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第四章导数的应用问题——洛比达法则、函数的性质和图像人若志趣不远，心不在焉，虽学无成。
——张载：《张载集》只要将数学应用于社会科学的研究之后，才能使得文明社会的发展成为可控制的现实。
——怀特海本章简介导数作为函数的变化率，在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义，在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到了广泛的应用。
本章将介绍中值定理，然后以中值定理为基础，以导数为工具，解决一类特殊极限的简便计算问题，函数的增减性、极值和最值，以及函数图像的绘制等问题。
1联结局部与整体的纽带——中值定理1.1费马定理提出问题函数在某个区间的整体性质与该区间内部某一（或某些）点的导数之间有无关系？若有，那是什么关系？（本节主要解决这个问题）学习过程1、函数极值概念设函数在点的某邻域有定义，如果对于该邻域内任意异于的值，都有，则称函数在点处取得极大值（极小值），而称为函数的极大值点（或极小值点）。
极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点称为函数的极值点。
比如，函数在点处取得极大值1，而在点处取得极小值-1。
通过观察不难发现，可导函数的曲线在和处的切线平行于轴。
把函数的这种性质加以概括总结就可得出费马定理。
2、费马定理及其几何意义（1）费马定理如果是函数的极值点，并且在该点可导，那么。
证明：不妨设在邻域内，于是，当，当时，.由导数的定义和极限的性质得：因此，。
（2）费马定理的几何意义函数的图象如果在相应于极值的点处有切线的话，那一定是一条水平切线。
（3）驻点（稳定点）使导数为零的点称为函数的驻点或稳定点。
想一想：驻点是否一定是极值点？回答是否定的。
如下图4.1、4.2所示，的极小值点，所以，即的驻点；而函数虽有，即的驻点，但它不是极值点。
做一做：请求函数的极值点。
此函数有驻点吗？1.2中值定理提出问题请观察图4.3，然后回答：在连续曲线弧上除端点外，是否存在一点（或一些点），使通过该点切线平行于联结端点的线段AB？回答是肯定的，我们将这一结果加以总结便可得出中值定理。
第一章微积分的基础问题——集合、实数、极限学而不思则罔，思而不学则殆-----孔子《论语²为政》历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。
-----培根本章简介在中学，我们学习过集合、实数和简单的极限以及微积分知识，这为进一步学习高等数学奠定了一定的基础．然而，学习微积分为什么要学习集合、实数和极限，它们之间有什么关系，这涉及到所谓的数学基础问题，即数学的可靠性问题．本章将粗略介绍微积分的基础问题，使文科学生对数学有较深入的了解，同时对中学学过的实数和极限知识作一些引申，而集合的具体知识不再述及。
（一）学习目的和要求本章的目的是介绍集合、实数和极限。
要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。
了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
（二）课程内容1．极限、实数与集合在微积分中的作用2．实数系的建立及邻域的概念实数系的演变及性质、刻画极限的邻域概念。
3．变量无限变化的数学模型——极限从分形几何中Koch雪花的周长谈起——数列极限、函数极限、无穷小量、极限的四则运算。
4．我国古代伟大数学家——祖冲之（三）重点和难点本章重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。
本章难点：极限概念及其在微积分中的作用。
（四）课程要求1.了解：集合、实数与极限在微积分中的作用，我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
2.理解：函数极限、无穷小量。
3.掌握：极限的四则运算法则。
§1极限、实数与集合在微积分中的作用提出问题数学史中有所谓的第二次数学危机，它与微积分有什么关系呢？现在来开始研究这一问题。
学习过程（1）第二次数学危机概说17 世纪上半叶笛卡儿（法）创建解析几何之后，变量便进入了数学．随之，牛顿（英）和莱布尼茨（德）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑．微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用．然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾．粗略地讲，牛顿、莱布尼茨的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律．正因此，不少学者对微积分的可靠性产生了怀疑，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国红衣大主教贝克莱，从维护宗教神学的利益出发，亟力反对蕴含运动变化这一新潮思想的微积分．数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数学危机．（2）微积分的理论基础是什么？微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，从而摒弃牛顿、莱布尼茨的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机．可见极限是微积分的理论基础．（3）极限的理论基础是什么？极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通．