微分方程的线性化

《自动控制原理》课程简介课程编号：A1620025课程名称：自动控制原理学分/学时：4/64开课学期：第5学期课程类型：专业必修课程课程性质：必修先修课程：《高等数学A(1)》、《高等数学A(2)》、《线性代数》、《电路》、《复变函数与积分变换》、《模拟电子技术》、《数字电子技术》、《信号与系统分析》适用专业：自动化考核方式：考试考核形式：大作业、期中测试、实验评估、期末考试等组合形式建议教材：（1）谢克明编著.自动控制原理（第3版）.电子工业出版社,2010年（2）常熟理工学院电气及自动化工程学院自编讲义.自动控制原理实验指导书，校内讲义，2015年内容简介：《自动控制原理》课程是一门研究自动控制系统的基本概念、基本原理和基本分析与设计方法的基础工程课程，本课程主要内容包括自动控制系统建模、自动控制系统分析和自动控制系统设计（校正）三个方面。

通过本课程的教学，让学生掌握分析与综合SISO自动控制系统的经典控制理论与方法，并能初步结合实际，分析和设计控制系统，以及在MATLAB与Simulink支持下对控制系统进行计算机辅助分析和设计。

为今后进一步深入学习和研究其他控制理论与控制系统设计打下坚实的基础。

自动控制原理Automatic Control Theory课程编号：A1620025学分：4学时：64学时（讲课：56学时实验：8 学时实践：0学时）学时：周开课学期：第5学期课程类型：专业必修课程课程性质：必修先修课程：《高等数学A(1)》、《高等数学A(2)》、《线性代数》、《电路》、《复变函数与积分变换》、《模拟电子技术》、《数字电子技术》、《信号与系统分析》适用专业：自动化建议教材：（1）谢克明编著.自动控制原理（第3版）.电子工业出版社,2010年（2）常熟理工学院电气及自动化工程学院自编讲义.自动控制原理实验指导书，校内讲义，2015年主要参考书：（1）胡寿松主编.自动控制原理（第5版）.科学出版社.2007年（2）李友善主编.自动控制原理（第3版）.国防工业出版社.2005年（3）富兰克林,鲍威尔主编; 李中华，张雨浓译著.自动控制原理与设计.人民邮电出版社.2007年开课学院：电气与自动化工程学院修订日期：2018年9月一、课程说明《自动控制原理》课程是自动化专业学生学习和掌握自动控制系统的基本概念、基本原理和基本分析与设计方法的基础工程课程，它是自动化专业的一门专业必修课程，在第五学期开设。

微分方程化简
一、引言
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的规律的重要工具。

在解决实际问题时，我们经常需要对方程进行化简，以便更好地求解。

本文将介绍微分方程化简的常用方法和技巧。

二、微分方程化简的方法
1.合并同类项：将方程中的同类项合并，简化方程的形式。

2.变量代换：通过引入新的变量，将方程中的复杂表达式替换为简单表
达式，从而简化方程。

3.积分因子：通过乘以适当的函数，使方程左侧成为全微分，从而简化
方程。

4.线性化：将非线性微分方程化为线性微分方程，以便更容易求解。

5.分离变量：将方程中的变量分离出来，使方程变为容易求解的形式。

三、微分方程化简的步骤
1.观察方程形式：首先观察微分方程的特点，确定采用哪种化简方法。

2.实施化简：根据确定的化简方法，对微分方程进行化简。

3.验证结果：化简后，需要验证结果的正确性，确保方程的意义没有改
变。

四、实例分析
下面以一阶常系数线性微分方程为例，介绍微分方程化简的过程。

原方程：y' + p(t)y = q(t)
步骤1：观察方程形式，确定采用线性化方法。

步骤2：对方程两边同时乘以e^(-p(t)t)，得到：e^(-p(t)t)(y' + p(t)y) = e^(-p(t)t)q(t)
步骤3：对上式进行积分，得到：e^(-p(t)t)y = ∫e^(-p(t)t)q(t)dt + C
步骤4：化简得到通解：y = e^(∫p(t)dt) * (∫q(t)e^(-∫p(t)dt)dt + C)
通过以上步骤，我们成功地将一阶常系数线性微分方程化简为通解的形式。

