大学文科数学3 ppt课件
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《大学文科数学》PPT课件
第一章 微积分
1.3 导数与微分
1
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1.3 导数与微分
主要教学内容： ➢ 导数与微分的概念，计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
2
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1.3 导数与微分
导数的概念
1.曲线的切线斜率
导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上是点 的概念） 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。
13
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1.3 导数与微分
例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)′= cosx， y =cosx 的导数是(cosx)′= − sinx ．
证
同理可证， (cosx)′= − sinx ．
(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x
的导数(或微商)．记作
．因Δx =x−x0， x=
x0+Δx，故还有
“函数的平均变化率”是整体（区间）概念；“函数的变化率”是局部（点）概念。
7
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1.3 导数与微分
此时，曲线y =f(x) 在点(x0，f (x0) )的切线方程是
例1.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的 导数．
解．因
特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均
为1．
11
编辑ppt
1.3 导数与微分
例1.3.3 求曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方
程．
解．在上例中取n =3 可知函数y＝ x3 在点 x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切 线斜率是：y′(2)=3⋅22 =12，故曲线y＝x3
1.3 导数与微分
1
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1.3 导数与微分
主要教学内容： ➢ 导数与微分的概念，计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
2
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1.3 导数与微分
导数的概念
1.曲线的切线斜率
导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上是点 的概念） 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。
13
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1.3 导数与微分
例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)′= cosx， y =cosx 的导数是(cosx)′= − sinx ．
证
同理可证， (cosx)′= − sinx ．
(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x
的导数(或微商)．记作
．因Δx =x−x0， x=
x0+Δx，故还有
“函数的平均变化率”是整体（区间）概念；“函数的变化率”是局部（点）概念。
7
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1.3 导数与微分
此时，曲线y =f(x) 在点(x0，f (x0) )的切线方程是
例1.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的 导数．
解．因
特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均
为1．
11
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1.3 导数与微分
例1.3.3 求曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方
程．
解．在上例中取n =3 可知函数y＝ x3 在点 x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切 线斜率是：y′(2)=3⋅22 =12，故曲线y＝x3
《大学文科数学》PPT课件
在(2,8)处的切线方程是:
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
12
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：
t 时刻的瞬时速度：
在t=2 时刻的瞬时速度是：
v(2)=2g≈2×9.8=19.6(m/s)
19
编辑ppt
1.3 导数与微分
2. 经济学函数的边际（不作为基本要求）
边际：导数在经济理论中的别名．
设y=f(x)是某个经济学函数．经济学把自变量在 x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x) 在x0 处的边际变化．自变量单位的大小可能引起 大小不同的误差．比如成本函数C=C(x)，自变量 x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成
量Δx 的微分，记作
d y = f′(x0) Δx .
注1. 微分依赖于两个因素：
(1)函数的导数f′(x0)；
(2)自变量的改变量Δx．
一旦x0 取定，导数f′(x0)也就取定，此时微分 仅与Δx 成正比，比例系数即 f′(x0)．
( x n ) ' nx n 1 ,
(log
a
x)'
1 x ln
a
, (ln
x)
1。 x
25
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1.3 导数与微分
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
12
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：
t 时刻的瞬时速度：
在t=2 时刻的瞬时速度是：
v(2)=2g≈2×9.8=19.6(m/s)
19
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1.3 导数与微分
2. 经济学函数的边际（不作为基本要求）
边际：导数在经济理论中的别名．
设y=f(x)是某个经济学函数．经济学把自变量在 x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x) 在x0 处的边际变化．自变量单位的大小可能引起 大小不同的误差．比如成本函数C=C(x)，自变量 x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成
量Δx 的微分，记作
d y = f′(x0) Δx .
