直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

用证明全等三角形的方法证明（直角三角形不为等腰三角形）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形斜边中线定理）在三角形ABC中，∠A=90°，AD为BC边上的中线，做AB、AC的中点E、F，连接ED、DF，因为BE=EA，BD=DC，所以ED∥AC，又因为，∠A=90°，所以∠BED=90°，∠BED=∠AED=90°，BE=AE，ED=ED（三角形全等：边角边）所以，△BED≌△AED，所以BD=AD，同理AD=CD（△ADF≌△CDF），所以AD=CD，所以AD=BD=CD，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半，长边是短边的倍。

证法2】取BC的中点D，连接AD。

∵∠BAC=90°，∴AD=1/2BC=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵∠B=90°-∠ACB=90°-30°=60°，∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），∴AB=BD，∴AB=1/2BC。

向左转|向右转证法2】取AC的中点E，连接DE。

∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=1/2BC，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）∴DE垂直平分AC，∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

向左转|向右转设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

【证法1】延长AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD，又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），AD=DE，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB=CE，∠B=∠DCE，∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC=AE，∵AD=DE=1/2AE，∴AD=1/2BC。

定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

设在直角三角形 ABC中，/BAC=90 ° AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC【证法1】延长AD至U E,使DE=AD，连接CE。

••AD是斜边BC的中线，•••BD=CD又v/ADB= ZEDC （对顶角相等），AD=DE ，•••ZADB 也E DC （SAS）,：AB=CE，Z B= ZDCE,：AB//CE （内错角相等，两直线平行）•••/BAC+ ZACE=180。

（两直线平行，同旁内角互补）：/BAC=90 °，•••zACE=90 °，-AB=CE，ZBAC=ECA=90 °,AC=CA，•••/ABC也£EA (SAS)A BC=AE，vAD=DE=1/2AE ,：AD=1/2BC。

【证法2】取AC的中点E,连接DE0VAD是斜边BC的中线，：BD=CD=1/2BC VE是AC的中点，• DE是/ABC的中位线，•••DE//AB （三角形的中位线平行于底边）•zDEC= ZBAC=90。

（两直线平行，同位角相等）•••DE垂直平分AC,••AD=CD=1/2BC （垂直平分线上的点到线段两端距离相等）【证法3】延长 AD 至U E, 使 DE=AD，连接 BE、CE。

1 / 2••AD是斜边BC的中线, •••BD=CD ,又TAD=DE ,•••四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），• zBAC=90 ° ,•••四边形ABEC是矩形（有一个角是90。

的平行四边形是矩形），••AE=BC （矩形对角线相等），•.AD=DE=1/2AE ,••AD=1/2BC 。

一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=，D为BC的中点，则。

2、性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，所以，所以AD=BD=DC=，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠3=2∠4，∠ADC=2∠1=2∠2。

因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、求值例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D 点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。

（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。

求证：AG=DG。

3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。

例4、已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。

DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。

4、证明线段的倍分及和差关系例5、如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD 的中点，连AE。

求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。

例7、如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。

求证：。

5、证明线段垂直例8、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。

求证：MN⊥DC。

6、证明特殊的几何图形例9、如图10，将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D 与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明．三、尝试训练1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为．2、如图11所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图12所示），将纸张△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。

在三角形中如果一条边上的中线等于这条边
因为这是一个定理，可以证明的。

直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证法
设立三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，中线为d。

∴对同一个角b，可得：
d1=1/2c，d2=-1/2c（相左题意，舍弃）
∴d=1/2c，命题得证。

其逆命题：如果一个三角形一条边的中线等同于这条边的一半，那么这个三角形就是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

逆命题是正确的。

以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。

因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。

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直角三角形斜边中线定理
直角三角形斜边中线定理是一个重要的几何定理，它说明在直角三角形中，斜边的中线和直角边正比，也就是说，斜边的中线是直角边的一半。

定理的描述如下：
设ABC为直角三角形，其中∠C为直角，则∠ABC的对边比∠ABC的直角边的长度的一半。

关于这个定理，古希腊几何学家亚里士多德表达过这样的见解：“如果任何一条线被分成两段，它们之间的比例分别是斜线和连接它们的一根线的比例，那么它们将构成一个直角三角形。

”
定理的证明有两种方法。

第一种是用向量证明，即用向量的性质对三角形向量的和进行分析，从而得出直角三角形中斜边的中线和直角边正比的结论。

采用这种方法，学生可以推导出三条和定理相关的等式，这三条等式共同构成了定理的证明。

另一种是用半平面来证明，即先构建一个半平面，将其平均分为两个等分，然后将斜边向外延长，使它们之间的距离等于斜边的一半，根据这种距离分布，可以推出直角三角形斜边中线和直角边正比的定理。

直角三角形中，斜边中线等于斜边一半两种证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对文章的主题进行简要介绍，并提供一些背景信息。