微分方程的数值解法与近似求解技巧微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

在实际问题中，我们常常遇到无法直接求解的微分方程，这时候就需要借助数值解法和近似求解技巧来解决。

本文将介绍微分方程的数值解法和近似求解技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，通过离散化微分方程，将其转化为差分方程，从而得到近似解。

欧拉法的基本思想是将微分方程中的导数用差商代替，然后通过迭代逼近真实解。

以一阶常微分方程为例，欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)\]其中，\(y_n\)表示第n个点的近似解，\(x_n\)表示对应的自变量的取值，h为步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程中的导数。

2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进，通过使用两个近似解的平均值来计算下一个点的近似解，从而提高了数值解的精度。

改进的欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n, y_n)))\]3. 二阶龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过计算多个近似解的加权平均值来提高数值解的精度。

其中，二阶龙格-库塔法是最简单的一种。

二阶龙格-库塔法的迭代公式如下：\[k_1 = hf(x_n, y_n)\]\[k_2 = hf(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})\]\[y_{n+1} = y_n + k_2\]二、近似求解技巧1. 线性化方法线性化方法是一种常用的近似求解技巧，通过将非线性微分方程线性化，然后使用线性方程的求解方法来得到近似解。

以二阶线性微分方程为例，线性化方法的基本思想是将非线性项进行线性化处理，然后使用线性微分方程的求解方法来得到近似解。

微分方程组的解法一、微分方程组的概念微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的方程组，通常用向量形式表示。

微分方程组在物理、工程、经济等领域中有广泛应用。

二、线性微分方程组线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数都是常数的微分方程组。

它可以用矩阵和向量表示，具有良好的解法。

三、非线性微分方程组非线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数不是常数的微分方程组。

它通常没有通解，只能通过近似或数值方法求解。

四、初值问题与边值问题初值问题是指给定一些初始条件，在某个点处求解微分方程组的解。

边值问题是指在一段区间内给定一些边界条件，在这段区间内求解微分方程组的解。

五、常系数齐次线性微分方程组的解法1. 特征根法：先求出特征多项式和特征根，然后根据特征根和初始条件求出通解。

2. 矩阵指数法：将齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解。

六、常系数非齐次线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将非齐次线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到非齐次线性微分方程组的通解。

2. 矩阵指数法：将非齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解和特解。

七、变系数线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将变系数线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到变系数线性微分方程组的通解。

2. 变量分离法：将变量分离后利用积分求出一般积分式，然后根据初始条件求出常量，并代入一般积分式中得到特解和通解。

八、非线性微分方程组的近似方法1. 线性化方法：将非线性微分方程组在某个点处进行线性化，然后求解线性微分方程组的解，再将解转化为非线性微分方程组的近似解。

2. 数值方法：利用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等求解微分方程组的近似解。

九、总结微分方程组是一类重要的数学问题，在实际应用中有广泛应用。

1.自控系统的基本要求：稳定性、快速性、准确性（P13）稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界因素无关，这是因为控制系统一般含有储能元件或者惯性元件，其储能元件的能量不能突变。

因此系统收到扰动或者输入量时，控制过程不会立即完成，有一定的延缓，这就使被控量恢复期望值或有输入量有一个时间过程，称为过渡过程。

快速性对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。

准确性过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。

但由于系统结构，外作用形式及摩擦，间隙等非线性因素的影响，被控量的稳态值与期望值之间会有误差的存在，称为稳态误差。

+2.选作典型外作用的函数应具备的条件：1）这种函数在现场或试验室中容易得到2）控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能。

3）这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。

常用典型函数：阶跃函数，幅值为1的阶跃称为单位阶跃函数斜坡函数脉冲函数，其强度通常用其面积表示，面积为1的称为单位脉冲函数或δ函数正弦函数，f(t)=Asin(ωt-φ)，A角频率，ω角频率，φ初相角3.控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。