注1. 微分依赖于两个因素：
(1)函数的导数f′(x0)；
(2)自变量的改变量Δx．
一旦x0 取定，导数f′(x0)也就取定，此时微分 仅与Δx 成正比，比例系数即 f′(x0)．
( x n ) ' nx n 1 ,
(log
a
x)'
1 x ln
a
, (ln
x)
1。 x
25
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1.3 导数与微分
大学文科数学3-1 线性方程组的消元解法ppt
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。 由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
文科数学
线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数学
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
文科数学
增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此 对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只 对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 ri rj ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k ri ; 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 ri k 解线性方程组的这一思路，反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有
文科数学
线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数学
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
文科数学
增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此 对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只 对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 ri rj ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k ri ; 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 ri k 解线性方程组的这一思路，反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有
大学文科数学 (3)
大学数学函数是微积分研究的对象，要学习微积分，首先要了解函数.大家对于函数的基本概念应该都是熟悉的，所以本章仅对函数作一个概括，给出一些理解性的论述.第一章微积分研究的对象——函数§1 表示变量因果关系的函数§2 函数的实例第四讲函数的基本性质六、函数的基本性质函数的基本性质是指有界性，单调性，奇偶性和周期性.不是每个函数都会有这些性质，但了解这些性质对我们今后进一步熟悉和学习微积分是有很大好处的.注意，定义中的M 只要存在就行，并没有要求是最小的.1. 有界与无界函数有界性是一个很重要的性质，所谓有界，就是指这个函数的值域可以包含在某个闭区间中.如果存在一个正数则称函数f 是数集D 上的有界函数，或称f 在D 上有界.否则就称f 在D 上无界.定义2设函数在数集D 上有定义，()y f x =,M 使函数的值域{}|(),[,],y y f x x D M M =∈⊂-即|()|f x M ≤对所有的成立，x D ∈使得无界是有界的反面，函数f 在D 上无界就是再大的闭区间也无法将该函数的值域包含在内，总有例外.数学化的表述就是：对于任何无论怎样大的正数M ，个x 与M 有关），总有（下标M 是指这M x D ∈|()|.M f x M >宋朝叶绍翁的诗《游园不值》中的诗句再大的园子(闭区间)也无法将所有的从文学的意境表达了无界的含义：诗的(某个函数值)跑到园子的外面.“春色满园关不住，一枝红杏出墙来.”春色（函数值）关住，比喻如此恰切,其意境把枯燥的数学语言形象化了.总有一枝红杏也无法将其全部包含.内是有界函数，数，因为当自变量x 无限接近于0 时，其函数值会无限地增大，再大的闭区间（y 轴上，值域）例9正弦函数和余弦函数在其定义域sin y x =cos y x =(,)-∞+∞因为对一切的都有(,)x ∈-∞+∞|sin |1,|cos | 1.x x ≤≤反比例函数在上是有界函1y x =[1,)+∞因为当时，[1,)x ∈+∞而在上则是无界的，(0,)+∞11x≤；可见，函数的有界性与所考虑的自变量的取值范围有关，范围上无界，在小范围内可能就有界了！函数在区间上有界的几何解释是：()f x[,]a b函数在区间()y f x=之间.上的图形位于两条直线与[,]a b y M=-y M=在大例10判断下列函数的有界性：（1）（2）M 只要存在即可，并不要求是最好的，或最小的.43sin 5cos2y x x =+-；ln ,(1,).y x x =∈+∞解一个函数是否有界，就看是否能找到一个正数M ，()f x 使得对一切在讨论范围的x ，有|()|.f x M ≤（1）因为43sin 5cos2y x x =+-()4351212,M ≤++==所以43sin 5cos2y x x =+-43sin 5cos2x x≤++(,)-∞+∞在上有界.验证如下：就有（2）ln ,(1,)y x x =∈+∞观察的图像，可以判断出在区间上无界.ln y x =ln y x =(1,)+∞对任意（不论多大），0M >只要取1e(1,),M M x +=∈+∞1ln ln e M M x +=上无界.所以，在区间ln y x =(1,)+∞1,M M =+>问题在其定义域上是否有界？cos y x x =。
高数3ppt课件
x1, x2 , , xn , 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
(2)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
通项 :
xn
1 2n
.
… xn … x3
x2
••••• •••••
1
1
01
2n
8
4
2
1
x1 x
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
的图上看,
( x1
1 10
x3
•••
(••x• 2n••-1••
(•••
x2n
*•••)•••• •••
)•••x4
1 103
1 102n1
0
1
1
102n
104
x2
1 102
)
x
xn U(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
第二章 极限和连续
本章学习的主要内容：
极限的概念、性质和运算法则 无穷小量的性质
两个重要极限
函数的连续性概念
第二章 极限和连续
第一节 数列的极限
一、数列的概念 二、数列的极限的定义 三、数列极限的性质
一、数列概念
引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1 的圆，用其内接正 6 2n 1边形的面积 An 来逼近圆的面积A. 先作圆的内接正六边形，其面积记作 A1 再作内接正十二边形，其面积记作 A2
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
(2)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
通项 :
xn
1 2n
.
