大学文科数学-课件1

sin2a = 2sin a cos a cos2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a = 2cos2 a - 1 2tan a tan2a = 2 1 - tan a 和差与积关系公式
a+b a-b sin a + sin b = 2sin cos 2 2 a +b a-b sin a - sin b = 2cos sin 2 2 a+b a-b cos a + cos b = 2cos cos 2 2 a +b a-b cos a - cos b = -2sin sin 2 2 1 sin a cos b = [ sin( a + b ) + sin( a - b ) ] 2 1 cos a sin b = [ sin( a + b ) - sin( a - b ) ] 2 1 cos a cos b = [ cos( a + b ) + cos( a - b ) ] 2 1 sin a sin b = - [ cos( a + b ) - cos( a - b ) ] 2
δ δ x0 − δ δ x0 − δ x0 x0 δ x0 + δ x x0 + δ x
与点 点
距离小于 δ (d > 0) 的全体实数的集合称为 的 δ 邻域, 记作U ( x0 , d ), 称为邻域的中心,
δ 称为邻域的半径. { x | x - x0 < d }, ( x0 - d , x0 + d ), U ( x0 ) 如果点 的 δ 邻域U ( x0 , d )不包括点 , 则称为点 的去心邻域, 记作U( x0 , d ). { x |0 < x - x0 < d }, U( x0 ) 例 用邻域符号表示不等式 2 x + 1 < e ( e > 0) 所确 定的 的范sin x , x Î [ -1,1 ], y Î ê - , ú . êë 2 2 úû
π π 2 0 π − 2
y = arccos x , x Î [ -1,1 ], y Î [ 0, p ].
−π −1
0
1
3π 2
π π 2 0
——解析的函数的意义 1694 年, 约翰·伯努利 (John Bernoulli) 1748 年, 欧拉 (Leonhard Euler) 第二次扩张函数概念 ——图像表示的函数的 概念 第三次扩张函数定义 中函数定义的来源 欧拉 1837 年, 狄利克雷 (Dirichlet) 第四次扩张——现行初 黎曼 (B. Riemann) 欧拉
第五次扩张 (取消函数 定义域的限制) 第六次扩张 第七次扩张 维布伦 (O. Veblen)
1.2.1 函数
定义 如果在某个变化过程中有两个变量 , , 并 且对于 在某个变化范围 X 内的每一个确定的值, 按照某个对应法则 , 都有唯一确定的值和它对 应, 那么 就是 的函数, 记作 y = f ( x ), 叫做
1.2.4 复合函数 A = f ( r ) = pr 2 , r = g ( t ) = 1 + t , 2 A = f [ g( t ) ] = p( 1 + t )
定义 设函数 y = f ( u ), u Î U , u = f ( x ), x Î X , 且 由 x Î X 确定的函数值u = f ( x )落在函数 y = f ( u )的 定义域 U 内, 则 y = f [ f ( x ) ]称为复合函数, 称为中 间变量, u = f ( x )称为里层函数, y = f ( u )称为外层 函数. 把一个复合函数分成不同层次的函数, 叫做复合函数 的分解. 分解的的步骤是从外向里, 评判分解合理与否的准则 是, 观察各层函数是否为基本初等函数或者多项式.
−π −1
0
1
æ p pö - , ÷ y = arctan x , x Î ( -¥, +¥ ), y Î ç . ÷ ç è 2 2ø
3π 2 π π 2 0 π − 2 −π 3π − 2
−3 −2 −1
0
1
2
3
y = arccot x , x Î ( -¥, +¥ ), y Î ( 0, p ). 恒等式 sin( arcsin x ) = cos( arccos x ) = tan( arctan x ) = x 例 sin( arccos x ) = 1 - x 2
(6) 余割函数
.
