“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

第六讲直角三角形斜边上的中线基本图形：图形性质：△ABC中，∠ACB=90°AD=BD<=>CD=AD=AB，AD=BD<=>∠DCA=∠DAC，∠BDC=2∠DAC，应用条件：出现了直角三角形斜边的中点，添线方法：添加直角三角形斜边上的中线，难度：★★权重：★★★应用条件：出现了线段之间的倍半关系，且倍线段是一个直角三角形的斜边，添线方法：取斜边的中点，再添加直角三角形斜边上的中线，难度：★★★★权重：★★★应用条件：出现了一个等腰三角形的底边再一个直角的直角边上，添线方法：将等腰三角形的一条腰延长到与另一条直角的边相交，难度：★★★★★★权重：★★★★★应用条件：出现了由线段的中点发出的两条相等线段，添线方法：将相等线段中的一条延长一倍后，联结成直角三角形斜边上中线的基本图形，难度：★★★★★★权重：★★例1，已知：△ABC中，∠ACB=90°，延长AB到D，AB=2CD，过D作DE∥CA交CB的延长线于E．求证：∠CDE=3∠ADE，分析：本题的条件中给出了AB=2CD，是两条线段之间的倍半关系，又因为∠ACB=90°，所以其中的倍线段AB就是直角△ABC的斜边，从而可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明，这是本题的第一个关键思维节点，就是由出现的两条线段之间的倍半关系，且的倍线段是一个直角三角形的斜边，就要想到应用或添加直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明，添加的方法就是将直角三角形斜边上的中线添上，由于图形中是有直角三角形而没有出现斜边上的中线，所以应将斜边上的中线添上，也就是取AB的中点F，联结CF，就可得AB=2CF，由条件AB=2CD，就有CD=CF，这是两条具有公共端点C的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的性质可得∠CDF=∠CFD，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要应用等腰三角形的性质进行证明，而由直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质又可得∠CFD=2∠BAC，所以∠CDF=2∠BAC，又因为ED∥CA，这两条平行线可以看作是被AD所截，∠EDA和∠BAC是一组同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形进行证明，所以∠EDA=∠BAC，∠CDA=2∠EDA，从而就可得∠CDE=∠CDA+∠EDA=3∠ADE.例2，已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AD⊥BC垂足是D，E是BC的中点．求证：DE=AB，分析一：本题给出了条件AD⊥BC，而要证明的结论DE=AB是两条线段之间的倍半关系，且其中的倍线段AB是直角△ABD的斜边，所以就可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明，现在图形中是有直角三角形，而没有斜边上的中线，于是要将斜边上的中线添上，这是本题的第一个关键思维节点，就是由出现的两条线段之间的倍半关系，且的倍线段是一个直角三角形的斜边，就要想到应用或添加直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明，添加的方法就是将直角三角形斜边上的中线添上，也就是取AB的中点F，联结DF，可得DF=AB，从而问题就转化成为应证DF=DE，而由所作的F是AB的中点和条件中给出的E是BC的中点，出现了两个中点，是多个中点问题，从而可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明，这是本题的第二个关键思维节点，就是由出现的两个中点，是多个中点问题，从而想到可应用三角形的中位线的基本图形的性质进行证明，由于中点E、F所在线段BC、BA有公共端点B，可以组成三角形，所以E、F这两个中点的连线就是三角形的一条中位线，但现在图形中是有三角形而没有中位线，从而需将中位线添上，也就是联结EF，可得EF∥CA，这就是具体的添线方法，现在我们要证的性质是DF=DE，是两条具有公共端点D的相等线段，就可以组成一个等腰三角形，问题也就成为一个等腰三角形的判定问题，又因为E、D、B成一直线，图形中出现了这个要证明的等腰三角形的顶角的外角，所以要证明DE=DF，就可以转化成要证它的等价性质∠FDB=2∠FEB，这是本题的第三个关键思维节点，就是由出现的两条具有公共端点的相等线段，想到要应用等腰三角形的性质进行证明，又因为由直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质，可得FD=FB，∠FDB=∠FBD，而由条件∠ABC=2∠ACB，所以问题就成为要证∠ACB=∠FEB，由于这两个角是FE、AC被BC所截得到的同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形进行证明，由于已证EF∥CA，所以分析可以完成。

