，∠COB ＝90°.根据斜二测画法的规则可得O ′B ′＝4，O ′C ′＝222＝2，∠C ′O ′B ′＝45°，在△C ′O ′B ′中，由余弦定理， 得B ′C ′＝（2）2＋42－2×2×4×22＝10.] 5．已知△ABC 的面积为62a 2，它的水平放置的直观图为△A ′B ′C ′是一个正三角形，根据给定的条件作出△A ′B ′C ′的原图形，并计算△A ′B ′C ′的面积．[解] (1)取B ′C ′所在的直线为x ′轴，过B ′C ′中点O ′与O ′x ′成45°的直线为y ′轴，建立坐标系x ′O ′y ′；(2)过A ′点作A ′M ′∥y ′轴交x ′轴于M ′点，在△A ′B ′C ′中，设它的边长为x ，∵O ′A ′＝32x ，∠A ′M ′O ′＝45°，∴O ′A ′＝O ′M ′＝32x ，故A ′M ′＝62x ；(3)在直角坐标系xOy 中，在x 轴上O 点左右两侧， 取到点O 距离为x2的点B ，C ，在x 轴O 点左侧取到原点O 距离为32x 的点M ，过M 在x 轴上方作y 轴的平行线并截取MA ＝6x ，连结AB ，AC ，则△ABC 为△A ′B ′C ′的原图形，由S △ABC ＝62a 2，得12x ×6x ＝62a 2，∴x ＝a ，故△A ′B ′C ′的面积为34a 2.平面的基本性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下面是四个命题的叙述(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)，其中叙述方式和推理都正确的是( )A．Aα，Bα，∴ABαB．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αC．∵Aα，aα，∴A aD．∵ABα，∴AαC[A错，应写为A∈α，B∈α；B错，应写为ABα；C对．D错，A有可能在α内．] 2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线B[如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A，B，D不共线．(1) (2)]3．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面D[因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A、B、C均正确．]4．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( )A B C D[答案] D5．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是( )A B C DA[图形A中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形A正确．分析可知图形B、C、D中这四点均不共面．]二、填空题6．经过空间任意三点可以作________个平面．一个或无数[若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．] 7．设平面α与平面β相交于l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈ABβ，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]三、解答题9.如图所示，点A平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：点K在直线BD上．[证明]∵EH∩FG＝K，∴K∈EH，K∈FG.∵E∈AB，H∈AD，∴EH平面ABD，∴K∈平面ABD.同理，K∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴K在直线BD上．10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．[证明]因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E 与DA共面于平面A1D且不平行，如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC 的延长线交于H，则H∈平面α.又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB 为等腰直角三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．[等级过关练]1．下列命题中是假命题的为( )A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若lα，A∈l，则A∈αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合C[C中A是l和α交点时，A∈α.]2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝( )A．l B．PRC．PN D．PMB[如图，MNγ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.]3．如图所示，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．P∈DE[因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，故DE是平面ABC与平面α的交线．又∵P在α内，也在平面ABC内，故P点在平面ABC与平面α的交线DE上．]4．正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是__________．正六边形[如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，RE PQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB1，DD1的中点F，G.∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，又∵QP＝PF＝FR＝ER＝EG＝GQ＝22 AB，∴截面图形为正六边形．]5．在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出交线l；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离．[解](1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连结QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点． 又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N .∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a4，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离． ∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，∴QN ＝QD 21＋D 1N 2＝172a ， ∴D 1H ＝D 1Q ·D 1NQN ＝2a ·a2172a ＝21717a ，即点D 1到l 的距离是21717a .空间两条直线的位置关系(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的有( )A ．两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线B ．两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线C ．两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线D ．两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线C [A 只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；B 把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；C 从反面肯定了两直线的异面；D 中的两条直线可能在同一平面内．故选C.]2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有( )①②③④A．①②B．①③C．②③D．②④D[①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．]3．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线条数为( )A．0 B．1C．2 D．无数D[l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n 都垂直．]4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是( ) A．平行四边形B．矩形C．梯形D．正方形B[易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．]5．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．C 1C 与AE 共面 C ．AE ，B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1所成的角为60°C [CC 1与B 1E 共面，CC 1与AE 异面，故A 、B 错；AE 与BC 垂直，BC ∥B 1C 1，∴AE ⊥B 1C 1，故D 错．]二、填空题6．如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若MN ＝6，则BD ＝________．18 [连结AM 并延长交BC 于E ，连结AN 并延长交CD 于F ，则E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连结EF .由题意知，AM AE ＝MN EF ＝23，∴EF ＝32×6＝9，∴BD ＝2EF ＝18.]7．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是梯形，AB ∥CD ，则所有与∠A 1AB 相等的角是________．∠D 1DC ，∠D 1C 1C ，∠A 1B 1B [因四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中AA 1∥DD 1.又AB ∥CD ，所以∠A 1AB 与∠D 1DC 相等．又由于侧面A 1ABB 1，D 1DCC 1为平行四边形，所以∠A 1AB 与∠A 1B 1B ，∠D 1C 1C 也相等．]8．如图，过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作________条．4[连结AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．]三、解答题9．如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．[证明]如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQ B1C1(平行公理)，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E C1Q.又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q DF.又∵B1E C1Q，∴B1E DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．10．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解]因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB 所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.[等级过关练]1．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.A．①③B．②④C．②③D．③④A[把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB ∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1，CC1的中点，有以下四个结论错误的是( )A．直线DM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线B[B中AM和BN是异面直线．]3．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C 所成的角的大小是__________．60°[如图，连结BC1，A1B.∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C所成的角为60°.]4．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．相交或异面[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线．]5．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且OAOA′＝OBOB′＝OCOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．[解](1)证明：∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝23，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝⎝⎛⎭⎪⎫232＝49.直线与平面平行(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在梯形ABCD中，AB∥CD，ABα，CDα，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面D[由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．]2．若直线l不平行于平面α，且lα，则下列四个命题正确的是( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l相交B[依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．]3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形是( )A．①②B．②④C．②③D．①④D[过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立．]4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段条数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．]5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或相关A [∵⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥αα∩β＝CD AB β⇒AB ∥CD ，同理可证AB ∥EF ，∴EF ∥CD .] 二、填空题6．如图，三棱锥A BCD 中E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________．m ∶n [∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，HG ∥AC . ∴EF ＝HG ＝BEBA·m . 同理，EH ＝FG ＝AE AB·n ， ∴BE AB ·m ＝AEAB·n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .]7．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 是A 1B 1的中点，N 是AB 上的点，且AN ∶NB ＝1∶2，过D 1，M ，N 的平面交AD 于点G ，则NG ＝__________．53a[由题意易知GN ∥D 1M ，由AN ∶NB ＝1∶2，M 为A 1B 1的中点得AN ＝13AB ＝13A 1B 1＝23A 1M .∴GN D 1M ＝AN A 1M ＝23， ∴GN ＝23D 1M ＝23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝53a .] 8．如图，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F ，则四边形BCFE 的形状一定是______．梯形 [∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD 平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .∵平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ， ∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ， ∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 为梯形．] 三、解答题9．如图，已知A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点．求证：AB 1∥平面DBC 1.[证明] ∵A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形．连结B 1C 交BC 1于点E ， 则B 1E ＝EC .连结DE ，在△AB 1C 中， ∵AD ＝DC ，B 1E ＝EC ， ∴DE ∥AB 1.又∵AB 1平面DBC 1，DE 平面DBC 1， ∴AB 1∥平面DBC 1.10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1上不同于B ，B 1的任一点，AB 1∩A 1E ＝F ，B 1C。
