直角三角形斜边中线练习(尖)

2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5直角三角形斜边中线的性质专题培优训练卷一、选择题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°2、如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF = 5，BC = 8，则△EFM的周长及图中的等腰三角形个数分别是（）A.21、2B.18、3C.13、4D.13、53、（2020春•蚌埠期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（）A．10°B．12°C．15°D．18°4、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形一定是( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上答案都不对二、填空题5、如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，CE＝10．则DE的长为________6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为_______．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6 cm，则AB＝_______cm．8、若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm 、12 cm ，则它的面积为_________cm 2．9、如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC 的中点O 处，已知AC ＝6m ，则点B 到目标物的距离是 m ．10、（2019秋•沭阳县期中）已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AC 与BD 相交于点O ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点．则∠EFO ＝ ．11、（2020春•包河区期末）如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE＝AC ，∠BAE ＝15°，则∠COE ＝ 度．12、如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥于点D ，//DE AC 交AB 于点E ，若8AB =，则DE = ．13、如图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE AC =，15BAE ∠=︒，则COE ∠= 度．三、解答题14、已知：如图∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点．求证：MN ⊥BD ．15、（2019秋•余姚市期末）如图，AD 是△ABC 的高线，且BD =21AC ，E 是AC 的中点，连结BE ，取BE 的中点F ，连结DF ，求证：DF ⊥BE ．16、如图，点B 在线段AC 上，点E 在线段BD 上，∠ABD ＝∠DBC ，AB ＝DB ，EB ＝CB ，M 、N 分别是AE 、CD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△DBC ；（2）判定△BMN 的形状，并证明你的结论．17、（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中点．（1）求证：MN ⊥DE ．（2）连结DM ，ME ，猜想∠A 与∠DME 之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A 变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5直角三角形斜边中线的性质专题培优训练卷（答案）一、选择题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD，∵DC＝AC，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°，故选：B．2、如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF = 5，BC = 8，则△EFM的周长及图中的等腰三角形个数分别是（ D ）A.21、2B.18、3C.13、4D.13、53、（2020春•蚌埠期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（）A．10°B．12°C．15°D．18°【解答】解：连接DE，∵∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE AC＝AE，∴∠EDA＝∠DAC＝45°，∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，同理，∠BEC＝60°，∴∠DEB＝90°+60°＝150°，∵DE AC，BE AC，∴DE＝BE，∴∠DBE（180°﹣150°）＝15°，故选：C．4、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形一定是( B)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上答案都不对二、填空题5、如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点，CE＝10．则DE的长为___10_____6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为___10____．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6 cm，则AB＝__12______cm．8、若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为___120_______cm2．9、如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC的中点O处，已知AC＝6m，则点B到目标物的距离是m．解：∵∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，∴BO＝AC＝3m，故答案为：3．10、（2019秋•沭阳县期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．【分析】连接EB 、ED ，根据直角三角形的性质得到EB ＝ED ，根据等腰三角形的性质得到答案．【答案】解：连接EB 、ED ，∵∠ABC ＝90°，E 是AC 的中点，∴BE AC ，同理，DE AC ，∴EB ＝ED ，又F 是BD 的中点，∴EF ⊥BD ，∴∠EFO ＝90°，故答案为：90°．11、（2020春•包河区期末）如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE ＝AC ，∠BAE ＝15°，则∠COE ＝ 度．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CE ＝AC ，∴∠CAE ＝∠AEC ＝45°，∵∠BAE ＝15°，∴∠CAB ＝60°，∴∠B ＝30°，∵∠ACB ＝90°，O 为AB 的中点，∴CO ＝BO ＝AO AB ，∴△AOC 是等边三角形，∠OCB ＝∠B ＝30°，∴AC ＝OC ＝CE ，∴∠COE ＝∠CEO （180°﹣30°）＝75°， 故答案为：75．12、如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥于点D ，//DE AC 交AB 于点E ，若8AB =，则DE = ．【解答】AD 是BAC ∠的平分线，CAD BAD ∴∠=∠，//DE AC ，CAD ADE ∴∠=∠，ADE BAD ∴∠=∠，AE DE ∴=，BD AD ⊥，90ADE BDE BAD ABD ∴∠+∠=∠+∠=︒，ABD BDE ∴∠=∠，DE BE ∴=，12DE AB ∴=， 8AB =，1842DE ∴=⨯=．故答案为：4．13、如图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE AC =，15BAE ∠=︒，则COE ∠= 75 度．【解答】90ACB ∠=︒，CE AC =，45CAE AEC ∴∠=∠=︒，15BAE ∠=︒，60CAB ∴∠=︒，30B ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，12CO BO AO AB ∴===， AOC ∴∆是等边三角形，30OCB B ∠=∠=︒，AC OC CE ∴==，1(18030)752COE CEO ∴∠=∠=︒-︒=︒，故答案为：75． 三、解答题14、已知：如图∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点．求证：MN ⊥BD ．证明：如图，连接BM 、DM ，∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 是AC 的中点，∴BM ＝DM ＝12AC ， ∵点N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD ． (10分）15、（2019秋•余姚市期末）如图，AD是△ABC的高线，且BD AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．【解答】证明：连结DE，∵AD是△ABC的高线，E是AC的中点，∴，又∵，∴DE＝BD．又∵F是BE的中点，∴DF⊥BE．16、如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M、N分别是AE、CD的中点．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）判定△BMN的形状，并证明你的结论．【答案】解：（1）在△ABE和△DBC中，∵AB DBABD DBCEB CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DBC(SAS)（2）△MBN是等腰直角三角形证明如下：∵△ABE≌△DBC∴AE＝CD，∠BAM＝∠BDN∵M，N分别是AE，CD的中点，∴AM＝12AE，CN＝12CD，∴AM＝CN在△ABM和△DBN中，∵AM CNBAM BDNAB BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABM≌△DBN(SAS)∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD＋∠DBC＝180°，∴∠ABD＝∠ABM＋∠DBM＝90°∴∠DBN＋∠DBM＝∠MBN＝90°，∴△MBN是等腰直角三角形17、（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME 之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM BC，ME BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°．。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在中学数学课堂上，直角三角形是一个非常常见的几何形状。