（P21）静态数学模型：在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程建立数学模型的方法：分析法根据系统运动机理、物理规律列写运动方程实验法人为给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用合适的数学模型去逼近，也称为系统辨识。

时域中的数学模型有：微分方程、差分方程、状态方程复域中的数学模型有：传递函数、结构图频域中的数学模型有：频率特性4.非线性微分方程的线性化：切线法或称为小偏差法（P27）小偏差法其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。

连续变化的非线性函数y=f（x），取平衡状态A为工作点，在A点处用泰勒级数展开，当增量很小时略去高次幂可得函数y=f（x）在A点附近的增量线性化方程y=Kx，其中K是函数f（x）在A 点的切线斜率。

常微分方程的线性化方法一、引言常微分方程是数学中研究动力系统的重要工具。

在实际问题中，有些非线性常微分方程难以求得精确解，因此需要采用一些近似和简化的方法来解决。

本文将介绍常微分方程的线性化方法，包括一阶线性化、高阶线性化和齐次线性化。

二、一阶线性化在研究非线性常微分方程时，可以通过线性化方法来近似求解。

一阶线性化方法是指将非线性方程在某一点附近进行线性化处理，得到近似的线性常微分方程。

其基本思想是利用泰勒展开将非线性项进行线性逼近，然后求解线性方程。

三、高阶线性化除了一阶线性化方法外，还可以使用高阶线性化方法来求解非线性常微分方程。

高阶线性化方法的基本原理是通过进行多次线性化逼近，以提高线性化的精度。

一般而言，越高阶的线性化方法，得到的近似解越精确。

然而，高阶线性化方法在复杂的系统中计算量较大，因此需要权衡计算成本和精度的平衡。

四、齐次线性化齐次线性化是一种处理非线性常微分方程的有效方法。

它基于齐次方程的特性，通过对方程进行相应的变换，将其转化为齐次线性方程。

这样一来，可以采用线性微分方程的解法，得到原方程的近似解。

五、举例说明以常见的经典非线性常微分方程为例，我们可以通过线性化方法来解析求解。

例如，考虑一个简单的非线性方程 dy/dt = t^2*y，我们可以将其进行一阶线性化处理，得到近似的线性常微分方程 dy/dt = t*y。

然后，我们可以求解该线性方程，进一步得到原方程的近似解。

六、总结常微分方程的线性化方法是一种处理非线性方程的重要工具。

通过线性化近似，可以得到非线性方程的近似解，从而解决实际问题中的困难。

一阶线性化、高阶线性化和齐次线性化是常用的线性化方法。

然而，在使用线性化方法时，需要注意线性化误差的影响，以及计算成本和精度的平衡。

以上就是关于常微分方程的线性化方法的简要介绍。

通过线性化方法，我们可以更好地理解和解决非线性常微分方程，为实际问题的建模和分析提供有效的工具。

希望本文能对读者有所帮助。

常微分方程的线性化与稳定性常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自变量的函数对其导数的依赖关系。

许多实际问题可以通过求解常微分方程来得到数学模型，并从中获得有关系统行为的重要信息。

其中，线性化和稳定性是常微分方程研究中的两个关键概念。

本文将介绍常微分方程的线性化方法，并讨论稳定性的概念及其应用。

一、常微分方程的线性化线性化是一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，通过线性化，我们可以使得原方程的解与线性化方程的解近似相等，从而简化问题的求解过程。

在实际应用中，常常需要对非线性系统进行线性化，以便更好地研究其稳定性、解的性质等。

线性化的基本思想是利用泰勒展开将非线性函数在某点处进行线性近似。

设考虑的非线性方程为：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y, \frac{{dy}}{{dt}})$$在某点$(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0)$处，对$f(y,\frac{{dy}}{{dt}})$进行二阶泰勒展开得到：$$f(y, \frac{{dy}}{{dt}}) = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$其中，$\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0)$与$\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$为一阶的线性项。

