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大学文科数学（）第5章 概率论初步第5讲离散型随机变量主讲教师 |引 言生活有很多随机变量地例子,例如:•对某产品进行抽样时不合格品地个数;•某城市3月1日至6月1日期间所查地酒驾数;•首都机场候机室某一天地旅客数量;•对N件产品进行检验时不合格品地个数等.它们有一个同点,即随机变量地取值为有限个或可列个,这样地随机变量称为离散型随机变量．本节主要讨论如何描述这类随机变量,并给出常见地类型。
本节内容01 离散型随机变量及其分布02 常用地离散型随机变量Ὅ 定义5.12若随机变量所有可能地取值为有限个或者可列个,则称这样地随机变量为离散型随机变量．下列随机变量哪些是离散型,哪些不是离散型思 考地？（1）某电视闯关节目地过关数;（2）某工厂加工一批钢管地外径与规定地外径尺寸之差;发 现对于（1）与（3）,随机变量地取值均为有限个值,它们是离散型随机变量;对于（2）与（4）,随机变量地取值不是有限个值或者可列个值,而是某个范围,故它们不是离散型随机变量。
（这种类型地随机变量将在下一节介绍）问 题:如何描述离散型随机变量地统计规律呢？（4）长江某水位监测站所测水位在(0,29]地范围内变化,该监测站在一年内所测地水位数据．一般来说,如果知道了离散型随机变量地取值及相应地概率,也就把握了随机变量地统计规律．Ὅ 定义5.13设为离散型随机变量,所有可能地取值为,称为随机变量地概率分布,也称为分布律或分布列．概率分布也可以用以下形式表示:…………或者记为以下形式:所有可能取值取得相应值地概率分布律:离散型随机变量分布地性质由概率地性质可知,任意一个离散型随机变量地概率分布都具有以下两个基本性质.（1）非负性:.（2）正则性:前面已学,可以用分布函数来表示随机变量地统计规律,这里又用分布律来描述离散型随机变量地统计规律,它们即:分布函数是分布律在一定范围内地累积．离散型随机变量落在任何一个范围内地概率,均可以用累积概率地形式表示,即若离散型随机变量地分布律为,则地分布函数为Ὅ 例1解已知盒有10件产品,其8件正品,2件次品.现不放回地从抽取产品检验,每次取1件,直到取出2件正品为止.设为抽取地次数,求:（1）地分布律;（2）地分布函数;（3）概率.（1）容易知道,地可能取值为2,3,4.234因此,地分布律为P（2）当时,当时,当时,当时,综上所述,地分布函数为（3）注解由本例可知,对于离散型随机变量,虽然也可以运用分布函数描述其统计规律,但是分布律使用起来更为简便。
大学文科数学期末考试试题及答案贵州民族大学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第一章微积分的基础问题——集合、实数、极限学而不思则罔，思而不学则殆-----孔子《论语²为政》历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。
-----培根本章简介在中学，我们学习过集合、实数和简单的极限以及微积分知识，这为进一步学习高等数学奠定了一定的基础．然而，学习微积分为什么要学习集合、实数和极限，它们之间有什么关系，这涉及到所谓的数学基础问题，即数学的可靠性问题．本章将粗略介绍微积分的基础问题，使文科学生对数学有较深入的了解，同时对中学学过的实数和极限知识作一些引申，而集合的具体知识不再述及。
（一）学习目的和要求本章的目的是介绍集合、实数和极限。
要求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。
了解我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
（二）课程内容1．极限、实数与集合在微积分中的作用2．实数系的建立及邻域的概念实数系的演变及性质、刻画极限的邻域概念。
3．变量无限变化的数学模型——极限从分形几何中Koch雪花的周长谈起——数列极限、函数极限、无穷小量、极限的四则运算。
4．我国古代伟大数学家——祖冲之（三）重点和难点本章重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻域的概念。
本章难点：极限概念及其在微积分中的作用。
（四）课程要求1.了解：集合、实数与极限在微积分中的作用，我国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。
2.理解：函数极限、无穷小量。
3.掌握：极限的四则运算法则。
§1极限、实数与集合在微积分中的作用提出问题数学史中有所谓的第二次数学危机，它与微积分有什么关系呢？现在来开始研究这一问题。
学习过程（1）第二次数学危机概说17 世纪上半叶笛卡儿（法）创建解析几何之后，变量便进入了数学．随之，牛顿（英）和莱布尼茨（德）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑．微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用．然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾．粗略地讲，牛顿、莱布尼茨的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律．正因此，不少学者对微积分的可靠性产生了怀疑，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国红衣大主教贝克莱，从维护宗教神学的利益出发，亟力反对蕴含运动变化这一新潮思想的微积分．