直角三角形的特点是其中一个角为直角（90度），而其他两个角则为锐角和钝角，另外两条边分别为斜边和两条直角边。

直角三角形的性质十分有趣，其中有一条性质是斜边上的中线等于斜边的一半。

这个性质看似简单，但需要一些几何知识和推理来证明。

让我们来了解一下中线是什么。

在一个三角形中，中线是连接一个角的顶点和对边中点的线段。

对于直角三角形来说，如果我们将斜边一分为二，使之成为等分线，那么这条等分的线段就是斜边上的中线。

接下来，让我们来证明斜边上的中线等于斜边的一半。

假设我们有一个直角三角形ABC，其中角A为直角，AB和AC分别为直角边，BC为斜边。

我们需要证明BD（BC的中线）等于BC的一半。

我们可以得出直角三角形ABC中的角B和角C分别为锐角和钝角。

根据直角三角形的性质，角B和角C的和为90度，即B+C=90度。

又因为直角三角形中，直角边的对边相等，所以AB=AC。

我们可以得出结论：斜边上的中线等于斜边的一半。

在这个例子中，BD等于BC的一半，也就是说斜边BC的中线等于一半的斜边BC。

这个性质在几何学中有许多应用，特别是在解题时。

通过掌握这个性质，我们可以更快地解决直角三角形的问题，提高我们的数学能力和解题速度。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是一个十分有趣的几何性质。

通过几何推理和证明，我们可以更深入地理解这个性质，并在实际问题中灵活运用。

希望同学们在学习数学的过程中，能够多多探索，多多实践，不断提升自己的数学水平。

【2000字】第二篇示例：直角三角形是三角形中特殊的一种，其中一个角是直角（即90度角）。

在直角三角形中，斜边是最长的一条边，其余两边分别称为直角边。

而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是一个非常有趣且有趣的几何性质。

考虑一个直角三角形ABC，其中∠C是直角，AB为斜边，AC和BC为直角边。

专题14直角三角形斜边上的中线★知识归纳●直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点梳理：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.★实操夯实一．选择题（共16小题）1．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）A．B．C．D．7【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.5【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝3．故选：A．3．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．不变B．变小C．变大D．无法判断【解答】解：不变．连接OP，在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，那么OP＝AB，由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．故选：A．4．如图，∠ABC＝∠ADC＝Rt∠，E是AC的中点，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2大小关系不能确定【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠1＝∠2．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（）A．10B．3C．5D．4【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB＝×10＝5，故选：C．6．已知直角三角形斜边上的中线长为3，则斜边长为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为3，∴斜边长是6．故选：B．7．直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm，故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6cm，D为AB的中点，则CD等于（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝×6＝3cm．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且AD＝BC，若∠D＝40°，则∠B＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：取BC的中点E，连接AE，∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，∴AE＝BC＝BE，∴∠B＝∠EAB，∵AD＝BC，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠D＝40°，∴∠B＝20°，故选：B．11．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10B．6C．8D．5【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝×10＝5，故选：D．12．如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝3，BC＝8，则△EFM的周长是（）A．21B．15C．13D．11【解答】解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝FM＝BC＝×8＝4，∴△EFM的周长＝8+8+3＝11．故选：D．13．如图，边长为2的等边三角形ABC，点A，B分别在y轴和x轴正半轴滑动，则原点O到C的最长距离（）A．B．C．D．【解答】解：取AB的中点D，连接OD，CD，在△OCD中，OC＜OD+CD，只有当O，D，C三点在一条线上时，OC＝OD+CD，此时OC最大，如图所示，OC⊥AB，∵△AOB为等腰直角三角形，AB＝2，∴OD＝AB＝1，在Rt△BCD中，BC＝2，BD＝1，根据勾股定理得：CD＝＝，∴OC＝+1．故选：D．14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．15．如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°．∵AD＝DB，∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝6．故选：D．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝3，AE平分∠BAC，∴BE＝CE＝BC＝2，又∵D是AB中点，∴BD＝AB＝，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝，∴△BDE的周长为BD+DE+BE＝++2＝5．故选：C．二．填空题（共7小题）17．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长是14．【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，∴在Rt△BCE中，EM＝BC＝5，在Rt△BCF中，FM＝BC＝5，又∵EF＝4，∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝5+5+4＝14．故答案是：14．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AC的中点，若AB＝6，则DE的长为3．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝AC＝3．故答案为：3．19．如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC上一点，AD＝5，且AD⊥AB，点E是BD上的点，AE＝BD，AC＝6.5，则AB的长度为12．【解答】解：∵Rt△ABD中，AE＝BD，∴AE＝BE＝DE；∴∠B＝∠BAE，即∠AED＝2∠B；∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，即AE＝AC＝6.5；∴BD＝2AE＝13；由勾股定理，得：AB＝＝12．20．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60°，则∠AFG的度数是20°．【解答】解：∵四边形BEFG是长方形，∴FG∥BE，∴∠FBE＝∠BFG＝60°，∵AD＝BD＝BF，∴∠A＝∠ABD，∠BDF＝∠BFD，∵∠BDF＝∠DFB＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠EBF＝∠A+∠AFB＝3∠A＝60°，∴∠A＝20°，∵FG∥BE，∴∠AFG＝∠A＝20°，故答案为：20°．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．【解答】解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B 作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为6．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6．故答案为6．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝10°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴CD＝BD，CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD＝∠BCD＝50°，∴∠ACB′＝∠B′CD﹣∠DCA＝10°，故答案为：10°．三．解答题（共4小题）24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．【解答】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．25．如图：BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，若EF＝6，BC＝24．（1）证明∠ABE＝∠ACF；（2）判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；（3）求MN的长．【解答】解：（1）∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，∴∠ABE+∠A＝90°，∠ACF+∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACF；（2）MN垂直平分EF．证明：如图，连接EM、FM，∵BE、CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，∴EM＝FM＝BC，∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；（3）∵EF＝6，BC＝24，∴EM＝BC＝×24＝12，EN＝EF＝×6＝3，由勾股定理得，MN＝＝＝3．26．拓展：如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，EF平分∠BED交BD于点F．（1）猜想EF与BD具有怎样的关系？（2）试证明你的猜想．【解答】解：（1）EF垂直平分BD，（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∴BE＝AE＝EC，ED＝AE＝EC，∴BE＝DE，∵EF平分∠BED交BD于点F，∴EF⊥BD，BF＝FD，即EF垂直平分BD．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，AM＝AN，∠N+∠CAN＝180°．求证：MN＝AC．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，∴CM＝AM，∴∠MCA＝∠MAC，∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∵∠N+∠CAN＝180°，∴AC∥MN，∴∠AMN＝∠MAC，∴∠AMC＝∠NAM，∴AN∥MC，又AC∥MN，∴四边形ACMN是平行四边形，∴MN＝AC．。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质 例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900，AD ∥BC ，∠CBE=12∠ABE ，请同学们试一试吧！1．如图5，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ， 求证：CD=12BE ．2．如图6，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的 中点，求证：AB=2DM ．直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