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二两条直线的平行与垂直 同步练习(一)一、选择题：1. 下列命题中正确的是（ ）A ．平行的两条直线的斜率一定相等B ．平行的两条直线的倾斜角相等C ．斜率相等的两直线一定平行D ．两直线平行则它们在y 轴上截距不相等2.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为31，则m,n 的值分别为（ ）A ．4和3B ．-4和3C ．-4和-3D ．4和-33. 直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则a=（ ）A ．-3B ．-6C ．23D ．32 4. 直线1 :kx+y+2=0和2 :x-2y-3=0, 若21|| ,则1 在两坐标轴上的截距的和（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．65. 两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（ ）A. m=1 B ．m=±1C ．⎩⎨⎧-≠=11n mD ．⎩⎨⎧-≠-=11n m 或⎩⎨⎧≠=11n m 6.过点A （1，2）和B （-3，2）的直线与直线 y=0的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对7.如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a 、b 的值为（ ）A ．a=21, b=0 B ．a=2, b=0 C ．a=-21, b=0 D ． a=-21, b=2 8.若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a 2-1)=0平行但不重合，则a 等于（ ）A ．-1或2B ．-1C ．2D ．32 二.填充题 ：（每小题5分，共20分）9． 直线3x+4y-5=0关于原点对称的直线是________________.10．两直线x-2y+k=0(k R)和3x-6y+5=0的位置关系是 __________ .11． 过点M （3，-4）且与A （-1，3）、B （2，2）两点等距离的直线方程是__________________.12．当直线 ：（2+m ）x-y+5-n=0与x 轴相距为5时，m= ____________,n=__________________.三.解答题：（每小题10分，共40分）13. 求证:依次连结A(2,-3),B(5,-27),C(2,3),D(-1,27)是平行四边形.14. 当A 和C 取何值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+C=0互相平行？15.平行于直线2x+5y-1=0的直线 与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线 的方程。
苏教版高中数学必修2 全册同步练习及检测第1章立体几何§1.1空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．一、填空题1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确命题的序号是________．3．棱台具备的性质是________(填序号)．①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点．4．下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．二、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．第1章立体几何初步§1.1空间几何体1．1.1棱柱、棱锥和棱台1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球答案知识梳理1．平面多边形底面侧面侧棱2．收缩为一个点3．截面底面4．矩形直角三角形直角梯形一边一直角边垂直于底边的腰轴底面侧面母线5．半圆直径球体球作业设计1．四棱柱 2.①③3．①②④解析用棱台的定义去判断．4．③解析①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．5．球体 6.①7.①②③④8．(1)(5)解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．12．②13．解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.1．1．3中心投影和平行投影【课时目标】1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．一、选择题1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．2．两条相交直线的平行投影是________．3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)二、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．1．1.3中心投影和平行投影答案知识梳理1．平行的交于一点2．主视图左视图俯视图左视图主视图俯视图主视图左视图俯视图作业设计1．变长解析中心投影的性质．2．两条相交直线或一条直线3．②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．① 5.四棱锥6．2 4解析三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.7．78．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B9．②③解析图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，③为其在左右侧面上的正投影．10．解图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.1.4直观图画法【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝________，且∠yOz＝________．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y 轴的线段，长度为原来的________．一、填空题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有__________(填序号)．2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．7．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．二、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．1．4直观图画法答案知识梳理(1)垂直90°90°(2)45°135°90°(4)不变一半作业设计1．①②⑤解析由斜二测画法的规则判断．2．直角梯形3．8解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC 为平行四边形，OB ＝22，OA ＝1，AB ＝3，从而原图周长为8 cm ．4．③ 5．522 解析 设△ABC 面积为S ， 则直观图面积S ′＝24S ＝522． 6．2＋ 2解析 如图1所示，等腰梯形A ′B ′C ′D ′为水平放置的原平面图形的直观图，作D ′E ′∥A ′B ′交B ′C ′于E ′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD ，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S ABCD ＝2＋2．图1 图27．①②解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形． 8．2．5解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC ＝A ′C ′＝3，BC ＝2B ′C ′＝4，计算得AB ＝5，所求中线长为2．5．9．22 解析画出直观图，则B ′到x ′轴的距离为22·12OA ＝24OA ＝22．10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连结V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c ．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°． (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连结A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．62a 2解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：则A ′D ′＝32a ，又∠x ′O ′y ′＝45°，∴A ′O ′＝62a ． 画△ABC 的实际图形，如图(2)所示，AO ＝2A ′O ′＝6a ，BC ＝B ′C ′＝a ， ∴S △ABC ＝12BC·AO ＝62a 2．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题 1．下列命题： ①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为________． 2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________． 3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ； ③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合． 5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点． 6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1)C 1、O 、M 三点共线； (2)E 、C 、D 1、F 四点共面； (3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线 3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M∈b⊂β3．1,2或34．③解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．1.2.2空间两条直线的位置关系【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．4．异面直线(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F 分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．能力提升12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF 和CD所成的角是______．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．1．2．2空间两条直线的位置关系答案知识梳理1．相交直线平行直线异面直线2．互相平行3．相等4．(1)不同在任何一个平面内(2)异面直线5．a′∥a b′∥b锐角(或直角)直角0°<α≤90°作业设计1．平行或异面2．相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．3．64．矩形解析易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．5．2解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．6．③7．60°或120°8．(1)60°(2)45°解析连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．9．①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．10．。
2020-2021学年高一数学苏教版必修2同步课时作业2.1 直线与方程1.310y ++=的倾斜角为（ ） A. 150︒B. 120︒C. 30︒D. 60︒2.a b ，满足22a b +=，则直线20ax y b ++=必过定点( ) A ．(0,22)a -B ．()1,2C ．()2,2D ．()2,1-3.直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则直线l 的方程为( ) A.3210x y +-= B.3270x y ++= C.2350x y -+=D.2380x y -+=4.若直线1:10l ax y +-=与2:3(2)10l x a y +++=平行，则a 的值为（ ）A ．3-B ．1C ．0或32-D ．1或3-5.已知直线230x y ++=与直线210x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）6.若直线220ax y +-=与直线()120x a y -++=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )A.26,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.26,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.26,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7.已知直线1l 的倾斜角为60°，直线2l 经过点((, 2,A B --，则直线12,l l 的位置关系是( ) A.平行或重合B.平行C.垂直D.重合8.若方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，则实数m 满足( )A.0m ≠B.32m ≠-C.1m ≠D.31,,02m m m ≠≠-≠9.直线1:320l ax y --=和直线2:(21)510l a x ay -+-=分别过定点A 和B ，则AB 等于( )A.135B.175C.11510.已知直线l 过点()1,2P -，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为( )A.30x y --=B.10x y ++=或20x y +=C.30x y --=或20x y +=D.10x y ++=或30x y --=或20x y +=11.已知直线1212:30,:(23)4,l ax y l x a y l l ++=+-=⊥，则a =________________. 12.已知过点(2,),(,4)A m B m -的直线与直线210x y +-=平行，则m =________.13.设点P 在直线30x y +=上，且P 到原点的距离和到直线320x y +-=的距离相等，则点P 的坐标是_____________________.14.直线260ax y ++=与直线()2110x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为______________.15.定义点()00,P x y 到直线()22:00l Ax By C A B ++=+≠的有向距离d 已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d ，给出以下命题： ①若120d d -=，则直线12P P 与直线l 平行； ②若120d d +=，则直线12P P 与直线l 平行； ③若120d d +=，则直线12P P 与直线l 垂直； ④若120d d <，则直线12P P 与直线l 相交.其中正确命题的个数是_________________.答案以及解析1.答案：A310y ++=的斜率为k =，所以倾斜角为150°．故选：A. 2.答案：D解析：∵22,22(1)0a b a b +=∴⨯+⨯-+=∴直线20ax y b ++=恒过定点(2,1)-，故选D 3.答案：A解析：与2340x y -+=垂直的直线方程为320x y m ++=，把(1,2)-代入直线方程得1m =-4.答案：B解析：因为，直线1:10l ax y +-=与2:3(2)10l x a y +++=平行，所以，()2130a a +-⨯= ，解得，1a =或3a =-，但3a =-时，两直线重合，故选B. 5.答案：A解析：∵直线230x y ++=与直线210x my ++=平行，212m ∴=≠4=，故两平行直线即 直线2460x y ++=与直线2410x y ++=，=，故选：A ． 6.答案：B解析：由题意得2(1)0a a -+=得1a =.联立220,220,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得2,56.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以这两条直线的交点坐标为26,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选B.7.答案：A解析：由题意可知直线1l的斜率1tan 60k =︒= 直线2l的斜率2k =因为12k k =，所以12l l 或12,l l 重合.8.答案：C解析：因为方程()()2223410m m x m m y m +-+--+=表示一条直线，所以22230,0m m m m +-=-=，不能同时成立，解得1m ≠.9.答案：A解析：直线1:32l y ax =-过定点(0,2)A -，直线2:(25)(1)0y l a x x -++=过定点21,5B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以13||5AB =.10.答案：C解析：当直线l 过原点时，斜率为20210--=--，故直线方程为2y x =-，即20x y +=.在x 轴和y 轴上的截距均为0，符合题意；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x ya a+=-，把点(1,2)P -的坐标代入可得3a =，故直线l 的方程为30x y --=.故直线l 的方程为20x y +=或30x y --=，故选C.11.答案：1解析：直线1212:30,:(23)4,(23),0l ax y l x a y l l a a ++=+-=⊥∴+-=，解得1a =.12.答案：8-解析： ∵直线210x y +-=的斜率等于2-， ∴过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线的斜率k 也是2-， ∴422mm -=-+解得：8m =- 故答案为：8-13.答案：31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：由题知点P 在直线30x y +=上，故可设(),,3P a a -点P 到原点的距离和到直线320x y +-=131,,555a P ⎛⎫=±∴- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.14.