1 0 −1
−2π −
3π π − −π 2 2
0
π 2
π
3π 2
2π
和角公式 sin( a b ) = sin a cos b cos a sin b cos( a b ) = cos a cos b sin a sin b tan a tan b tan( a b ) = 1 tan a tan b 倍角公式
自变量, 的取值范围 X 叫做函数的定义域, 和 的值对应的 值叫做函数值, 函数值的集合 Y 叫做 函数的值域. 设函数 如果函数
的定义域是 对于定义域 是区间
, M 为非负实数. 内的任意 x 满足 内的有界函数.
f ( x ) £ M , 则称
1 微积分的基础和研究对象
1.1 微积分的基础 ——集合 , 实数和极限
17 世纪上半叶笛卡儿 (Descartes, 法, 1596 – 1650) 创建解析几何之后, 变量便进入了数学. 随之, 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727) 和莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716) 集众多数学家之大成, 各自独立地 发明了微积分, 被誉为数学史上划时代的里程碑. 微 积分诞生不久, 便在许多学科中得到广泛有效的应用, 大大推动了那个时代科学技术的发展和社会进步.
例 设f ( x ) = x 2 及 y ( x ) = 2 x , 求f[ f ( x ) ], f[ y ( x ) ],
y[ f ( x ) ]及 y[ y ( x ) ].
解 f[ f ( x ) ] = ( x
x 2 2 2
)
= x 4 ;
2x ) ( y [ y ( x ) ] = 2 .
由 的不足近似值构成的有理数序列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142135, 1.41421356, 1.414213562, 1.4142135623, 1.41421356237, 1.414213562373, …
1.2.2 反函数
定义 设函数 , x Î X , y Î Y . 如果对于 Y 内 的任一 , X 内都有唯一确定的 与之对应, 使
f ( x ) = y , 则在 Y 上确定了一个函数, 这个函数称为
的反函数, 记作 x = f -1 ( y ), y Î Y . 函数 单调函数存在反函数, 且函数与其反函数单调性相 同.
1 0 −1 3π − 2 −π π − 2 0 π 2 π 3π 2
(3) 正切函数
.
4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2
y
tan x
2
0
2
3 2
(4) 余切函数
.
(5) 正割函数
.
1 0 −1
−2π −
3π π − −π 2 2
0
π 2
π
3π 2
2π
f[ y ( x ) ] = ( 2 ) = 22 x ; x2 ) ( y [ f ( x ) ] = 2 ;
例 设:
1 , f ( x )= 1- x
求 f [ f ( x ) ], f { f [ f ( x ) ]}. 1 1 解 f [ f ( x ) ] = = 1 - ; 1 x 11- x 1 f { f [ f ( x ) ]} = = x . æ 1ö ÷ 1 -ç 1 ÷ ç è xø 例 分解下列复合函数: (1) y = 2arctan x ; (2) y = 1 + sin2 x ; æ xö ÷ tan (3) y = lnç . ÷ ç è 2ø
1.2.3 基本初等函数
常数函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数 和反三角函数统称为基本初等函数. 1. 常数函数 y = C (C 为常数)
2. 幂函数 y = x a (α 为实数) 3. 指数函数 y = a x (a > 0 , 且a ¹ 1) 4. 对数函数 y = loga x (a > 0 , 且a ¹ 1) 5. 三角函数 (1) 正弦函数 (2) 余弦函数 . .
例 cos( arccot x ) =
x 1 + x2
p 例 arcsin x + arccos x = 2 æ p pö ÷ , 证 设 y = arcsin x , y Î ç . ÷ ç è 2 2ø sin y = x .
æp ö p -y÷ = x , 0 £ - y £ p . cosç ÷ ç è2 ø 2 é æp öù ÷ arccos ê cosç y ú = arccos x , ÷ ç ø úû êë è 2 p - y = arccos x . 2 p 例 arctan x + arccot x = 2
笛卡儿 (Descartes, 法, 1596 – 1650), 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727), 莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716), 欧拉 (Euler, 瑞士, 1707 – 1783), 狄 利克雷 (Dirichlet, 德, 1805 – 1859) 等许多科学家 和数学家的思索, 提炼, 才形成今日一般人所理解的 函数模型. 随着人们认识的深化, 函数这一模型也不 断地得到改进和拓展. 函数概念发展 (扩张) 的历史轨迹 第一次扩张函数概念 1667 年, 格雷戈里 (J. Gregory)