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第二章-3-系统传递函数的计算-非线性系统线性化

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第二章-1-建模的基本概念-电路-传递函数-方块图

第二章-1-建模的基本概念-电路-传递函数-方块图

6
引言
系统建模
模型是实际物理系统的抽象，它是对实际物理系统作简化 假设的结果。 模型提取系统的相关物理特征，从而描述相应的系统特性。 因此，同一个物理系统可以由若干不同的模型描述，这些 模型对应着不同的、待研究的系统特性。 例：晶体管分别具有高频模型和低频模型。 同一个模型可以对应不同的实际物理系统（如，弹簧-质 量-阻尼系统和电阻-电感-电容电路都可以由二阶线性微分 方程描述）。
我们将利用实际物理系统的定量数学模型来进行控制系统的 分析与设计。系统动态行为通常由常微分方程描述。 我们将研究多种类型的物理系统，包括：电气系统、机械系 统、热力系统、液压系统等。由于绝大多数物理系统是非线性 系统，我们还将讨论线性近似方法，以便于利用拉普拉斯变换 方法进行分析。 我们将推导以传递函数形式描述的元件及子系统的输入输出 关系。 我们将会把传递函数方块引入方块图或信号流图，以图的形 式描述系统结构。
20
电路及组成
例2：电阻电感电容（RLC）串联电路
在图2.2中, R, L, C 为已知常数, e(t) 是输入；uc(t)（可以是其他变量）
是输出。请列写关于电路输出 uc(t) 和输入 e(t) 的方程。
第一步: 根据基尔霍夫定律
v L + v R + vC = e
e
1 LDi + Ri + i=e CD
线性代数基本概念
线性代数基本概念 基本概念回顾: 向量、矩阵 转置矩阵 矩阵加减运算 矩阵与矩阵相乘运算 矩阵与标量相乘运算 单位矩阵 矩阵的微分 矩阵的积分
33
状态的基本概念
状态的基本概念
系统微分方程是输入输出模型，它仅仅描述了系统 输入变量与输出变量之间的关系。 -----经典控制理论模型

《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析

《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析

称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础

2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……

控制工程基础

2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础

2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：

机械工程控制基础--第二章

机械工程控制基础--第二章

,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。

控制工程基础_第二章(2017)

控制工程基础_第二章(2017)

时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O

t
（b）单位斜坡函数
F (s)

0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O

0


(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st

图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。

机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数

机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R

自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型

自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型



c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0





0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

《控制工程》传递函数


1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )

机械控制工程基础(第二章)ppt课件

dt
a0x0t
bm
dmxi t
dtm
bm1
dm1xi t
d tm1
b1
d xi t
dt
b0xi
t
在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换
ansnan 1sn 1 a 1sa0X 0s b m smb m 1sm 1 b 1sb 0X i s
故得系统（或环节）的传递函数为
G sX X 0 is sb a m n s sm n a b n m 精 1 1 选s sn Pm P 1 T1 课 件 a b 1 1 s s a b 0 0
x0(t)Txi(t)
精选PPT课件
16
例 下图是简化了的直流发电机组。激磁电压 v恒i 定，磁通不变。
此时电枢电压 与转v速0 成正比•。若 为输入，输出是电压 ，
试v求0此系统的传递函数。
R
•
解：v 0 T
vi i
LM
式中 T——常数
v0 VsT s s 0
GsV 0ssTs
即直流发电机作为测速发电机时，可认为是微分环节。
2
x0
0
精选PPT课件
xi
3
x• 0
0
精选PPT课件
xi
4பைடு நூலகம்
F
0
x?
F
0
x?
精选PPT课件
5
线性化方法：
利用台劳公式 f(x)k n 1 0f(k k )!(a)(xa)kR n(x)
f(a)k n 1 1f(k k )!(a)(x a)kR n(x)
f( x ) f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 )
物理系统的数学模型
及传递函数