解析：直线260a y ++=与直线()2110x a y a +-+-=平行，则()120a a --=且()2160a a --≠，解得1a =-.两直线方程可化为260x y --=与20x y -=，所以两平行直线间的距离d ==. 15.答案：1解析：设点12,P P 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12d d =若120d d -=，则12d d =，=，所以1122Ax By C Ax By C ++=++，若120d d ==，即11220Ax By C Ax By C ++=++=，则点12,P P 都在直线l 上，此时直线12P P 与直线l 重合，故命题①②③均不正确，当120d d <时，12,P P 在直线的两边，则直线12P P 与直线l 相交，故命题④正确.故答案为1.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二两条直线的交点1．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}，B ＝{(x ，y )|x －2y ＋4＝0}，C ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，若(A ∩B )⊆C ，则b ＝__________.2．过直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0的交点，且与直线30x y -＝垂直的直线的方程是__________．3．当102k <<时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第__________象限． 4．已知直线l 1的方程为Ax ＋3y ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C 的值为__________．5．直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋1＝0交于点(2,3)，则经过两点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为__________．6．两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是__________．7．(1)已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，是否存在实数m ，n ，使l 1，l 2相交于点P(m，－1)?(2)不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，试求该定点的坐标．参考答案1．2 由20240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得02.x y =⎧⎨=⎩∴A ∩B ＝{(0,2)}． ∵(A ∩B )⊆C ，∴点(0,2)在直线y ＝3x ＋b 上，∴2＝3×0＋b ，∴b ＝2. 2.233055x y +-+= 解方程组210310x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得交点坐标为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又因为直线30x y -=的斜率133k =，且与所求直线垂直，所以所求直线的斜率23k =-. 所以所求的直线方程为21355y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 即233055x y +-+= 3．二 解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩得121.1k x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩因为102k ＜＜， 所以01k k <-，2101k k ->-. 所以交点21,11k k k k -⎛⎫⎪--⎝⎭在第二象限．4．－4 在2x －3y ＋4＝0中，令x ＝0，得43y =，即直线l 2与y 轴的交点为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵点40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上， ∴3×43＋C ＝0. ∴C ＝－4.5．2x ＋3y ＋1＝0 ∵点(2,3)为两直线l 1和l 2的交点，∴2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0.∴A ，B 都在直线2x ＋3y ＋1＝0上．又l 1，l 2相交，∴A ，B 为不同的两点．故过两点A ，B 的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0. 6.3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 由2402360x my mx y -+=⎧⎨+-=⎩得2263364.3m x m m y m -+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩∵两直线的交点在第二象限， ∴2263036403m m m m -+⎧<⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩⇒23.2m m <⎧⎪⎨>-⎪⎩∴32 2m-＜＜7．解：(1)将P点坐标代入l1，l2方程得280 210 m nm m⎧-+=⎨--=⎩解得17. mn=⎧⎨=⎩∴存在实数m＝1，n＝7，使l1，l2相交于点P(m，－1)．(2)∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0.则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5一定通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点．由方程组21050 x yx y+-=⎧⎨+-=⎩解得x＝9，y＝－4，即过点(9，－4)．∴直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5经过定点(9，－4)．8．解法一：任意两条直线都相交，则11aa≠，111a≠，故a≠±1.且三条直线不共点，故10x ayx y a++=⎧⎨++=⎩的交点(－1－a,1)不在ax＋y＋1＝0上，即a(－1－a)＋1＋1≠0，a2＋a－2≠0，(a＋2)(a－1)≠0. ∴a≠－2且a≠1.综合上述结果，此三条直线围成三角形的条件是a≠±1且a≠－2.解法二：∵三条直线能围成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点．若l1，l2，l3交于一点，则l1：x＋y＋a＝0与l2：x＋ay＋1＝0的交点P(－a－1,1)在l3：ax＋y ＋1＝0上．∴a(－a－1)＋1＋1＝0.∴a＝1或a＝－2.若l1∥l2，则有11a-=-，a＝1；若l1∥l3，则有－a＝－1，a＝1；若l2∥l3，则有1aa-=-，a＝±1.∴l1，l2，l3围成三角形时，a≠±1且a≠－2.。
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二1.1 空间几何体建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟160分一、 填空题（本题共15小题，每小题5分，共 75分）1．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 .2．棱长都是1的三棱锥的表面积为 . 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 .4．正方体的棱长和外接球的半径之比为 .5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 . 6．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 .7．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为 .8．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是 . ①用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形②几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同③水平放置的矩形的直观图是平行四边形 ④水平放置的圆的直观图是椭圆 9．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )(第7题)①②③④(第9题)10．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．11．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．12．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．13．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是___________．(第13题)14．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是________，它的体积为________．15．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．二、解答题（本大题共5个小题，共85分）16．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．17．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD ＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第18题)19．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？1.1 空间几何体一、填空题1．2＋2 解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2． 2．3 解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 3．50π 解析：长方体的对角线是球的直径，l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 4．2∶3 解析：正方体的对角线是外接球的直径． 5．23π 解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π． 6．160 解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160．7．215解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱， V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．8．② 解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．9．④ 解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，故为④.10．5，4，3． 解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．11． 1∶22∶33 解析：r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33． 12．361a 解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．C'A'COA13．平行四边形或线段． 14．6，6． 解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b＝1，l ＝1＋2＋3＝6．15. 12 解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题16．解：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．17．解：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC＝22a ，OC'＝R ． 在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3， V 正方体＝a 3． (第17题)∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2．18．解：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝(60＋42)π．V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1＝3148π．19.解：如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，边长为2， △DEF 为等腰直角三角形，DF 为斜边， 设DF 长为x ，则DE ＝EF ＝22x ，作DG ⊥BB 1，HG ⊥CC 1，EI ⊥CC 1，则EG ＝DE 2－DG 2＝x 22－4，FI ＝EF 2－EI 2＝x 22－4，FH ＝FI ＋HI ＝FI ＋EG ＝2x 22－4，在Rt △DHF 中，DF 2＝DH 2＋FH 2，即x 2＝4＋(2x22－4))2，解得x＝2 3.即该三角形的斜边长为2 3. 20．解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝31Sh＝31×π×(216)2×4＝3256π(m3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝31Sh＝31×π×(212)2×8＝3288π(m3)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m．棱锥的母线长为l＝224＋8＝45，仓库的表面积S1＝π×8×45＝325π(m2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m．棱锥的母线长为l＝226＋8＝10，仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)．(3)∵V2＞V1，S2＜S1，∴方案二比方案一更加经济些．。
1．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线33y x ＝的距离是__________． 2．(1)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是__________．(2)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为__________．3．两条直线y ＝x ＋2a 与y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4上，则常数a 的值是__________．4．(1)若方程a 2x 2＋(2a ＋3)y 2＋2ax ＋a ＋1＝0表示圆，则实数a 的值等于__________．(2)方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的范围是__________．5．(1)点A (3,5)是圆x 2＋y 2－4x －8y －8＝0的一条弦的中点，则这条弦所在的直线方程为__________．(2) 经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是__________．6．(1)已知方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__________．(2)设P (x ，y )是曲线C ：x 2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点，则2211x y (-)+(-)的最大值为__________．7．已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3)，求以P 1P 2为直径的圆的标准方程，并判断点M (6,9)，Q (5,3)是在圆上、圆外，还是圆内．8．求过三点O (0,0)，M 1(1,1)，M 2(4,2)的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．9.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径R的最大值；(3)求圆心C的轨迹方程．参考答案1.12圆的圆心是(1,0)， 圆心到直线的距离=223132313=⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 2．(1)x 2＋(y －2)2＝1 (2)(x －2)2＋(y ＋2)2＝1(1)设圆心为(0，a )，则221021a (-)+(-)=，∴a ＝2.故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)圆与圆的对称只是圆心关于直线对称，而半径不变，即求点C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点C 2.易得C 2(2，－2)．故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.3．15-或1 由题意知22y x a y x a =+⎧⎨=+⎩3.x a y a =⎧⎨=⎩即P 点坐标为(a,3a )． ∵点P (a,3a )在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4上， ∴(a －1)2＋(3a －1)2＝4，解得a ＝1或15-. 4．(1)－1 (2)1(,)2-∞ (1)由条件得2222302410.a a a a a ⎧=+≠⎨()-(+)>⎩ 解得a ＝－1.(2)由方程表示圆的条件知，D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋12－4m ＞0，∴12m ＜，即m 的范围是1(,)2-∞. 5．(1)x ＋y －8＝0 (2)x －y ＋1＝0 (1)圆心C (2,4)，k AC ＝1，则弦所在直线的斜率为－1，方程为y －5＝－(x －3)，即x ＋y －8＝0.