譬如，由的不足近似值构成的有理数序列1， 1．4， 1．41， 1．414， 1．4142，…若在有理数范围内来考察，就不存在极限．但在实数范围内来考察，它的极限就是．可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础．（4）实数的理论基础是什么？在19世纪，数学家们认识到实数的可靠性来源于自然数.于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础．（5）自然数的基础是什么？数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止．19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性．因而集合又成了微积分的基础．而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上．可见集合是整个数学大厦的基石．（6）数学发展的动力是什么？通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量．还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量．17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量．（7）检验数学可靠性的标准是什么？关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践可靠性，即数学的可靠性尚需接受社会实践的检验.小结微积分的理论基础如下图所示.集合自然数实数极限微积分作业思考题微积分的基础是什么？§2 实数系的建立及邻域概念提出问题实数既然是极限的基础，那么，实数具有什么性质呢？在实数范围内又是如何实现极限的呢？学习过程由微积分的基础可知，微积分所涉及的数仅限于实数，本节将简述实数的演变及刻画极限的邻域概念.2.1 实数系的演变及性质（略，有兴趣的学生可参阅教材）（1）为什么要先介绍邻域概念？微积分的理论基础是极限，而极限的理论基础是实数.要在实数范围内用极限解决微积本身的问题，就要借助于邻域概念.（2）如何从几何直观抽象出邻域概念？观察图1.1，在点x0附近的数轴上，有一个开区间（x0－δx0+δ）（δ＞0），其内凝聚着无穷多个连绵不断的点，当δ变小时，开区间（x0－δx0+δ）便会变小，其内仍然凝聚着无穷多个连绵不断的点，由点与实数的一一对应，以及实数的连续性可知，当δ越来越小时，开区间也会越来越小，但其内仍有无穷多个连绵不断的点，这就表明落在（x0－δx0+δ）内的变数x便会与x0越来越接近.显然这样的开区间便可作为刻划变量x无限接近于常数x0的一种工具，这一工具便称为x0的δ领域.由此可抽象出领域概念.定义与点x0距离小于δ（＞0）的全体实数的集合称为点x0的δ领域，记作U（x0，δ），x0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径（图1.1）.显然点x0的δ领域可用集合记号表示为｛x｜｜x-x｜＜δ﹜，或用区间表示为（x0－δ，x0+δ）.如果点x0的δ邻域U（x0，δ）不包括点x0，则称为点x的去心邻域（图1.2）,记作U°（x0，δ），也可用集合记号表示为｛x｜0＜｜x- x｜＜δ.例用邻域符号和区间符号表示不等式（ε＞0）所确定的x的范围，并描绘在数轴上.解由得，即.所以它表示以点为中心、以为半径的邻域，用邻域符号表示为U（）.由得，所以用区间符号表示为（，）.数轴表示略.小结实数最重要的性质是连续性，正是由于这一性质，极限才得以通行无阻，而邻域是极限在实数范围内得以实行的工具。
新疆大学《大学文科数学》课程教学大纲（民）周4英文名称：Mathematics for Liberal Arts Students课程编号：A050003 课程类型：必修课总学时：64 学分：3.5适用对象：大学文科本科一年级民族学生适用教材：《大学文科数学》张国楚，徐本顺，王立冬, 李袆主编，高等教育出版社。
2007年3月第二版，高等教育<<十一五>>国家级规划教材。
一、课程性质、目的和任务通过对数学思想和数学方法的简单介绍及学习微积分的基本知识和运算方法，使文科学生了解数学逻辑演绎的思维方式以及掌握解决实际问题的初步能力。
二、教学基本要求通过一个学期（共64个学时）《大学文科数学》课程的学习，使文科学生通过本课程安排的有关数学史简介的学习，了解人类社会的发展与数学发展的紧密关系，同时通过介绍极限这一基本工具，引入函数的连续性，一元函数的微积分学的基本概念，体现数学的严密逻辑推理的思维过程。
由于文科数学教学时数的限制，在必须精简的条件下，注意科学的系统性。
在训练学生的数学基本技能方面要求以计算为主的原则。
三、教学内容及要求第一章微积分的基础和研究对象讲课8学时习题课2学时教学内容：1、极限、实数与集合在微积分中的作用2、实数系的建立及邻域概念3、函数及初等函数教学要求：函数的定义，函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性）以及基本初等函数以复习总结的方式讲授。
函数定义域作为重点复习内容；掌握复合函数的定义、函数的定义域以及复合函数的分解，理解反函数的概念以及反函数的存在定理。
掌握构建函数模型的步骤和方法是本章的重点和难点，是对文科学生加强数学基础训练的重要组成部分。
第二章微积分的直接基础-------极限讲课8学时习题课2学时教学内容：1、数列的极限和函数的极限2、连续函数教学要求：了解极限的“ε--N”和“ε--δ”定义叙述（刻画了从定性认识到定量认识的过程）；了解极限的唯一性及单调有界数列的极限的存在性；理解无穷小量概念及其性质，理解无穷小量与以常量A为极限的函数关系；理解无穷小量与无穷大量的关系。
