齐次坐标表示法在图形变换中的作用

CAD/CAM习题一. 填空题1、未来制造业对CAD/CAM提出的新要求包括：，，，多学科、多功能综合产品开发技术，虚拟现实技术，人-机-环境系统技术。

2、中央处理器由、、组成。

3、数据库的数据模型有：、、；4、二维图形的基本变换包括：、、、；5、设备坐标系是：；6、计算机中常采用的数据结构来记录几何、拓扑信息；7、有限元分析的精度取决于；8、线框模型采用和的有限集合来表示物体的计算机内部模型；9、优化设计的关键问题是：、；10、作为一项产品建模技术，CAD是把产品的转化为，并把存储在计算机内供后续的计算机辅助技术（CAX）所共享，驱动产品生命周期的全过程。

11、图形变换实质为。

12、特征可分为形状特征、、。

其中形状特征是，具有特定的意义。

13、不同CAD平台间的数据交换标准有（至少写出两种）。

14、经过集合运算生成的形体应具有边界良好的几何形体，并保持原始形状的____________。

15、线框建模是以构成物体的___________和____________来描述物体的，前者记录了____________，后者记录了____________。

16、二维半加工与三维加工的主要区别在于计算加工走刀中刀具运动位置点的同时，还要控制___________与被加工曲面的法矢基本保持一致，可获得较好的切削条件和加工效率。

17、几何建模是把真实世界中的三维物体的几何形状用一套合适的_____来描述，供计算机识别和处理的。

该模型包含了三维物体的______和_____信息。

18、将三维图形用二维图形表示的过程称为____________，投影方向垂直于投影面时称为____________。

19、线框模型可以方便地生成物体的工程图、轴侧图和透视图，但不能生成和做消隐处理。

20、实体模型包含了体、面、边、顶点的所有信息，能方便的确定三维空间中给定点的以及。

21、由拓扑学中的欧拉网络公式可推出，多面体的f、e、v之间存在关系。

向量的齐次坐标【最新版】目录1.齐次坐标的定义2.齐次坐标的应用3.齐次坐标与线性变换4.齐次坐标的性质正文一、齐次坐标的定义向量的齐次坐标是一种用于表示向量的扩展方法，它可以将向量映射到一个更大的空间，这个空间被称为齐次空间。

在齐次空间中，每个向量都可以用一个齐次坐标来表示。

齐次坐标由一组分量组成，这些分量对应于向量在各个方向上的分量。

例如，在二维空间中，一个向量的齐次坐标为 (x, y, 0)，其中 x 和 y 是该向量在 x 轴和 y 轴上的分量，0 表示该向量在 z 轴上的分量为 0。

二、齐次坐标的应用1.计算机图形学：在计算机图形学中，齐次坐标用于表示三维空间中的点、线和面。

通过将齐次坐标传递给图形处理器（GPU），可以实现对这些图形元素的快速处理和渲染。

2.线性代数：在线性代数中，齐次坐标用于研究向量空间和线性变换。

它们在矩阵运算和线性方程组求解中具有重要作用。

三、齐次坐标与线性变换齐次坐标在线性变换中起到重要作用。

假设有一个线性变换 T，它将一个向量映射到另一个向量。

我们可以用齐次坐标表示这个变换，假设齐次坐标为 (x1, y1, z1)，变换后的齐次坐标为 (x2, y2, z2)，那么线性变换可以表示为：T = [x2, y2, z2] ^ [x1, y1, z1]其中^表示齐次坐标的乘法。