(2)∵x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1，∴圆心C 的坐标为(－1,0)．又过点C 的直线与x ＋y ＝0垂直，∴其斜率为1.故所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.6．(1)1465＋ (2)226＋ (1)x 2＋y 2的最大值即圆上的点距离原点的距离平方的最大值． ∵11641632r =++=，圆心为(－2,1)， ∴222222max ()(213)(35)1465x y =(-)+==＋＋＋＋.(2)设曲线C 的圆心坐标为C ，则有C (0，－4)，2211x y (-)+(-)表示圆周上的点到A (1,1)的距离，其最大值为()22max 20141226PA PC CA +(-)+(--)=＝＋＝＋. 7．解：由已知得圆心坐标为C (5,6)， 半径22121146931022r PP ==⨯(-)+(-)=. ∴圆的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.又∵点M (6,9)与圆心C (5,6)的距离22659610d r =(-)+(-)==，∴M 在圆上；点Q (5,3)与圆心C (5,6)的距离为225536210d r =(-)+(-)=<=，∴点Q 在圆内．8．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 因为O ，M 1，M 2三点在圆上，则有02042200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0.可化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.圆心为(4，－3)，半径为5.9.解：(1)利用方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是D 2＋E 2－4F ＞0，得4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0， 解得117m -＜＜. (2)表示圆时，半径2222131647617277R D E F m m m ⎛⎫=+-=-++=--+ ⎪⎝⎭. 由(1)知117m -＜＜， 则当37m =时，max 477R =. (3)设圆心为C (x 0，y 0)，则02034 1.x m y m =+⎧⎨=-⎩ 消去参数m 得(x 0－3)2＝14(y 0＋1)． 但由于m ∈1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则x 0＝m ＋3∈20,47⎛⎫⎪⎝⎭. 故所求圆心的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)，x ∈20,47⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
苏教版高中数学必修二练习及答案一、选择题（每题3分，共54分）1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π 2、若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ）A ．0,0<>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0>>bc abD ．0,0<<bc ab4、已知直线221:1+=x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为ο45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5331+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y5、不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（） A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．左下方6、直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是（） A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心7、已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在8、过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是()A ．23-B ．32-C ．52 D ．29、点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A ．25B ．5C ．23 D ．25 10、下列命题中，正确的是()A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内B ．点)0,0(在区域01<++y x 内C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11、由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ()A ．2B ．19C ．1D ．412、三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113、已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为ο60，则k 的值是 ( )A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14、如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于()A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15、若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于()A ．3-B ．6-C ．23-D ．32 16、由422=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是() A ．4πB ．πC ．43πD ．23π 17、动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是()A ．4)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y xD ．21)23(22=++y x 18、参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x 表示的图形是( ) A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆 B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆 C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆二、填空题（每题3分，共15分）19、以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 20、过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是 21、直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为22、三点)2,5()3,4(32k及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于23、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分） 24、若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，求这个圆的方程。
2020年苏教版必修2课后练习（22）一、选择题（本大题共1小题，共5.0分）1.直线5x−2y−10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则()A. a=2，b=5B. a=2，b=−5C. a=−2，b=5D. a=−2，b=−5二、解答题（本大题共9小题，共108.0分）2.分别写出下列直线的斜率以及它们在x轴、y轴上的截距．(1)x+2y=4；(2)y=2(x+3)；(3)y−1=−3(x−2)；(4)x2+y3=1．3.设直线l的方程为mx+(m−1)y+3=0，根据下列条件分别确定实数m的值：(1)直线l在y轴上的截距为6；(2)直线l的斜率为2；(3)直线l垂直于x轴．4.设直线l的方程为Ax+By+C=0(A、B不全为0)，根据下列条件，求出A，B，C应满足的条件．(1)直线l过原点；(2)直线l垂直于x轴；(3)直线l垂直于y轴；(4)直线l与两条坐标轴都相交．5.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：6.分别求经过下列两点的直线的斜率：(1)(−3,2)，(2,−1)；(2)(2,0)，(0.−4)；(3)(2,1)，(3,1)；(4)(a,a)，(a−1,a+3)．7.分别写出下列直线的斜率以及它们在x轴、y轴上的截距：(1)2x+y−4=0；(2)3x−6y+10=0．8.根据下列条件．分别写出直线的方程：(1)过点(3,−2)，斜率为√3；3(2)过点(−3,0)，与x轴垂直；(3)斜率为−4，在y轴上的截距为7；(4)斜率为3，在x轴上的截距为−2；(5)过点(−1,8)，(4,−2)；(6)过点(2,0)，(0,−3)．9.写出过点P(3,1)，且分别满足下列条件的直线l的方程：(1)垂直于x轴；(2)垂直于y轴；(3)过原点；(4)与直线x+2y−3=0的斜率相等．10.分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积：(1)x+y−2=0；(2)2x−3y−6=0；(3)5x+3y+2=0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：令y=0，得到5x−10=0，解得x=2，所以a=2；令x=0，得到−2y−10=0，解得y=−5，所以b=−5．故选：B．根据截距的定义可知，在x轴的截距即令y=0求出的x的值，在y轴上的截距即令x=0求出y的值，分别求出即可．此题考查学生理解直线截距的定义，是一道基础题．2.答案：解：(1)x+2y=4可化为：y=−12x+2，∴直线的斜率为−12，在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2；(2)y=2(x+3)可化为：y=2x+6，∴直线的斜率为2，在x轴上的截距为−3，在y轴上的截距为6；(3)y−1=−3(x−2)可化为：y=−3x+7，∴直线的斜率为−3，在x轴上的截距为73，在y轴上的截距为7；(4)x2+y3=1可化为：y=−32x+3，∴直线的斜率为−32，在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为3．解析：将四条直线均化为斜截式方程(一次函数的形式)，进而可得直线的斜率，及在坐标轴的截距．本题考查的知识点是直线的方程，正确理解直线斜率，截距的定义，是解答的关键．3.答案：解：(1)∵直线l的方程为mx+(m−1)y+3=0，把(0,6)代入方程得：m=12；(2)直线方程化为斜截式：y=−mm−1−3m−1，∴−mm−1=2，且m−1≠0，解得：m=23；(3)∵直线l垂直于x轴．∴m−1=0，∴m=1．解析：(1)把(0,6)代入方程即可求出m的值；(2)先把直线方程化为斜截式，再利用斜率为2即可求出m的值；(3)令y得系数为0，即可求出m的值．本题主要考查了直线的一般方程以及直线的性质，是基础题．4.答案：解：(1)直线l过原点，把(0,0)代入直线方程可得：C=0.(A、B不全为0)，(2)直线l垂直于x轴，则B=0，而A≠0，C∈R；(3)直线l垂直于y轴，则B≠0，A=0，C∈R；(4)直线l与两条坐标轴都相交，则直线经过原点时，B≠0，C=0，或B=0，A≠0，C=0；直线l不经过原点时，A，B，C都不为0．解析：(1)直线l过原点，把(0,0)代入直线方程即可得出．(2)直线l垂直于x轴，直线斜率不存在，即可得出．(3)直线l垂直于y轴，则直线l斜率为0即可得出．(4)直线l与两条坐标轴都相交，分类讨论：直线经过原点时，与直线不经过原点时即可得出．本题考查了直线方程与斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：解：(1)由图象可知，直线过点(−2,0)，(0,2)，所以直线的斜率为：0−2−2−0=1，所以直线方程为：y=x+2，化为一般式为：x−y+2=0；(2)由图象可知，直线过点(1,0)，(0,1)，所以直线的斜率为：0−11−0=−1，所以直线方程为：y=−x+1，化为一般式为：x+y−1=0；(3)由图象可知，直线过点(3,0)，(0,1)，所以直线的斜率为：0−13−0=−13，所以直线方程为：y=−13x+1，化为一般式为：x+3y−3=0；(4)由图象可知，直线过点(−2,0)，(0,−1)，所以直线的斜率为：0−(−1)−2−0=−12，所以直线方程为：y=−12x−1，化为一般式为：x+2y+2=0；解析：由图象可知，直线过的两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可得到直线方程，再化为一般式即可．本题主要考查了直线的方程，是基础题．6.答案：解：(1)由斜率公式得：k=2−(−1)−3−2=−35；(2)由斜率公式得：k=0−(−4)2−0=2；(3)由斜率公式得：k=1−12−3=0；(4)由斜率公式得：k=a−(a+3)a−(a−1)=−3．解析：利用斜率公式即可求解．本题主要考查了直线的斜率公式，是基础题．7.答案：解：(1)∵直线2x +y −4=0，令y =0得，x =2，所以在x 轴上的截距为2，令x =0得，y =4，所以在y 轴上的截距为4，直线方程2x +y −4=0化为斜截式为：y =−2x +4，所以直线的斜率为−2；(2)∵直线方程3x −6y +10=0，令y =0得，x =−103，所以在x 轴上的截距为−103，令x =0得，y =53，所以在y 轴上的截距为53，直线方程3x −6y +10=0化为斜截式为：y =12x +53，所以直线的斜率为12；解析：把(1)(2)中的直线方程化为斜截式即可求出直线的斜率，令y =0可求直线在x 轴上的截距，令x =0可求直线在y 轴上的截距．本题主要考查了直线的斜率，以及直线在坐标轴上的截距，是基础题．8.答案：解：(1)过点(3,−2)，斜率为√33的直线方程为：y +2=√33(x −3)，即√3x −3y −3√3−6=0； (2)过点(−3,0)，与x 轴垂直的直线方程为：x =−3；(3)斜率为−4，在y 轴上的截距为7的直线方程为：y =−4x +7；(4)斜率为3，在x 轴上的截距为−2的直线方程为：y =3(x +2)，即3x −y +6=0；(5)过点(−1,8)，(4,−2)的直线的斜率为：8−(−2)−1−4=−2， 所以所求的直线方程为：y −8=2(x +1)，即2x −y +10=0；(6)过点(2,0)，(0,−3)的直线斜率为：0−(−3)2−0=32， 所以所求的直线方程为：y =32(x −2)，即3x −2y −6=0．解析：(1)利用直线方程的点斜式求直线方程；(2)利用垂直于x 轴的直线方程特征，直接写出直线方程；(3)利用直线方程的斜截式求直线方程；(4)利用直线方程的点斜式求直线方程；(5)(6)先利用斜率公式求出直线的斜率，再利用直线方程的点斜式求直线方程；本题主要考查了直线的斜率，以及直线方程的点斜式、斜截式、是基础题．9.答案：解：(1)过点P(3,1)，且垂直于x 轴的直线方程为：x =3；(2)过点P(3,1)，且垂直于y 轴的直线方程为：y =1；(3)过点P(3,1)，且过原点的直线的斜率为：1−03−0=13，∴所求直线方程为：y =13x ；(4)直线x +2y −3=0化为斜截式为：y =−12x +32，∴直线x +2y −3=0的斜率为：−12，过点P(3,1)，斜率为−12的直线方程为：y −1=−12(x −3)，即x +2y −5=0；解析：(1)(2)利用直线与坐标轴垂直时的方程特征，直接写出直线方程即可；(3)先求出直线的斜率，再利用点斜式即可得到所求的直线方程；(4)先求出直线x +2y −3=0的斜率，再利用点斜式即可得到所求的直线方程；本题主要考查了直线的斜率，以及直线的点斜式，是基础题．10.答案：解：(1)∵x +y −2=0与两个坐标轴的交点分别为( 0,2)、(2,0)，故它与两坐标轴围成的三角形的面积为12⋅2⋅2=2．(2)∵2x −3y −6=0与两个坐标轴的交点分别为( 0,−2)、(3,0)，故它与两坐标轴围成的三角形的面积为12⋅2⋅3=3．(3)∵5x +3y +2=0与两个坐标轴的交点分别为(0,−23)、(−25,0)，故它与两坐标轴围成的三角形的面积为12⋅23⋅25=215．解析：先求出直线在坐标轴上的截距，再利用三角形的面积公式，求出它与两坐标轴围成的三角形的面积．本题主要考查直线在坐标轴上的截距的定义和求法，属于基础题．。