… xn … x3
x2
••••• •••••
1
1
01
2n
8
4
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1
x1 x
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
的图上看,
( x1
1 10
x3
•••
(••x• 2n••-1••
(•••
x2n
*•••)•••• •••
)•••x4
1 103
1 102n1
0
1
1
102n
104
x2
1 102
)
x
xn U(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
第二章 极限和连续
本章学习的主要内容：
极限的概念、性质和运算法则 无穷小量的性质
两个重要极限
函数的连续性概念
第二章 极限和连续
第一节 数列的极限
一、数列的概念 二、数列的极限的定义 三、数列极限的性质
一、数列概念
引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1 的圆，用其内接正 6 2n 1边形的面积 An 来逼近圆的面积A. 先作圆的内接正六边形，其面积记作 A1 再作内接正十二边形，其面积记作 A2
福建省文科数学第三轮：数学思想——数形结合思想.ppt
（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式
如两点间的距离 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ，
点到直线的距离 d | Ax0 By0 C | ， A2 B2
直线的斜率，直线的截距、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
【典型例题】
题型一：构建函数模型并结合其图象研究与量大小有关的问题
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思 想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的 效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
【数形结合思想解决的问题常有以下几种 】
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大 小关系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值 问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究 最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
2：直线 y 1与曲线 y x2 x a 有四个交点，
则 a 的取值范围是
a (1, 5) 4
题1
【典型例题】
题型四：构建函数模型结合图象研究与方程根的个数有关的问题
例 4:已知函数 f (x) 1 x3 1 mx2 3 x ，
12 6
2
g(x) 1 mx2 x c ， F (x) x f (x) ． 2
0
，若
f
(x0 )
>1，则
x0
的取值范围是（
D
）
x2 , x 0
A. (－1，1)
B.（－1，＋∞）
如两点间的距离 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ，
点到直线的距离 d | Ax0 By0 C | ， A2 B2
直线的斜率，直线的截距、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
【典型例题】
题型一：构建函数模型并结合其图象研究与量大小有关的问题
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思 想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的 效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
【数形结合思想解决的问题常有以下几种 】
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大 小关系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值 问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究 最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
2：直线 y 1与曲线 y x2 x a 有四个交点，
则 a 的取值范围是
a (1, 5) 4
题1
【典型例题】
题型四：构建函数模型结合图象研究与方程根的个数有关的问题
例 4:已知函数 f (x) 1 x3 1 mx2 3 x ，
12 6
2
g(x) 1 mx2 x c ， F (x) x f (x) ． 2
0
，若
f
(x0 )
>1，则
x0
的取值范围是（
D
）
x2 , x 0
A. (－1，1)
B.（－1，＋∞）
大学文科数学2-3 数学期望与方差ppt
于是
P{X k} 1 , k 1, 2, , n n
EX
n
k
k 1
1 n
1 n
(1 n)n 2
n 1 2
文科数学
例3 掷一枚均匀骰子，以 X 表示掷得的点数， 求 X 的数学期望。
解：随机变量 X 的概率分布为
P{X k} 1 , k 1, 2, , 6 6
于是
E(X ) 6 k 1 7
文科数学
期望与方差的重要性
1. 在实际问题中，有时很难求出随机变量的分 布，不得不求助于期望、方差等数字特征；
2. 对许多问题，用期望、方差等数字特征就足 够了；
例如：比较两个地区人民的生活水平 3. 求分布时，往往是先确定其分布类，再确定 分布的参数，而分布的参数却可由期望、方差等 确定。
文科数学
我们称
D(X ) E{[X E(X )]2}
为随机变量 X 的方差。
文科数学
方差的定义
随机变量 X 的方差：D(X ) E{[X E(X )]2} D(X ) (X )
称为均方差或标准差。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散
程度，若 X 的取值比较集中， 则方差较小； 若 X 的取值比较分散， 则方差较大。
k1 6 2
文科数学
例习 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出
X：甲击0 Y pk 0.1 0.3 0.6 pk
试问哪个人的射击水平较高？
8 9 10 0.2 0.5 0.3
解：可求得甲乙两人的平均环数为
E(X ) 80.1 9 0.3 10 0.6 9.5
文科数学
方差的性质
1. 设 C 是常数，则 D( C ) = 0； 2. 若 C 是常数，则 D( CX ) = C2 D( X );
《大学文科数学》PPT课件
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2.6 定积分
1.几个典型的定积分问题
y f (x)
（1）曲边梯形的面积
曲边梯形是由连续曲线
Oa
bx
y f (x) ( f (x) 0)
及 x 轴，以及两直线 x a , x b
所围成，求其面积 A .
h
l 矩形面积
Alh
h
l 三角形面积
A 1lh 2
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2.6 定积分
（3）数学上可以证明，定积分定义与不定积分定义中的 “可积函数”是同一回事 。
（4） 数学上已经证明，闭区间上的连续函数都是可积的。 （5）用上述定义很难求定积分的值，为了找出计算定积分的
有效方法，牛顿—莱布尼兹（Newton—Leibniz)发现 了微积分基本定理。
2.6 定积分
O a x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x88 b
x
曲边梯形的面积 ≈ 所有窄条矩形面积之和
矩形估计方法
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2.6 定积分
设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 且 f (x) 0 . y a.分割: 在区间 [a,b] 中任意插入 n 1个
（2）该公式对 a b的情形同样成立 .