下面谈谈直角三角形斜边上中线的图1BADCEF图2B图5ACBD M · 图6性质及应用。

一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt △BAC 中，∠BAC=︒90，D 为BC 的中点，则BC 21AD =。

2、性质的拓展：如图1：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==，所以AD=BD=DC=BC21，所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠3=2∠4， ∠ADC=2∠1=2∠2。

因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、求值例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题测试专题05 直角三角形斜边上的中线姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•武城县期末）一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（）A．和B．和C．和D．和2．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD 的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（）A．B．16 C．8 D．3．（2022春•安乡县期末）如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．（2022春•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC 的面积为2，则它的周长为（）A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+25．（2022春•凤山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝8，BC＝6，则△ADC 的周长为（）A．14 B．24 C．12 D．186．（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD＝（）A．15°B．30°C．22.5°D．45°7．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（）A．12 B．12.5 C．15 D．248．（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC 交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2 B．C．1 D．9．（2019春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．610．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2022春•南岗区校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∠BDE＝52°，则∠DEB的度数为．12．（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE⊥BC于点E，则∠DAE为度．13．（2022春•广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为．14．（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为．15．（2021春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．16．（2021秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC 的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝．17．（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝°．18．（2020春•揭西县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为．19．（2019春•瑶海区期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为．20．（2017春•武侯区校级月考）如图，∠MON＝90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分60分）21．（2022春•汉滨区期中）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．（1）求证：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．22．（2021春•抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．23．（2019春•房山区期中）如图，锐角△ABC中，AD，CE为两条高，F，G分别为AC，DE的中点，猜想FG与DE的位置关系并加以证明．24．（2021春•新泰市期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF⊥BD，垂足为F．（1）求证：BE＝DE；（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．25．（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC．（1）△ABC的形状为．（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；（3）在（2）的条件下，AN＝．26．（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方法，他作了辅助线．聪明的你知道他作的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．27．（2022•宜城市模拟）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．28．（2022春•永丰县期中）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题；（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？29．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．答案与解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•武城县期末）一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（）A．和B．和C．和D．和解：∵直角三角形的两条直角边分别为5和12，∴斜边长＝＝13，∴斜边上的中线＝，斜边上的高＝＝，故选：C．2．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD 的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（）A．B．16 C．8 D．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，BD＝8，∴AE＝CE＝BD＝4，∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE，∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE，∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC，∵∠ABC＝45°，∴∠AEC＝90°，∴S△ACE＝AE•CE＝×4÷4＝8．故选：C．3．（2022春•安乡县期末）如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：∵∠A＝30°，DC＝8cm，D是斜梁AB的中点，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2×8＝16，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝8，∵BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝×8＝4cm．故选：B．4．（2022春•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC 的面积为2，则它的周长为（）A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+2解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴AC＝2BD＝2，∴AB2+BC2＝AC2＝8，∵Rt△ABC的面积为2，∴AB•BC＝2，∴AB•BC＝4，∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB•BC＝8+8＝16，∴AB+BC＝4或AB+BC＝﹣4（舍去），∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝4+2，故选：C．5．（2022春•凤山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝8，BC＝6，则△ADC 的周长为（）A．14 B．24 C．12 D．18解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝，∵D是AB的中点，∴AD＝CD＝AB＝5，∴△ACD的周长为：AD+CD+AC＝5+5+8＝18．故选：D．6．（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD＝（）A．15°B．30°C．22.5°D．45°解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE＝，∴BC＝2DE＝2，∵AB＝4，AC＝2，∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°．故选：B．7．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（）A．12 B．12.5 C．15 D．24解：过M作ME⊥CD于E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，∴CM＝AB＝5，MD＝AB＝5，∴CM＝DM，∵ME⊥CD，CD＝6，∴CE＝DE＝3，由勾股定理得：EM＝＝＝4，∴△MCD的面积为＝＝12，故选：A．8．（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC 交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2 B．C．1 D．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACD＝30°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵AC2+BC2＝AB2，AC＝2，∴（2）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝2（负数舍去），∴AB＝2BC＝4，∵AB＝4，D为AB的中点，∴BD＝AD＝2＝BC，∵BF⊥CD，∴CF＝DF，∵DE∥BC，D为AB的中点，∴AE＝CE，∴EF＝AD＝＝1，故选：C．