直角三角形斜边上的中线20170327【教学目标要求】【知识与技能】（1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用.（2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律.【过程与方法】（1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法.（2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力.（3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法.【情感态度】使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识.【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法.一、情境导入，初步认识复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？引入：如果你是设计师：（提出问题）某地将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。

而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。

如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？二、小组合作，获取新知除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片.（1）测量边AB 的长度；（2）量一量斜边上的中线的长度.让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.2.提出命题： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.证明命题： 你能否用演绎推理证明这一猜想？C A已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是B 上的中线. 求证：CD=12AB. 4.得出定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、运用新知，深化理解1.见课件PPt四、课堂小结1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2.有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线.五.布置作业：见PPt板书设计 （略） 数学语言表述为：在Rt △ABC 中∵CD 是斜边AB∴CD ＝AD ＝BD 2、如图，已知A D ⊥B D ，A C ⊥B C ，E 为A B 的中点，试判断D E 与C E 是否相等，并说明理由。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 是直角三角形的重要性质之一， 而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、 底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线， 往往能帮助我们迅速打开解题思路, 明. 一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1.如图1 , BD N 是DE 的中点.试问：猜想：MN B 直平分 1ME MD 在 Rt △ BEC 中，•••点 M 是斜边BC 的中点，• ME^ BC,又 NE = ND •2直线MN 是线段DE 的垂直平分线，• NMLDE 即 MN 垂直平分 DE. 评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点， 联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ，证明：DE 的中点F ,连AF ,贝U AF=FD 」DE,所以/ DAF=Z ADF,又因为 AD// BC,所以/ CBE Z ADF, 21又因为/ CBEd Z ABE 所以/ ABF=/ AFB,所以 AF=AB 即 DE=2AB2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶 点，然后用性质来解决问题.三、有中点、无直角，造直角，用性质 PM 交DC 于 K 下证N 和K 重合，贝U P 、N M 三点共线,PDC △ PAB 斜边上的中线，• PN=CN=DlN=CD PM=BM=D M=AB,2 2•••/ PNC=2/ PDN=2/ A Z PMB Z PKC=2/ A, •/ PNC / PKC •- N 、K 重合，问题便迎刃而解. 2△ ABF 均为等腰三角形，由此结论得证. CE 是厶ABC 的两条高，M 是BC 的中点,MN 与 DE 有什么关系？证明你的猜想.DE.证明：如图：连接例 3.如图 3,梯形 ABCD 中, AB// CD M / ADC+Z BCD=270,1求证：MN — (AB-CD .2证明：延长AD BC 交于 •••/ APB=9(°,连结 PN 连结P,vZ ADC y BCD=270,••• PN PM 分别是直角三角形△ B• MN=PM-PN= (AB-CD).2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“Z ADC-Z BCD=270 ” ,这样问题就易以解决了四、逆用性质解题例4.如图4,延长矩形ABCD的边CB至E,使CE=CA , P是AE的中点.求证：BP丄DP .证明：如图3，连结BD交AC于点0,连结PO,•••四边形ABCD 是矩形，••• A0=0C=0B=0D ,1 1••• PA=PE ,• P0= — EC ,T EC=AC , • P0= — BD ,2 2即0P=0B=0D , • BP丄DP.评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造厶PBD ,请同学们试一试吧!1. 如图5,A ABC中, AB=AC 厶1求证：CD= BE22. 如图6,A ABC中，/ B=2/ C, 中点，求证：AB=2DM证BD边的中线等于BD的一半.1. 提示：结论中的BE是直角三角形的斜边，由半”，故应取BE的中点F,连结DF，只需证明1— BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一2DC=DF，即证/ C=Z DFC2 .提示：取AB的中点N，连结DN、MN即可.直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质, 同时也是常考的知识点. 它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质 例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900，AD ∥BC ，∠CBE=12∠ABE ，请同学们试一试吧！1．如图5，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ， 求证：CD=12BE ．2．如图6，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的 中点，求证：AB=2DM ．直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