四、齐次坐标的性质1.齐次坐标具有唯一性：对于一个向量，其齐次坐标是唯一的，因为齐次坐标可以唯一地表示一个向量在齐次空间中的位置。

2.齐次坐标具有可扩展性：齐次坐标可以很容易地扩展到更高维的空间，只需在原有坐标的基础上添加一个额外的分量即可。

3.齐次坐标具有计算简便性：在计算机图形学和线性代数中，齐次坐标可以简化计算过程，例如在矩阵运算和线性方程组求解中。

总结：向量的齐次坐标是一种重要的数学概念，它在计算机图形学和线性代数等领域具有广泛的应用。

计算机(图形学)期末考试卷一、 填空题（每空1分，共10分）1. 图形的表示方法有两种： 点阵法 和 参数法 。

2. 目前常用的两个事实图形软件标准是OpenGL 和 DirectX 。

3. 多边形有两种表示方法： 顶点表示法 和点阵表示法。

4. 二维图形基本几何变换包括平移、 比例 、 旋转 等变换。

5. 投影可以分为 平移 投影和 透视 投影。

6. 描述一个物体需要描述其几何信息和 拓扑信息 。

7. 在Z 缓冲器消隐算法中Z 缓冲器每个单元存储的信息是每一个像素点的 深度值 。

二、 判断题（每小题1分，共10分，对的画√，错的画×）1. 由三个顶点可以决定一段二次B 样条曲线，若三顶点共线时则所得到的曲线褪化为一条直线段。

（v ）2. DDA （微分方程法）是Bresenham 算法的改进。

（ x ）3. 插值得到的函数严格经过所给定的数据点，逼近是在某种意义上的最佳近似。

（ v ）4. 齐次坐标提供了坐标系变换的有效方法，但仍然无法表示无穷远的点。

（ x ）5. 若相对于某点进行比例、旋转变换，首先需要将坐标原点平移至该点，在新的坐标系下做比例或者旋转变换，然后将原点平移回去。

（ v ） 6. Phong 算法的计算量要比Gouraud 算法小得多。

（ x ）7. 将某二维图形整体放大2倍，其变换矩阵可写为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010001。

（ x ）8. 在种子填充算法中所提到的八连通区域算法同时可填充四连通区域。

（ v ） 9. 边缘填充算法中是将扫描线与多边形交点左方的所有像素取补。

（ x ） 10. 计算机图形技术是随着图形硬件设备的发展而发展起来的。

（ v ）三、 选择题（每小题1分，共10分）1.在图形变换中引入齐次坐标的目的是 B 。

A ）便于实现缩放变换 B) 统一表示几种基本变换，便于计算 C ）便于实现错切变换 D ）无特殊目的，一直沿用而已 2. 透视投影中主灭点最多可以有几个? DA ） 0B ）1C ）2D ）33. 在简单光照模型中，由物体表面上的点反射到视点的光强是下述哪几项之和？ C①环境光的反射光强 ②理想漫反射光强 ③镜面反射光强 ④物体间的反射光强。

齐次坐标的几何意义
一、什么是齐次坐标
嘿，小伙伴们！咱们今天来聊聊齐次坐标这个神奇的东西。

齐次坐标啊，简单来说，就是一种用多个数来表示一个点或向量的方法。

比如说，在二维平面中，咱们平常表示一个点可能就是 (x, y) ，但在齐次坐标里，它就变成了 (x, y, w) 。

这里的 w 可有着大作用呢！
二、齐次坐标的神奇之处
那齐次坐标到底有啥神奇的呢？
它能处理无穷远点。

想象一下，在普通坐标里，咱要表示一条直线延伸到无穷远，可不好办。

但有了齐次坐标，就能轻松搞定！比如说，对于平行于 y 轴的直线，它在齐次坐标里可以表示为 (1, 0, 0) 。

齐次坐标能让几何变换变得超级简单。

像平移、旋转、缩放这些操作，用齐次坐标来计算，那叫一个方便！
三、齐次坐标的应用
那齐次坐标都用在哪儿呢？
在计算机图形学里，那可是常客！比如渲染三维模型，处理图像变换，都离不开它。