9．（2019春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．6解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，故选：B．10．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2022春•南岗区校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∠BDE＝52°，则∠DEB的度数为76°．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠DBE＝52°，∴∠DEB＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝76°，故答案为：76°．12．（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE⊥BC于点E，则∠DAE为50度．解：∵∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴∠C＝∠DAC＝20°，∴∠ADE＝∠C+∠DAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝50°，故答案为：50．13．（2022春•广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为110°．解：∵CE⊥BE，AF⊥BC，∴∠CEB＝∠AFC＝90°，∵∠B＝35°，∴∠ECB＝90°﹣∠B＝55°，∵点P是AC的中点，∴PF＝PC＝AC，PE＝PC＝AC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∵∠APF是△CFP的一个外角，∴∠APF＝∠PFC+∠PCF，∴∠APF＝2∠PCF，∵∠APE是△CEP的一个外角，∴∠APE＝∠ACE+∠PEC，∴∠APE＝2∠ACE，∴∠EPF＝∠APE+∠APF＝2∠PCF+2∠ACE＝2∠ECB＝110°，故答案为：110°14．（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为2．解：∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，F是AC的中点，∴DF＝AF＝AC＝×4＝2，∴∠FDA＝∠CAD＝30°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60°∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF∥AB，EF＝AB＝×4＝2，∴∠EFC＝∠CAB＝30°，∴∠EFD＝60°+30°＝90°，∴ED＝＝＝2．故答案为：2．15．（2021春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，如图，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，∵D、N分别是BC、AC的中点，∴DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．16．（2021秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC 的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝100°．解：∵CE⊥BA，∠B＝40°，∴∠BCE＝50°，∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝100°，故答案为：100°．17．（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝75°．解：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点，∴EC＝EA＝EB＝AB，∴∠ECA＝∠CAB＝30°，∴∠CEB＝60°，∵AD＝BD，点E是AB中点，∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADB＝90°，点E是AB中点，∴DE＝AB，∴ED＝EC，∴∠EDC＝75°，故答案为：75．18．（2020春•揭西县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为6．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6．故答案为6．19．（2019春•瑶海区期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为．解：连接CM、CN，由勾股定理得，AB＝DE＝＝5，∵△ABC、△CDE是直角三角形，M，N为斜边的中点，∴CM＝，CN＝，∠MCB＝∠B，∠NCD＝∠D，∴∠MCN＝90°，∴MN＝，故答案为：．20．（2017春•武侯区校级月考）如图，∠MON＝90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为2+2．解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD＝＝2，∵∠MON＝90°，∴OD＝AB＝＝2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+2．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（2022春•汉滨区期中）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．（1）求证：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．（1）证明：如图，连接DM，DN，∵BN、CM分别是△ABC的两条高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中点，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，∵E为MN的中点，∴DE⊥MN；（2）解：∵BC＝26，∴DM＝BC＝13，∵点E是MN的中点，MN＝10，∴ME＝5，由勾股定理得：DE＝＝12．22．（2021春•抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．证明：如图，连接DM，DN，∵BN、CM分别是△ABC的两条高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中点，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，又∵E为MN的中点，∴DE⊥MN．23．（2019春•房山区期中）如图，锐角△ABC中，AD，CE为两条高，F，G分别为AC，DE的中点，猜想FG与DE的位置关系并加以证明．解：FG⊥DE，理由如下：连接FE、FD，∵AD，CE为两条高，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∵F为AC的中点，∴EF＝AC，FD＝AC，∴FE＝FD，∵G为DE的中点，∴FG⊥DE．24．（2021春•新泰市期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF⊥BD，垂足为F．（1）求证：BE＝DE；（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴BE＝DE＝AC；（2）∵BE＝DE，EF⊥BD，∴BD＝2BF，∵BE＝AC，AC＝26，∴BE＝13，∵EF＝5，∴BF＝＝＝12，∴BD＝2BF＝24．25．（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC．（1）△ABC的形状为直角三角形．（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；（3）在（2）的条件下，AN＝2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BD＝DC，AD＝BC，∴DA＝DB＝DC，∴∠BAC＝90°．故答案为直角三角形．（2）如图，设CN＝x．∵∠B＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∴AB＝AC，∵BD＝DC，∴AD⊥BC，将△BAM绕点A逆时针旋转90°得到△ACH，连接NH．∵∠ACB＝∠ACH＝∠B＝45°，∴∠NCH＝90°，∵∠MAN＝45°，∠MAH＝90°，∴∠NAM＝∠NAH＝45°，∵NA＝NA，AM＝AH，∴△NAM≌△NAH（SAS），∴MN＝NH，∵BM＝CH＝3，BC＝12，∴CM＝12﹣3＝9，∴MN＝NH＝9﹣x，∵NH2＝CH2+CN2，∴（9﹣x）2＝x2+32，解得x＝4．∴CN＝4．（3）在Rt△ADN中，∵∠ADN＝90°，AD＝BD＝CD＝6，DN＝CD﹣CN＝6﹣4＝2，∴AN＝＝＝2．故答案为2．26．（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方法，他作了辅助线．聪明的你知道他作的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．解：①连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM，又N为BD的中点，∴MN⊥BD；②∵BM＝DM，∴M在BD的垂直平分线上，∵PB＝PD，∴P在BD的垂直平分线上，∴PM垂直平分BD，∴MN⊥BD．27．（2022•宜城市模拟）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴DE＝BE＝AB．∴∠1＝∠2．∵DE∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴BD平分∠ABC．（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°．∴∠3＝∠2＝60°．∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°．∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，∴DB＝2．∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2．∴EC＝＝＝．28．（2022春•永丰县期中）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？解：（1）逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵AB＝BC＝20m，∠A＝15°，∴∠A＝∠ACB＝15°，∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝30°，∴CD＝BC＝10cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×20×10＝100（cm2）．29．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．。