章末综合检测（一）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是（ ） A.矩形 B.正方形 C.梯形D.平行四边形详细分析：选D.棱柱的侧棱平行且相等，故截面为平行四边形. 2.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为（ ） A.3∶π B.2∶π C.1∶2πD.1∶3π详细分析：选B.设正方体的棱长为a ，则球的直径为2R ＝3a ，所以R ＝32a .正方体的表面积为6a 2.球的表面积为4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫32a 2＝3πa 2，所以它们的表面积之比为6a 2∶3πa 2＝2∶π.3.若平面α∥平面β，直线a ⊂平面α，点B ∈平面β，则在平面β内过点B 的所有直线中（ ）A.不一定存在与a 平行的直线B.一定不存在与a 平行的直线C.存在无数条与a 平行的直线D.存在唯一一条与a 平行的直线详细分析：选D.因为平面α∥平面β，直线a ⊂平面α，点B ∈平面β，所以B ∉a ，过直线a 与点B 作平面γ，则平面γ与平面β的交线即为与a 平行的唯一直线，故选D.4.在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）详细分析：选A.A 中，因为CD ⊥平面AMB ，所以CD ⊥AB ；B 中，AB 与CD 成60°角；C 中，AB 与CD 成45°角；D 中，AB 与CD 夹角的正切值为 2.5.正六棱台的两底边长分别为1 cm ，2 cm ，高是1 cm ，则它的侧面积为（ ） A.972 cm 2B.97 cm 2C.233 cm 2 D.3 2 cm 2详细分析：选A.棱台的斜高为72cm ， 所以S 侧＝6×12×（1＋2）×72＝972（cm 2）.6.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°详细分析：选C.如图，取B 1C 1的中点E ，连结BE ，DE ，则AC ∥A 1C 1∥DE ，则∠BDE 即为异面直线BD 与AC 所成的角.由条件可知BD ＝DE ＝EB ＝5，所以∠BDE ＝60°，故选C.7.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ）A.l 1⊥l 4B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定详细分析：选D.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.8.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，B 1H ⊥D 1O ，H 为垂足，则B 1H 与平面AD 1C 的位置关系是（ ）A.垂直B.平行C.斜交D.以上都不对详细分析：选A.如图，连结BD ，B 1D ，B 1D 1，则平面DBB 1D 1⊥平面AD 1C ，平面DBB 1D 1∩平面AD 1C ＝D 1O .因为B 1H ⊥D 1O ，所以B 1H ⊥平面AD 1C .9.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，则ha等于（ ）A.12B.22C.32D.2详细分析：选C.V 圆锥液＝πh 2·h 3，V 圆柱液＝π·⎝⎛⎭⎫a 22·h ，由已知得πh 33＝π·⎝⎛⎭⎫a 22h ，所以h a ＝32.故选C. 10.已知直二面角α-l -β，A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）A.62B.52C.63D.53详细分析：选C.如图，作DE ⊥BC 于点E ，由α-l -β为直二面角，AC ⊥l ，得AC ⊥β，进而AC ⊥DE ，又BC ⊥DE ，BC ∩AC ＝C ，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离.在Rt △BCD 中，利用等面积法得DE ＝BD ·DC BC ＝1×23＝63.11.在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为（ ）A.30°B.60°C.90°D.120°详细分析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝2.因为M 为A ′C 的中点，所以MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， 所以∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角. 因为AC ＝1，MC ＝AM ＝22，所以∠CMA ＝90°. 12.已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋43，则球O 的体积等于（ ）A.423πB.823πC.1623πD.3223π详细分析：选B.由题意可知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r ，且四棱锥的高h ＝r ，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2r 的正三角形，底面为边长为2r 的正方形，所以该四棱锥的表面积为S ＝4×34（2r ）2＋（2r ）2＝23r 2＋2r 2＝（23＋2）r 2＝4＋43，因此r 2＝2，r ＝2，进而球O 的体积V ＝43πr 3＝43π×22＝82π3，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面. ①若α∩β＝a ，b ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β；②若a ⊂α，a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，α∩γ＝b ，则a ⊥b ； ④若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β. 上述命题中，正确命题的序号是 .详细分析：对①可举反例，如图，需b ⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a ，b 不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.答案：②④14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小.（填“变大”“变小”或“不变”）详细分析：由于直线l垂直于平面ABC，所以l⊥BC，又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，所以BC⊥平面APC，所以BC⊥PC，即∠PCB为直角，与点P的位置无关.答案：不变15.如图，四面体P-ABC中，P A＝PB＝13，平面P AB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC ＝8，BC＝6，则PC＝.详细分析：取AB的中点E，连结PE.因为P A＝PB，所以PE⊥AB.又平面P AB⊥平面ABC，所以PE⊥平面ABC.连结CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝27，PE＝P A2－AE2＝6，CE＝BE2＋BC2＝43，PC＝PE2＋CE2＝7.答案：716.如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，当四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）.详细分析：由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使得B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案：B1D1⊥A1C1（答案不唯一）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）直三棱柱的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.因为在△ABC中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，AC＝5 cm，所以△ABC为直角三角形.根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R＝5，所以R＝1 cm，所以V圆柱＝πR2·h＝6πcm3.而三棱柱的体积为V三棱柱＝13），2×3×4×6＝36（cm所以削去部分的体积为36－6π＝6（6－π）（cm3）.18.（本小题满分12分）已知三棱锥PABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝20.D为AB的中点，且△PDB为等边三角形，P A⊥PC.（1）求证：平面P AC⊥平面ABC；（2）求二面角D-AP-C的正弦值.解：（1）证明：在Rt△ACB中，D是斜边AB的中点，所以BD＝DA.因为△PDB是等边三角形，所以BD＝DP＝BP，则BD＝DA＝DP，因此△APB为直角三角形，即P A⊥BP.又P A ⊥PC ，PC ∩BP ＝P ，所以P A ⊥平面PCB . 因为BC ⊂平面PCB ，所以P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面P AC ⊥平面ABC . （2）由（1）知P A ⊥PB 及已知P A ⊥PC ， 故∠BPC 即为二面角D -AP -C 的平面角. 由（1）知BC ⊥平面P AC ，则BC ⊥PC . 在Rt △BPC 中，BC ＝4，BP ＝BD ＝10， 所以sin ∠BPC ＝BC BP ＝410＝25，即二面角D -AP -C 的正弦值为25.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，E 为AD 的中点，过A ，D ，N 的平面交PC 于点M .求证：（1）EN ∥平面PDC ； （2）BC ⊥平面PEB ； （3）平面PBC ⊥平面ADMN .证明：（1）因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC .又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ， 所以AD ∥MN .又因为AD ∥BC ，所以MN ∥BC . 又因为N 为PB 的中点，所以M 为PC 的中点，所以MN ＝12BC .因为E 为AD 的中点， DE ＝12AD ＝12BC ＝MN ，所以DE綊MN，所以四边形DENM为平行四边形，所以EN∥DM.又因为EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，所以EN∥平面PDC.（2）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，所以BE⊥AD.又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PEB.因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.（3）由第二问知AD⊥PB.又因为P A＝AB，且N为PB的中点，所以AN⊥PB.因为AD∩AN＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因为PB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ADMN.20.（本小题满分12分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪用），已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m（高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变）.（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V 1＝13Sh ＝13π×82×4＝2563π（m 3）；如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝13Sh ＝13×π×62×8＝2883π（m 3）.（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m.圆锥的母线长为l ＝82＋42＝45（m ），则仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π（m 2）； 如果按方案二，仓库的高变成8 m. 圆锥的母线长为l ＝82＋62＝10（m ），则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π（m 2）. （3）因为V 2＞V 1，S 2＜S 1， 所以方案二比方案一经济.21.（本小题满分12分）已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长为a ，PB ＝3a ，PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ，且PD 是四棱锥的高.（1）在四棱锥内放入一球，求球的最大半径； （2）求四棱锥外接球的半径.解：（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等.设球的半径为R ，球心为S ，如图，连结SA ，SB ，SC ，SD ，SP . 因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S -P AB ，S PBC ，S PCD ，S P AD 与四棱锥S -ABCD 的高都为R ，且它们恰好组合成四棱锥P -ABCD .因为PD 为四棱锥P -ABCD 的高，PD ＝AD ＝BC ＝a ，四边形ABCD 为正方形，又因为P A ＝PC ＝2a ，PB ＝3a ，所以PB 2＝P A 2＋AB 2＝PC 2＋BC 2，所以△P AB ，△PCB 为直角三角形且全等， 所以S △P AB ＝S △PCB ＝12·a ·2a ＝22a 2，S △PDA ＝S △PDC ＝12a 2，S 正方形ABCD ＝a 2，所以V P ABCD ＝13·a 2·a ＝13a 3，V S P AB ＝V S PBC ＝13·22a 2·R ＝26a 2R ，V S P AD ＝V S PDC ＝13·12a 2·R ＝16a 2R ，V S ABCD ＝13·a 2·R ＝13a 2R ，因为V P ABCD ＝V S P AB ＋V S PBC ＋V S P AD ＋V S PDC ＋V S ABCD ， 所以13a 3＝23a 2R ＋13a 2R ＋13a 2R ，即（2＋2）R ＝a ，所以R ＝⎝⎛⎭⎫1－22a ， 即球的最大半径为⎝⎛⎭⎫1－22a . （2）四棱锥外接球的球心到P 、A 、B 、C 、D 五点的距离均为球的半径，只要找出球心位置即可.由（1）知△P AB 、△PCB 为直角三角形，若M 为斜边PB 的中点，则MA ＝MB ＝MP ＝MC .连结BD ，因为PD ＝a ，PB ＝3a ，BD ＝2a ，所以PB 2＝PD 2＋BD 2，即△PDB 为直角三角形，PB 为斜边，所以MD ＝MB ＝MP ， 所以M 为四棱锥P -ABCD 外接球的球心， 所以外接球半径R ′＝12PB ＝32a .22.（本小题满分12分）如图（1），在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝22，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使两个半平面所成二面角为60°，如图（2）.（1）求证：BO⊥DO；（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值.解：（1）证明：翻折前，由于M，N是矩形ABCD的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，DM⊥MN，折叠后垂直关系不变，所以∠AMD是两个半平面所成二面角的平面角，所以∠AMD＝60°.连结AD，由AM＝DM，可知△MAD是正三角形，所以AD＝ 2.在Rt△BAD中，AB＝2，AD＝2，所以BD＝6，由题可知BO＝OD＝3，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO.（2）如图，设E，F分别是BD，CD的中点，连结EF，OE，OF，BC，又BD＝6，BC＝2，CD＝2，所以DC⊥BC，则EF⊥CD.又OF⊥CD，所以CD⊥平面OEF，OE⊥CD.又BO＝OD，所以OE⊥BD，又BD∩CD＝D，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BOD，所以平面BOD⊥平面ABCD.过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连结OH，则OH是AO在平面BOD内的投影，所以∠AOH为AO与平面BOD所成的角.又AH是Rt△ABD斜边上的高，所以AH＝233，又OA＝3，所以sin∠AOH＝AHOA＝23.故AO与平面BOD所成角的正弦值为23.11。
2020年苏教版必修2课后练习（21）一、选择题（本大题共1小题，共5.0分）1.直线的图象可能是A. B.C. D.二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）2.若一直线经过点，且斜率与直线的斜率相等，则该直线的方程是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）3.根据下列条件，分别写出直线的方程：经过点，斜率为3；经过点，斜率为；经过点，斜率为；经过点，斜率为0；斜率为，在y轴上的截距为；斜率为，与x轴交点的横坐标为．4.根据下列条件，分别写出直线的方程：过点，倾斜角为；过点，倾斜角为；过点，倾斜角为；过点，倾斜角为．5.分别写出经过下列两点的直线的方程：，；，．6.任一条直线都可以用点斜式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方程吗？7.分别写出经过下列两点的直线的方程：，；，；，；，；，；，．8.根据下列条件，分别写出直线的方程：在x轴、y轴上的截距分别是3，；过点，且在y轴上的截距为6；过点，且在x轴上的截距为3．9.已知两点，．求直线AB的方程；若点在直线AB上，求实数a的值．10.回答下列问题：任一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗？如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同．那么它们在y轴上的截距可能相同吗？如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同．那么它们在x轴上的截距可能相同吗？任一条直线都可以用截距式方程表示吗？-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：直线的图象必过点，又因为，函数是增函数，故选：B．根据直线的图象必过点以及函数的单调性，即可选出答案．本题考查了一次函数的图象与性质，属于基础题．2.答案：解析：解：所求直线斜率与直线的斜率相等，所求直线的斜率为，又直线经过点，直线方程为：，即，故答案为：．先利用所求直线斜率与直线的斜率相等，得到所求直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线的方程．本题主要考查了直线方程的点斜式，是基础题．3.答案：解：由直线方程的点斜式可知直线方程为：，即；由直线方程的点斜式可知直线方程为：，即；由直线方程的点斜式可知直线方程为：，即；由直线方程的点斜式可知直线方程为：；由直线方程的斜截式可知直线方程为：；由题意可知，直线斜率为，过点，所以直线方程为：，即．解析：利用直线方程的点斜式即可求出直线的方程；利用直线方程的斜截式求直线的方程；由题意可知，直线斜率为，过点，再利用直线方程的点斜式求直线方程．本题主要考查了直线方程的点斜式和斜截式，是基础题．4.答案：解：倾斜角为，直线斜率为，又过点，直线方程为：，即；倾斜角为，直线斜率为，又过点，直线方程为：，即；倾斜角为，直线斜率为0，又过点，直线方程为：；倾斜角为，直线斜率不存在，又过点，直线方程为：．解析：先由倾斜角求出直线的斜率，再利用直线方程的点斜式即可求出直线方程；倾斜角为时，直线斜率不存在，利用直线方程为，即可求出结果．本题主要考查了直线方程的点斜式，以及斜率不存在时直线的方程，是基础题．5.答案：解：，，经过P、Q两点的直线方程为，整理，得．，，经过P、Q两点的直线方程为，整理，得．解析：利用两点式方程直接求解．本题考查方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点式方程的合理运用．6.答案：解：点斜式方程只可以表示斜率存在的直线，所以垂直于x轴的直线不能用点斜式方程表示，斜截式方程可以改写成点斜式方程，即：可以改写为．解析：利用直线方程的点斜式定义和斜截式定义解题．本题主要考查了直线方程的点斜式定义和斜截式，是基础题．7.答案：解：，即，，即，，，，即，，即，解析：根据直线的两点式方程即可求出．本题考查了直线方程的求法，属于基础题．8.答案：解：由题意由截距式的公式可得：，即所求的直线方程为：；折直线方程为：，又过，即，所以，即直线方程为：；由题意折直线的方程为：，又过所以，解得：，所以直线方程为：．解析：设截距式的直线方程，整理可得一般式方程；由题意设斜截式方程，由过的定点可得参数的值，求出直线的方程；由题意设过x轴的直线方程，由过的定点的坐标求出参数的值，进而求出直线方程．本题考查求直线方程的方法，属于基础题．9.答案：解：由题意可得直线AB的斜率，所以直线的方程为：，即直线的方程为：；由可得：，所以，所以实数a的值为．解析：由两点的坐标求出直线的斜率，再由点斜式式方程求出直线AB的方程；由可得将C点的坐标代入直线AB的方程求出a的值．本题考查求直线方程的方法及点在直线所满足的条件，属于基础题．10.答案：解：平行于x轴的直线只有一个纵截距，平行于y轴的直线横截距；两条不同的平行直线在x轴上的截距不同．那么它们在y轴上的截距不可能相同；当且仅当两条直线都过原点时，两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同．那么它们在x轴上的截距也可能相同；过原点的直线不能用用截距式方程表示及平行x，y轴的直线不能用截距式方程表示．解析：由题意及直线方程的几种形式的限制条件可得下列结论．本题考查直线方程的几种形式所满足的条件，属于基础题．。