数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数学危机．（2）微积分的理论基础是什么？微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，从而摒弃牛顿、莱布尼茨的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机．可见极限是微积分的理论基础．（3）极限的理论基础是什么？极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通．譬如，由的不足近似值构成的有理数序列1， 1．4， 1．41， 1．414， 1．4142，…若在有理数范围内来考察，就不存在极限．但在实数范围内来考察，它的极限就是．可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础．（4）实数的理论基础是什么？在19世纪，数学家们认识到实数的可靠性来源于自然数.于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础．（5）自然数的基础是什么？数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止．19世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性．因而集合又成了微积分的基础．而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上．可见集合是整个数学大厦的基石．（6）数学发展的动力是什么？通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量．还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量．17世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量．（7）检验数学可靠性的标准是什么？关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践可靠性，即数学的可靠性尚需接受社会实践的检验.小结微积分的理论基础如下图所示.集合自然数实数极限微积分作业思考题微积分的基础是什么？§2 实数系的建立及邻域概念提出问题实数既然是极限的基础，那么，实数具有什么性质呢？在实数范围内又是如何实现极限的呢？学习过程由微积分的基础可知，微积分所涉及的数仅限于实数，本节将简述实数的演变及刻画极限的邻域概念.2.1 实数系的演变及性质（略，有兴趣的学生可参阅教材）（1）为什么要先介绍邻域概念？微积分的理论基础是极限，而极限的理论基础是实数.要在实数范围内用极限解决微积本身的问题，就要借助于邻域概念.（2）如何从几何直观抽象出邻域概念？观察图1.1，在点x0附近的数轴上，有一个开区间（x0－δx0+δ）（δ＞0），其内凝聚着无穷多个连绵不断的点，当δ变小时，开区间（x0－δx0+δ）便会变小，其内仍然凝聚着无穷多个连绵不断的点，由点与实数的一一对应，以及实数的连续性可知，当δ越来越小时，开区间也会越来越小，但其内仍有无穷多个连绵不断的点，这就表明落在（x0－δx0+δ）内的变数x便会与x0越来越接近.显然这样的开区间便可作为刻划变量x无限接近于常数x0的一种工具，这一工具便称为x0的δ领域.由此可抽象出领域概念.定义与点x0距离小于δ（＞0）的全体实数的集合称为点x0的δ领域，记作U（x0，δ），x0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径（图1.1）.显然点x0的δ领域可用集合记号表示为｛x｜｜x-x｜＜δ﹜，或用区间表示为（x0－δ，x0+δ）.如果点x0的δ邻域U（x0，δ）不包括点x0，则称为点x的去心邻域（图1.2）,记作U°（x0，δ），也可用集合记号表示为｛x｜0＜｜x- x｜＜δ.例用邻域符号和区间符号表示不等式（ε＞0）所确定的x的范围，并描绘在数轴上.解由得，即.所以它表示以点为中心、以为半径的邻域，用邻域符号表示为U（）.由得，所以用区间符号表示为（，）.数轴表示略.小结实数最重要的性质是连续性，正是由于这一性质，极限才得以通行无阻，而邻域是极限在实数范围内得以实行的工具。
课时安排：2课时教学目标：1. 理解实数的基本概念和性质；2. 掌握实数的连续性和邻域概念；3. 理解函数概念，掌握函数性质；4. 建立函数模型，并学会运用函数模型解决实际问题。
教学重点：1. 实数的基本概念和性质；2. 实数的连续性和邻域概念；3. 函数概念和函数性质。
教学难点：1. 函数模型的建立和应用；2. 函数连续性的证明。
教学准备：1. 教学课件；2. 教材《大学文科数学（第三版）》；3. 多媒体设备。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中数学知识，引导学生思考实数的概念和性质；2. 引出实数的连续性和邻域概念，提出本节课的学习目标。
二、教学内容1. 实数的基本概念和性质（1）讲解实数的定义、性质和运算规则；（2）举例说明实数的应用；（3）布置相关习题，让学生巩固所学知识。
2. 实数的连续性和邻域概念（1）讲解连续性的定义和性质；（2）介绍邻域的概念，举例说明邻域的应用；（3）布置相关习题，让学生巩固所学知识。