在学中，齐次坐标能帮助我们准确描述的位置和姿态。

齐次坐标虽然看起来有点复杂，但一旦搞懂了，那可真是个超级有用的工具，能让咱们在解决很多几何问题时事半功倍！怎么样，小伙伴们，是不是对齐次坐标有点感觉啦？。

三维齐次坐标变换三维齐次坐标变换在计算机图形学和计算机视觉领域中具有重要的应用。

它是一种表示和变换三维空间中物体位置和姿态的方法。

本文将简要介绍三维齐次坐标变换的概念、原理和应用，以及其在计算机图形学和计算机视觉中的具体应用案例。

一、概述三维齐次坐标变换是一种将三维物体在三维空间中的位置和姿态进行表示和变换的方法。

它通过引入一个额外的尺度变量来将三维几何运算转换为矩阵乘法运算，从而简化了三维计算的表示和运算。

三维齐次坐标变换以齐次坐标的形式表示三维点和变换矩阵，通过矩阵乘法来进行坐标变换和几何运算。

二、三维齐次坐标表示在三维齐次坐标中，一个三维点可以表示为一个四维向量，即[x, y, z, w]，其中w为尺度变量。

三维点的齐次坐标表示可以通过除以w得到其三维坐标表示[x/w, y/w, z/w]。

同样，一个三维向量可以表示为一个四维向量，其中w为0。

三、齐次坐标变换矩阵齐次坐标变换可以表示为一个4x4的变换矩阵，其中包括平移、旋转、缩放等变换操作。

变换矩阵可以通过组合多个变换操作得到，从而实现复杂的几何变换。

常用的齐次坐标变换包括平移变换、缩放变换、旋转变换等。

四、三维齐次坐标变换的应用三维齐次坐标变换在计算机图形学和计算机视觉中有广泛的应用。

其中一个主要应用是计算机图形学中的三维物体变换和渲染。

通过齐次坐标变换，可以对三维物体进行平移、旋转、缩放等操作，从而实现物体在三维空间中的位置和姿态的变换。

另一个主要应用是计算机视觉中的三维重建和相机校准。

通过齐次坐标变换，可以将多个相机坐标系对齐，实现三维重建和相机参数校准。

五、应用案例1. 计算机图形学中的三维物体变换：在三维游戏开发中，可以通过齐次坐标变换来实现角色的平移、旋转、缩放等操作，从而实现角色在游戏场景中的自由移动和姿态变化。

2. 计算机视觉中的三维重建：在三维重建中，通过齐次坐标变换可以将多个相机拍摄的图像对齐，实现对场景中物体的三维重建和重建精度的提升。

一、 实验目的和要求利用VC6.0编写二维基本几何变换算法的实现。

实现平移，比例，旋转等变换。

二、 算法原理介绍齐次坐标表示法就是用N+1维向量来表示一个N 维向量。

在齐次坐标系统中，点(X,Y)用(X,Y ,H)来表达，其中H 为非零的一个任意数。

点(X,Y)的标准齐次坐标表达为(X/H,Y/H,1)，由于H 是一个任意非零常量，为了简便起见，我们通常取H=1。

齐次坐标系统中的点(X,Y ,1)包含有笛卡尔坐标上的点(X,Y)。

平移变换：比例变换：旋转变换：对称变换：关于x 轴对称：关于y 轴对称：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000000y x SS ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001关于原点对称：关于y=x 对称：关于y=-x 对称：错切变换：当b=0时： (x` y` 1)=(x+cy y 1)。