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第2章 2.2 圆与方程 同步测试试卷一、填空题（本题包括8小题，每小题5分，共40分）1.直线x －y+3=0被圆（x+2）2+（y －2）2=2截得的弦长等于__________. 2.圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0 的位置关系是_________.3.过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a 的取值范围是___________. 4．设直线032=--y x 与y 轴的交点为P ，点P 把圆25)1(22=++y x 的直径分为两段，则其长度之比为____________. 5.圆222690xy x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是_____________.6．如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是_________. 7.已知两圆,10:221=+y x C 01422:222=-+++y x y x C .求经过两圆交点的公 共弦所在的直线方程______．8．过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为 _ _．二、解答题（本题共5小题，共60分。
解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分。
有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）9．（12分）已知圆C:()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l ()R m ∈.（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．10．（12分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径长30 km 的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？11．（12分）已知圆x 2+y 2+x －6y+m=0和直线x+2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．12.（12分）已知圆2260xy x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．13.（12分）求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=，22x y ++28=0交点的圆的方程．第2章2.2 圆与方程同步测试试卷（数学苏教版必修2）答案一、填空题1. 解析：圆心为（-2，2），圆心到直线的距离为，圆的半径为，由勾股定理求出弦长的一半为，所以弦长为.2.相离解析：由圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2-6x+2y+1=0，分别化为标准形式得（x+1）2+（y+3）2=1，（x-3）2+（y+1）2=9，所以得到圆心坐标分别为（-1，-3）和（3，-1），半径分别为r=1和R=3，则两圆心之间的距离d=,所以两圆的位置关系是相离．3. -3<a≤，或a≥2解析：由题意可知，点P在圆C外部，则有4+1-2a+2a+2a+1>0,故a>-3.将圆的方程化成+=-2a-1,应有-2a-1≥0,解得a≤或a≥2.综上，-3<a≤，或a≥2.4. 7:3或3：7解析：可先求得P点的坐标为(0,），由图可先求得PC的距离为2，且圆的半径为5，所以可知|PA|=R+|PC|=5+2=7，|PB|=R-|PC|=5-2=3，所以两段的比为7:3或3：7.5. (x+7)²+(y+1)²=1 解析：x ²+y ²-2x-6y+9=0化成标准形式：(x-1)²+(y-3)²=1,圆心为(1,3)，半径为 r 1=1. 设对称圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r,圆心为(a,b)，则半径r 2=1. ∵对称圆与圆x ²+y ²-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称, 即对称圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称, =,化简得a-2b+5=0. ①2×++5=0,化简得2a+b+15=0. ②①+2②得a=-7.将 a=-7代入①中可得b=-1. 所以对称圆的方程是(x+7)²+(y+1)²=1.6. 解析：令=k,y=kx,则问题是直线和圆有公共点时，直线斜率的最大值. y=kx 恒过原点，且原点在圆外，所以斜率的最大值应该在直线是切线时取到. +=3,圆心(2,0),半径r=,圆心到切线距离等于半径,所以=,平方得4=3(+1),=3,所以k 最大=.所以的最大值是．7.02=-+y x 解析：C 2方程－C 1方程，即得到经过两圆交点的公共弦所在的直线方程,即y=2.8.x=0或15x ＋8y －32=0 解析：①k 存在时，设直线L ：y-4=kx,圆心到直线距离d=,,k=,y-4=x,15x+8y-32=0;②k 不存在时，直线L ：x=0． 二、解答题9．解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m , 所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点. 由方程组⎩⎨⎧=-+=-+04,072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线的交点为A )1,3(.又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长. 此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54.又直线AC 的斜率21-=AC k ,所以直线BD 的斜率为2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即 10．解：我们以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为22230x y +=①. 轮船航线所在直线l 的方程为17040x y +=，即472800x y +-=②. 如果圆O 与直线l 有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果 O 与直线l 无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向． 由于圆心O （0，0）到直线l 的距离 ， 所以直线l 与圆O 无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．11．解：由01220503206222=++-⇒⎩⎨⎧=-+=+-++m y y y x m y x y x ，⎪⎩⎪⎨⎧+==+∴51242121m y y y y .又OP ⊥OQ ，∴ x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1x 2=96(y 1+y 2)+4y 1y 2=5274-m ，∴05125274=++-mm ，解得m=3. 12．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ, ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．13.解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，解这个方程组求得两圆的交点坐标A （－4，0），B （0，2）．因所求圆心在直线0x y +=上，故设所求圆心坐标为(,)x x -，则它到上面的两个交点 （－4，0）和（0，2即412x =-，∴3x =-，3y x =-=，从而圆心坐标是（－3，3）．又r ==， 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）同解法一求得两交点坐标A （－4，0），B （0，2），弦AB 的中垂线为230x y ++=， 它与直线0x y +=交点（－3，3）就是圆心，又半径r =故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法三：（用待定系数法求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标为A （－4，0），B （0，2）．设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=，因两点在此圆上，且圆心在0x y +=上，所以得方程组222222(4)(3)0a b r a b r a b ⎧--+=⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得33a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=．解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？） 设所求圆的方程为222221024(228)0x y x y x y x y λ+-+-++++-=(1)λ≠-，即 222(1)2(5)8(3)0111x y x y λλλλλλ-+++-+-=+++．可知圆心坐标为15(,)11λλλλ-+-++． 因圆心在直线0x y +=上，所以15011λλλλ-+-=++，解得2λ=-．将2λ=-代入所设方程并化简，求得圆的方程为226680x y x y ++-+=．。
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二空间直角坐标系1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影和在xOy平面上的投影分别为__________．2．以正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点的坐标为______．3．有一个棱长为1的正方体，对称中心在原点且每一个面平行于坐标平面，给出以下各点：A(1,0,1)，B(－1,0,1)，111,,335C⎛⎫⎪⎝⎭，111,,522D⎛⎫⎪⎝⎭，21,,052E⎛⎫-⎪⎝⎭，111,,23F⎛⎫⎪⎝⎭.则位于正方体之外的点是__________．4．在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)；(2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)；(3)关于y轴的对称点是P(－x，y)．那么，在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标为：(1)关于原点的对称点P1是__________；(2)关于横轴(x轴)的对称点P2是__________；(3)关于纵轴(y轴)的对称点P3是__________；(4)关于竖轴(z轴)的对称点P4是__________；(5)关于xOy坐标平面的对称点P5是__________；(6)关于yOz坐标平面的对称点P6是__________；(7)关于zOx坐标平面的对称点P7是__________．5．如图所示，点P′在x轴正半轴上，OP′＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，PP′＝1，则点P与P′的坐标分别为__________．6．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并总是保持AP⊥BD1，则下列的点P坐标①(1,1,1)，②(0,1,0)，③(1,1,0)，④(0,1,1)，⑤11,1,22⎛⎫⎪⎝⎭中正确的是__________．(填序号)7. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，MC1＝2A1M，N为D1C中点，试求M，N的坐标．8．结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，其中空心点代表钠原子，黑点代表氯原子．如图(2)建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．9.如图，在长方体OABCO1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，作OD⊥AC于D，求D点坐标．参考答案1．(－1,0,0) (－1,2,0) 点A (－1,2,1)在x 轴上的投影和在xOy 平面上的投影分别为(－1,0,0)，(－1,2,0)．2.11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．A ，B ，F ∵棱长为1的正方体的对称中心为坐标原点， ∴正方体表面上每个点的坐标都满足12x ≤，12y ≤，12z ≤ ∴点A ，B ，F 在正方体之外．4．(1)(－x ，－y ，－z ) (2)(x ，－y ，－z ) (3)(－x ，y ，－z ) (4)(－x ，－y ，z ) (5)(x ，y ，－z ) (6)(－x ，y ，z ) (7)(x ，－y ，z )5．(2,0,1)，(2,0,0) 由P ′在x 轴正半轴上，且OP ′＝2， ∴P ′(2,0,0)．∵PP ′⊥x 轴，且PP ′＝1，PP ′在xOz 平面上，∴P (2,0,1)．6．①②⑤ 由点P 为动点，而BD 1是定线段，可分析探索一个过点A 且与BD 1垂直的平面．连结AB 1，B 1C ，AC ，由BD 1⊥AB 1，BD 1⊥AC ，从而得BD 1⊥面AB 1C ，又由点P 在侧面BCC 1B 1上运动知，点P 的轨迹为线段B 1C.故应填①②⑤.7．解：A 1(0,0,4)，C 1(2,2,4)． ∵MC 1＝2A 1M ， ∴11113A M AC =.过M向A1B1作垂线，垂足为P，过M向A1D1作垂线，垂足为Q，则12 3A P=，12 3AQ=，∴M22,,433⎛⎫⎪⎝⎭，D1(0,2,4)，C(2,2,0)．∴N点坐标为(1,2,2)．8．解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标．下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)，(0,1,0)，11,,022⎛⎫ ⎪⎝⎭；中层的原子所在的平面平行xOy平面，与z轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是11,0,22⎛⎫⎪⎝⎭，111,,22⎛⎫⎪⎝⎭，11,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，110,,22⎛⎫⎪⎝⎭；上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，11,,0 22⎛⎫ ⎪⎝⎭.9.解：以OA，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由于D在xOy平面内，故D的z坐标(竖坐标)为0，在平面直角坐标系xOy中，如图．∵OA＝2，AB＝3，∴A(2,0)，C(0,3)，设D(x0，y0)．由OD ⊥AC ，得0030102y x -⋅=--，① 又D 在AC 上，∴有00123x y +=.② 由①②解得18131213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴空间坐标系中，D 的坐标为1812,,01313⎛⎫⎪⎝⎭.。