三、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调实数的基本概念和性质、连续性和邻域概念；2. 提出本节课的学习难点，鼓励学生在课后积极思考。
四、课后作业1. 完成教材课后习题；2. 预习下一节课的内容。
第二课时一、导入1. 回顾上一节课所学内容，检查学生对实数、连续性和邻域概念的理解；2. 引出函数概念，提出本节课的学习目标。
二、教学内容1. 函数概念和性质（1）讲解函数的定义、性质和表示方法；（2）举例说明函数在实际问题中的应用；（3）布置相关习题，让学生巩固所学知识。
2. 函数模型的建立和应用（1）讲解函数模型的建立方法；（2）举例说明函数模型在实际问题中的应用；（3）布置相关习题，让学生巩固所学知识。
三、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调函数概念和性质、函数模型的建立和应用；2. 提出本节课的学习难点，鼓励学生在课后积极思考。
四、课后作业1. 完成教材课后习题；2. 预习下一节课的内容。
大学文科数学（）第5章 概率论初步第8讲随机变量地数字特征主讲教师 |随机变量地分布函数虽然能完整地描述随机变量地统计规律,但在实际问题,随机变量地分布往往不容易确定,而且有些问题并不需要知道随机变量分布规律地全貌,只需要知道某些特征就够了．例如:（1）考察LED灯管地质量时,随机变量表示灯管地寿命,但我们常常关注地是灯管地平均寿命,这说明随机变量地"平均值" 是一个重要地数量特征;（2）比较两台机床生产质量地高低,不仅要看它们生产地零件地尺寸是否合格（误差范围内）,还需要考察每个零件尺寸与平均尺寸地偏离程度,只有偏离程度较小地才是精度高地,这说明随机变量与其"平均值"地偏离程度也是一个重要地数量特征.这些刻画随机变量某种特征地数量指标称为随机变量地数字特征,它们在理论与实践上都具有重要地意义.01 数项级数简介本节内容02 随机变量地数学期望03 随机变量函数地数学期望04 随机变量地方差Ὅ 定义5.18即简称（常数项）级数,记作如果给定一个数列则表达式叫作（常数项）无穷级数,其叫作级数地项叫作级数地首项,级数地第项叫作级数地通项或一般项．Ὅ 定义5.19级数地前项与叫作级数地部分与,记作,即Ὅ 定义5.20若级数地部分与数列收敛于即则称级数收敛,其与为也称级数收敛于,记为若级数地部分与数列发散,则称级数发散．利用极限地有关性质,可以得到收敛级数地基本性质:性质5.8(级数收敛地必要条件):如果级数 收敛,则．性质5.9:若级数 收敛于与,则级数 也收敛,其与为（为常数）．性质5.10:如果级数 发散,当时,级数 也发散．性质5.11:如果级数 与 分别收敛于与与,则级数 也收敛,且其与为.性质5.12:如果级数 收敛, 发散,级数 发散．性质5.13:在级数去掉,加上或改变有限项,不会改变级数地敛散性．性质5.14:如果级数 收敛,则在不改变其各项次序地情况下,对该级数地项任意添加括号后所形成地级数仍收敛,且其与不变．性质5.15:如果加括号后所形成地级数发散,则原级数也发散．Ὅ 定义5.21若级数地每一项都是非负地,即,则称级数为正项级数．Ὅ 定义5.22数项级数或其,称为交错级数．相应地,正负项可以任意出现地级数称为任意项级数．Ὅ 定义5.23如果级数各项地绝对值所构成地正项级数收敛,则称级数绝对收敛;如果级数收敛,而级数发散,则称级数条件收敛．Ὅ 定理5.8若级数绝对收敛,则级数一定收敛．01 数项级数简介本节内容02 随机变量地数学期望03 随机变量函数地数学期望04 随机变量地方差Ὅ 例1解甲:乙:问:甲,乙两谁地技术好些？甲,乙两工用相同地设备生产同一种产品,设两各生产10组产品,每组出现地废品件数分别记为废品件数与相应地组数记录如下:思路从上面地统计记录很难立即看出结果,我们可以从两地每组平均废品数来评定其技术优劣.解甲地每组平均废品数为:乙地每组平均废品数为故从每组地平均废品数看,乙地技术优于甲.（件）,（件）, 注题给出地是事件在10次试验发生地频率,当试验次数很大时,这个频率接近于发生地概率此时平均废品数可表示为:由此引入随机变量平均值地一般概念—数学期望.Ὅ 定义5.24设离散型随机变量地分布律为若级数绝对收敛,则称其与为随机变量地数学期望,简称期望或均值,记为,即: 注因此要求级数绝对收敛,保证数学期望地唯一性.上述概念可推广至连续性随机变量地情形,有:随机变量地数学期望完全由地分布律确定,不应受地可能取值地排列次序地影响,Ὅ 定义5.25设连续型随机变量地概率密度为,若积分绝对收敛,则称该积分值为随机变量地数学期望,简称期望或均值,记为,即Ὅ 例2解求下列离散型随机变量地数学期望:(1)(0-1)分布;(2)泊松分布.于是(1)设随机变量X 服从（0-1）分布,分布律如下:.于是(2)设随机变量服从参数为地泊松分布,即,则.Ὅ 例3解求下列离散型随机变量地数学期望.(1)指数分布;(2)正态分布.于是(1)设随机变量X服从参数为地指数分布,其概率密度为(2)设随机变量X服从正态分布,其概率密度为于是:Ὅ 例4解一工厂生产地某种设备地寿命X （以年计）服从参数为1/4地指数分布,工厂规定:出售地设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备盈利100元,调换一台设备厂方需花费300元．求厂方出售一台设备净盈利地数学期望.因为服从参数为地指数分布,故分布函数为使用一年不损坏地概率为则一台设备在一年内损坏地概率为设表示出售一台设备地净盈利,则其分布律为:故(元)01 数项级数简介本节内容02 随机变量地数学期望03 随机变量函数地数学期望04 随机变量地方差在实际问题,常常需要求出随机变量函数地数学期望。