第一节物理系统的数学模型及传递函数


[例2] 液面系统线性化
Back
常数！
4. 单变量函数泰勒级数法 函数y=f(x)在其平衡点(x0,y0)附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：
注： ① 非线性系统的线性化模
型，称为增量方程。 ② y=f(x0) 称 为 系 统 的 静
态方程
非线性环节微分方程的线性化
放大器在大信号输入时输出出现饱和； 磁化曲线有饱和和磁滞回环； 齿轮传动中有间隙。
为了便于研究，对非线性程度不严重的 系统，总是尽可能地将非线性数学模型 转换成近似的线性模型。
1. 常见非线性情况
饱和非线性
Back
死区非线性
间隙非线性
继电器非线性
2. 单摆(非线性)
是未知函数 的非线性函数，
非线性方程 局部线性增量方程
2. 增量方程 增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。
3. 多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
[例1] 单摆模型(线性化)
所谓环节，是指可以组成独立的运动方程式的某 一部分。环节可以是一个元件，也可能是一个元 件的一部分或者由几个元件组成。
建立系统数学模型的一般步骤（1）
分析系统的工作原理和系统中各变量间的关 系，确定待研究系统的输入量和输出量。
将系统划分为单向环节，并确定各个环节的
输入量和输出量。（所谓单向环节是指其后 面的环节无负载效应，即后面环节存在与否 对当前环节的动态特性没有影响）
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。

第二章控制系统数学模型

s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
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(a)原始结构图 (b) 等效结构图 图(3) 引出点后移的变换
挪动后的支路上的信号为:
R
1 G(s) R R G(s)
15
系统传递函数的计算
综合点与引出点的移动:
d. 相邻引出点之间的移动
若干个引出点相邻，引出点之间相互交换位置，完全不会改 变引出信号的性质。如图(4)所示。
图(4) 相邻引出点的移动
自动控制理论 自动控制
第二章 连续时间控制系统的数学模型
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
第 章要点 第二章要点
引言 电路及组成 线性代数与状态的基本概念 传递函数及方块图 机械传递系统 其他的数学建模实例 系统传递函数的计算 非线性系统的线性化 系统整体传递函数的确定 仿真图 信号流图 从传 函数到状 从传递函数到状态空间模型的转换 间模 的转换
信息不变原理：变换前后信息不改变 E1＝u+H2y;
H1 (s) H 2 (s) 1 G (s) H 2 (s) 1 H 1 (s) H 2 (s)
E2＝{u(1/H2)+y}H2=u+H2y
10
系统传递函数的计算
方块图简化
u1 u2
引出点
y
引出点后移
u1
H (s)

??
y

H (s)
1 R1C1s 1 GLOOP1 ( s ) 1 1 R1C1s 1 R1C1s
1 R2C2 s 1 GLOOP 2 ( s) 1 1 R2C2 s 1 R2C2 s
29
系统传递函数的计算
系统传递函数
例4: 推导如下图所示系统的传递函数
30
系统传递函数的计算
系统传递函数
系统传递函数的计算
系统传递函数
步骤2: 引出点后移
H6 H2
u
_
H1 1 H1H 3
H2

H5

y
H4
步骤3: 利用串并联及反馈关系化简
u
H 1H 2 1 H 1H 3 H 1H 2 H 1 1 H 1H
4 3

H H5 6 H2
y
18
系统传递函数的计算
系统传递函数
G ( s) Y (s) H 2 ( s ) H1 ( s ) U (s)
N 个方块串联
4
系统传递函数的计算
方块图：并联 方块图： 并联
u1
u
H1 ( s)
y1
u2
H 2 (s)
y2

y
G(s)
Y ( s) H1 ( s ) H 2 ( s ) U ( s)
Y ( s ) Y1 ( s ) Y2 ( s ) H1 ( s )U1 ( s ) H 2 ( s )U 2 ( s ) H1 ( s ) H 2 ( s ) U ( s )
例5: 求如图所示系统输出的表达式。(2007年)
解：移动相加点：N2 前移， N3越过H1、G1 后移
31
系统传递函数的计算
系统传递函数 统传 函数
例5: 求如图所示系统输出的表达式。(2007年）
解：移动相加点： 解 移动相加点 N2前移， 前移 N3越过H1、G1后移
G2 G2 G2 R(s) [ N 1 ( s ) N 2 ( s )] G1 H 1 N 3 ( s ) G1 1 G2 H 2 1 G2 H 2 1 G2 H 2 y(s) G2 1 G1 H 1 1 G2 H 2 G 2 N 1 ( s ) G 2 N 2 ( s ) G1 H 1G 2 N 3 ( s ) G1G 2 R ( s ) 1 G 2 H 2 G1 H 1G 2
a. 综合点前移
图(1)表示了综合点前移的等效变换。
(a) 原始结构图
(b) 等效结构图
图(1)综合点前移的变换
挪动前的结构图中，信号关系为: 挪动后，信号关系为:
C G ( s) R Q
C G ( s )[ R G ( s) 1 Q]
13
系统传递函数的计算
综合点与引出点的移动:
H ( s )U1 ( s ) H ( s )U 2 ( s )
u1
Y ( s ) H ( s )U1 ( s ) ?? U 2 ( s )
?? H ( s )
H (s)