2020-2021学年高一数学苏教版必修2同步课时作业2.2 圆与方程1.以点()3,1A --和()5,5B 为直径端点的圆的方程是( )A.()()221225x y -+-=B.()()221225x y +++=C.()()2212100x y +++=D.()()2212100x y -+-= 2.圆224690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则a =( )A.43- B.34- D.2 3.圆()()22213x y -+-=关于直线3560x y ++=对称的圆的方程为( )A.()()22233x y +++= B .()2213x y -+= C.()()22143x y +++=D.()2233x y ++= 4.已知直线0x y +=与圆()()2212x y b -+-=相切，则b =( )A.3-B.1C.52D.3-或15.圆221:4C x y +=和222(3)(4)49:C x y -++=的位置关系是( )A.相交B.相离C.内切D.外切 6.已知直线l 经过点()4,2P -，且被圆()()221225x y +++=截得的弦长为8，则直线l 的方程是( )A.724200x y +-=B.43250x y ++=C.43250x y ++=或4x =-D.724200x y +-=或4x =-7.圆：222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值是( )A.2B.1+C.1D.1+8.已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点()0,0O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A.6B.8C.10D.129.圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )C. D.10.己知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交的弦长为6，则圆C 的方程为( )A.22(1)18x y ++=B.22(1)x y +-=C.22(1)18x y -+=D.22(1)x y -+=11.若过点(),A a a 可作圆222:2230C x y ax a a +-++-=的两条切线，则实数a 的取值范围为_________________. 12.已知圆()()22:124C x y ++-=关于直线:0l x y m -+=对称，则实数m =_____________.13.已知圆()22:39C x y +-=，过原点作圆C 的弦OP ，则弦OP 的中点Q 的轨迹方程为_________________.14.若曲线225x y +=与曲线222()2200x y mx m m +-+-=∈R 相交于,A B 两点，且两曲线在A 处的切线相互垂直，则m 的值是_________________.15.已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于,A B 两点.(1)求直线AB的方程，并求出AB；PQ P的(2)在直线AB上取点P，过P作圆1C的切线PQ(Q为切点)，使得||坐标.答案以及解析1.答案：A解析：由题意可得，圆心为线段AB 的中点()1,2，半径1||52r AB ==，故所求的圆的方程为22(1)(2)25x y -+-=. 2.答案：B解析：圆的方程可化为22(2)(3)4x y -+-=，所以圆心为(2,3)，则圆心到直线的距离2d ==，即22(2)1a a +=+，解得34a =-.故选B. 3.答案：C解析：设对称圆的圆心为(),a b ，则依题意得15,23213560,22b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⨯+⨯+=⎪⎩解得1,4,a b =-⎧⎨=-⎩所以所求的圆的方程为22(1)(4)3x y +++=.故选C.4.答案：D解析：圆22(1)()2x y b -+-=的圆心坐标为(1,)b=即12b +=，解得1b =或3b =-.故选D.5.答案： C解析：圆221:4C x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为2；圆222:(3)(4)49C x y -++=的圆心坐标为(3,4)-，半径为7.572==-，所以两个圆内切.故选C.6.答案： D解析：点P 在圆上，直线l 有两条.当直线斜率存在时，设直线方程为2(4)y k x -=+，即420kx y k -++=.由圆的方程可知圆心为()1,2--，半径5r =，22425⎛⎫∴+=，解得7,24k =-∴直线方程为724200x y +-=. 当直线斜率不存在时，直线方程为4x =-，满足弦长为8.综上，所求直线方程为724200x y +-=或4x =-.7.答案：B解析：圆：222210x y x y +--+=化为标准方程得22(1)(1)1x y -+-=，所以圆心为(1,1)，半径为1.所以圆心(1,1)到直线2x y -=的距离d =，则所求距离的最大值为18.答案：D解析：化圆224240x y x y +-+-=为22(2)(1)9x y -++=，得圆心M 的坐标为()2,1-，半径为3.由圆的弦的性质可得，最长的弦即为圆的直径，AC ∴的长为6.点(0,0),O MO ∴=当弦BD 最短时，弦BD 和MO 垂直，且经过点O ，此时4BD =.四边形ABCD 的面积为11||||641222AC BD ⋅=⨯⨯=.故选D.9.答案：C解析：圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的方程相减得20x y -+=.圆心()0,0到直线20x y -+=的距离2d r ===，则公共弦长为=故选C.10.答案：A 解析：直线10x y ++=与直线10x y --=的交点为()0,1-，圆C 的圆心坐标为()0,1-.设圆C 的半径为r ，由题意可得2223r ⎛⎫+=，解得218r =.圆C 的方程为22(1)18x y ++=.故选A.11.答案：3(,3)1,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭解析：方程表示圆，则320a ->，即32a <.圆心为(,0)C a ，半径r 由于过点(,)A a a 可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即22222230a a a a a +-++->，解得3(,3)1,2a ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 12.答案：3解析：由题意得圆心()1,2C -在直线:0l x y m -+=上，120,3m m ∴--+=∴=.13.答案：2239(0)24x y y ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭ 解析：设()(),0Q x y y ≠，则()2,2P x y ，代入圆C 的方程，得()()222239x y +-=，即点Q 的轨迹方程为2239(0)24x y y ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭. 14.答案：5±解析：曲线225x y +=是圆心为()10,0O ，半径1r =曲线2222200x y mx m +-+-=是圆心为()2,0O m ，半径2r =的圆.由两圆相交于,A B 12O O <<||m <<由A 处的切线互相垂直可知，12O A O A ⊥，所以有22225m =+=，解得5m =±||m <15.答案：(1)由两圆方程相减，得直线AB 的方程为240x y -+=.又圆心2(1,1)C --，半径2r圆心2C 到直线AB 的距离d =公共弦长||AB =(2)由题知在直线AB 上取点P ，过P 作圆1C 的切线PQ (Q 为切点)，使得||PQ = 又圆1C 的标准方程为()()221550x y -++=，圆心1(1,5)C -，半径1r =1||15,PQ r ==，1PC ∴=.设()24,,P b b -则2510150b b --=，即2230b b --=，得3b =或1b =-，此时点P的坐标为()--或()6,12,3.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。
【推荐】2020年苏教版高中数学必修二（全册）同步练习汇总第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台A级基础巩固1．下列图中属于棱柱的有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱．答案：C2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线()A．20条B．15条C．12条D．10条解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)．答案：D3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为()解析：判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件：有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C, D是五棱锥．答案：A4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)．①所有的棱都相等；②至少有两个面的形状完全相同；③相邻两个面的交线叫作侧棱．解析：①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱．答案：②5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对．解析：观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对．答案：4 16．下列说法正确的是________(填序号)．①底面是正方形的棱锥是正四棱锥；②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥；④正四面体是正三棱锥．解析：根据定义判定．答案：④7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个．解析：从长方体中寻找四棱锥模型．答案：48．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？解：不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面是有一个公共顶点的三角形”, 如图所示的几何体并不是棱锥．9．下列三个命题, 其中正确的有________个．①用一个平面去截棱锥, 棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似, 其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行, 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．解析：由棱台定义知3个命题均不正确．答案：0B级能力提升10.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示), 则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析：两个☆不能并列相邻, B、D错误；两个※不能并列相邻, C错误, 故选A.也可通过实物制作检验来判定．答案：A11．下列说法不正确的是________(填序号)．①有些棱台的侧棱都相等；②四棱锥有五个顶点；③三棱台的上、下底面是相似三角形；④有两个面平行且相似, 其余各面都是梯形的几何体是棱台．解析：根据棱锥顶点的定义可知, 四棱锥仅有一个顶点, 则②不正确；显然①③正确；举反例：将两个相同的四棱台的上底面重合上下放置, 得到的几何体不是棱台, ④不正确．答案：②④12．下列图中的几何体是棱台的是________(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截成的, 不符合棱台的定义, 故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面, 不符合棱台的定义, 故②不满足题意．④符合棱台的定义．答案：④13.如图所示是一个正方体的表面展开图, 把它折回成正方体后, 下列命题中, 正确命题的序号是________．①点H与点C重合；②点D, M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．解析：把面EFNM作为该正方体的底面, 将展开图还原为正方体, 如图所示, 然后逐个检验, 便可得到命题②④是正确的．答案：②④14．一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为2, 3, 6, 这个长方体的对角线的长是________．解析：设三边分别为a, b, c, 则ab＝2, bc＝3, ca＝6, 解得：a＝2, b＝1, c＝3, 所以对角线长为a2＋b2＋c2＝1＋2＋3＝ 6.答案：615．两个完全相同的长方体, 长、宽、高分别为5 cm, 4 cm, 3 cm, 把它们重叠在一起组成一个新长方体, 在这些新长方体中, 求最长的对角线的长度．解：当一个长方体放在另一个长方体的上方时, 这时新的长方体的对角线长d1＝52＋42＋（3＋3）2＝77(cm)；当一个长方体放在另一个长方体的右边时, 这时新的长方体的对角线长d2＝（5＋5）2＋42＋32＝55(cm)；当一个长方体放在另一个长方体的前方时, 这时新的长方体的对角线长d3＝52＋（4＋4）2＋32＝72(cm)．综上可知, 新长方体中, 最长的对角线的长度为5 5 cm.16.如图所示, 已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16, 一条侧棱长为211, 点E是BC的中点, 计算它的高和斜高．解：因为正方形ABCD的面积为16,所以边长为4, OB＝2 2.又侧棱长为211,所以VO＝（211）2－（22）2＝6.又OE＝2, 所以斜高VE＝62＋22＝210.故它的高为6, 斜高为210.第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球A级基础巩固1．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点, 有无数条母线解析：圆锥是直角三角形绕直角边所在直线旋转得到的, 如果绕斜边旋转就不是圆锥, A不正确；夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体, 故B不正确；通过圆台侧面上一点, 有且只有一条母线, 故D不正确．答案：C2．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行, 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的解析：两直线平行时, 直线绕定直线旋转才形成柱面, 故A不正确；半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体, 故B不正确；C不符合棱台的定义．答案：D3．下列命题中, 正确的是()A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形解析：A中的截面是抛物面, 故错误；B中截面只过一个底面时, 不成立；而D中截面不过另一个底面时, 也不成立；因为圆锥的母线相等, 所以过圆锥顶点的截面是等腰三角形, 故C成立．答案：C4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体, 现用一个竖直的平面去截这个组合体, 则截面图形可能是()A．①②B．①③C．①④D．①⑤解析：一个圆柱挖去一个圆锥后, 剩下的几何体被一个竖直的平面所截后, 圆柱的轮廓是矩形除去一条边, 圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．答案：D5．给出以下命题：①空间中到定点的距离等于定长r的点的集合, 构成半径为r的球；②空间中到定点的距离等于定长r的点的集合, 构成半径为r的球面；③一个圆面绕其直径所在直线旋转180°所形成的曲面围成的几何体是球；④球面的对称轴有无数条, 对称中心有无数个．其中正确的是________(填序号)．解析：由球的定义知, ①错误, ②正确, ③正确；④错误, 因为球面的对称中心只有一个, 即球心．答案：②③6．半圆绕着直径所在直线旋转一周所得的几何图形是______．解析：注意球与球面、半圆与半圆面的区别．答案：球面7．如图所示, 一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°, 想象并说出它形成的几何体的结构特征．试着说出它的名称为________．解析：旋转形成的几何体是由两个同心球构成的, 即大球中挖去一个同心的小球．答案：空心球8．一个正方体内接于一个球, 过球心作一截面, 如下图所示, 则截面的可能图形是________(填图序)．解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③, 当截面过正方体对角线时得②, 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①, 但无论如何都不能得出④.答案：图①、图②、图③B级能力提升9．下面平面图形中能旋转而形成如图所示的几何体的是()解析：此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成, 是由A中的平面图形旋转而形成的．答案：A10．用一个平面截半径为25 cm的球, 截面圆的面积是49π cm2, 则球心到截面的距离为________．解析：球的半径R＝25(cm), 截面圆的半径r＝7(cm), 则球心到截面的距离d＝252－72＝24(cm)．答案：24 cm11．若一个圆锥的轴截面是等边三角形, 其面积为3, 则这个圆锥的母线长为________．解析：如图所示, 设等边三角形ABC为圆锥的轴截面, 由题意易知其母线长即△ABC的边长, 且S△ABC＝34AB2, 所以3＝34AB2.所以AB＝2.故所求圆锥的母线长为2.答案：212．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．图①图②解：(1)图中的几何体是由六棱柱中挖去一个圆柱构成的．(2)图中的几何体是由圆锥、圆柱、圆台构成的．13．已知圆柱的底面圆的半径是20 cm, 高是15 cm, 则平行于圆柱的轴且与此轴相距12 cm的截面面积是________cm2.解析：圆柱的底面如图所示,设所求截面的底边长为x cm ,由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝202－122, 解得x ＝32, 所以S 截面＝32×15＝480(cm 2)．答案：48014．把四个半径为R 的小球放在桌面上, 使下层三个, 上层一个, 两两相切, 求上层小球最高处离桌面的距离．解：如图所示, 由于四个半径为R 的球两两相切, 故四个球的球心构成一个棱长为2R 的正四面体O 4-O 1O 2O 3, 因为底面等边三角形O 1O 2O 3的高为32×2R , 所以该棱锥的高OO 4＝（2R ）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫233R 2＝263R . 所以上层小球最高处离桌面的距离d ＝263R ＋R ＋R ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋263R .第1章 立体几何初步1.1 空间几何体1.1.3 中心投影和平行投影A级基础巩固1．已知△ABC, 若选定的投影面与△ABC所在平面平行, 则经过中心投影后所得三角形与△ABC()A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对解析：根据中心投影的概念判断是相似．答案：B2．下列命题正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：因为当平面图形与投射线平行时, 所得投影是线段, 故A, B错．又因为点的平行投影仍是点, 所以相交直线的投影不可能平行, 故C错．由排除法可知, 选项D正确．答案：D3．