第一章 微积分
1.3 导数与微分
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1.3 导数与微分
主要教学内容： ➢ 导数与微分的概念，计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
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1.3 导数与微分
导数的概念
1.曲线的切线斜率
导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上是点 的概念） 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。
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例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)′= cosx， y =cosx 的导数是(cosx)′= − sinx ．
证
同理可证， (cosx)′= − sinx ．
(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x
的导数(或微商)．记作
．因Δx =x−x0， x=
x0+Δx，故还有
“函数的平均变化率”是整体（区间）概念；“函数的变化率”是局部（点）概念。
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此时，曲线y =f(x) 在点(x0，f (x0) )的切线方程是
例1.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的 导数．
解．因
特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均
为1．
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例1.3.3 求曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方
程．
解．在上例中取n =3 可知函数y＝ x3 在点 x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切 线斜率是：y′(2)=3⋅22 =12，故曲线y＝x3
2. 导数的定义
定义．设函数y=f(x)在点x0的一个邻域X内(36页下)有定义，
y0 =f(x0)。如果x∈X −{x0}，我们称 Δx = x−x0 ( Δ读作
delta )为自变量的改变量，Δy = f(x)−f(x0)为函数的(对
应)改变量，比值
为函数的差商或平均变化率。
如果极限
存在，则称函数y =f(x)在点x0可导
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例1.3.5y=logax (0<a≠1)的导数是
(logax)′=
1 x ln a
特别，(lnx)′= 1⁄x ．
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例1.3.6 指数函数y=ax(0<a≠1)的导数是 (ax)′=axlna ．
证：(ax)′=
特别，
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1.3.2. 变化率问题
1. 运动速度问题
设一质点沿直线运动，经过的路程s 是时间t 的函数： s=s(t)．
时刻t 到t+Δt 时间段内质点的平均速度为：
sttst
v
该瞬时速度v(t)就是极限：
t
即质点运动速度是路程s关于时间t的导数（本质上是点的概念）。
在(2,8)处的切线方程是:
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
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例1.3.7 已知自由落体的运动方程为s=（1/2）gt2， 其中g≈ 9.8(m/s2)是重力加速度常数，t与s分别 以秒(s)和米(m)为单位．求：
(1)落体在t 到t+Δt 时间内的平均速度；
(2) 落体在t=2，Δt=0.1，0.01，0.001，0.0001
点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两
侧：在右侧时x>x0；在左侧时 x <x0 ．动直线PQ 是曲线的割线．
如果动点Q 无限地逼近定点P 时, 动直线PQ 有 一个极限位置PT, 即
则称PT 为 曲线在P 点的切线．
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建立PT 的方程, 只需确定其斜率．由于PT 是PQ 的极限, 从而PT 的斜率是PQ 斜率的极限, 极限过程是由Q→P 产
例如: 常数函数y = c 的导数是0，y = x 的导数是1， y =xn 的导数是nxn-1等等，分别记作c′= 0，x′=1， (xn)′=nxn-1等，而不特别指明“在某点的导数”．
(2) 关于改变量的记号Δ，应把它与其后面的变量x 或y 看作一个整体，绝不能把Δx 看成Δ与x 的乘积， 为避免误解，用 (Δx)2来表示Δx的平方．
4.计算x→x0（Δx → 0）时3 导数与微分
例1.3.1 求常数函数y = c 的导数． 解． 因Δy = y(x+Δx)−y(x)=c −c =0， 差商
此处x 可为任意实数，即常数函数y＝ｃ在任 意点 x 处的导数均为0.
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圆的切线：与圆相交于唯一点的直线． 但对于一般曲线, 切线是不能这样定义的．例如下图中右
边的曲线在P点处的切线,除P点外还交曲线于Q点。
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为确切表达切线的含义, 需应用极限的思想．请看下 图
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点P(x0,f(x0))= P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点,
y f(x 0 ) f'x 0 x x 0
注. Δx 可正可负，依x 大于或小于x0 而定．
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1.3 导数与微分
根据定义求已知函数y = f(x) 在给定点x0 的导数的 步骤是：
1.计算函数在自变量x0 +Δx 处的函数值 f(x0+Δx)； 2.计算函数的对应改变量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)； 3.写出函数的差商
生．而Q→P 即x→x0 ．现设PT对于x 轴的倾角(即x 轴正 向逆时针旋转至PT经过的角)为α,PT的斜率就为k=tanα ．
现在割线PQ 的斜率为
则切线PT 的斜率为：
由此得切线PT 的方程是：
y −f(x0) = k(x −x0)．
因此有必要讨论如k表示的那类极限！
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