在这篇长文中，我们将讨论直角三角形中的一个有趣现象：斜边的中线等于斜边的一半。

这是一个具有一定难度和重要性的几何问题。

在人们学习几何的过程中，直角三角形是一个非常基础且重要的概念。

我们都知道，直角三角形是由一个直角（90度角）和两个锐角（小于90度角）组成的三角形。

其特点之一是斜边较长，并且在几何学中占有重要地位。

我们旨在通过两种不同的证明方法来展示这一有趣的现象。

通过对直角三角形的结构和性质进行深入研究，我们将从理论角度解释为什么斜边的中线等于斜边的一半。

这将有助于我们理解几何学中的一些基本概念和定理，并培养我们的证明能力和逻辑思维。

此外，本文还将探讨每种证明方法的假设和前提，详细介绍证明过程以及分析结果。

我们还将对每种证明方法的结论进行总结，并提供对结果的分析和讨论。

最后，我们将对我们的研究进行总结，并探讨研究的局限性以及未来可能的展望。

通过深入研究直角三角形中斜边中线等于斜边一半的证明，我们希望读者可以更好地理解几何学中的一些基本概念和定理，并培养他们的证明能力和逻辑思维。

本文的结论也将为几何学领域的研究提供一些新的思路和启示。

1.2文章结构文章结构：本文分为以下几个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，首先对直角三角形的性质进行概述，包括直角三角形的定义、斜边、直角边和斜边中线的概念。

接着介绍文章的结构，即正文中将会介绍两种证明直角三角形中斜边中线等于斜边一半的方法，并说明正文的目的以及预期的结果。

最后对全文内容进行总结。

正文部分包括四个小节，分别介绍两种证明方法。

每个小节中首先说明该方法的假设和前提条件，然后详细描述证明的过程，包括推导和推理的步骤。

在证明过程中需要用到相关的数学定理和几何公式，应给予详细的解释和说明。

接着对证明结果进行分析，解释为什么斜边中线等于斜边的一半。

直接三角形斜边上的中线等于斜边的一半的证法直接三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这一结论在中学数学的几何学中是一个经典且重要的定理。

在此，我将根据几何学基础和相关公式，阐述这个结论的证明过程。

首先，我们需要了解直角三角形和中线的概念。

在一个直角三角形ABC中，若角C为直角，斜边AB为直角三角形的斜边，那么线段CD是线段AB的一条中线，其中点D是AB的中点。

接着，我们可以使用相似三角形、勾股定理等几何工具来证明直接三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证明如下：假设直角三角形ABC中，斜边AB的长度为c，三角形ABC的底边AC的长度为a，直角边BC的长度为b。

我们需要证明CD = AB/2。

首先，我们可以通过勾股定理列出方程式a² + b² = c²，然后将c的平方用AB的平方来代替。

由勾股定理，我们可以知道：AB² = AC² + BC²AB² = a² + b²AB² = c²等式两侧同时开方，我们可以得到：AB = c现在我们来考虑三角形ACD和三角形BCD的关系。

由于CD是AB的中线，我们知道：CD = 1/2AB另外，AC = AD + CD，我们可以将CD代入这个式子：AC = AD + 1/2AB同理，BC = BD + 1/2AB我们知道三角形ACD和三角形BCD有一个共同的顶点D，因此这两个三角形是相似的。

我们可以使用两个三角形的相似比例来解出AD和BD之间的比例关系。

由于三角形ACD和三角形BCD的相似比例为AC/BC = AD/BD，因此我们可以将AC和BC带入这个式子，得到：a/b = AD/BD我们将等式两端同时乘以a+b，可以得到：a² + ab = aAD + bBD同理，我们将等式两端同时乘以a-b，可以得到：a² - ab = aAD - bBD接下来，我们将两个等式相加，可以得到：2a² = 2aAD在等式两侧同时除以2a，可以得到：AD = a/2同样的方式，我们可以得到：BD = b/2综上所述，我们通过勾股定理和相似三角形的知识，证明出了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的方法嘿，朋友们！今天咱要来唠一唠怎么证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

你想想，这多神奇啊！就好比有个直角三角形，那斜边就像是一条大路，斜边上的中线呢，就像是这条大路上的一条特殊标记线。

咱可以这样证明啊，把这个直角三角形沿着斜边对折一下，哇塞，你发现没？这中线两边的部分竟然完全重合了！这不就说明中线把斜边分成了相等的两段嘛，这不就证明出来了嘛！你说妙不妙？
再比如啊，咱用一个具体的直角三角形来试试，边长分别是 3、4、5，那斜边是 5，然后找到斜边上的中点，一测量，嘿，中点到两个端点的距离不就是嘛，这不就正好是斜边 5 的一半嘛！是不是超级有趣！
我觉得啊，通过这些例子，就能很清楚明白地证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半啦！。