将其代入原方程得到线性化方程：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$若将$\Delta y=y-y_0$和$\Delta \frac{{dy}}{{dt}}=\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0$作为新的变量，线性化的方程可以写成更简洁的形式：$$\frac{{d^2\Delta y}}{{dt^2}} = \frac{{df}}{{dy}}\Delta y +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}\Delta \frac{{dy}}{{dt}}$$这样，我们就将原非线性问题转化为了线性问题。

第四节 控制系统的微分方程及线性化方程一、基本概念1、系统的微分方程——在时域内用来描述系统及其输入、输出三者之间的动态关系的数学模型。

（包括系统动态方程、运动方程或动力学模型）2、建立微分方程——根据支配系统动态特性的各种物理规律（力学、电学、液压等各种原理和规律），明确输入（一般为已知函数）和输出（一般作待求的未知函数），列出微分方程，并整理为标准形式（含输出项在等式左边，含输入项在等式右边，并按微分降幂排列）。

二、系统分类1、线性系统可用线性微分方程描述的系统。

（1）线性定常系统—线性微分方程中的系数与时间无关的系统。

（2）线性时变系统—线性微分方程中的系数与时间相关的系统。

特点：可应用线性加原理，分别处理各项输入引起的输出，最后将结果叠加。

2、非线性系统必须用非线性微分方程描述的系统，不能使用叠加原理。

本课程属经典控制论范畴，主要研究线性定常系统！三、微分方程的建立1、位移系统中元件的复阻抗（1）弹簧)的正方向相同，无论时受压还是受拉，都有：()()=f t Kx t即： ()()=F s Kx s（K为弹簧刚度系数）（为速度阻尼系数） B（M为质量）输入：()f t作用力 输出：()x t线位移根据牛顿第二定律F ma =设质量块正方向移动()x t ，()f t 作用力要克服弹簧和阻尼器的阻力K f 和B f 。

即：()()()()()K B f t f f maf t Kx t Bx t Mx t −−=⇒−−=移项标准化：()()()()Mxt Bx t Kx t f t ++=J K ——扭转弹簧刚度系数（N m ⋅/）rad τ——外加力矩（N m ⋅）J B ——转动粘性阻尼（/） N m s ⋅⋅rad 解：输入为力矩τ，输出为转角()t θ 根据转矩公式：M J ε=⋅力矩τ要使系统进行转动的话，必须克服弹簧和阻尼器的阻力矩。

()()()()J J J J K t B w J K t B t J t τθετθθ−⋅−⋅=⋅⇒−⋅−⋅= θ整理得：()()()J JJ t B t K t θθθτ+⋅+⋅= 例3：已知电机转矩为，负载转矩为m T L T ，为齿轮齿数，为各轴系粘性转动动阻尼系数，为各轴系转动惯量，i Z i B i J i θ为各轴系的角位移。

常微分方程的线性化和近似方法常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象中变量与它的变化率之间关系的方程。

在实际应用中，许多常微分方程都是非线性的，不便直接求解。

因此，我们需要对这些非线性方程进行线性化或者近似处理，以便更好地进行分析和计算。

在本文中，我们将详细探讨常微分方程的线性化和近似方法。

一、常微分方程的线性化1. 什么是线性化方法？线性化是一种常用的处理方法，它可以将一个非线性方程转化为一个线性方程，从而便于解决。

线性化方法的核心是将非线性项近似为一次项，然后再进行计算。

这种方法对于一些复杂的非线性方程来说，是非常有效的。

2. 如何进行线性化处理？对于一个一阶非线性常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以对其进行一阶泰勒展开，得到：$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0)+O((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$$将$f(x,y)$中的非线性项$O((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$忽略不计，便得到一个线性化的方程：$$\frac{dy}{dx}=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0)+f(x_0,y_0)$$这个线性化的方程可以被精确求解，从而得到原始方程近似解的更精确的值。