专题12 直角三角形斜边上的中线【考点归纳】（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•贵阳期末）如图，在长为10的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为（）A．5﹣5B．10﹣5C．10﹣10D．5+5【答案】A【解析】解：∵AB＝10，BC＝AB，∴BC＝5，由勾股定理得：AC＝5，∵CE＝BC＝5，∴AD＝AE＝AC﹣CE＝5﹣5．故选：A．2．（2020秋•仪征市期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点【答案】A．【解析】解：∵AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002＝360000，AC2＝8002640000，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，当点P在AB的中点时，CP＝AB＝P A＝PB，故选：A．3．（2020秋•莲湖区期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB 的长为4.8km，则M，C两点间的距离为（）A．1.2km B．2.4km C．3.6km D．4.8km【答案】B．【解析】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝4.8km，∴CM＝2.4（km），即M，C两点间的距离为2.4km，故选：B．4．（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D．【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，∴∠B＝30°．∵D是AB的中点，∴BD＝CD．∴∠DCB＝∠B＝30°．又∵DE⊥BC于E，∴∠BDE＝∠CDE＝60°．∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．∴△ACD为等边三角形．∴∠ADC＝∠DAC＝∠ACD＝∠CDE＝∠BDE＝60°．故选：D．5．（2020秋•嵊州市期中）直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（）A．5B．2.5C．3.5D．4.5【答案】B【解析】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长是＝5，所以＝2.5，故选：B．6．（2020秋•高州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．二、填空题7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝．【答案】10【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝10，故答案为：10．8．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，ED⊥AB交BC于E，连接CD，则∠CDE：∠ECD＝．【答案】1：2．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，∴CD＝DB，∴∠ECD＝∠B＝36°，∴∠CDB＝180°﹣∠ECD﹣∠B＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∠CDE＝∠CDB﹣∠EDB＝108°﹣90°＝18°，∠CDE：∠ECD＝1：2．故答案为1：2．9．（2020春•南岗区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝DC．则∠BAC的度数为°．【答案】105【解析】解：取CD的中点E，连接AE，在Rt△ADC中，DE＝EC，∴AE＝CD＝ED＝EC，∴∠EAC＝∠C＝25°，∴∠AED＝∠EAC+∠C＝50°，∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝65°，∵AB＝DC，AE＝CD，∴AB＝AE，∴∠BAE＝80°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝105°，故答案为：105．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果斜边AB上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝cm．【答案】8【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8cm．故答案为：8．11．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．【答案】90°【解析】解：连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC，同理，DE＝AC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．三、解答题12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D．（1）若∠C＝74°，求∠BAD的度数；（2）点E为线段AB的中点，连接DE．求证：DE∥BC．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝74°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝37°，∵AD⊥BD，∴∠BAD＝90°﹣37°＝53°；（2）证明：在Rt△ADB中，点E为线段AB的中点，∴ED＝EB∴∠EBD＝∠EDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC．【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝74°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质得到ED＝EB根据等腰三角形的性质得到∠EBD＝∠EDB，根据平行线的判定定理证明结论．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．【答案】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．【解析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．14．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．【答案】（1）证明：∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝BE＝AB，∴DC＝BE；（2）∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE∵DE＝BE∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝72°，∴∠BCE＝24°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DE＝BE＝AB，证明结论；（2）根据等腰三角形想的性质得到∠DEC＝∠DCE，根据三角形的外角性质列式计算即可．15．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，∴EA＝BD＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BD＝2AC；（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，由勾股定理得，AB＝＝＝12，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．【解析】（1）根据直角三角形的性质得到EA＝BD＝EB，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出BC和BE，根据勾股定理求出AB，根据三角形的周长公式计算．16．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．【答案】证明：连接DM，BM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴DM＝AC，BM＝AC，∴DM＝BM，又N是BD的中点，∴MN⊥BD．【解析】连接DM，BM，根据直角三角形的性质得到DM＝AC，BM＝AC，得到DM＝BM，根据等腰三角形的三线合一证明．11/ 11。

初中数学直角三角形斜边中线性质应用专项练习题（附答案详解）1．如图，在ABC 中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC 边的长为 ．2．如图,在矩形ABCD 中,∠BAD 的平分线交BC 于点E ,交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2,AD =3,求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点,连接BG 和DG ,求证：DG =BG .3．如图所示，在ABC ∆中，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，点M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求证：MN DE ⊥.4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2，求证：CM ⊥AD 。