下面谈谈直角三角形斜边上中线的图1BADCEF图2B图5ACBD M · 图6性质及应用。

一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt △BAC 中，∠BAC=︒90，D 为BC 的中点，则BC 21AD =。

2、性质的拓展：如图1：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==，所以AD=BD=DC=BC21，所以∠1=∠2，∠3=∠4， 因此∠ADB=2∠3=2∠4， ∠ADC=2∠1=2∠2。

因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍． 二、性质的应用 1、求值例1、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。

直角三角形斜边中线性质证明与解析
直角三角形斜边中线的性质是一个重要的几何定理，具体描述如下：
性质：在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。

证明（简要）：
设直角三角形为△ABC，其中∠C=90∘，斜边为AB，中点为D，CD为斜边AB上的中线。

1.构造辅助线（如果需要）：为了证明，我们可以考虑构造一个与△ABC在
CD边两侧都全等的三角形。

这通常通过延长线段CD到点E，使得DE=CD，并连接AE、BE来完成。

2.利用三角形的全等：由于D是AB的中点，所以AD=BD。

又因为DE=CD
（已构造）且∠ADC=∠BDE（对顶角），根据SAS全等条件，我们可以得出△ADC≅△BDE。

3.推导中线性质：由于△ADC≅△BDE，根据全等三角形的对应边相等，我们
有AC=BE。

4.观察四边形：注意到四边形ACBE是一个平行四边形（因为AC∥BE且AC=
BE）。

在平行四边形中，对角线互相平分。

但在这里，由于∠C=90∘，四边形ACBE实际上是一个矩形（矩形的定义是一个所有角都是直角的平行四边形）。

5.利用矩形的性质：在矩形中，对角线不仅互相平分，而且长度相等。

但由
于CD是△ABC中AB的中线，并且它是矩形ACBE的一条对角线的一半（即CE 的一半），所以我们可以得出CD=1。

2AB
结论：直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。

这个性质在解决直角三角形中的许多问题时都非常有用，特别是在计算斜边上的中线长度时。

直角三角形斜边上的中线定理
摘要：
1.直角三角形斜边上的中线定理的概念
2.直角三角形斜边上的中线定理的证明
3.直角三角形斜边上的中线定理的应用
正文：
一、直角三角形斜边上的中线定理的概念
直角三角形斜边上的中线定理是指在一个直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

中线是指连接一个顶点和它对边中点的线段。

二、直角三角形斜边上的中线定理的证明
为了证明直角三角形斜边上的中线定理，我们可以使用平行四边形的性质。

首先，画出一个直角三角形ABC，其中∠C = 90°，斜边是AB。

然后，画出中线CD，连接AD 和BC。

根据平行四边形的性质，我们知道对角线互相平分，所以AC = BD。

又因为∠C = 90°，根据勾股定理，我们有AC = AD + CD和BD = BC + CD。

由于AC = BD，我们可以将两个等式相减，得到AD - BC = CD - CD，也就是(AD - BC)(AD + BC) = 0。

由于AD 和BC 是直角三角形的两条直角边，它们的长度是正数，所以AD - BC = 0，即AD = BC。

因此，我们证明了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、直角三角形斜边上的中线定理的应用
直角三角形斜边上的中线定理在解决一些与直角三角形相关的问题时非常有用。