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2.6 定积分
（3） 定积分计算
微积分基本公式 求原函数
牛顿-莱布尼兹公式
（4）使用Newton—Leibniz公式时要注意验证定理的条件, 否则有可能导致错误的结果。
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2.6 定积分
关于微积分基本定理: 1.等号两边的概念不同(左边是定积分是乘积之和的极限， 而右边是不定积分是原函数，是导数和微分运算的逆运算; 2.问题的转化:把定积分的计算问题转化为不定积分的计算; 3.该定理的伟大之处:把微分与积分联系起来了; 4.为什么称之为微积分基本定理?
大学文科数学之线性代数与概率统计课件
概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
概率的性质
P() 0
显然有＝ ..， . P() P(), k 1
由概率非负性即得
由P() 0及完全（可列）可加性 即得
若A1, A2,...An F,且Ai Aj＝ (i j), 则
n
n
P( Ak ) P(Ak )
练习
• Page 153 3
第三讲 概率的公理化定义
• 柯尔莫哥洛夫 前的一些概率定义方式
• 公理化定义 • 概率的性质 • 概率的计算
1.古典概型
A
P( A)
( A) ()
A中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2.几何概型
P(
A)
A点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
• 3 统计概率
公理化定义
概率空间(, F, P)
当 AB 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；
• 例4 某学生凭猜测答两道是非题，求该生答 对一道题的概率。
• 设 E: 答对一道题
• A={对，对} B={对，错} C={错，对} D={错，错}
设E是随机试验， Ω是它的样本空间，对 于 F 中的每一个事件A，赋予一个实数， 记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合 函数 P( . ) 满足下述三条公理:
公理1(非负性 ) 0 P( A) 1
公理2(归一性) P(Ω)=1
(2)
公理3(可列可加性)若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 ) (3)
2016年高考文科数学全国卷3(新课标Ⅲ)PPT版(共36张PPT)
(2) : a 2, b 6, a 4, s 10, n 2 (3) : a 2, b 4, a 6, s 16, n 3 (4) : a 2, b 6, a 4, s 20, n 4
s s a, n n 1
否
退出循环, n 4
S 2 3 6 2 3 3 2 3 3 5 54 18 5
11.在封闭的直三棱柱ABC A1 B1C1内有一个体积为V 的 球 , 若AB BC , AB 6, BC 8, AA1 3, 则V 的最大值是 ( B ) 9 32 A.4 B. C .6 D. 2 3 要使球的体积V 最大 , 必须使球的半径R最大 .由题意知
s>16 是 输出n 停止
1 9.在△ABC中, B , BC 边上的高等于 BC , 则 sin A 4 3 ( D ) 3 A. 10 10 B. 10 5 C. 5 3 10 D. 10
设BC 边上的高线为AD, 则BC 3 AD,
AC AD 2 DC 2 5 AD, AB 2 AD,
5. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只 记得第一位是中的一个字母，第二位是1，2，3，4， 5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机 的概率是（ C ） 8 1 1 1 A. B. C. D. 15 8 15 30
开机密码的可能有( M ,1),( M , 2),( M , 3),( M , 4),( M , 5), ( I ,1),( I , 2),( I , 3),( I , 4),( I , 5),( N ,1),( N , 2),( N , 3), ( N , 4), ( N , 5), 共15种可能, 所以小敏输入一次密码能够成功开机 1 的概率是 15
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x0+Δx X
（图3.2）
10
3. 回答两个思考题
⑴步骤
①求增量
给
x
一个增量
0
x，自变量由x
0
变
到 x0 x，则 yf(x0 x)f(x0) Y
y f(x) M
②求增量比
T Δy
③ 取极限
yf(x0x)f(x0)
x
x
M0 α β y0 O x0 Δx x0+Δx X
（图3.2）
ta n li m y lim f(x 0 x ) f(x 0 )
其它形式
f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0). f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
注意：如果上述极限不存在，则称在x0处不可导
13
由此可知： 导数是平均变化率的极限！ v lims t t0 t0
导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度；
6
1.1 抽象导数概念的两个现实原型
原型Ⅰ 求变速直线运动的瞬时速度.