图形的y 坐标不变。

当c>0：图形沿+x 方向作错切位移。

ABCD →A1B1C1D1当c<0：图形沿-x 方向作错切位移。

ABCD → A2B2C2D2当c=0时, (x` y` 1)=(x bx+y 1):图形的x 坐标不变。

当b>0：图形沿+y 方向作错切位移。

ABCD → A1B1C1D1当b<0：图形沿-y 方向作错切位移。

ABCD → A2B2C2D2当b 不等于0且c 不等于0时，(x` y` 1)=(x+cy bx+y 1) ：图形沿x,y 两个方向作错切位移。

∴错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。

三、 程序核心源代码void CChangeView::Tmove(double Tx,double Ty) //平移变换矩阵{ ClearMatrix(TM);RedrawWindow();TM[0][0]=1;TM[1][1]=1;TM[2][0]=Tx;TM[2][1]=Ty;TM[2][2]=1;⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000101c bCalculate(P,TM);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－平移变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::Tscale(double Sx,double Sy) //比例变换矩阵{ ClearMatrix(TS);RedrawWindow();TS[0][0]=Sx;TS[1][1]=Sy;TS[2][2]=1;Calculate(P,TS);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－比例变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::Trotate(double thta)//旋转变换矩阵{ ClearMatrix(TR);RedrawWindow();TR[0][0]=cos(thta*PI/180);TR[0][1]=sin(thta*PI/180);TR[1][0]=-sin(thta*PI/180);TR[1][1]=cos(thta*PI/180);TR[2][2]=1;Calculate(P,TR);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－旋转变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::Treflect(double Fx,double Fy) //反射变换矩阵{ ClearMatrix(TF);RedrawWindow();TF[0][0]=Fx;TF[1][1]=Fy;TF[2][2]=1;Calculate(P,TF);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－反射变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::Treform(double b,double c) //错切变换矩阵{ ClearMatrix(TC);RedrawWindow();TC[0][0]=1; TC[0][1]=b; TC[1][0]=c; TC[1][1]=1; TC[2][2]=1;Calculate(P,TC);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－错切变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::OnMENUup(){// TODO: Add your command handler code hereTmove(0,10);}void CChangeView::OnMENUdown(){// TODO: Add your command handler code hereTmove(0,-10);}void CChangeView::OnMENUleft(){// TODO: Add your command handler code hereTmove(-10,0);}void CChangeView::OnMENUright(){// TODO: Add your command handler code hereTmove(10,0);}void CChangeView::OnMENUClockwise() //顺时针旋转{// TODO: Add your command handler code hereTrotate(-30);}void CChangeView::OnMENUAnticlockwise() //逆时针旋转{// TODO: Add your command handler code hereTrotate(30);}void CChangeView::OnMENUIncrease(){// TODO: Add your command handler code hereTscale(2,2);}void CChangeView::OnMENUDecrease(){// TODO: Add your command handler code here Tscale(0.5,0.5);}void CChangeView::OnMENUY(){// TODO: Add your command handler code here Treflect(-1,1);}void CChangeView::OnMENUO(){// TODO: Add your command handler code here Treflect(-1,-1);}void CChangeView::OnMENUX(){// TODO: Add your command handler code hereTreflect(1,-1);}void CChangeView::OnMENUXdirectionplus(){// TODO: Add your command handler code here Treform(0,1);}void CChangeView::OnOnMENUXdirectionneg() {// TODO: Add your command handler code here Treform(0,-1);}void CChangeView::OnMENUITYdirectionplus(){// TODO: Add your command handler code here Treform(1,0);}void CChangeView::OnMENUYdirectionneg(){// TODO: Add your command handler code here Treform(-1,0);}void CChangeView::OnMENUReset(){// TODO: Add your command handler code here if(p3==4){ KeepMatrix(OSquare,P); }if(p3==3){ KeepMatrix(OTriangle,P); }if(p3==2){ KeepMatrix(OLine,P); }Draw(P,p3);}void CChangeView::Onre(){// TODO: Add your command handler code here Treflect(-1,-1);}四、实验结果抓图原图：平移变换后：对称变换后：（关于X轴对称）旋转变换后：（顺时针旋转）比例变换后：缩小放大错切变换后：Y正向五、参考文献[1]赵建忠，段康廉.三维建模在虚拟矿山系统中的应用[J].中国科技论文.[2]许惠平，陈越，陈华根，廖晓留，王智博.青藏高原亚东－格尔木地学断面域岩石圈结构演化虚拟现实表达[J].中国科技论文.[3]罗斌，魏世民，黄昔光，张艳.基于OpenGL的3P-6SS并联机构的仿真与轨迹规划研究[J].；国家自然科学基金资助项目.。