5．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE .6．如图所示，CDE ∆中，135CDE ∠=︒，CB DE ⊥于V ，EA CD ⊥于A ，求证：2CE AB =.7．如图所示，四边形ACBD 中，90ADB ACB ∠=∠=︒，60DBC ∠=︒，点E 是AB 的中点，求DCE ∠的度数.8．如图所示，90DBC BCE ∠=∠=︒，M 为DE 的中点，求证：MB MC =.9．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=为BC 延长线上一点，过D 作DE AD ⊥，且DE AD =，求DBE ∠的度数．10．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=是AC 的中点，,DE DF DE ⊥交BA 的延长线于点,E DF 交AC 的延长线于点F ，求证：BE AF =．11．如图所示，ABC ∆中，,90,AB AC BAC D =∠=为BC 的中点，G 为AC 上一点，AE BG ⊥于点E ，连结DE ．求证：2BE AE DE -=．12．如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.13．如图所示，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，CD 上的两个动点，且AE DF =，BE 交AF 于点H ，2AB =，连DH .求线段DH 长度的最小值.14．如图所示，ABC ∆中，2B A ∠=∠，CD AB ⊥于D ，E 为AB 的中点，求证：2BC DE =.15．如图所示，四边形ACBD 中，90ADB ACB ∠=∠=︒，60DBC ∠=︒，点E 是AB 的中点，求CE CD的值.16．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 上有一点P ，连接BP 、DP ，过点P 作PE ⊥PB 交CD 于点E ，连接BE ．（1）求证：BP=EP；（2）若CE=3，BE=6，求∠CPE的度数；（3）探究AP、PC、BE之间的数量关系，并给予证明．参考答案1．【解析】【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出,4D B F D ==，再根据等边三角形的判定与性质得出4,60DH BDH =∠=︒，然后根据三角形的中位线定理、平行线的性质得出60EHD BDH ∠=∠=︒，从而可得EHD B ∠=∠，BDF HDE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质得出DE DF ==据此根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【详解】如图，过点D 作DG BC ⊥于点G3,5BF CF ==8BC BF CF ∴=+=在Rt BCD 中，60B ∠=︒，9030BCD B ∠=︒-∠=︒142BD BC ∴== 在Rt BDG 中，60B ∠=︒，9030BDG B ∠=︒-∠=︒12,2BG BD DG ∴====1GF BF BG ∴=-=，DF ==取BC 的中点H ，连接DH 、EH142DH BH BC BD ∴==== BDH ∴是等边三角形60BDH ∴∠=︒点E 是AC 边的中点∴EH 是ABC 的中位线//EH AB ∴60EHD BDH ∴∠=∠=︒60EHD B ∴∠=∠=︒又60BDF FDH BDH ∠+∠=∠=︒，60HDE FDH EDF ∠+∠=∠=︒BDF HDE ∴∠=∠在HDE 和BDF 中，EHD B DH DB HDE BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HDE BDF ASA ∴≅13DE DF ∴==则在Rt ACD △中，12DE AC =，即2213AC DE == 故答案为：213．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． 2．（1）EF 2；（2）见解析【解析】【分析】（1）由AE 平分∠BAD ，可得∠DAF ＝45°，从而∠F ＝45°，可证△ADF ，△ECF 都是等腰直角三角形，求出CF 的长，最后根据勾股定理即可求出EF 的长；（2）连结CG ，易证∠BEG ＝∠DCG ＝135°，根据“SAS ”可证△BEG ≌△DCG ，从而可得DG ＝BG .【详解】解：（1）在矩形ABCD 中∵AE 平分∠BAD ,∴∠DAF ＝45°, ∴∠F ＝45°，∴△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，∴DF＝AD＝3, CF＝DF－CD= 1.在Rt△CEF中,∴EF＝2.（2）连结CG,∵G是EF中点,∴CG⊥EF,∠ECG＝∠CEF＝45°.∴∠BEG＝∠DCG＝135°.∴EG＝12EF＝CG.∵AB＝BE＝CD,∴BE＝CD.∴△BEG≌△DCG,∴DG＝BG.【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，证明△ADF，△ECF都是等腰直角三角形是解（1）的关键，证明△BEG≌△DCG是解（2）的关键.3．见解析【解析】【分析】连接ME、MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=ME=12BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；【详解】证明：连结MD ，ME ，点M 分别是Rt EBC ∆和Rt DBC ∆斜边的中点，MD ME ∴==1BC 2，又N 是DE 的中点， MN DE ∴⊥.【点睛】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DM =EM 是解题的关键． 4．见解析.【解析】【分析】 过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交AD 于点F ，AD 与CM 交于点G ，根据∠B=∠BCE=45°，CD=BD ，∠1=∠2证明△CDF ≌△BDM ，得到CF=BM ，然后再由AC=BC 及通过SAS 证明△ACF ≌△CBM ，得到∠CAF=∠BCM ，再根据角之间的等量代换可证明∠CFG+∠ECM=90°，问题得证.【详解】证明：过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交AD 于点F ，AD 与CM 交于点G ，∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠B=∠BCE=45°，在△CDF 和△BDM 中，，∴△CDF ≌△BDM （ASA ），∴CF=BM ，在△ACF 和△CBM 中，，∴△ACF ≌△CBM （SAS ），∴∠CAF=∠BCM，∵∠BCM +∠ECM =∠CAF+∠EAF=45°，∴∠ECM =∠EAF，∵∠AFE=∠CFG，且∠AFE+∠EAF=90°，∴∠CFG+∠ECM=90°，即∠CGF=90°，∴CM⊥AD.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，寻找合适的全等三角形是解题关键，有一定难度．5．见解析【解析】【分析】可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=12AB，又由AD=12AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=12BC．所以DE=2BC.【详解】证明：取BC的中点F，连EF，AF，∵点E、F分别为边BC，AC的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=12 AB，即EF∥AD，∵AD=12 AB，∴EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形；∴AF=DE.∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，∴AF=12 BC，∵四边形AFED是平行四边形，∴BC=2DE.【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质.灵活运用中点的有关性质解题是解题关键.6．见解析【解析】【分析】取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EF=BF=CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的2可得AF=2AB，然后证明即可．【详解】证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，∵CB⊥DE，EA⊥CD，∴AF=EF=BF=CF=12 CE，在△CDE中，∵∠CDE=135°，∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB，∴CE=2AF=2×22AB=2AB，即CE=2AB．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．7．30【解析】【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=12AB=BE，CE=12AB=BE，根据三角形的外角性质计算即可；【详解】证明：连接DE，∵∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，∴DE=12AB =BE ，CE =12AB =BE ， ∴ED =EC ，∠EDB =∠EBD ，∠ECB =∠EBC ，∴∠DEC =∠AED +∠AEC =2∠DBC =120°，∵ED =EC ，∴∠DCE =12×（180°-120°）=30°； 【点睛】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DE =CE 是解题的关键． 