例如，如果我们知道一个直角三角形的斜边和斜边上的中线，我们可以
很容易地计算出直角三角形的其他边长。

此外，它还可以用于解决一些与直角三角形面积相关的问题。

专题12 直角三角形斜边上的中线【考点归纳】（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•贵阳期末）如图，在长为10的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为（）A．5﹣5B．10﹣5C．10﹣10D．5+5【答案】A【解析】解：∵AB＝10，BC＝AB，∴BC＝5，由勾股定理得：AC＝5，∵CE＝BC＝5，∴AD＝AE＝AC﹣CE＝5﹣5．故选：A．2．（2020秋•仪征市期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点【答案】A．【解析】解：∵AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002＝360000，AC2＝8002640000，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，当点P在AB的中点时，CP＝AB＝P A＝PB，故选：A．3．（2020秋•莲湖区期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB 的长为4.8km，则M，C两点间的距离为（）A．1.2km B．2.4km C．3.6km D．4.8km【答案】B．【解析】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝4.8km，∴CM＝2.4（km），即M，C两点间的距离为2.4km，故选：B．4．（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D．【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，∴∠B＝30°．∵D是AB的中点，∴BD＝CD．∴∠DCB＝∠B＝30°．又∵DE⊥BC于E，∴∠BDE＝∠CDE＝60°．∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．∴△ACD为等边三角形．∴∠ADC＝∠DAC＝∠ACD＝∠CDE＝∠BDE＝60°．故选：D．5．（2020秋•嵊州市期中）直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（）A．5B．2.5C．3.5D．4.5【答案】B【解析】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长是＝5，所以＝2.5，故选：B．6．（2020秋•高州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．二、填空题7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝．【答案】10【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝10，故答案为：10．8．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，ED⊥AB交BC于E，连接CD，则∠CDE：∠ECD＝．【答案】1：2．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，∴CD＝DB，∴∠ECD＝∠B＝36°，∴∠CDB＝180°﹣∠ECD﹣∠B＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∠CDE＝∠CDB﹣∠EDB＝108°﹣90°＝18°，∠CDE：∠ECD＝1：2．故答案为1：2．9．（2020春•南岗区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝DC．则∠BAC的度数为°．【答案】105【解析】解：取CD的中点E，连接AE，在Rt△ADC中，DE＝EC，∴AE＝CD＝ED＝EC，∴∠EAC＝∠C＝25°，∴∠AED＝∠EAC+∠C＝50°，∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝65°，∵AB＝DC，AE＝CD，∴AB＝AE，∴∠BAE＝80°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝105°，故答案为：105．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果斜边AB上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝cm．【答案】8【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8cm．故答案为：8．11．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．【答案】90°【解析】解：连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC，同理，DE＝AC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．三、解答题12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D．（1）若∠C＝74°，求∠BAD的度数；（2）点E为线段AB的中点，连接DE．求证：DE∥BC．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝74°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝37°，∵AD⊥BD，∴∠BAD＝90°﹣37°＝53°；（2）证明：在Rt△ADB中，点E为线段AB的中点，∴ED＝EB∴∠EBD＝∠EDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC．【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝74°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质得到ED＝EB根据等腰三角形的性质得到∠EBD＝∠EDB，根据平行线的判定定理证明结论．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．【答案】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．【解析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．14．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．【答案】（1）证明：∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝BE＝AB，∴DC＝BE；（2）∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE∵DE＝BE∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝72°，∴∠BCE＝24°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DE＝BE＝AB，证明结论；（2）根据等腰三角形想的性质得到∠DEC＝∠DCE，根据三角形的外角性质列式计算即可．15．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，∴EA＝BD＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BD＝2AC；（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，由勾股定理得，AB＝＝＝12，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．【解析】（1）根据直角三角形的性质得到EA＝BD＝EB，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出BC和BE，根据勾股定理求出AB，根据三角形的周长公式计算．16．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．