H (s)
y
u2
Y ( s ) H ( s )U 1 ( s ) H ( s )U 2 ( s )
u2
Y ( s ) H ( s )U 1 ( s );U 2 ( s ) U 1 ( s )
Y ( s ) H ( s )U1 ( s );U 2 ( s ) ?? Y ( s )
u1
H (s)
1

H ( s)
y
U 2 ( s ) ?? H ( s )U1 ( s ) U1 ( s ) ?? =H ( s ) 1
b. 综合点之间的移动
图(2)为相邻两个综合点前后移动的等效变换。
(a)原始结构图 (b) 等效结构图 (2) ) 相邻综合点的移动 图(
挪动前，总输出信号 : 挪动后，总输出信号 :
C R X Y
C R Y X
14
系统传递函数的计算
综合点与引出点的移动:
c. 引出点后移
在图(3)中给出了引出点后移的等效变换。
H6
u
_
H1 1 H1H 3

H2
H5

y
H4
H2
步骤3: u
H1 1 H1 H 3 H1 H 2 H 4
y
H6 H2 H5
20
系统传递函数的计算
系统传递函数
最后，根据串联关系得到整体系统的传递函数 引出点后移
u
H1H 2 1 H1H 3 H1H 2 H 4

H H5 6 H2
24
系统传递函数的计算
系统传递函数
例2: 推导如下图所示系统的整体传递函数 步骤4：推导得到整体系统的传递函数，见图(d)
25
系统传递函数的计算
系统传递函数
例2: 推导如下图所示系统的整体传递函数
a c b
系统的闭环传递函数为 传
GB ( s)
G1G2G3G4 C (s) R( s ) 1 G2G3 H 2 G3G4 H 3 G1G2G3G4 H1
21
系统传递函数的计算
系统传递函数
例2: 推导如下图所示系统的整体传递函数
b a c
前向通路有2个综合点： 个综合点 a 和 b 步骤1: (1) 将点
a c
从 a 后移至 c
G2(s) () b
(2) 交换
和
的位置，得到图 (a)
22
回路 1
步骤2：对内回路 对内回路1应用反馈，得到图 应用反馈 得到图(b)，并代入回路 并代入回路1的传递函数
y1
y
U(s)
H1 (s) 1 H1 (s) H 2 (s)
Y(s)
y2
u2
Y ( s ) H1 ( s )U1 ( s ) H1 ( s )U ( s ) Y2 ( s ) H1 ( s )U ( s ) H 2 ( s )Y ( s ) Y ( s )1 H1 ( s ) H 2 ( s ) H1 ( s )U ( s )
u2
Y ( s ) H ( s )U 1 ( s );U 2 ( s ) U 1 ( s )
11
系统传递函数的计算
方块图简化
引出点前移
u1
H (s)
y1

y
u1

H (s)
y
??
引出点
y1
Y ( s ) H ( s )U1 ( s ); Y1 ( s ) Y ( s )
u1

Y ( s ) H ( s )U1 ( s );U1 ( s ) H ( s ) 1 Y ( s )
u2
Y ( s ) H ( s )U1 ( s ) H ( s ){ 1
H (s)
U 2 ( s )}
9
系统传递函数的计算
方块图简化
u
综合点前移

E1
E2
H1 (s)
y
u
1 H 2 (s)

H 2 (s)
H1 (s)
y
H 2 (s)
综合点前移
H 1 (s) Y (s) G (s) U (s) 1 H 1 (s) H 2 (s)
C ( s) G (s) GB ( s ) R( s) 1 G ( s) H ( s)
正反馈
C (s) G ( s) GB ( s ) R( s) 1 G ( s ) H ( s)
Note! 注意！
负反馈
6
系统传递函数的计算
方块图：反馈 方块图： 反馈
u
±
u1
H1 ( s) H 2 (s)
例1’:推导如下图所示系统的整体传递函数
H6
u
_

H1
H3

H2

H5

y
引出点
步骤1: 应用反馈关系化 简 H1 u
H4
H6
_
1 H1H 3

H2

H5

y
引出点前移
H4
19
系统传递函数的计算
系统传递函数
例1’:推导如下图所示系统的整体传递函数 步骤2: 引出点前移