8．见解析【解析】【分析】延长BM 交CE 于N ，易得DBM ENM ∆∆≌，BM =MN ，由直角三角形斜边中线性质可得CM =MN =BM .【详解】证明：延长BM 交CE 于N ，∵90DBC BCE ∠=∠=︒，∴CE ∥DB ，∴∠D =∠E ，在DBM ∆和ENM ∆中D=E DM=EMDMB=EMN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴DBM ENM ∆∆≌，BM MN =∴，∵∠BCE =90°，12CM BN BM ∴==． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是正确作出辅助线．构造直角三角形.9．45°【解析】【分析】分别过点A 、E 分别作于AF BD ⊥于F ，EG BD ⊥于G ，由等腰直角三角形的性质可得AF BF CF ==，由同角的余角相等得FAD FDE ∠=∠，结合已知可证ADF DEG ∆∆≌ ，由全等三角形的对应边相等得DF=EG ，AF=DG ，则EG FD FG GD FG AF FG BF BG ==+=+=+= ，即△BEG 为等腰直角三角形,即可得DBE ∠的度数．【详解】解：分别过点A 、E 分别作于AF BD ⊥于F ，EG BD ⊥于G ，则AF BF CF ==，90FAD ADF ADF FDE ∠+∠=∠+∠=︒，∴FAD FDE ∠=∠，AD DE ⊥ AD DE =，ADF DEG ∴∆∆≌，DF EG ∴=，AF DG =，EG FD FG GD FG AF FG BF BG ∴==+=+=+=，∴△BEG 为等腰直角三角形,45DBE BEG ∴∠=∠=︒．故答案为45°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中作辅助线证出△BEG 为等腰直角三角形是解题的关键．10．详见解析【解析】【分析】连结AD ，根据等腰直角三角形的性质得AD ⊥BC ，AD=BD ，由同角的余角相等得B FAD ∠=∠ ，证明BDE ADF ∆∆≌ ，即可得出结论．【详解】证明：连结AD ，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD DC = AD BC ∴⊥AD BD ∴=90B BAD BAD FAD ∠+∠=∠+∠=︒B FAD ∴∠=∠BDE BDA ADE ∠=∠+∠ FDA FDE ADE ∠=∠+∠ 90BDA FDE ∠=∠=︒ BDE FDA ∴∠=∠BDE ADF ∴∆∆≌BE AF ∴=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．详见解析【解析】【分析】连结AD ，过点D 作DF DE ⊥交BG 于点F ，由等腰直角三角形的性质可得AD BD =，AD ⊥BC ，由等角的余角相等得ADE BDF ∠=∠，DAE DBF ∠=∠，根据ASA 可证出ADE BDF ∆∆≌ ，由全等三角形的对应边相等得AE=BF ，DE=DF ，则△EDF 为等腰直角三角形，即可得BE 2EF BF BE AE DE ∴=-=-=.【详解】 证明：连结AD ，过点D 作DF DE ⊥交BG 于点F ，∵,90,AB AC BAC D =∠=为BC 的中点，∴AD BD =，AD ⊥BC ，∵DF DE ⊥，∠BAC=90°，AE BG ⊥∴ADE BDF ∠=∠，DAE DBF ∠=∠， ∴ADE BDF ∆∆≌（ASA ）∴AE=BF ，DE=DF ，∵DF DE ⊥∴2EF DE =∴BE EF 2BE AE BF DE -=-==. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中求证ADE BDF ∆∆≌是解题的关键．12．见解析【解析】【分析】连接OD.因为∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点；所以有OE OD =OB=OC ，进而∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE ；又因为∠BAC=120°；所以有∠CBD+∠BCE=60°，∠COD+∠BOE=120°；所以∠DOE=60°；从而证得△DOE 是等边三角形，所以DE=OE.【详解】连OD ，∵O为BC的中点，∵OE OD=OB=OC，∴∠COD=2∠CBD,∠BOE=2∠BCE.∵∠BAC=120°，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠COD+∠BOE=120°，∴∠DOE=60°，∴△DOE是等边三角形，∴DE=OE.【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答此题的关键是要掌握分析题中的各种信息条件，找到相应的知识来解决问题，然后根据以往做题经验找出解决问题的方法.13．DH51【解析】【分析】根据正方形性质可得AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又根据AE=DF，利用SAS可证得△ABE≌△DAF，于是∠ABE=∠DAF；由于∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，从而∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=12AB=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理计算出OD的值；根据三角形的三边关系，可得OH+DH＞OD，于是当O、D、H三点共线时，DH的长度最小为OD-OH，据此解答.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，又∵AE=DF，∴∠ABE=∠DAF.∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，取AB的中点O，连OH、OD，∴112OH AB==，225OD OA AD=+=，在OHD∆中有DH OD OH>-，即51DH>-.故O、H、D三点共线时DH最小，∴DH最小值为51-.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理及三角形三条边的关系，确定出点H的位置是解答本题的关键.14．见解析【解析】【分析】取AC中点F，连接EF、DF，则EF为△ABC的中位线，结合条件可得到∠FEA=2∠A，结合直角三角形的性质可得到∠FDE=∠EFD，得到DE=EF，可得出结论．【详解】证明：取AC的中点F，连EF，DF，则EF为中位线，∴∠FEA=∠B=2∠A ，在直角三角形ACD 中，F 是斜边BC 的中点，∴DF=CF=AF ，∴∠FDA=∠A ，即有2∠FDA=∠FEA ，∵∠FEA=∠FDA+∠DFE ，∴∠DFE=∠FDA ，∴DE=EF ，∴BC=2DE ．【点睛】本题考查了三角形中位线的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.15．33CE CD = 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得出DE=CE=BE ，根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出30DCE ∠=︒，过E 作EM CD ⊥于M ，设1EM =，可求出CE 、CM 、CD 的值.【详解】证明：连结DE ，在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，∵E 是AB 的中点，∴12DE AB =，12CE AB =， ∴DE CE EB ==，∴2DEA DBE ∠=∠，2AEC EBC ∠=∠，∴2120DEC DBC ∠=∠=︒，30DCE ∠=︒.过E 作EM CD ⊥于M ，设1EM =，则2CE =，CM =，∴CD =，∴CE CD =【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.16．（1）证明见解析；（2）∠EBC=30°；（3）BE 2＝AP 2+PC 2，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出△CBP ≌△CDP ，得出BP ＝DP ，利用四边形的内角和，得出EP ＝DP ，从而得出结论；（2）取BE 的中点F ，得出△CEF 是等边三角形，利用撒尿行内角和定理，得出∠EPC ＝30°； （3）过点P 作PC /⊥AC ，得出△BPC ≌△EPC /, 近而得出四边形ABEC /为平行四边形，在Rt △APC /中，利用勾股定理得出结论即可.【详解】（1）∵ 四边形ABCD 是正方形，∴CB ＝CD ，AC 平分∠BCD ， 即 ∠BCP ＝∠DCP ， 又CP 是公共边 所以△CBP ≌△CDP ∴ BP ＝DP , ∠PBC ＝∠PDC∵ ∠BPE －∠BCE ＝90°，∠BPE +∠BCE +∠PBC +∠PEC ＝360°∴∠PBC +∠PEC ＝90°∵ ∠PED +∠PEC ＝90°∴∠PED ＝∠PBC ∴∠PED ＝∠PDC ∴EP ＝DP ,∴ BP ＝DP ．（2）取BE 的中点F ，连CF ，则CE ＝CF －EF ＝3, ∴△CEF 是等边三角形，则∠BEC ＝60°，∵∠BCE ＝90°，∴∠EBC +∠BEC ＝90°, ∴∠EBC ＝30°, ∵∠EBC +∠BCP ＝∠PEB +∠EPC , ∠PEB ＝∠BCP ＝45°∴∠EBC ＝∠EPC ＝30°﹒（3）过点P作PC/⊥AC，交CD的延长线于C/,得△BPC≌△EPC/, CP＝C/P,BC＝EC/, ∵AB＝BC，∴AB＝EC/∵AB∥EC/∴四边形ABEC/为平行四边形，∴AC/＝BE,∵在Rt△APC/中，C/A2＝AP2+C/P2∴BE2＝AP2+PC2﹒。