【答案】证明：连接DM，BM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴DM＝AC，BM＝AC，∴DM＝BM，又N是BD的中点，∴MN⊥BD．【解析】连接DM，BM，根据直角三角形的性质得到DM＝AC，BM＝AC，得到DM＝BM，根据等腰三角形的三线合一证明．11/ 11。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用而且斜边上的中线将“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，恰当地构造并直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，下面举例说借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 BC的中点，CE是△ABC的两条高，M是例1．如图1，BD、有什么关系？证明你的猜想．DE的中点．试问：MN与DEN是DE.垂直平分猜想：MN1图1，∴NDBC，又NE＝、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=证明：如图：连接ME2DE.垂直平分的垂直平分线，∴NM⊥DE．即直线MN是线段DEMN，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质1A DADBC，∠CBE=，∠ABE例2．如图2，在Rt△ABC中，∠C=902DE=2AB0∥，求证：FAB相等，分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与2图E 1B取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD， C2△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．1DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BCAFF，连，则AF=FD=，所以∠CBE=∠ADF，证明：DE的中点21∠ABE，所以∠ABF=又因为∠CBE=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB．2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．P 三、有中点、无直角，造直角，用性质CD CD的中点，N是AB、，梯形ABCD中，AB∥CD，M、．如图例33N K 0 BCD=270，∠ADC+∠1M A B．MN=（AB-CD）求证：3图20证明：延长AD、BC交于P，∵∠ADC+∠BCD=270，、MK重合，则P、N于APB=90，连结PN，连结PM交DCK，下证N和∴∠11CD，PM=BM=DM=AB，0三点共线，PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线，∴PN=CN=DN= 、∵PN22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A，∠PMB=∠PKC=2∠A，∴∠PNC=∠PKC，∴N、K重合，1（AB-CD）．∴MN=PM-PN=2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠0，这样问题就易以解决了”BCD=270∠ADC+DA 四、逆用性质解题E，使CE=CA，至例4．如图4，延长矩形ABCD的边CP的中点．是AEODP．求证：BPEBC4图，于点O，连结PO证明：如图3，连结BD交AC AO=OC=OB=OD∵四边形ABCD是矩形，∴，11，EC=AC∵PA=PE，∴PO=，∴PO=BDEC，∵22．BP⊥DPOP=OB=OD即，∴“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被评析：的一半．BD边的中线等于BD大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证请同学们试一试吧！于E，于D，DE交BCDE1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥A 1CD=BE．求证：2 BC的于BCD，M是2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥D．中点，求证：AB=2DM ACE B5图M·C B D6 图1应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一BEBE是直角三角形的斜边，由1．提示：结论中的2DFC．，即证∠C=∠DF，故应取BE的中点F，连结，只需证明DC=DF半”即可．、，连结DNMN2．提示：取AB的中点N直角三角形斜边上中线性质的应用它为证明线同时也是常考的知识点．直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，下面谈谈直角三角形斜边上中线的线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN=21（AB －CD ）．四、逆用性质解题 【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．直角三角形斜边上中线性质的应用 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =． 2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2，∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。

专题12 直角三角形斜边上的中线【考点归纳】（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•贵阳期末）如图，在长为10的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为（）A．5﹣5B．10﹣5C．10﹣10D．5+52．（2020秋•仪征市期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点3．（2020秋•莲湖区期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB 的长为4.8km，则M，C两点间的距离为（）A．1.2km B．2.4km C．3.6km D．4.8km4．（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2020秋•嵊州市期中）直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（）A．5B．2.5C．3.5D．4.56．（2020秋•高州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6二、填空题7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝．8．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，ED⊥AB交BC于E，连接CD，则∠CDE：∠ECD＝．9．（2020春•南岗区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝DC．则∠BAC的度数为°．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果斜边AB上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝cm．11．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．三、解答题12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D．（1）若∠C＝74°，求∠BAD的度数；（2）点E为线段AB的中点，连接DE．求证：DE∥BC．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．14．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．15．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？16．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．。