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形, 则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析：由三视图知识, 知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形, 而圆柱的正视图不可能为三角形．答案：A4．下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：在各自的三视图中：①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．答案：D5．将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为()解析：所给几何体的侧视图是矩形, 里面从右上到左下加对角线．答案：D6．一个图形的平行投影是一条线段, 这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．解析：①的平行投影是线段或点；②的平行投影是直线或点；对于③④, 当图形所在面与投影面垂直时, 其正投影为线段；⑤的平行投影显然不可能是线段．故填②⑤.答案：②⑤7．两条相交直线的平行投影是___________________________．解析：当两条相交直线所在平面与投影线不平行时, 平行投影是两条相交直线；当平行时, 其投影是一条直线．答案：两条相交直线或一条直线8．图①和图②为两个几何体的三视图, 根据三视图可以判断这两个几何体分别为________、________．解析：根据三视图的形状联想几何体的结构．答案：圆台四棱锥9．如图所示的长方体和圆柱的三视图是否正确？解：均不正确．画一个物体的三视图, 不仅要确定其形状, 而且要确定线段的长短关系．长方体和圆柱的正确三视图如图所示：B级能力提升10．(2014·江西卷)一几何体的直观图如图所示, 下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：该几何体是组合体, 上面的几何体是一个五面体, 下面是一个长方体, 且五面体的一个面即为长方体的一个面, 五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等, 故选B.答案：B11．画简单组合体的三视图时, 下列说法错误的是________(填序号)．①主视图与俯视图长相同；②主视图与左视图高平齐；③俯视图与左视图宽相等；④俯视图画在左视图的正下方．解析：由画图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”, 易知①②③正确．答案：④12．下列实例中, 不是中心投影的是________(填序号)．①工程图纸；②小孔成像；③相片；④人的视觉．解析：由中心投影和平行投影的定义知, 小孔成像、相片、人的视觉为中心投影, 工程图纸为平行投影．答案：①13．一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是________(填图序)．解析：由三视图可知该几何体上部分是一个圆台, 下部分是一个圆柱, 故填图④.答案：图④14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示, 则这个正三棱柱的高和底面边长分别为________、________．解析：从左视图中得到高为2, 正三棱柱的底面正三角形的高为23, 可得边长为4.答案：2 415．已知正方体的棱长为1, 其俯视图是一个面积为1的正方形, 左视图是一个面积为2的矩形, 则该正方体的主视图的面积等于________．解析：由题意可知, 该正方体是斜放的, 其俯视图恰好是正方形, 而左视图和主视图都是正方体的对角面, 故该正方体的主视图的面积等于 2.答案：216．在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱, 仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来, 如图所示, 则这堆正方体货箱共有________个．解析：由主视图可知货箱有3层, 由左视图可知货箱前后有3排, 由俯视图可知货箱有3列, 则货箱的具体分布情况如图所示, 其中小正方形的数字表示此位置上面货箱的个数．因此这堆正方体货箱共有3＋1＋1＋2＋1＋1＝9(个)．答案：9第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.4 直观图画法A组基础巩固1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图, 对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的线段仍相交B．原来垂直的线段仍垂直C．原来平行的线段仍平行 D．原来共点的线段仍共点解析：根据斜二测画法可知, 原来垂直的线段未必垂直．答案：B2．建立坐标系, 得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()解析：由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．答案：C3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图, 正确的是()解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长度减半, 故只有C正确．答案：C4．下图为一平面图形的直观图, 因此平面图形可能是()解析：根据直观图, 平面图形的一边在x′轴上, 另一边与y′轴平行, 故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．答案：C5．如图所示, △A′B′C′是△ABC的直观图, 其中A′C′＝A′B′, 那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：由直观图看出, 三角形中有两边分别和两轴平行且相等, 由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行, 即有两边垂直且不等, 所以原三角形为直角三角形．答案：B6．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的直观图是梯形．以上结论, 正确的是________(填序号)．解析：因平行性不改变, 故②正确, ①也正确, 梯形的两底保持平行且不相等, 故⑤也正确；平行于y轴的线段, 长度变为原来的一半, 故③④不正确．答案：①②⑤7．如图所示, 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形, 则原来图形的形状是________(填序号)．①②③④解析：根据斜二测画法知, 在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍, 可知①正确．答案：①B级能力提升8.如图所示, Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图, 直角边O′B′＝1, 则这个平面图形的面积是()A ．2 2B ．1 C. 2 D ．4 2解析：设这个平面图形为△OAB .因为O ′B ′＝1, 所以O ′A ′＝2.所以在Rt △OAB 中, ∠AOB ＝90°, OB ＝1, OA ＝22, 所以S△AOB ＝12×1×22＝ 2. 答案：C9.如图所示, 正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm, 它是水平放置的一个平面图形的直观图, 则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3)cm D．2(1＋2)cm解析：根据直观图的画法, 原几何图形如图所示,四边形OABC为平行四边形, OB＝22, OA＝1, AB＝3, 从而原图周长为8 cm.答案：A10．有一个长为5 cm, 宽为4 cm的矩形, 则其直观图的面积为________．解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2), 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系, 可得直观图的面积为S′＝24S＝52cm2.答案：5 211．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解：等腰梯形及其直观图如图①和图②所示．(1)如图①所示, 取AB所在直线为x轴, AB的中点O为原点, AB的中垂线为y轴建立直角坐标系, 画出对应的直观图中的坐标系x′O′y′, 使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB, 在y′轴上取O′E′＝1 2OE, 以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′, D′A′, 如图②所示, 所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．12．下图是已知几何体的三视图, 用斜二测画法画出它的直观图．解：(1)画轴, 如图①所示, 画x轴、y轴、z轴, 三轴相交于点O, 使∠xOy＝45°, ∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A, B两点, 在z轴上取点O′, 使OO′等于三视图中相应高度, 过点O′作Ox的平行线O′x′, Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′, 设⊙O′交x′轴于A′, B′两点．(3)成图, 连接A′A, B′B.去掉辅助线, 将被遮挡的部分改为虚线, 即得到给出三视图所表示的直观图, 如图②所示．13．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°, 腰和上底均为1的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是多少？解：由题意, 知原图形为直角梯形, 且上底为1, 下底为1＋2,高为2, 所以实际图形的面积＝（1＋1＋2）×22＝2＋ 2.第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1．下列有关平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面解析：我们用平行四边形表示平面, 但不能说平行四边形就是一个平面, 故A项不正确；平面图形和平面是两个概念, 平面图形是有大小的, 而平面无法度量, 故B项不正确；太平洋面是有边界的, 不是无限延展的, 故C项不正确；在需要时, 除用平行四边形表示平面外, 还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．答案：D2.如图所示, 用符号语言可表示为()A．α∩β＝m, n⊂α, m∩n＝AB．α∩β＝m, n∈a, m∩n＝AC．α∩β＝m, n⊂α, A⊂m, A⊂nD．α∩β＝m, n∈a, A∈m, A∈n解析：α与β交于m, n在α内, m与n交于A.答案：A3．下列说法正确的是()A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析：对于A, 若三点共线, 则错误；对于B项, 若两条直线既不平行, 也不相交, 则错误；对于C项, 空间四边形就不只确定一个平面．答案：D4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A．1个或3个B．1个或4个C．1个, 3个或4个D．1个, 2个或4个解析：若三点在同一直线上, 且与已知直线平行或相交, 或该直线在由该三点确定的平面内, 则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线, 且该直线在由该三点确定的平面外, 则可确定4个平面．答案：C5.如图所示, 平面α∩平面β＝l, A, B∈α, C∈β, C∉l, 直线AB∩l ＝D, 过A, B, C三点确定的平面为γ, 则平面γ, β的交线必过点________．解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内, 故在β与γ的交线上．答案：C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析：若四点共线, 可确定无数个平面；若四点共面不共线, 可确定一个平面；若四点不共面, 可确定四个平面．答案：1个或4个或无数7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中两两相交的三条直线确定一个平面；②一条直线和一个点能确定一个平面；③梯形一定是平面图形．解析：根据三个公理及推论知①②均不正确．答案：③8．下列各图的正方体中, P, Q, R, S分别是所在棱的中点, 则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ, ③中SR∥PQ, 由推论3知四点共面．答案：①③9．点A在直线l上但不在平面α内, 则l与α的公共点有__________个．答案：0或110．根据下列条件, 画出图形：平面α∩平面β＝AB, 直线CD ⊂α, CD∥AB, E∈CD, 直线EF∩β＝F, F∉AB.解：由题意画出图形如图所示．B级能力提升11．如图所示, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 设A1C∩平面ABC1D1＝E, 则B, E, D1三点的关系是________________________．解析：连接AC、A1C1、AC1, (图略)则E为A1C与AC1的交点,故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形, 所以B, E, D1三点共线．答案：共线12．下列叙述中, 正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上, 点P在直线m上, 点P在直线n上, 则l, m, n共面；②若点P在直线l上, 点P在直线m上, 则l, m共面；③若点P不在直线l上, 点P不在直线m上, 点P不在直线n上, 则l, m, n不共面；④若点P不在直线l上, 点P不在直线m上, 则l, m不共面；⑤若点P在直线l上, 点P不在直线m上, 则l, m不共面．解析：因为P∈l, P∈m, 所以l∩m＝P.由推论2知, l, m共面．答案：②13.如图所示, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点M, N, E, F分别是棱CD, AB, DD1, AA1上的点, 若MN与EF交于点Q, 求证：D, A, Q三点共线．证明：因为MN∩EF＝Q,所以Q∈直线MN, Q∈直线EF.又因为M∈直线CD, N∈直线AB,CD⊂平面ABCD, AB⊂平面ABCD,所以M, N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理, 可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD,所以Q∈直线AD, 即D, A, Q三点共线．14．如图所示, 正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别是棱AA1, AB 的中点, 求证：D1E, CF, DA三线共点．证明：如图所示, 连接EF, A1B, D1C,因为E, F为AA1, AB的中点,所以EF綊12A1B.又因为A1B綊D1C, 所以EF綊12D1C.故直线D1E, CF在同一个平面内, 且D1E, CF不平行, 则D1E, CF必相交于一点, 设该点为M.又因为M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1,所以M∈AD, 即D1E、CF、DA三线共点．15.如图所示, 在四面体ABCD中, E, G, H, F分别为BC, AB, AD, CD上的点, EG∥HF, 且HF<EG.求证：EF, GH, BD交于一点．证明：因为EG∥HF,所以E, F, H, G四点共面,又HF<EG, 所以四边形EFHG是一个梯形．如图所示, 延长GH和EF交于一点O,因为GH在平面ABD内, EF在平面BCD内,所以点O既在平面ABD内, 又在平面BCD内．所以点O在这两个平面的交线上, 而这两个平面的交线是BD, 且交线只有这一条．所以点O在直线BD上．所以GH和EF的交点在BD上,即EF, GH, BD交于一点．16.已知：如图所示, a∥b∥c, 直线l∩a＝A, l∩b＝B, l∩c＝C. 求证：a, b, c, l四线共面．证明：因为a∥b, 所以a, b确定一个平面α.因为A∈a, B∈b, 所以A∈α, B∈α.所以AB⊂α, 即l⊂α.同理,由b∥c, 得b, c确定一个平面β, 可证l⊂β.所以l, b⊂α, l, b⊂β.因为l∩b＝B, 所以l, b只能确定一个平面．所以α与β重合．故c在平面α内．所以a, b, c, l四线共面．第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.2 空间两条直线的位置关系A组基础巩固1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面解析：可能相交也可能异面, 但一定不平行(否则与条件矛盾)．答案：D2．a, b为异面直线是指()①a∩b＝∅, 且a不平行于b；②a⊂平面α, b⊄平面α, 且a∩b＝∅；③a⊂平面α, b⊂平面β, 且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α, 且b⊂α成立．A．①②③B．①③④C．②③D．①④解析：②③中的a, b有可能平行, ①④符合异面直线的定义．答案：D3．下列选项中, 点P, Q, R, S分别在正方体的四条棱上, 并且是所在棱的中点, 则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析：易知选项A, B中PQ∥RS, 选项D中RS与PQ相交, 只有选项C中RS与PQ是异面直线．答案：C4．下列命题中, 其中正确的为________(填序号)．①若两条直线没有公共点, 则这两条直线互相平行；②若两条直线都和第三条直线相交, 那么这两条直线互相平行；③若两条直线都和第三条直线平行, 则这两条直线互相平行；④若两条直线都和第三条直线异面, 则这两条直线互相平行；⑤若两条直线都和第三条直线有公共点, 那么这两条直线不可能互相平行．解析：根据两条直线的位置关系, 知只有③正确．答案：③5．已知AB∥PQ, BC∥QR, 若∠ABC＝30°, 则∠PQR＝______．解析：由等角定理可知, 当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相同时, ∠PQR＝30°；当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相反时, ∠PQR＝150°.故填30°或150°.。