初中数学：直角三角形斜边上中线等于斜边一半练习1．如图，在Rt ABCAD=，∠=︒，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，2ACB∆中，90CD=)10CE=，则(A．2B．3C．4D．62．如图，在四边形ABCD中，90∠=∠=︒，点E、F分别是BD和AC的中点，BAD BCD连接EF．（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若26EF=，求AC的长．BD=，53．如图所示，在ABC⊥于点∆中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG CE =G，CD AE（1）证明：CG EG=；（2）若6BD=，求CE的长．AD=，84．如图，在ABC⊥于点E，M为BC的中点．连接ME、∆中，CF AB⊥于点F，BE ACMF、EF．（1）求证：MEF∆是等腰三角形；（2）若70∠的度数．∠=︒，求EMFAABC∠=︒，505．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE CD ⊥于点F ，交CB 于点E ，且EAB DCB ∠=∠．（1）求B ∠的度数：（2）求证：3BC CE =．6．直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为CB 延长线上一点，且BE CD =，连接DE ．（1）如图1，求证2C E ∠=∠；（2）如图2，若6AB =，5BE =，ABC ∆的角平分线CG 交BD 于点F ，求BCF ∆的面积．初中数学：直角三角形斜边上中线等于斜边一半练习参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，10CE =，则(CD = )A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CE 为AB 边上的中线，10CE =， 10AE CE ∴==，4AD =，6DE ∴=， CD 为AB 边上的高，在Rt CDE ∆中，22221086CD CE DE =-=-=，故选：D ．二．解答题（共5小题）2．如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，点E 、F 分别是BD 和AC 的中点，连接EF ．（1）试判断EF 与AC 的位置关系，并说明理由；（2）若26BD =，5EF =，求AC 的长．【解答】（1）解：EF AC ⊥．理由：连接AE ，CE ．90BAD BCD ∠=∠=︒，E 是BD 的中点， 12AE BD ∴=，12CE BD =， AE CE ∴=，又F 是AC 的中点，EF AC ∴⊥．（2）26BD =，1132CE BD ∴==， 222213512CF CE EF ∴=-=-=，224AC CF ∴==．3．如图所示，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的高线，CE 是边AB 上的中线，DG CE ⊥于点G ，CD AE =（1）证明：CG EG =；（2）若6AD =，8BD =，求CE 的长．【解答】解：（1）证明：CG EG =．连结DE ，如图．AD BC ⊥，90ADB ∴∠=︒，又E 为AB 中点，DE AE BE ∴==，CD AE =，DE CD ∴=，又DG EC ⊥，EG CG ∴=；（2）过E 作EM BC ⊥于M ，如图．AD BC ⊥，EM BC ⊥，//EM AD ∴， E 为AB 中点，EM ∴是ABD ∆的中位线， 132EM AD ∴==． 6AD =，8BD =，228610AB ∴=+=，152DE AB ==， 4DM ∴=，5CD AE DE ===，9CM CD DM ∴=+=，2239310CE ∴=+=．4．如图，在ABC ∆中，CF AB ⊥于点F ，BE AC ⊥于点E ，M 为BC 的中点．连接ME 、MF 、EF ．（1）求证：MEF ∆是等腰三角形；（2）若70A ∠=︒，50ABC ∠=︒，求EMF ∠的度数．【解答】（1）证明：CF AB ⊥于点F ，BE AC ⊥于点E ，BFC ∴∆和CEB ∆是直角三角形， M 为BC 的中点， 12EM FM BC ∴==， MEF ∴∆是等腰三角形；（2）解：70A ∠=︒，50ABC ∠=︒，60ACB ∴∠=︒，M 是BC 中点，12MB CM BC ∴==， 12EM FM BC ==， BM FM ∴=，MC EM =，50BFM ABC ∴∠=∠=︒，60CEM MCA ∠=∠=︒，80FMB ∴∠=︒，60EMC ∠=︒，180806040FME ∴∠=︒-︒-︒=︒．5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE CD ⊥于点F ，交CB 于点E ，且EAB DCB ∠=∠．（1）求B ∠的度数：（2）求证：3BC CE =．【解答】解：（1）AE CD⊥，90AFC ACB∴∠=∠=︒，90 CAF ACF ACF ECF∴∠+∠=∠+∠=︒，ECF CAF∴∠=∠，EAD DCB∠=∠，2CAD DCB∴∠=∠，CD是斜边AB上的中线，CD BD∴=，B DCB∴∠=∠，2CAB B∴∠=∠，90B CAB∠+∠=︒，30B∴∠=︒；（2）30B BAE CAE∠=∠=∠=︒，AE BE ∴=，12CE AE=，3BC CE∴=．6．直角三角形ABC中，90ABC∠=︒，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE CD=，连接DE．（1）如图1，求证2C E ∠=∠；（2）如图2，若6AB =，5BE =，ABC ∆的角平分线CG 交BD 于点F ，求BCF ∆的面积．【解答】解：（1）证明：90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点， 12BD AC CD AD ∴===， CD BE =，BE BD ∴=，BDE E ∴∠=∠，BD CD =，C DBC ∴∠=∠，2C DBC BDE E E ∴∠=∠=∠+∠=∠；（2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥CG 平分ABC ∠FM FN ∴=5BE =5CD AD BE ∴===，10AC =又6AB =∴在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=8BC ∴=BD 为ABC ∆的中线11111681222222BCD ABC S S AB BC ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯= 又BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+111222CD FN BC FM ∴=+ ∴11581222FM FM ⨯⨯+⨯⨯=2413FM ∴= 1124968221313BCF S BC FM ∆∴==⨯⨯=．。