设 s f (t)在[0，T]上连续，求v v(t0) .
M M0
M1 P
O
△s
s
1. 提出问题
匀速运动：瞬时速度v0
v
s
；
t
变速运动：瞬时速度v 0
0 0
.
想一想 如何处理速度变与不变的矛盾？ 7
3. 回答两个思考题 M M0
第三章 变量变化速度与局部改变量 估值问题——导数与微分
学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实. ——朱熹：《朱子语类辑略》
在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微 积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.
——恩格斯
1
❖ 教学目标：本章目标是介绍导数概念、求导数 的方法、微分及其运算。
（图3.2）
14
定义2 如果函数y f(x) 在区间 (a, b) 内的每一点都可
导，则称函数在区间(a, b)内可导.这时，函数 y f(x)
对于区间 (a,b) 内每一 x值都对应着一个确定的导数，
称为函数 f ( x) 的导函数，记作 y, f (x), dy 或 d f ( x).
dx dx
❖ 要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握 导数与微分的运算法则。了解牛顿的生平事迹 和微积分发生与发展简史. 教学重点：导数概念、求导方法、微分概念； 教学难点：导数概念、微分概念、高阶导数的 概念；
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
αβ Δx
O x0
x0+Δx X
（图3.2）
9
1. 提出问题 若y f(x)的图象是直线，则 k y
x
若y f(x)的图象是曲线，则 k ? .
Y
2. 思考
Y
M
y f(x)
Δy
；M0
y0 O x0
β
Δx x0+Δx X
M y f(x)
⑴步骤？ ⑵数学思想方法？
T Δy
y0 M0
αβ Δx
O x0
x x 0 x 0
x
其中 ( )是切线
2
M 0与T 轴
x的夹角
11
1：化 为
瞬时速度
平均速度
2：取极限
1：化 为
切线
割线
2：取极限
（第一步为第二步做准备）
总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的 角度来考察，
所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相 关变量的变化快慢程度，即变化率问题；
如果 y 与 x之比 y ，当x0时的极限存在，则
称这个极限值为
x
y
f
(x)在点
x0
处的导数，记
作
， y x x0
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
X0为固 定的点
一个整 体符号
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法； 数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比，当 自变量改变量趋于零时的极限. 由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。
12
1.2 导数概念
定义1 设函数y f(x)在点 x 0的某一邻域内有定义，
当自变量x在x 0 处有增量（x 点 x0 x 仍在该邻域
内）时，相应地函数有增量 yf(x0 x)f(x0)，
导数的几何意义是曲线切线的斜率. k tanlimy
由上知求导数步骤如下：
x0
x0x
⑴给 x 0一个增量 x，求相应的函数增量
yf(x 0 x )f(x 0 ) Y ⑵求平均变化率
y f(x) M
yf(x0x)f(x0)
x
x
⑶求平均变化率的极限，即
y limy x xx0 x0
T Δy M0 α β y0 O x0 Δx x0+Δx X
其计算公式为 y f(x ) li m y lifm (x x ) f(x ) x x 0 x 0 x
显然函数 y f(x) 在点 x 0 处的导数 f (x0)就是导数 f '(x)
M1 P
⑴步骤
O
△s
s
①求增量 给 t 0 一个增量t,时间从t 0 变到了t1 t0t，
则 s f( t1 ) f( t0 ) f( t0 t) f( t0 )
②求增量比（局部以匀速代变速）
vsf(t0t)f(t0)
t
t
③ 取极限（平均速度的极限值即为在时刻t0的瞬时速度）
v 0 lt i0 vm lt i0 m s t lt i0fm (t0 tt) f(t0 )
8
原型Ⅱ 求曲线切y)是曲线 y f(x) 上两点它们的连线是 Y 该曲线的一条割线，当点M沿
M y f(x)
曲线无限接近于点M0时，割线
绕点 M0转动，其极限位置M0 T 就是曲线在点M0处的切线（图 3.2），求曲线在点M0处切线的 斜率.
T Δy
y0 M0
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
❖ 教学内容
§1 函数的局部变化率——导数 §2 求导数的方法——法则与公式 §3 局部改变量的估值问题——微分及其运算
数学家启示录
5
第一节 函数的局部变化率－导数
❖ 问题提出 ❖ 我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的
函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程 度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国 民经济发展的速度等。 ❖ 三类问题： ❖ 1：求变速运动的瞬时速度 ❖ 2：求曲线上一点处的切线 ❖ 3：求极大值和极小值