3. 线性化方法的适用性线性化方法并不是适用于任何一个非线性方程。

关键在于，我们需要保证进行线性化处理后的误差不会过大。

因此，这个方法通常适用于非常小的误差范围内。

二、常微分方程的近似方法1. 什么是近似方法？在许多情况下，我们无法通过数学方法求得常微分方程的精确解。

微分方程线性微分方程线性化后，实际上就变成了一个系数含有p、 q、 r三个变量，另外还含有第四个变量u的一元四次微分方程。

这样的方程对于解决实际问题没有意义。

I们知道，二元系统已知一个变量值（ y=u），那么只要将另一个变量输入，即可算出它的另一个值（ y=b）。

也就是说，要想解决实际问题，只需求出该问题所关心的变量的值即可，而不需求出全部变量的值，这就是线性化方法在微分方程中应用的基本思想。

虽然我们已经使用了两个月的线性化方法，但对于矩阵的线性化，大家还是感到有些困惑。

如何使用线性代数理论将两个变量同时进行线性化呢？因为以前接触过矩阵，对线性代数理论和相关知识有一定的认识，所以我下面从另外一个角度谈谈这个问题。

ado all，要想把两个变量同时进行线性化，必须确保一个矩阵为方阵，并且在每一列都含有一个元素。

对于上面的表达式x=v y=b，其中， y=b是定值，所以，我们只要找出函数v，满足下面两个条件，就可以把两个变量线性化。

Vy都是正定的，那么， v和v的差肯定是正定的。

于是，我们可以把以前的表达式改写成x=vy=k x的形式，如果v=k v，那么，上述两式就变成x=v y=b。

如果v=0，那么， x=v y=0，上面两式又变成x=v y=k，从上面的分析，可以看出，矩阵只有正定性才能满足条件，但是，并非所有矩阵都是正定矩阵，一般情况下，当b=0， k=-1，Vy=0，但是，当b不等于0， k=-1时， vy不可能是0，所以不能用来作为原始函数的参数，也就是说，可以把这种矩阵视为一个原始函数。

因此，必须把上面的表达式按照正定的形式转化成原始函数的形式。

也就是说，在使用矩阵的线性化之前，首先要使用线性代数中的正定性来判断矩阵是否是正定矩阵，如果是，才可以把原始函数按照正定的形式线性化。

由此可见，学好线性代数非常重要。

Vy都是正定的，那么，根据线性化理论，就可以把两个变量同时进行线性化了，方法是：首先要把它们线性化成正定矩阵的形式，再利用线性代数中的正定性把它们线性化成原始函数的形式。

第二章控制系统的数学描述（一）----输入输出微分方程的建立与线性化1. 问题的提出简单的汽车巡航控制系统拉力F速度v？两个变量之间的关系？数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

为何要建立控制系统的数学模型？分析控制系统的性能，进行仿真、实验、调整、校正、综合等。

根据受控对象的模型和性能要求，设计控制器或控制装置；2.热模型时域:微分方程（连续系统）差分方程（离散系统）状态空间方程（连续或离散系统）复数域:传递函数结构图信号流图频域:频率特性状态变量图2.控制系统的数学模型数学模型之间的相互转换演化模糊热模型：简单的汽车巡航控制模型中，如何来建立发动机拉力（F: 输入）和速度（V: 输出）之间的数学模型呢？F b x 摩擦力x位移:x速度:ν=x 加速度：a =x 牛顿第二定律F −b x =m x 关心的是汽车运动的速度:F −b ν=m v ν+b m ν=F m或者近似为自由体直流闭环调速系统1）比较环节：u e=u g−u t 2）放大器：u c=K c u e 3）晶闸管触发整流装置：u do=K s u c4) 直流电动机T m T a d2ndt2+T m dndt+n=1K eu do （T m:机电时间常数；T a：电磁时间常数）5) 转速反馈装置:u t=K t n多个环节构成的控制系统的输入输出微分方程如何建立？明确输入：u g, 输出：n按照信号流动的方向（K c：比例放大系数）（u do:理想空载电压；K s：电压放大系数）消去中间变量:u e 、u c 、u do 、u t系统运动特性的输入输出微分方程T m T a d 2n dt 2+T m dn dt +1+K n =K K tu g其中：K =K c K s ΤK t K e直流闭环调速系统实际系统或物理原件都是非线性的，在汽车巡航控制模型中，不再假设阻碍汽车运动的阻力和汽车速度之间成正比关系。